1.1.2 空间向量的数量积运算-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

1.1.2　空间向量的数量积运算 　 第一章　1.1　空间向量及其运算 知识层面 1．了解空间向量的夹角；掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．　 2．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．　 3．掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离. 素养层面 借助投影向量概念的学习，培养直观想象素养；借助利用空间向量的数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 知识点一　空间向量的夹角 1 知识点二　空间向量的数量积 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　空间向量的夹角 返回 问题1．类比两个平面向量a和b的夹角的定义，那么对于两个空间向量a和b，它们的夹角又该如何定义呢？ 提示：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O， 则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 问题导思 新知构建 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ＝b，则 ______叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 图示 范围 ___________________ 向量垂直 如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作_________ ∠AOB 0≤〈a，b〉≤π a⊥b 因为向量是自由向量，空间中的任意两个向量都能平移到同一平面内，因此，空间中两向量的夹角的实质就是平面内两向量的夹角． 微提醒 例1 解：连接BD(图略)， 则在正方体ABCD -A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′， 对空间任意两个非零向量a，b有： ①〈a，b〉＝〈b，a〉； ②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉； ③〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 规律方法 对点练1．(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 因为a∥b，包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当a∥b时，有〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，不能得到〈a，b〉＝0，充分性不成立；〈a，b〉＝0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．故选B． √ 返回 120° 60° 知识点二　空间向量的数量积 返回 问题2．类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 提示：能给出空间两向量数量积的定义，即已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 空间向量的数量积运算满足：(1)数乘向量与向量数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 问题导思 1．定义：已知两个非零向量a，b，则___________________叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝__________________．规定：零向量与任意向量的数量积为___． 2．数量积的运算律 新知构建 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝______ 分配律 (a＋b)·c＝_________ |a||b|cos〈a，b〉 |a||b|cos 〈 a，b〉 0 b·a a·c＋b·c 3．数量积的性质 向量数量 积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔_______ 共线 同向：则a·b＝|a|·|b| 反向：a·b＝－|a|·|b| 模 a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝_____，|a|＝______，|a·b|≤|a|·|b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝______ a·b＝0 对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？ 提示：不成立．例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量c作数乘，a·(b·c)是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方向上，所以(a·b)·c与a·(b·c)不相等． 微思考 4．投影向量 (1)向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①，向量c称为向量a在向量b上的投影向量，c＝_______________． (2)向量a在直线l上的投影 如图②，向量c称为向量a在直线l上的投影向量． (3)向量a在平面β上的投影 如图③，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量 ，则向量 (a′)称为向量a在平面β上的投影向量．向量a与向量a′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．①当θ为锐角时，a·b＞0；但当a·b＞0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.②当θ为钝角时，a·b＜0；但当a·b＜0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. 微提醒 如图所示长方体ABCD -A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求： 例2 解：因为是长方体，而且AA′＝AD＝2， 变式探究 求空间向量数量积的步骤 第一步：将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清； 第二步：利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； 第三步：代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 规律方法 对点练2．(1)设正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别是BC，AD的中点，则 A．1 B． C．2 D．4 √ 返回 综合应用 返回 应用一　利用数量积证明垂直问题 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：MN⊥AB． 例3 用向量法证明空间线线、线面垂直的思路 1．要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． 2．证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可． 规律方法 对点练3．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求证：AB⊥AC1. 证明：因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB⊂平面ABC， 所以AA1⊥AB，AB⊥AC， 应用二　利用数量积求夹角和模 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2. 例4-1 变式探究　(变结论)本例中条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的余弦值． (链教材P7例2)如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离． 例4-2 1．利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 规律方法 2．利用数量积求两点间的距离或线段的长度的步骤 第一步：将此线段用向量表示； 第二步：用其他已知夹角和模的向量表示该向量； 第三步：利用|a|＝ ，计算出|a|，即得所求距离． 规律方法 对点练4．如图，平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB ＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，CD＝CC1＝2. (1)求AC1的长； ＝c2＋a2＋b2－2a·c－2b·c＋2a·b＝12－2×2×2×cos 60°＝8， (2)求异面直线CA1与DC1所成角的余弦值． 所以异面直线CA1与DC1所成的角为90°，余弦值为0. 课堂小结 知识 1.空间向量的夹角.2.数量积的定义、投影有关定义、数量积的性质及运算律 方法 化归转化法、类比法 易错 误区 1.向量的夹角只注重角度大小，而忽视向量的方向.2.数量积的运算不满足结合律，更不存在“消去律”.3.当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0 返回 随堂演练 返回 A．－1 B．0 C．1 D．不确定 √ B．a2＝|a|2 C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 2．(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有 对于A选项，向量不能作除法，故A错误；对于B选项，a2＝|a|2，故B正确；对于C选项，(a·b)2＝ 2＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉 ≤a2·b2，故C错误；对于D选项，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，故D正确．故选BD． √ √ 3．平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形， AB＝2，AA1＝4，∠A1AB＝∠A1AD＝60°， 线段AC1的长度为 ，则cos∠BAD＝____． 60° 1 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．已知a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，则实数k的值为 A．－6 B．6 C．3 D．－3 √ 因为a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，所以e1⊥e2，则e1·e2＝0，因为m⊥n，所以m·n＝0，即(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2ke －8e1·e2＋3ke1·e2－12e ＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6.故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．如图，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝2AB，H为AA1的中点，P1，P2，P3，P4分别是A1D1，D1C1，C1B1，B1A1的中点，则集合M＝{m|m＝ }(i＝1，2，3，4)中元素的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝ √ 因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AC，AA1⊥AB， 在△ABC中，由AB＝AC＝BC，得∠BAC＝60°，又AA1＝AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)下列四个结论正确的有 A．对于任意两个向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b B．对于任意两个向量a，b，(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项A，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A正确；对于选项B，向量的运算满足平方差公式，所以(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2，故B正确；对于选项C，若a，b，c为空间向量中的单位向量，且a，b夹角为90°，b，c的夹角为60°，则(a·b)·c＝0，a·(b·c)＝ a，(a·b)·c－a·(b·c)≠0，故C错误；对于选项D，因为|a·b|＝|a||b|cos θ，故仅当cos θ＝±1时，|a·b|＝|a||b|，故D错误．故选AB． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)已知空间四边形ABCD的四条边和两条对角线的长都为a，且E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列选项中运算结果为－a2的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．如图，已知线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB， AC⊥α，且AB＝4，BD＝3，AC＝5，则CD＝______． 由于AC⊥α，AB，BD在平面α内，所以AC⊥AB，AC⊥BD，又BD⊥AB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4，∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°. (1)利用空间向量证明PA⊥BD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求AP的长． ＝32＋32＋42＋2×3×3cos 60°＋2×3×4cos 60°＋2×3×4cos 60°＝9＋9＋16＋9＋12＋12＝67. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 的最大值为 A．－2 B．－3 C．－1 D．0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．在四面体OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直，且OA＝3，OB＝6，OC＝9，若G是△ABC的重心，则OG＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(12分)已知长方体ABCD -A1B1C1D1中，点Q是BC上的动点，点P是B1C1上的动点，AB＝BC＝2，AA1＝1. 因为AD⊥AB，AD⊥AA1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为AA1⊥AB，C1P⊥AB，AA1⊥BQ，AB⊥BQ， 由于0≤xy≤4，所以－4≤－xy≤0，所以0≤4－xy≤4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(新情境)如图，甲站在水库底面上的点D处， 乙站在水坝斜面上的点C处，已知水库底与水坝斜 面所成的二面角为120°，测得从D，C到水库底与水 坝斜面的交线的距离分别为DA＝30 m，CB＝40 m， 若AB＝20 m，则甲、乙两人相距 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)是否存在λ使得MN⊥平面ABCD？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 返回 解：假设存在λ使得MN⊥平面ABCD，故MN⊥AB，MN⊥AD． 所以MN⊥AB恒成立； 即(λ－1)b2＋λb·c＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 空 间 向 量 与 立 体 几 何 返回 作＝a，＝b， ＝a， 如图，在正方体ABCD -A′B′C′D′中，求向量 分别与向量，，，，的夹角． 由正四面体每个面都是正三角形可知，〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°；〈，〉＝〈，〉＝60°. |a|2 |a|cos〈a，b〉 ·的值为 依题意，＝＝＝2，〈，〉＝〈，〉＝60°，故·＝·＝cos〈，〉＝2×2×＝2，所以·＝(＋)·＝(·＋·)＝(2＋2)＝1.故选A． (2)已知空间向量a，b满足＝8，＝3，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量是________． a 因为＝8，＝3，a与b的夹角为，所以b在a方向上的投影向量是 |a|cos〈a，b〉·＝3×·＝a. ||2＝2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，即||＝， 1·1＝(＋－)·(＋)＝2－2＝22－12＝3， 所以cos 〈BA1，CB1〉＝＝＝. 求cos〈，〉的值． 解：由题意可知，·＝·＝·1＝0， 因为＝－＝＋－，＝＋， 所以||2＝2＝(＋－)2＝2＋2＋2 ＝12＋22＋12＝6，即||＝， 又因为1·＝(＋)·(－)＝－2＝－1， 所以cos 〈，〉＝＝＝－. 解：由已知得||＝||＝1，||＝2， ·＝·＝·＝0. 因为||2＝12＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，所以|1|＝. 因为||2＝2＝(－)2＝2＋2＝12＋12＝2，所以||＝， 此时B，D间的距离为.综上所述，BD间的距离为2或. 所以||2＝||2＋||2＋||2＋2· ＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉． 解：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝2， 〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝60°， 1．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·等于 令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·(c－b)＋ b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.故选B． A．＝ 2 因为＝＋＋，所以2＝2＝2＋2＋ 2＋2·＋2·＋2·，因为AB＝AD＝2，AA1＝4，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AC1＝2，所以4＋4＋16＋8cos∠BAD＋16cos 60°＋16cos 60°＝44，解得cos∠BAD＝. 4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是 C1D1的中点，则与所成角的大小为________；·＝____． 法一：连接A1D(图略)，则∠PA1D就是与所成的角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°，因此·＝××cos 60°＝1. 法二：根据向量的线性运算可得·＝(＋)·＝2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，cos〈，〉＝，从而〈，〉＝60°. 由题意可得a·b＝cos 60°＝1×2×＝1，＝ ＝＝＝.故选C． 由于AA1⊥平面A1B1C1D1，A1Pi⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1Pi，·＝·＝·＝2＋·＝2(其中i＝1，2，3，4)，所以集合M中元素的个数是1.故选A． A． B． C． D． 如图所示，＝＋＋＝＋＋(－)＝＋＋，故 2＝2＝2＋2＋2＋·＋·＋·， ＝AC＝1，则2＝＋1＋＋×1×1×＝，则AM＝.故选C． C．空间中任意三个向量a，b，c 都满足(a·b)·c－a·(b·c)＝0 D．对于任意两个向量a，b，都有＝ A．2· B．2· C．2· D．2· 如图所示，2·＝2||||cos 120°＝2a·a cos 120°＝－a2，故A正确；2·＝2||||·cos 60°＝2a·a cos 60°＝a2， 故B错误；2·＝2||||cos 180°＝2··a cos 180° ＝－a2，故C正确；2·＝2||||cos 120°＝2··a cos 120° ＝－，故D错误．故选AC． cos〈a，b〉＝＝＝－，由〈a，b〉的范围为，所以 〈a，b〉＝. 因为＝3，＝4且向量a，b的夹角为，所以a·b＝·cos＝3×4×＝6，所以2a＋b在a方向上的投影向量为·＝·a＝a＝a. a 所以·＝0，·＝0，·＝0, 由于＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝25＋16＋9＝50，所以CD＝＝5. 5 · 由题可得，正方体外接球的直径＝2，设O为正方体外接球的球心，则O为AB的中点，则有＝－，且＝＝，·＝(－)·(－)＝·－(＋)·＋2＝－·＋2＝2－3，由于≤＝，所以·的最大值为0.故选D． 对于A，＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＋(－)＝＋＋，又＝a，＝b，＝c，所以＝a＋b＋c，故A正确；对于B，因为AB＝AC＝AA1＝1，所以|a|＝|b|＝|c|＝1.因为∠BAC＝90°，所以a·b＝0.因为∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以a·c＝b·c＝，所以||2＝(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝(3＋1＋1)＝，所以||＝，故B正确；对于C，D，＝a＋c，＝c＋b－a，cos〈，〉＝＝ 如图所示，取BC的中点D，根据三角形重心的性质，可得AG＝AD，根据向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋ ＝＋＝(＋＋)， 所以2＝(2＋2＋2＋2·＋2·＋ 2·)＝(9＋36＋81＋0＋0＋0)＝14，所以＝，即OG＝. 解：·＝· ＝·＋·＋·， 解：·＝· ＝·＋·＋·＋·＋·＋·， 由于＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝302＋(20)2＋402＋2×(0＋0＋30×40×cos 60°)＝4 900，所以||＝70，故甲、乙两人相距70 m．故选A． $$