专题04 双角平分线模型与角n等分线模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版2024）

专题04.双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 1 10 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 4）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．（2024·山西临汾·七年级校联考阶段练习）如图，已知，是内一条射线，平分，平分，，则 ．    例2．（2023秋·广东湛江·七年级统考期末）如图所示，、分别是、的平分线，且，则的度数是 ． 例3．（2023秋·湖北七年级期中）如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ．    例4．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：① ；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．    例5．（2023·湖北七年级课时练习）如图所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，则∠AOA4的大小为（    ） A．1° B．2° C．4° D．8° 例6．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 例7．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．(1)求的度数；(2)如果．①求的度数；②若，直接写出的度数． 例8．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）．①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 1．（2023北京市昌平区七年级月考）如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．    3．（2023秋·贵州铜仁·七年级期末）如图，已知射线在内部，平分，平分．若，，则的度数为 ． 4．（2023春·安徽合肥·七年级校考开学考试）平面内，，为内部一点，射线平分，射线平分，射线平分，当时，的度数是 ． 5．（2023·江苏七年级月考）根据要求，回答下列问题： (1)如图①，，是的平分线，，分别平分，，求的度数．(2)如图②，在（1）中，把“是的平分线”改为“是内任意一条射线”，其他条件都不变，试求的度数．(3)如图③，在（1）中，若把“是的平分线”改为“是外任意一条射线”，其他条件都不变，能否求出的度数？请说明理由．(4)在（2）（3）中，若把“”改为“”，其他条件不变，的度数是多少？请直接写出结论． 6．（2023春·吉林长春·七年级校考开学考试）如图，已知，在的外部画，然后分别画出与的平分线和． (1)下面的两个图形都符合题意．其中，图①中______度；图②中______度． (2)若，且当时，求；当时，______． 7．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）已知，． (1)如图1，若，在的左侧，则_____________； (2)如图2，平分，平分，求． 8．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，射线在的内部，已知（），与分别是和的平分线． (1)当时，求的度数；(2)当时，则的度数为__________； (3)继续探究，发现与之间存在着一定的数量关系，这个数量关系是：__________． 9．（2023秋·陕西榆林·七年级统考期末）如图，已知内有三条射线，其中平分角，平分(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若，求的度数；（用含的代数式表示）；(3)若将题中的“平分”的条件改为“，，且”，其他条件不变，求的度数．（用含的代数式表示） 10．（2023秋·江西南昌·七年级统考期末）已知点C在直线上，射线，在直线的同一侧． (1)如图1，若，，则__________度； (2)如图2，若平分，平分，，求的度数； (3)如图3，若平分，平分，，求的度数． 11．（2023·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且，．    (1)如图1，若平分，求的度数；(2)如图2，在（1）的条件下，平分，过点O作射线，求的度数；(3)如图3，若在内部作一射线，若，，试判断与的数量关系． 12．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，已知，平分，平分． (1)求的度数；(2)如果，那么是多少度？ (3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示)    13．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知O为直线上一点，作射线，且平分．    (1)如图1，当均在上方时，若，求的度数； (2)如图2，当在上方，在的下方时，若，求的度数；(3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数． 14．（2023·山东·七年级期末）如图所示，已知OB，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．（1）若∠BOC=25°，∠MOB=15°，∠NOD=10°，求∠AOD的大小； （2）若∠AOD=75°，∠MON=55°，求∠BOC的大小； （3）若∠AOD=α，∠MON=β，求∠BOC的大小(用含α，β的式子表示)． 15．（2023·河北沧州·七年级校考期末）已知∠AOB＝90°， （1）如图1，OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠EOD＝64°，则∠BOC是 　 　°； （2）如图2，OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，若∠BOC＝40°，求∠EOD的度数（写推理过程）． （3）若OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝α（0°＜α＜180°），则∠EOD的度数是 　 　°（在稿纸上画图分析，直接填空）． 16．（2024·河南新乡·七年级校考期末）如图所示，已知，平分，与互补．(1)求的度数；(2)点M为内一点，且，求的度数． 17．（2023·广东惠州·七年级校考阶段练习）已知:和是直角．（1）如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系；（2）如图2，当射线射线都在外部时，过点作射线，射线，满足，，求的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若不存在，请说明理由，若存在，求出的度数． 18．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 19．（2024·浙江·七年级专题练习）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线． (1)如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数． (2)点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t． ①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数． 20．（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04.双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 1 10 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 4）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．（2024·山西临汾·七年级校联考阶段练习）如图，已知，是内一条射线，平分，平分，，则 ．    【答案】/25度 【分析】由角平分线的性质可得，再由，可求得，进一步利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：平分，，， ，， 平分，，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的和差计算，仔细观察图形找到数量关系是解题的关键． 例2．（2023秋·广东湛江·七年级统考期末）如图所示，、分别是、的平分线，且，则的度数是 ． 【答案】 【分析】利用角的平分线的性质计算． 【详解】解：∵是的平分线，，∴， 又∵是的平分线，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查与角平分线有关的角的计算．解题的关键是先找出角与角之间的关系，再运算． 例3．（2023秋·湖北七年级期中）如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ．    【答案】 【分析】由角的和差关系可得，根据角的平分线的行医可得，，结合即可求解． 【详解】解：∵，，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出、、的度数和得出． 例4．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：① ；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．    【答案】①②④ 【分析】①根据平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出，得出，即可得出结论；③无法证明；④根据，得出，，即可得出结论． 【详解】解：①∵平分，平分，平分， ∴，，， ，， 即，故①正确； ②∵ ，， ∴，故②正确；③与不一定相等，故③错误； ④根据解析②可知，，∴， ∵，∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④． 【点睛】本题考查角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出是解题的关键． 例5．（2023·湖北七年级课时练习）如图所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，则∠AOA4的大小为（    ） A．1° B．2° C．4° D．8° 【答案】C 【分析】根据角平分线定义求出∠AOA1=∠AOB=32°，同理即可求出答案． 【详解】∵∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，∴∠AOA1=∠AOB=32°， ∵OA2平分∠AOA1，∴∠AOA2=∠AOA1=16°，同理∠AOA3=8°，∠AOA4=4°，故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的应用，掌握角平分线的定义是关键． 例6．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或，故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 例7．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．(1)求的度数；(2)如果．①求的度数；②若，直接写出的度数． 【答案】(1)；(2)①；②或． 【分析】（1）由角平分线定义可知，，再根据和可得结果；（2）①利用角之间的和差关系求解即可；②分当在上方时，当在下方时，利用角之间的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，分别平分和，∴，， 则， ∵，∴； （2）①∵，，∴， 由（1）可知，，则， ∴， ②由①可知，，∵平分，∴， 当在上方时，； 当在下方时，；综上，为或． 【点睛】本题考查角平分线的定义，利用角的和差关系求解的度数，解决问题的关键在于结合图形，找角之间的和差关系． 例8．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）．①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 【答案】（1）；（2）①；②不变，见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算． （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； （3）设，则，根据题意得出，，列出方程，求得，，进而得出答案． 【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且， 所以，，所以．所以． （2）①因为，分别为和的三倍分线（，）， 所以，， 因为，所以，所以，， 所以，，所以． ②不变．理由如下：因为，分别为和的三倍分线，，， 所以，， 所以； （3）设，因为，所以， 因为所在射线恰好分别为和的三倍分线，，， 所以，，因为， 所以，所以， 所以，，所以． 1．（2023北京市昌平区七年级月考）如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和三等分线分析求解即可. 【详解】解：∵射线OD，OE三等分∠AOB，∴ ∵OF平分∠AOD，OC平分∠AOB， ∴ 又∵射线OD，OE三等分∠AOB，∴ ∴,共3个故选C. 【点睛】利用角平分线和角的三等分点证明角的等量关系是本题的解题关键. 2．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．    【答案】 【分析】设，则，，由角平分线的定义得出，，，然后再逐项分析即可得到答案． 【详解】解：设， ，， ，， 平分，平分，平分， ，，， ，故正确，符合题意； ， 度数未知，与不一定互补，故错误，不符合题意； ，故正确，符合题意； ，， ，故正确，符合题意； 综上所述，正确的有：，故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 3．（2023秋·贵州铜仁·七年级期末）如图，已知射线在内部，平分，平分．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义，由平分，平分，得，推断出，从而求得． 【详解】解：∵平分，平分，∴． ∴． ∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键． 4．（2023春·安徽合肥·七年级校考开学考试）平面内，，为内部一点，射线平分，射线平分，射线平分，当时，的度数是 ． 【答案】 【分析】首先根据角平分线的定义可得，再设，用含的代数式表示出和，根据题意列出方程可得答案． 【详解】解：当在外部时，    射线平分，射找平分，，， ， 射线平分，，设，则，， ，解得，∴； 当在内部时，    射线平分，射找平分， ，，， 射线平分，， 设，则，， ，解得：，不合题意； 综上，．故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生计算能力和推理能力，注意要分类讨论． 5．（2023·江苏七年级月考）根据要求，回答下列问题： (1)如图①，，是的平分线，，分别平分，，求的度数．(2)如图②，在（1）中，把“是的平分线”改为“是内任意一条射线”，其他条件都不变，试求的度数．(3)如图③，在（1）中，若把“是的平分线”改为“是外任意一条射线”，其他条件都不变，能否求出的度数？请说明理由．(4)在（2）（3）中，若把“”改为“”，其他条件不变，的度数是多少？请直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见解析 (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出结果即可； （2）根据，分别平分，，得出，，即可得出答案； （3），分别平分，，得出，，根据求出结果； （4）分情况讨论，当是内任意一条射线时，当是外任意一条射线时，求出结果，最后得出结论即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴． （2）解：∵，分别平分，， ∴，， ∴． （3）解：能，理由如下： ∵，分别平分，， ∴，， ∴ ． （4）解：当是内任意一条射线时， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； 当是外任意一条射线时， ∵，分别平分，， ∴，， ∴ ； 综上分析可知，． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合． 6．（2023春·吉林长春·七年级校考开学考试）如图，已知，在的外部画，然后分别画出与的平分线和． (1)下面的两个图形都符合题意．其中，图①中______度；图②中______度． (2)若，且当时，求；当时，______． 【答案】(1)图①；图② (2)当时，；当时， 【分析】（1）求图①中时，根据角平分线的定义可以推导出，，又因为，，再推导一下即可得出结果；求图②中时，同样根据角平分线的定义可以推导出，，又因为，再推导一下即可得出结果． （2）当时，根据已知条件以及角平分线的定义可以推导出，，又因为，再推导一下可得出结果；当时，根据已知条件以及角平分线的定义可以推导出，，再推导一下即可得出结果． 【详解】（1）两个图形都符合题意，对于图①有， ， ，，； 对于图②有，， ． （2）当时（如图①）， ，， 平分，平分，， ，，； 当时（如图②）， ，平分，平分， ， ． 【点睛】本题综合运用了角平分线的定义及角的和差计算方法，熟记角平分线的定义以及熟练角的和差计算是解题的关键． 7．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）已知，． (1)如图1，若，在的左侧，则_____________； (2)如图2，平分，平分，求． 【答案】(1)或(2) 【分析】（1）分两种情况进行解答：当在左侧时；当在右侧时； （2）设，先求出，再根据角平分线的定义得出，，最后根据角度之间的和差关系，即可求解． 【详解】（1）解：当在左侧时； ∵，，∴， ∵，∴， 当在右侧时；∵，，∴， ∵，∴，故答案为：或； （2）设，∵，，， ∴， ∵平分，∴， ∴， ∵平分，∴， ∴． 【点睛】本题考查了角度的和差运算，和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角度的运算规律和法则． 8．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，射线在的内部，已知（），与分别是和的平分线． (1)当时，求的度数； (2)当时，则的度数为__________； (3)继续探究，发现与之间存在着一定的数量关系，这个数量关系是：__________． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，再根据求解即可；（2）先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，再根据求解即可； （3）用表示出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，再根据求解即可． 【详解】（1）∵，，∴， ∵与分别是和的平分线，∴， ∴； （2）∵，，∴， ∵与分别是和的平分线，∴， ∴；故答案为：； （3）∵，∴， ∵与分别是和的平分线，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．（2023秋·陕西榆林·七年级统考期末）如图，已知内有三条射线，其中平分角，平分 (1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若，求的度数；（用含的代数式表示）；(3)若将题中的“平分”的条件改为“，，且”，其他条件不变，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，进而得出，代入数据计算即可；（2）根据（1）中的结论进行求解即可； （3）根据题意，，进而得出． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，∴； （2）由（1）可知，； （3）∵，∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的相关计算，角度的和差倍分等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 10．（2023秋·江西南昌·七年级统考期末）已知点C在直线上，射线，在直线的同一侧． (1)如图1，若，，则__________度； (2)如图2，若平分，平分，，求的度数； (3)如图3，若平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用平角的定义直接计算即可；（2）设，，，根据角平分线的定义得到，，利用平角的定义列方程求出x值，从而根据求出结果；（3）设，表示出，根据角平分线的定义得到，，再利用得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴，故答案为：； （2）∵，∴设，，， ∵平分，平分，∴，， ∴，即，解得：， ∴； （3）设，则， ∵，则， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的计算，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 11．（2023·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且，．    (1)如图1，若平分，求的度数；(2)如图2，在（1）的条件下，平分，过点O作射线，求的度数；(3)如图3，若在内部作一射线，若，，试判断与的数量关系． 【答案】(1)(2)或(3) 【分析】（1）根据角平分线定义和周角是可得的度数； （2）分两种情况：当在下方时；当在上方时，计算即可； （3）由，，设，则，再结合角平分线的性质可用表达出的度数，求出与的度数． 【详解】（1）平分，， ，． （2）当在下方时，    平分，，， ，，， ． 当在上方时，    平分，，， ，， ，， ； （3）设，则， ， ，， ， ，． 【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的性质等知识，结合图形找到角度之间的和差关系是解题关键． 12．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，已知，平分，平分．    (1)求的度数；(2)如果，那么是多少度？ (3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示) 【答案】(1)(2)(3)； 【分析】（1）根据角平分线的定义结合图形，可得，进而即可求解； （2）根据题意可得，进而根据角平分线的定义即可求解；（3）同（2）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：，平分，平分， ； （2），， 平分，； （3）， ， 平分，， ． 【点睛】本题考查了几何图形的角度计算，角平分线的定义，数形结合，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 13．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知O为直线上一点，作射线，且平分．    (1)如图1，当均在上方时，若，求的度数； (2)如图2，当在上方，在的下方时，若，求的度数；(3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数． 【答案】(1)(2)(3)图见解析，或 【分析】（1）根据图中角之间位置关系得角之间数量关系，，计算求解． （2）设，则，，由平角建立方程求解，得，，，于是．（3）分情况讨论：当在上方，可求；当在下方，可求得，从而． 【详解】（1）解：， 平分，． ．答：为； （2）设，则，， 由题意得：，解得． ． ，． ．答：的度数是； （3）当在上方，    与互余，． ． ，． 当在下方，    ，，． ．答：是或． 【点睛】本题主要考查角度的计算，根据图形中角之间的位置关系导出角之间的数量关系是解题的关键． 14．（2023·山东·七年级期末）如图所示，已知OB，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD． （1）若∠BOC=25°，∠MOB=15°，∠NOD=10°，求∠AOD的大小； （2）若∠AOD=75°，∠MON=55°，求∠BOC的大小； （3）若∠AOD=α，∠MON=β，求∠BOC的大小(用含α，β的式子表示)． 【答案】（1）∠AOD= 75°；（2）∠BOC=35°；（3）． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠AOB=2∠MOB=30°，∠COD=2∠NOD=20°，然后利用∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD，可得结果； （2）由角的加减可得∠AOM+∠DON的度数，从而求得∠BOM+∠CON，再利用∠BOC=∠MON-（∠BOM+∠CON）可得结果； （3）由OM与ON分别为角平分线，利用角平分线的定义得到两对角相等，根据∠BOC=∠MON-∠BOM-∠CON，等量代换即可表示出∠BOC的大小． 【详解】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD ∴∠AOB=2∠MOB=30°，∠COD=2∠NOD=20° ∴∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=30°+25°+20°=75° （2）∵∠AOD=75°，∠MON=55°， ∴∠AOM+∠DON=∠AOD-∠MON=20°， ∵∠BOM+∠CON=∠AOM+∠DON=20°， ∴∠BOC=∠MON-（∠BOM+∠CON）=55°-20°=35°， （3）∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD， ∴∠AOM=∠BOM=∠AOB，∠CON=∠DON=∠COD， ∵∠BOC=∠MON-∠BOM-∠CON=∠MON-∠AOB-∠COD=∠MON-（∠AOB+∠COD） =∠MON-（∠AOD-∠BOC）=β-（α-∠BOC）=β-α+∠BOC，∴∠BOC=2β-α． 【点睛】此题考查了角的计算，以及角平分线定义，利用了等量代换的思想，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键． 15．（2023·河北沧州·七年级校考期末）已知∠AOB＝90°， （1）如图1，OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠EOD＝64°，则∠BOC是 　 　°； （2）如图2，OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，若∠BOC＝40°，求∠EOD的度数（写推理过程）． （3）若OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝α（0°＜α＜180°），则∠EOD的度数是 　 　°（在稿纸上画图分析，直接填空）． 【答案】（1）38；（2）45°；（3）45或135． 【分析】（1）根据角平分线的性质求出∠EOD=（∠AOB+∠BOC），代入已知角度计算可求； （2）根据已知得所求∠EOD=∠EOC-∠COD，而∠COD=∠BOC，∠EOC=∠AOC，相减得出所求； （3）分析两种可能性，当0°＜α＜90°时和90°＜α＜180°时，计算方法同（2）． 【详解】解：（1）∵OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，∴∠EOB=∠AOB，∠BOD=∠BOC， ∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOC），∴∠BOC=2∠EOD-∠AOB=2×64°-90°=38°； （2）由题知∠EOD=∠EOC-∠COD=∠AOC-∠BOC =（∠AOB+∠BOC）-∠BOC=（90°+40°）-×40°，=65°-20°，=45° （3）①若OE或OD至少有一个在∠AOB内部时，如下图， 则∠EOD=∠EOC-∠COD=∠AOC-∠BOC=（∠AOB+∠BOC）-∠BOC=45°； ②若OE和OD都在∠AOB外部时，如下图， 则∠EOD=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=（360°-90°）=135°， 综上∠EOD的度数为45°或135°． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，难点在第三小题要根据α的取值范围分情况讨论． 16．（2024·河南新乡·七年级校考期末）如图所示，已知，平分，与互补． (1)求的度数；(2)点M为内一点，且，求的度数． 【答案】(1)；(2)或． 【分析】（1）根据角平分线的性质，得到，再根据互补的性质，得到，又因为，即可求出的度数； （2）根据题意可知，，分两种情况讨论：①点M为内一点；②点M为外一点，分别计算即可求出的度数． 【详解】（1）解：平分，， ，，与互补，， ，，； （2）解：平分，，， ，，， ①如图1，当点M为内一点时，； ②如图2，当点M为外一点时，， 综上可知，的度数为或． 【点睛】本题考查了补角，角平分线的定义，角的计算，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 17．（2023·广东惠州·七年级校考阶段练习）已知:和是直角．（1）如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系；（2）如图2，当射线射线都在外部时，过点作射线，射线，满足，，求的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若不存在，请说明理由，若存在，求出的度数． 【答案】（1），详见解析；（2）；（3）的度数是或 【分析】（1）根据角与角之间的关系进行转换，证明； （2）利用角度之间的倍数关系，设，然后用表示、、，最后加起来就可以算出；（3）分情况讨论，射线在内部或者外部，再根据比例关系求出的度数． 【详解】解：（1） ， 证明：和是直角，， ，，同理：， ，； （2）解：设，则， ，， ， ， ，， ，， 答：的度数是； （3）①如图，当射线在内部时， ，， 如图，当射线在外部时， ，， 综上所述，的度数是或． 【点睛】本题考查角度的计算，解题的关键是找到图象中角与角之间的联系，进行列式求解，需要注意最后一问要进行分类讨论． 18．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)(2)所以当射线在的内部时，；当射线在的外部时，． 【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线的位置，所以需要分类讨论：若射线在的内部时，根据角平分线定义得出，，求出；若射线在的外部时，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）∵，平分，∴ ∵分别平分，．∴ ∴． （2）若射线在的内部，如图2 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的内部时，． 若射线在外部时，如图3 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的外部时，． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键． 19．（2024·浙江·七年级专题练习）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线． (1)如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数． (2)点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t． ①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数． 【答案】(1)∠AOC的度数为40°或80°；(2)①：t=或；②∠BOD=度 【分析】（1）分两种情况讨论，列式计算即可；（2）①分两种情况讨论，列式计算即可； ②计算得到∠COD=8t-180°，分两种情况讨论，列式计算即可． 【详解】（1）解： OC是∠AOB的三等分线，当∠AOC=∠AOB时，如图： ∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠AOB=80°； 当∠AOC=∠AOB时，如图： ∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠AOB=40°； 综上，∠AOC的度数为40°或80°； （2）解：①∵OC是∠AOD的三等分线，∴OC在∠AOD内， 依题意得：(180°-5t)3=3t或(180°-5t)3×2=3t，解得：t=或； ②∵OC是∠BOD的三等分线，∴OC在∠BOD内， ∵∠BOD+∠AOC=180°-∠COD，∠AOC=3t，∠BOD=5t，∴∠COD=8t-180°， 依题意得：(8t-180°) ×3=5t或(8t-180°)×=5t，解得：t=或； ∴∠BOD=度或度（舍去）． 【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三等分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． 20．（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可知，，再根据求解即可； （2）由（1）同理可知，即可求解； （3）由（1）同理可知，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：由（1）可知； （3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$