专题05 线段、角（对角线）的计数模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版2024）

专题05 线段、角（对角线）的计数模型 本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面分割的计数、多边形的对角线条数和三角形分割个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。 2 模型1.线段的计数模型 2 模型2.角度的计数模型 5 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 9 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 12 16 模型1.线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 例1．（2023·广东深圳·七年级校联考期末）直线a上有5个不同的点A、B、C、D、E，则该直线上共有（　　）条线段． A．8 B．9 C．12 D．10 例2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，由淮安始发终点至上海的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：淮安－扬州－泰州－海安－如皋－南通－常熟－太仓－上海，那么要为这次列车制作的单程火车票有 种． 例3．（2023秋·湖南长沙·七年级校考期末）2022年12月26日上午10时06分，渝厦高铁常德至益阳段开通运营。某列车从常德至长沙运行途中停靠的车站依次是：常德—常德汉寿—益阳南—宁乡西—长沙南，59分钟即可抵达长沙，这标志着渝厦高铁常益长段实现了全线开通。每两站之间由于方向不同，车票也不同，那么铁路运营公司要为常德至长沙南往返最多需要准备（    ）张车票. A．10 B．15 C．20 D．30 例4．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）阅读理解题 问题：在一条直线上有A，B，C，D四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？ 要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有，，共3条，同样以B为端点，以C为端点，以D为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有6条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有_________条线段；若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有_________条线段． 知识迁移：两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有_________个交点，n条直线相交最多有_________个交点． 学以致用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握手一次问好，全班同学共握手______次． 例5．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛? 【构建模型】生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5 个点（任意 3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队， 两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校共要安排 场比赛； (2)根据图②的规律，若学校有 n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛； 【类比迁移】(3)从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 个角； 【实际应用】(4)往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种? 模型2.角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 例1．（2023春·浙江·七年级课堂例题）图中角的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 例2．（2023·山东青岛·七年级校考期末）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角 个． 例3．（23-24七年级上·广东·课后作业）归纳与猜想： （1）观察上图填空：图中有个 角；图中有 个角；图中有 个角； （2）根据（1）题猜想：在一个角内引条射线可组成 个角．    例4．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 例1．（2023春·上海徐汇·七年级校考期中）同一平面内画9条直线，最多能画出 个交点． 例2．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（    ）个部分． A．或 B． C．或 D． 例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（    ） A． B． C． D． 例4．（23-24七年级上·四川雅安·期末）为了解决“经过平面上的100个点中的任意两点最多能画出多少条直线”这个问题，数学课外兴趣小组的同学们讨论得出如下方法：当时，画出最多直线的条数分别是：    过两点画一条直线，三点在原来的基础上增加一个点，它与原来两点分别画一条直线，即增加两条直线，以此类推，平面上的10个点最多能画出条直线. 请你比照上述方法，解决下列问题：（要求作图分析） （1）平面上的20条直线最多有多少个交点？（2）平面上的100条直线最多可以把平面分成多少个部分？平面上条直线最多可以把平面分成多少个部分？ 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 例1．（23-24七年级上·广东佛山·期中）一个多边形从一个顶点引出的对角线条数是6条，则这个多边形的边数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 例2．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）一个多边形从一个顶点引出的对角线将它分成7个三角形，它是 边形. 例3．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）五边形的对角线一共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 例4．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线，如，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么，n边形有 条对角线． 例 5．（2023春·重庆七年级月考）乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 … n 从一个顶点出发 的对角线的条数 1 2 3 4 5 … ________ 多边形对角线 的总条数 2 5 9 14 20 … ________ (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整； (2)实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ (3)类比归纳：乐乐认为(1)，(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现． 1．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）平面上4条直线相交，交点的个数是(　　) A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个、5个或6个 2．（2023·湖北七年级月考）如图，线段在线段上，且，若线段的长度是一个正整数，则图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（　　　） A． B． C． D．不能确定 3．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）平面内有条不重合的直线，这条直线把整个平面最少分成个部分，最多分成个部分．若，则的值为（    ） A．47 B．48 C．49 D．50 4．（2023秋·广东八年级课时练习）已知过多边形的某一个顶点可以作2023条对角线（不是一共有2023条对角线），则这个多边形的边数是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．（2023春·安徽滁州·七年级校考开学考试）乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票价格最多有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．（22-23七年级上·贵州遵义·期末）如图，在同一平面内，两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有6个交点；…．照此规律，当最多的交点个数为45个时，相交的直线是（    ）    A．23条 B．11条 C．10条 D．9条 7．（2023秋·江苏·七年级专题练习）假定有一排蜂房,形状如图,一只蜜蜂在左下角的蜂 房中,由于受伤,只能爬,不能飞,而且只能永远向右方(包括右上、右下)爬行,从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去.则从最初位置爬到4号蜂房中,不同的爬法有(  ) A．4种 B．6种 C．8种 D．10种 8．（2023秋·安徽蚌埠·七年级校联考阶段练习）有蚌埠到无锡往返的某一次列车,运行途中停靠的车站依次是：蚌埠南京常州无锡,那么要为这次列车制作的火车票有( ) A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 9．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（　　） A．46个 B．55个 C．56个 D．67个 10．（2023秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图①，若在的内部以为端点做一条射线，得到个角；如图②，若在的内部以为端点做两条射线和，得到个角……，以此类推，如果在的内部以为端点做条射线，则图③中角的个数为（    ） A． B． C． D． 11．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如图，总共有 个角． 12．（2023秋·浙江·七年级专题练习）（1）数一数图①中共有 个角，图②中共有 个角；图③中共有 个角．（2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的规律吗？ 13．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面最多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则= ． 14．（23-24七年级上·重庆·课堂例题）观察图，完成下列问题：    (1)如图①，内部有一条射线，则图中有 个角； (2)如图②，内部有两条射线，，则图中有___________个角； (3)如果内部有10条射线，那么图中有________________个角． 15．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）如图，已知C，D是线段AB上的两点，，． (1)图中以点A，B，C，D中任意两点为端点的线段共有　　条； (2)设，求的长． 16．（2023春·广东七年级期中）四边形有几条对角线？五边形、六边形呢？试猜想，边形有多少条对角线？运用你的猜想解决下列问题． (1)十二边形有多少条对角线？(2)一个多边形有条对角线，这个多边形是几边形？ (3)小明经计算得出一个多边形有条对角线，他的计算正确吗？ (4)有条对角线的多边形的内角和是多少度？ (5)你能说明你的猜想吗？相信你能行，别忘了求助你的同学和老师． 17．（2023秋·广东七年级月考）阅读下面的文字，完成题目中的问题： 阅读材料：①平面上没有直线时，整个平面是部分； ②当平面上有一条直线时，就把平面分成部分； ③当平面上有两条直线时，最多把平面分成部分； ④当平面上有三条直线时，最多可以把平面分成部分；． 完成下列问题：(1)根据上述事实填写下表： 平面上直线的条数 平面最多被分为几部分 (2)观察上表平面被分成的部分，它们的差是否有规律如果有，请你指出来． (3)平面被分成的部分也有规律，请你根据（2）中的结论写出“平面最多被分成几部分”的规律． (4)一块蛋糕要分给位小朋友，你至少要切几刀 18．（2023秋·广东七年级月考）如图，在中，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中便有6个不同的三角形…… (1)完成下表： 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 (2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？(3)若一直连接到，则图中共有多少个三角形？ 19．（2023秋·山东七年级月考）如图所示，将类似于下面的图形称做平面图，其顶点数、边数与区域数之间存在某种关系．观察各图和表中对应的部分数值．探究规律并作答． 图 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 顶点数 4 5 6 8 区域数 3 4 5 6 边数 6 8 9 15 （1）数一数每个图中的顶点数，边数，这些边围出的区域数，完成上面的表格； （2）根据表中数值，猜想平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系，直接写出你的结论； （3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，则这个平面图的边数为 ． 20．（23-24七年级上·四川泸州·期末）阅读理解题 问题：在一条直线上有A，B，C，D四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？ 要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有，，共3条，同样以B为端点，以C为端点，以D为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有6条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有_________条线段；若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有_________条线段． 知识迁移：两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有_________个交点，n条直线相交最多有_________个交点． 学以致用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握手一次问好，全班同学共握手_________次． 21．（2023春·江苏年级期中）同一平面内条直线把平面分成两个部分（或区域）；条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？请分别画出图来．由此可知条直线最多可将平面分成几个部分？ 22．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）观察图形，按规律填空，找出边形的对角线的总数． 图形 每个顶点对角线条数（条） 对角线总条数（条） 三角形   0 0 四边形   1 五边形   2 六边形 3 ______ 10边形 ______ ______ …… …… …… 边形 ______ ______ 23．（22-23八年级上·陕西西安·期中）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．三角形的内角和是180º，那么，四边形的内角和是多少度呢？如图，作四边形的对角线，它把四边形分成两个三角形，四边形的四个角的和就是这两个三角形的内角的和，因此，四边形的内角和等于． (1)过五边形一个顶点的对角线，可以把五边形分成几个三角形？它的内角和是多少度？ (2)对于六边形呢？七边形呢？……过n边形一个顶点的所有对角线，可以把n边形分成多少个三角形？n边形的内角和是多少度？ 24．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． ．．．．．．．．．．．． 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和，∴_________．则_______． (2)运用规律，计算表达．①求_____________． ②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条． (3)迁移规律，解决问题．①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班． ②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条． ③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？ 25．（2023·山东青岛·七年级统考期末）【问题提出】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： (1)探究一：将一条线段上随机设置n个点，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1，当n＝0时，图中线段有：线段AB，共1条线段； 如图2，当n＝1时，以A为端点的线段有：线段AC和线段AB，共2条线段；以C为端点的有：线段CB，共1条线段，故图中共有条线段； 如图3，当n＝2时，以A为端点的线段有：线段AC，线段AD和线段AB，共3条线段；以C为端点的有：线段CD和线段CB，共2条线段；以D为端点的有：线段DB，共1条线段，故图中共有条线段；…… 小结：当随机设置了n个点后，一共可以形成 　 　条线段．（用含n的代数式表示） (2)探究二：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，则一共有多少个长方形（包括正方形）？ 首先我们先探究宽上不设置点的情况． 如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形． 如图4﹣2，当，时，图中一共有3个长方形． 如图4﹣3，当，时，图中一共有6个长方形．…… 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有 　 　个长方形．（用含m的代数式表示） 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有 　 　个长方形．（用含n的代数式表示） 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有9个长方形（包括正方形）． 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有36个长方形（包括正方形）．…… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（用含m、n的代数式表示） 【问题解决】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 线段、角（对角线）的计数模型 本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面分割的计数、多边形的对角线条数和三角形分割个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。 2 模型1.线段的计数模型 2 模型2.角度的计数模型 5 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 9 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 12 16 模型1.线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 例1．（2023·广东深圳·七年级校联考期末）直线a上有5个不同的点A、B、C、D、E，则该直线上共有（　　）条线段． A．8 B．9 C．12 D．10 【答案】D 【分析】画出图形，直线上有5个点，每两个点作为线段的端点，即任取其中的两点即可得到一条线段，可以得出共有10条． 【详解】解：根据题意画图： 由图可知有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10条．故选D． 【点睛】本题的实质是考查线段的表示方法，是最基本的知识，比较简单． 例2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，由淮安始发终点至上海的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：淮安－扬州－泰州－海安－如皋－南通－常熟－太仓－上海，那么要为这次列车制作的单程火车票有 种． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的数量问题；单程两个站点有一种票，相当于图中线段条数问题，根据计算即可． 【详解】解：（种），∴要为这次列车制作的单程火车票种．故答案为：． 例3．（2023秋·湖南长沙·七年级校考期末）2022年12月26日上午10时06分，渝厦高铁常德至益阳段开通运营。某列车从常德至长沙运行途中停靠的车站依次是：常德—常德汉寿—益阳南—宁乡西—长沙南，59分钟即可抵达长沙，这标志着渝厦高铁常益长段实现了全线开通。每两站之间由于方向不同，车票也不同，那么铁路运营公司要为常德至长沙南往返最多需要准备（    ）张车票. A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【分析】将每一个车站看作一个点，铁路线为线段，求出所有线段条数的2倍即可． 【详解】解：如图， 图中线段的条数为（条）， 由于车票往返的不同，因此需要制作火车票的种类为（种），故选：C． 【点睛】本题考查线段、直线、射线，掌握线段条数的计算方法是解决问题的关键． 例4．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）阅读理解题 问题：在一条直线上有A，B，C，D四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？ 要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有，，共3条，同样以B为端点，以C为端点，以D为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有6条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有_________条线段；若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有_________条线段． 知识迁移：两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有_________个交点，n条直线相交最多有_________个交点． 学以致用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握手一次问好，全班同学共握手______次． 【答案】10，，6，，990 【分析】问题：根据线段的定义进行求解即可； 知识迁移：根据线段的性质进行求解即可；学以致用：当时，代入求值即可． 【详解】解：问题：若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有条线段； 若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有条线段，故答案为：10，； 知识迁移：四条直线相交最多有6个交点，n条直线相交最多有个交点，故答案为：6，； 学以致用：当时，（次），故答案为：990． 【点睛】本题考查线段的计数问题，解题的关键是找出规律． 例5．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛? 【构建模型】生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5 个点（任意 3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队， 两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校共要安排 场比赛； (2)根据图②的规律，若学校有 n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛； 【类比迁移】(3)从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 个角； 【实际应用】(4)往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种? 【答案】(1)10，10(2)15(3)15(4)20 【分析】本题考查了归纳总结和配对问题，涉及列代数式及其求值、有理数的运算，求出关于n的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键．（1）根据图①线段数量进行作答．（2）根据图②线段数量进行作答． （3）根据每条射线与其他各射线都可有个角，每条射线都数两次，当时即可计算出角的个数． （4）根据题意，代入求解即可． 【详解】（1）由图①可知，图中实际共有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． 故答案为：10，10； （2）由图②可知，图中实际共有条线段，所以该校一共要安排15场比赛． 故答案为：15； （3）从同一个顶点引出6条射线，共可以组成个角，故答案为：15． （4）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况 将代入 中，得∴要准备车票的种数为20种． 模型2.角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 例1．（2023春·浙江·七年级课堂例题）图中角的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据角的定义可进行求解． 【详解】解：图中属于角的有：；共6个；故选D． 【点睛】本题主要考查角的定义，熟练掌握角的定义是解题的关键． 例2．（2023·山东青岛·七年级校考期末）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角 个． 【答案】66 【分析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题． 【详解】解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2=3个锐角； 在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3=6个锐角； 在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4=10个锐角；… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+（n+1）=×（n+1）×（n+2）， ∴画10条不同射线，可得锐角×（10+1）×（10+2）=66．故答案为：66． 例3．（23-24七年级上·广东·课后作业）归纳与猜想： （1）观察上图填空：图中有个 角；图中有 个角；图中有 个角； （2）根据（1）题猜想：在一个角内引条射线可组成 个角．    【答案】 【分析】根据角的定义，固定一条射线，剩余射线的条数即为可以与这条固定射线组成的角的个数． 【详解】    如图所示，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角． 如图所示，射线可以与射线，，组成个角，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角． 如图所示，射线可以与射线，，，组成个角，射线可以与射线，，组成个角，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角． 在一个角内引条射线，则共有条射线，可以组成的角的个数． 故答案为： ， ， ，． 【点睛】本题主要考查角的定义，牢记角的定义（有公共端点的两条射线组成的图形叫做角）是解题的关键． 例4．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③(2) 【分析】（1）①②根据角的概念求出即可；③根据①②分析得出的规律求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ，∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ，∴图中得到6个角； ③由①②可得，当从点分别引条射线，，∴得到个角； （2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛． 【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 例1．（2023春·上海徐汇·七年级校考期中）同一平面内画9条直线，最多能画出 个交点． 【答案】36 【分析】从简单情形考虑：分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】2条直线相交最多有1个交点；3条直线相交最多有个交点； 4条直线相交最多有个交点；5条直线相交最多有个交点； 6条直线相交最多有个交点；… 所以n条直线相交最多有个交点；当时，．故答案：36． 【点睛】本题考查相交线和图形的变化规律，解答此题的关键是找出其中的规律，利用规律解决问题． 例2．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（    ）个部分． A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形即可． 【详解】如图，    所以，平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了或个部分，故选：． 【点睛】此题考查了相交线，关键是根据直线交点个数的问题，找出规律，解决问题． 例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由2条直线相交时最多有1个交点、3条直线相交时最多有1+2=3个交点、4条直线相交时最多有1+2+3=6个交点，可得5条直线相交时交点数为1+2+3+4、6条直线相交时交点数为1+2+3+4+5、7条直线相交时交点数为1+2+3+4+5+6，可知n条直线相交，交点最多有． 【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；3条直线相交时，最多有1+2=3个交点； 4条直线相交时，最多有1+2+3=6个交点；…∴5条直线相交时，最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交时，最多有1+2+3+4+5=15个交点；7条直线相交时，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点； n条直线相交，交点最多有．故选A． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中相交点数量得出：n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n-1个是解题的关键． 例4．（23-24七年级上·四川雅安·期末）为了解决“经过平面上的100个点中的任意两点最多能画出多少条直线”这个问题，数学课外兴趣小组的同学们讨论得出如下方法：当时，画出最多直线的条数分别是：    过两点画一条直线，三点在原来的基础上增加一个点，它与原来两点分别画一条直线，即增加两条直线，以此类推，平面上的10个点最多能画出条直线. 请你比照上述方法，解决下列问题：（要求作图分析） （1）平面上的20条直线最多有多少个交点？（2）平面上的100条直线最多可以把平面分成多少个部分？平面上条直线最多可以把平面分成多少个部分？ 【答案】（1）20条直线最多有1＋2＋3＋…＋19=190个交点；（2）5051部分，部分 【分析】（1）根据题意当有2,3,4条直线时，作图可得到最多交点的个数，找到规律即可得到20条直线可得到最多交点的个数； （2）根据题意当有1，2,3条直线时，作图可得到最多可把平面分成的部分个数，找到规律即可得到100条直线最多可以把平面分成的部分个数，进而找到平面上条直线最多可以把平面平面分成的部分个数. 【详解】解：（1）如图，当有2,3,4条直线时最多交点的个数分别是：1,3,6 ∵1=1,3=1+2,6=1+2+3，∴20条直线最多有1＋2＋3＋…＋19=190个交点；    （2）当有1,2,3条直线时最多可把平面分成的部分分别是：2,4,7        ∵2 =1+1           4=1+(1+2)       7=1+(1+2+3) ∴100条直线最多可把平面分成1＋（1＋2＋3＋…＋100）=5051个部分 同理n条直线最多可把平面分成1＋（1＋2＋3＋…＋n）=. 【点睛】此题主要考查图形的规律探索，解题的关键是根据题意作出图形找到规律求解. 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 例1．（23-24七年级上·广东佛山·期中）一个多边形从一个顶点引出的对角线条数是6条，则这个多边形的边数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线问题，掌握从n边形的一个顶点出发可以引条对角线是解题关键． 【详解】解：一个多边形从一个顶点引出的对角线条数是6条， 则这个多边形的边数是，故选：C． 例2．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）一个多边形从一个顶点引出的对角线将它分成7个三角形，它是 边形. 【答案】九 【分析】经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数，再求出对角线．本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解． 【详解】解：设多边形有条边，则，解得：． 所以这个多边形的边数是9，故答案为：九． 例3．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）五边形的对角线一共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】A 【分析】利用n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线．从n个顶点出发引出(n−3)条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n(n−3)（n≥3，且n为整数）计算． 【详解】解：五边形的对角线共有5×(5−3)=5，故选A． 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握多边形的对角线的算法． 例4．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线，如，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么，n边形有 条对角线． 【答案】 【分析】根据对角线的定义，得到从一个顶点出发，该顶点可以与除去它本身和与它相邻的两个点之外的任意一个顶点形成对角线，得到从n边形的一个顶点出发有条对角线，进行求解即可． 【详解】解：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线，可知， 从n边形的一个顶点出发有条对角线，∵n边形有个顶点， 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线， ∴n边形有条对角线．故答案为：． 【点睛】本题考查求多边形对角线的条数．理解并掌握多边形的对角线的定义，是解题的关键． 例 5．（2023春·重庆七年级月考）乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 … n 从一个顶点出发 的对角线的条数 1 2 3 4 5 … ________ 多边形对角线 的总条数 2 5 9 14 20 … ________ (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整； (2)实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ (3)类比归纳：乐乐认为(1)，(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现． 【答案】(1)n－3，n(n－3)；(2) 135个；(3) 每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点. 【分析】（1）依据图形以及表格中的变换规律，即可得到结论； （2）依据数学社团有18名同学，即可得到数学社团的同学们一共将拨打电话数量； （3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点，进而得到每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n-3）个电话，据此进行判断． 【详解】解：（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3，多边形对角线的总条数为n（n-3）；故答案为n-3，n（n-3）； （2）∵3×6=18，∴数学社团的同学们一共将拨打电话为×18×（18-3）=135（个）； (3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点； 每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n－3)个电话； 两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为n(n－3)； 数学社团有18名同学，当n＝18时，×18×(18－3)＝135. 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）（n≥3，且n为整数）． 1．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）平面上4条直线相交，交点的个数是(　　) A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个、5个或6个 【答案】D 【分析】根据题目含义，本题可分成三种种情况讨论：①有四条直线交于一点；②有三条直线交于一点；③至多两条直线交于同一点，即可求得答案. 【详解】解：①有当四条直线交于1点.该情况有1个交点； ②有三条直线交于一点，此时有两种情况：一是第四条直线与相交的三条直线中的一条平行，则产生3个交点；二是第四条直线与这三条直线都不平行，则产生4个交点.该情况有3个交点或者4个交点； ③至多两条直线交于同一点，此时有两种情况：一是另两条直线平行，产生5个交点；二是另两条直线不平行，产生6个交点.该情况有5个交点或者6个交点； 综上所述，交点情况有1个、3个、4个、5个或者6个故选D. 【点睛】本题主要考查直线中的规律探索，对同时过一点的直线的条数进行分类讨论是解题的关键. 2．（2023·湖北七年级月考）如图，线段在线段上，且，若线段的长度是一个正整数，则图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（　　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】写出所有线段之和为AC+AD+AB+CD+CB+BD=AC+AC+3+AC+3+BD+3+3+BD+BD=12+3（AB-CD）=3（AB+1）， 从而确定这个结果是3的倍数，即可求解． 【详解】解：所有线段之和=AC+AD+AB+CD+CB+BD， ∵CD=3，∴所有线段之和=AC+AC+3+AC+3+BD+3+3+BD+BD=12+3（AC+BD）=12+3（AB-CD）=12+3（AB-3）=3AB+3=3（AB+1），∵AB是正整数，∴所有线段之和是3的倍数，故选：C． 【点睛】本题考查线段的和差、线段计数，根据图形写出所有线段之和是解题的关键． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）平面内有条不重合的直线，这条直线把整个平面最少分成个部分，最多分成个部分．若，则的值为（    ） A．47 B．48 C．49 D．50 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律探索，代数式求值，解题的关键是根据题意得出同一平面内n条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分，然后代入数据求出结果即可． 【详解】解：同一平面内2条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分， 同一平面内3条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分， 同一平面内4条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分， …… 同一平面内n条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分， ∴，， ∵， ∴， ∵当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴符合题意， 故选：B． 4．（2023秋·广东八年级课时练习）已知过多边形的某一个顶点可以作2023条对角线（不是一共有2023条对角线），则这个多边形的边数是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】根据从n边形的一个顶点出发可以引条对角线进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n． 根据题意，得，解得．答案：D． 【点睛】本题考查了多边形对角线问题，熟知从n边形的一个顶点出发可以引条对角线是解题的关键． 5．（2023春·安徽滁州·七年级校考开学考试）乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票价格最多有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据题意确定出数学模型，五点确定出线段的条数，计算即可得出答案． 【详解】根据题意得：从济南西站到枣庄站这段线路的火车票价格最多有：种 故选C． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，从实际问题中抽象出数学模型是解题的关键． 6．（22-23七年级上·贵州遵义·期末）如图，在同一平面内，两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有6个交点；…．照此规律，当最多的交点个数为45个时，相交的直线是（    ）    A．23条 B．11条 C．10条 D．9条 【答案】C 【分析】根据两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有个交点；四条直线相交，最多有个交点；得出n条直线相交有个交点． 【详解】解：∵两条直线相交，有1个交点； 三条直线相交，最多有个交点； 四条直线相交，最多有个交点； …… n条直线相交，最多有个交点． ∴当最多的交点个数为45个时，即， ∴， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直线交点个数问题，解题的关键是根据已知图形，找出规律，n条直线相交最多有个交点． 7．（2023秋·江苏·七年级专题练习）假定有一排蜂房,形状如图,一只蜜蜂在左下角的蜂 房中,由于受伤,只能爬,不能飞,而且只能永远向右方(包括右上、右下)爬行,从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去.则从最初位置爬到4号蜂房中,不同的爬法有(  ) A．4种 B．6种 C．8种 D．10种 【答案】C 【分析】解本题需要罗列符合条件的全部情况，列举时要按一定的顺序，做到不重不漏． 【详解】根据题意，结合图形，依次罗列符合条件的情况，即可得答案． 解：根据题意，符合题意要求的路线为134，124，1234，0134，0124，01234，024，0234共8条；故选C． 【点睛】本题考查了列举法求方案，列举出所有可能是解题的关键． 8．（2023秋·安徽蚌埠·七年级校联考阶段练习）有蚌埠到无锡往返的某一次列车,运行途中停靠的车站依次是：蚌埠南京常州无锡,那么要为这次列车制作的火车票有( ) A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】D 【分析】从蚌埠到无锡要有3站，所以需要制作3种车票，从南京到无锡有2站，需要制作2种车票，常州到无锡有1站，需要制作1种车票，根据上述结论，再根据往返得出答案. 【详解】由分析可知从蚌埠到无锡需要制作3+2+1=6种车票， 往返则需要6×2=12种车票，故选D. 【点睛】本题由实际问题抽象出线段模型，车票的种类即为线段的数量，需要注意单程还是往返. 9．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（　　） A．46个 B．55个 C．56个 D．67个 【答案】C 【分析】根据表中数据，总结出规律，再根据规律解题． 【详解】设直线条数有n条，分成的平面最多有m个． 有以下规律： n             m 1             1+1 2             1+1+2 3             1+1+2+3 ⋯ n    m＝1+1+2+3+…+n＝+1， ∴根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+…+10＝56；故选C． 【点睛】本题考查了过平面上两点有且只有一条直线，体现了数形结合的思想． 10．（2023秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图①，若在的内部以为端点做一条射线，得到个角；如图②，若在的内部以为端点做两条射线和，得到个角……，以此类推，如果在的内部以为端点做条射线，则图③中角的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形，根据图，图得出规律，即可． 【详解】解：图：有条射线，组成个角；图：有条射线，组成个角； ∴当有条射线，组成个角； ∵图有条射线，即，∴组成个角．故选：B． 【点睛】本题考查角的定义，解题的关键是理解角的定义，观察上述图形，找出规律． 11．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如图，总共有 个角． 【答案】10 【分析】根据图形分别表示出所有角即可． 【详解】解：图中的角有：，，，，，，，，，共有10个角．故答案为：10． 【点睛】本题考查了角的概念，正确会表示角，做到不重不漏是关键． 12．（2023秋·浙江·七年级专题练习）（1）数一数图①中共有 个角，图②中共有 个角；图③中共有 个角．（2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的规律吗？ 【答案】（1）3，6，10；（2）第n个图形共有角的个数： 【分析】（1）根据图形直接数出角的个数即可； （2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】解：（1）∵，则图①中共有3个角， ，则图②中共有6个角，，则图③中共有10个角． （2）∵，，， ∴第n个图形共有： ． 【点睛】此题主要考查了数字变化规律，图形的变化规律，根据已知得出数字是连续整数的和是解题关键． 13．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面最多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则= ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究．根据题意，抽象概括出相应的数字规律，n条直线将平面最多分成部分，进而得到，再进行求解即可．解题的关键是得到． 【详解】解：∵1条直线将平面分成部分， 2条直线将平面最多分成部分， 3条直线将平面最多分成部分， 4条直线将平面形多分成部分……， ∴n条直线将平面最多分成部分， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14．（23-24七年级上·重庆·课堂例题）观察图，完成下列问题：    (1)如图①，内部有一条射线，则图中有 个角； (2)如图②，内部有两条射线，，则图中有___________个角； (3)如果内部有10条射线，那么图中有________________个角． 【答案】(1)3 (2)6 (3)66 【分析】（1）根据图①直接数出即可； （2）根据图②直接数出即可； （3）在图②的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在∠AOB内部画n条射线时角的个数． 【详解】（1）解：图①中有，，共3个， 故答案为：3． （2）解：在内部画2条射线，，则图中有、、、、、， 共个不同的角； 故答案为：6． （3）解：按逆时针方向，以射线为角的始边，则题图①中分别以射线为角的终边共有两个角：，；以射线为始边，射线为终边有一个角：，所以题图①中角的个数是； 同理，题图②中角的个数是； 经过观察，可以发现角内部射线的条数总比第一个加数小1， ∴当内部有10条射线时，角的个数是：． 【点睛】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键． 15．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）如图，已知C，D是线段AB上的两点，，． (1)图中以点A，B，C，D中任意两点为端点的线段共有　　条； (2)设，求的长． 【答案】(1)6(2) 【分析】（1）直接列出所有的线段即可作答； （2）由，可得，即有，根据，可得，，即可求出，则问题随之得解． 【详解】（1）线段有：，，，，，共6条，故答案为：6． （2）∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，即．故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的知识；解题的关键是熟练掌握线段中点、线段和差运算的性质，从而完成求解． 16．（2023春·广东七年级期中）四边形有几条对角线？五边形、六边形呢？试猜想，边形有多少条对角线？运用你的猜想解决下列问题． (1)十二边形有多少条对角线？(2)一个多边形有条对角线，这个多边形是几边形？ (3)小明经计算得出一个多边形有条对角线，他的计算正确吗？ (4)有条对角线的多边形的内角和是多少度？ (5)你能说明你的猜想吗？相信你能行，别忘了求助你的同学和老师． 【答案】(1)十二边形有54条对角线(2)一个多边形有条对角线，这个多边形是十边形 (3)错误(4)有条对角线的多边形的内角和是(5)猜想n边形有条对角线 【分析】（1）根据四边形、五边形、六边形对角线条数，总结规律，得出十二边形对角线的条数即可； （2）根据n边形对角线有条，列出方程，求出n的值即可； （3）根据多边形有条对角线求出边数，然后作出判断即可； （4）求出有条对角线的多边形的边数，然后求出内角和即可； （5）根据四边形、五边形、六边形对角线条数，得出n边形对角线条数即可． 【详解】（1）解：四边形有条对角线；五边形有条对角线； 六边形有条对角线；则十二边形有条对角线． （2）解：∵，∴一个多边形有条对角线，这个多边形为十边形． （3）解：∵，， 又∵，∴多边形不可能有171条对角线，∴小明的计算错误． （4）解：∵，∴有条对角线的多边形为八边形， 八边形的内角和为，∴有条对角线的多边形的内角和是． （5）解：四边形有条对角线；五边形有条对角线； 六边形有条对角线；……猜想n边形有条对角线． 【点睛】本题主要考查了多边形对角线问题，多边形内角和公式，解题的关键是根据四边形、五边形、六边形的对角线条数寻找规律，得出n边形有条对角线． 17．（2023秋·广东七年级月考）阅读下面的文字，完成题目中的问题： 阅读材料：①平面上没有直线时，整个平面是部分； ②当平面上有一条直线时，就把平面分成部分； ③当平面上有两条直线时，最多把平面分成部分； ④当平面上有三条直线时，最多可以把平面分成部分；． 完成下列问题：(1)根据上述事实填写下表： 平面上直线的条数 平面最多被分为几部分 (2)观察上表平面被分成的部分，它们的差是否有规律如果有，请你指出来． (3)平面被分成的部分也有规律，请你根据（2）中的结论写出“平面最多被分成几部分”的规律． (4)一块蛋糕要分给位小朋友，你至少要切几刀 【答案】(1)1，2，4，7 (2)有规律，个数上差依次为1，2，3 (3) (4)至少要切4刀 【分析】（1）根据题中的描述进行填写即可；（2）不难发现它们的差是对应的后边直线的条数； （3）根据（1）中的分析解答；（4）根据上述规律进行分析计算． 【详解】（1）原来平面是1部分，则画1条直线最多把平面分成1+1=2个部分，画2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分，画三条直线最多把平面分成了1+1+2+3=7部分，依此类推，平面上有n条直线时，最多把平面分成的部分是．故答案为：1，2，4，7； （2）有规律，由（1）可知，个数上差依次为1，2，3； （3）当有n条直线时，平面被分成部分，即部分； （4）∵，∴把蛋糕分成11部分，则至少要切4刀． 【点睛】此题考查了图形类规律探究，能够从特殊推广到一般发现规律是解答本题的关键．18．（2023秋·广东七年级月考）如图，在中，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中便有6个不同的三角形…… (1)完成下表： 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 (2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？(3)若一直连接到，则图中共有多少个三角形？ 【答案】(1)3，6，10，15，21，28；(2)8；(3) 【分析】(1)根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当上面有3个分点时，有6+4=10；4个分点时，有10+5=15；5个分点时，有15+6=21；6个分点时，有21+7=28；7个分点时，有28+8=36； (2)若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点； (3)若有n个分点，则有()()． 【详解】(1) 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 10 15 21 28 (2)由(1)中表格：7个分点时，有28+8=36；8个分点时，有36+9=45； ∴出现了45个三角形，则共连接了8个点； (3)设连接到AAn时，图中有个三角形(n为正整数)． 观察图形和(1)中表格，可知：=2+1=3，=3+2+1=3，=4+3+2+1=10，， ∴ =()()， ∴若一直连接到，则图中共有()()个三角形． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数． 19．（2023秋·山东七年级月考）如图所示，将类似于下面的图形称做平面图，其顶点数、边数与区域数之间存在某种关系．观察各图和表中对应的部分数值．探究规律并作答． 图 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 顶点数 4 5 6 8 区域数 3 4 5 6 边数 6 8 9 15 （1）数一数每个图中的顶点数，边数，这些边围出的区域数，完成上面的表格； （2）根据表中数值，猜想平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系，直接写出你的结论； （3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，则这个平面图的边数为 ． 【答案】（1）4，12，10；（2）；（3）30 【分析】（1）根据题目所给的图形，补充表格即可； （2）根据表格数据可知顶点数+区域数-1=边数；（3）根据（2）中的关系式求解即可． 【详解】解：（1）填表如下： 图 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 顶点数 4 5 6 8 区域数 3 4 5 6 边数 6 8 9 15 （2）平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系为：； （3）∵，平面图有20个顶点和11个区域， ∴这个平面图的边数为：条，故答案为：． 【点睛】此题考查了计数方法的应用，根据不同的图形分别列举得出规律是解题的关键． 20．（23-24七年级上·四川泸州·期末）阅读理解题 问题：在一条直线上有A，B，C，D四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？ 要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有，，共3条，同样以B为端点，以C为端点，以D为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有6条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有_________条线段；若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有_________条线段． 知识迁移：两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有_________个交点，n条直线相交最多有_________个交点． 学以致用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握手一次问好，全班同学共握手_________次． 【答案】10，，6，，990 【分析】问题：根据线段的定义进行求解即可； 知识迁移：根据线段的性质进行求解即可； 学以致用：当时，代入求值即可． 【详解】解：问题：若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有条线段； 若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有条线段， 故答案为：10，； 知识迁移：四条直线相交最多有6个交点，n条直线相交最多有个交点， 故答案为：6，； 学以致用：当时，（次）， 故答案为：990． 【点睛】本题考查线段的计数问题，解题的关键是找出规律． 21．（2023春·江苏年级期中）同一平面内条直线把平面分成两个部分（或区域）；条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？请分别画出图来．由此可知条直线最多可将平面分成几个部分？ 【答案】条直线最多可将平面分成个部分；条直线最多可将平面分成个部分；条直线最多可将平面分成个部分；分别画出图见解析．由此可知条直线最多可将平面分成个部分 【分析】根据题意，画图分类讨论，由此即可求解． 【详解】解：条直线最多可将平面分成个部分，如图： ； 条直线最多可将平面分成个部分，如图： ； 条直线最多可将平面分成个部分，如图： ， ∴条直线最多分成可将平面分成个部分． 【点睛】本题主要考查平面内直线的位置关系的规律，掌握画图分类讨论，直线的位置关系的规律是解题的关键． 22．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）观察图形，按规律填空，找出边形的对角线的总数． 图形 每个顶点对角线条数（条） 对角线总条数（条） 三角形   0 0 四边形   1 五边形   2 六边形 3 ______ 10边形 ______ ______ …… …… …… 边形 ______ ______ 【答案】，，，， 【分析】本题考查图形的规律问题，解题的关键是仔细分析多边形边数与引出的对角线条数之间关系并找出规律． 【详解】解：三角形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为条； 四边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为条； 五边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为条； 六边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为条； 十边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为条； ； 边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为条． 故答案为：，，，，． 23．（22-23八年级上·陕西西安·期中）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．三角形的内角和是180º，那么，四边形的内角和是多少度呢？如图，作四边形的对角线，它把四边形分成两个三角形，四边形的四个角的和就是这两个三角形的内角的和，因此，四边形的内角和等于． (1)过五边形一个顶点的对角线，可以把五边形分成几个三角形？它的内角和是多少度？ (2)对于六边形呢？七边形呢？……过n边形一个顶点的所有对角线，可以把n边形分成多少个三角形？n边形的内角和是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据五边形可分为三个三角形可得出结论； （2）因为对角线是连结不相邻的两个顶点之间的线段，每一个顶点都有两个相邻的顶点，所以有条对角线，三条边组成一个三角形，故可分成个三角形，问题得解． 【详解】（1）解：过五边形一个顶点的对角线，可以把五边形分成3个三角形，因为每个三角形的内角和为，故五边形的内角和为． （2）解：过六边形一个顶点的对角线，可以把五边形分成4个三角形，因为每个三角形的内角和为，故五边形的内角和为． 过七边形一个顶点的对角线，可以把七边形分成5个三角形，因为每个三角形的内角和为180°，故五边形的内角和为． …… 过n边形一个顶点的对角线，可以把n边形分成个三角形，因为每个三角形的内角和为180°，故n边形的内角和为 【点睛】本题考查的是多边形的内角和，熟知观察出：过n边形一个顶点的对角线将n边形可以分成的三角形的个数比边数少2是解题的关键． 24．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． ．．．．．．．．．．．． 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， ∴_________．则_______． (2)运用规律，计算表达． ①求_____________． ②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条． (3)迁移规律，解决问题． ①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班． ②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条． ③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？ 【答案】(1)，(2)①5047；②，(3)①90；②135；③ 【分析】（1）根据题目中的规律即可求解；（2）①根据（1）中的规律即可求解；②根据规律即可求解；（3）①10个城市每两个城市都要互通航班，据此即可求解；②分别计算横向和竖向的线段条数，即可求解；③利用分类的方法可求得2022年足球世界杯共进行多少场比赛． 【详解】（1）解：．则．故答案为：，； （2）解：①． ②如果该班有名同学，则共击掌次，共赠送祝福语条． 故答案为：①5047；②100；③，； （3）解：①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，10个城市一共需要开通架航班； ②横线上的线段有条，竖线上的线段有条， 则横线和竖线上的线段共有条； ③32支比赛分为8个小组，每个小组4支球队，共有场比赛， 16强分成8组对阵，共有8场比赛， 8强分成4组对阵，共有4场比赛， 4强分成2组对阵，共有2场比赛， 决赛有2场比赛，故共有场比赛． 故答案为：①90；②135；③64． 【点睛】本题考查了探索规律，线段的计数，线段的计数时应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，利用规律解决问题． 25．（2023·山东青岛·七年级统考期末）【问题提出】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： (1)探究一：将一条线段上随机设置n个点，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1，当n＝0时，图中线段有：线段AB，共1条线段； 如图2，当n＝1时，以A为端点的线段有：线段AC和线段AB，共2条线段；以C为端点的有：线段CB，共1条线段，故图中共有条线段； 如图3，当n＝2时，以A为端点的线段有：线段AC，线段AD和线段AB，共3条线段；以C为端点的有：线段CD和线段CB，共2条线段；以D为端点的有：线段DB，共1条线段，故图中共有条线段；…… 小结：当随机设置了n个点后，一共可以形成 　 　条线段．（用含n的代数式表示） (2)探究二：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，则一共有多少个长方形（包括正方形）？ 首先我们先探究宽上不设置点的情况． 如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形． 如图4﹣2，当，时，图中一共有3个长方形． 如图4﹣3，当，时，图中一共有6个长方形．…… 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有 　 　个长方形．（用含m的代数式表示） 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有 　 　个长方形．（用含n的代数式表示） 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有9个长方形（包括正方形）． 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有36个长方形（包括正方形）．…… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（用含m、n的代数式表示） 【问题解决】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果） 【答案】(1)(2)； ；；问题解决：97650 【分析】（1）利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律得出结论，再利用结论将特殊值代入运算即可得出结论．（2）利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律得出结论，再利用结论将特殊值代入运算即可得出结论． 问题解决：利用（2）探究到的规律解答即可． 【详解】（1）解：（1）探究一：如图1，当时，图中线段有1条， 如图2，当时，图中线段有条，如图3，当时，图中线段有条， 同理，当时，图中线段有条， ……， 当随机设置了n个点后，一共有条线段，故答案为：； （2）探究二：如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形， 如图4﹣2，当，时，图中一共有个长方形， 如图4﹣3，当，时，图中一共有个长方形， 同理，当，时，图中共有个长方形， ……， 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有个长方形， 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共个长方形； 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， …… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，长上共形成条线段，宽上共形成 条线段连接各边对应的点，则图中一共有个长方形（包括正方形），故答案为：，，； 问题解决：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点， 则长上共形成条线段，宽上共形成条线段，图中一共有个长方形（包括正方形），故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的变化的规律，列代数式，求代数式的值，有理数的混合运算，利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$