专题05 线段、角（对角线）的计数模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

专题05 线段、角（对角线）的计数模型 本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面分割的计数、多边形的对角线条数和三角形分割个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。 2 模型1.线段的计数模型 2 模型2.角度的计数模型 6 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 9 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 13 17 模型1.线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 例1．（2024·安徽七年级月考）如图，线段上有两点，则图中共有线段（ ）条 A． B． C． D． 例2．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（    ）种． A．4 B．6 C．10 D．12 例3．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）济郑高铁是发改委规划的重要的交通连线．线路走向郑州东－开封－濮阳－山东聊城西－济南西站，线路全长380千米，设计速度350千米/小时，郑济高速铁路全线办理客运业务的车站数为13个，其中，河南段8个、山东段5个：郑州东站－新乡南站－新乡东站－卫辉南站－滑浚站－内黄站－濮阳东站－南乐站－莘县南站－聊城西站－芢平南站－长清站－济南西站，每两站之间由于方向不同，车票也不同，那么铁路运营公司要为郑州东至济南西往返最多需要准备（    ）张车票． A．78 B．117 C．156 D．234 例4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）【问题情境】某时段从北京到上海的京沪高铁线，包括北京站和上海站在内共设有11个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票多少种？你有几种方法？哪个方法更简便？ 【问题解决】（1）小明同学的方法是：从每张票的站点数分步考虑，如果始发站、终点站之间只有一站，那么需一站的票有种，同理，需两站的票有种，需三站的票有种，需四站的票有种，…，以此类推可知，需要印制不同的火车票为______种； （2）小红同学的方法是：从向同一个方向运行角度考虑，第1站可以到达10个站，第2站可以到达9个站，…，以此类推，请列出式子并计算结果； 【问题进阶】（3）若某时段的高铁线，包括始发站和终点站在内共设有（且为正整数）个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，则需要印制不同的火车票______种； （4）某班在春节期间开展短信送祝福活动，每位学生都要给班里其他同学发送一条祝福短信，经班主任统计，活动期间共发送了1560条短信，则这个班级共有______学生 例5．（23-24七年级上·广东深圳·期中）学校体育节要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：    （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，可知一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 实际应用：（4）老师为了让数学兴趣班的同学互相认识，请班上35位同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手_______次． 拓展提高：（5）往返于深圳和潮汕的同一辆高速列车，中途经惠州、陆丰、普宁、潮阳4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备多少种车票：请你求出来． 模型2.角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 例1．（2023秋·重庆七年级课时练习）如图所示，图中共有多少个小于平角的角（    ）    A．10个 B．9个 C．8个 D．4个 例2．（2023秋·四川南充·七年级统考期末）如图，在内部引射线，，，则图中共有 个锐角. 例3．（23-24七年级上·吉林松原·期末）在的内部引一条射线，图中共有3个角；若引两条射线，图中共有6个角；若引n条射线，图中共有 个角． 例4．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 例1．（2023春·浙江七年级期中）已知条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…由此猜想，条直线最多有个交点（　　） A．16 B．28 C．32 D．40 例2．（2023春·安徽芜湖·七年级校联考期中）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 例3．（2023秋·福建漳州·七年级统考期末）如图，在同一平面内，我们把两条直线相交的交点个数记为，三条直线两两相交最多交点个数记为，四条直线两两相交最多交点个数记为条直线两两相交最多交点个数记为，则用含n的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 例4．（23-24七年级上·河南许昌·期末）观察表格： 1条直线 0个交点 平面分成（1+1）块 2条直线 1个交点 平面分成（1+1+2）块 3条直线 （1+2）个交点 平面分成（1+1+2+3）块 4条直线 （1+2+3）个交点 平面分成（1+1+2+3+4）块 根据表格中的规律解答问题： （1）5条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （2）n条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到　 　块饼． 例5．（23-24七年级上·江西赣州·期末）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 例1．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）若从多边形的一个顶点出发，最多可引3条对角线，则这个多边形的对角线共有（    ） A．6条 B．9条 C．12条 D．18条 例2．（23-24八年级上·重庆·课后作业）若过n边形的一个顶点的所有对角线正好将该n边形分成8个三角形，则n的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 例3．（2023春·河南新乡·七年级统考阶段练习）若经过边形的一个顶点的所有对角线可以将该n边形分成个三角形，则边形的对角线条数为（  ） A． B． C． D． 例4．（22-23七年级下·江苏南京·期末）连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．如图，边形有 条对角线．    例 5．（2023秋·山东·七年级专题练习）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①　　　　　　　 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ② 　　　　　 (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________. (2)拓展应用：有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话? 1．（2023春·江苏·七年级专题练习）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画2014条对角线，则它是（　　）边形． A．2017 B．2016 C．2015 D．2014 2．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 3．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（　　） A．46个 B．55个 C．56个 D．67个 4．（2023秋·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）过平面上A，B，C，D四点中的任意两点作直线，一共可作的直线条数不可能是（　　） A．6 B．5 C．4 D．1 5．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（　　） A．20种 B．42种 C．10种 D．84种 6．（2023秋·浙江·七年级阶段练习）如图，射线上有，，，则图中有（    ） A．1条射线、3条线段 B．4条射线、3条线段 C．4条射线、6条线段 D．7条射线、8条线段 7．（23-24七年级上·内蒙古通辽·期末）如图，是一条直线，图中小于平角的角共有（    ） A．4个 B．8个 C．9个 D．10个 8．（23-24七年级上·四川眉山·期中）学校有8名教师进行象棋比赛，如果每2名教师之间都进行一场比赛，一共要比赛 场． 9．（2023秋·四川成都·七年级校考期末）平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则 ． 10．（2023秋·广西七年级课时练习）如图：已知，，图中以O为顶点的所有角之和为_______． 11．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是 边形． 12．（2023春·湖北武汉·七年级统考开学考试）已知10条直线两两相交，最多会有的交点数可能是 个． 13．（2023秋·广东七年级月考）如图，在锐角内部，画条射线，可得 个锐角；画条不同射线，可得 个锐角；画条不同射线，可得 个锐角照此规律，画条不同射线，可得 个锐角． 14．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面最多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则= ． 15．（23-24八年级上·重庆·课后作业）（1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形，四边形共有 条对角线； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形，五边形共有 条对角线； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形，六边形共有 条对角线； （4）从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形，n边形共有 条对角线． 16．（23-24七年级上·河南南阳·期末）第1题：【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮要进行多少场比赛？ 第2题：一张长方形的餐桌可以坐6个人，按照下图的方式摆放餐桌和椅子： （1）观察表中数据规律填空：______，______，______； （2）一家酒楼，按上图的方式拼桌，要使拼成的一张大餐桌刚好能坐人，请问需几张餐桌拼成一张大餐桌？（3）若酒店有人来就餐，还有更好的拼桌方式吗？最少要用多少张餐桌？如果有，画出此时拼桌方式的示意图；如果没有，请说明理由． 17．（24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 18．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）基本事实：已知过两点可以画一条直线，我们得到了一个基本事实 ，若平面内有不在同一直线上的个点，过其中任意两点，一共可以画 条直线； 类比：如图，已知，在AOB的内部画射线，则图中共有 个角； 图1图2 实践应用：年月日，沪苏通铁路正式通车，加快了长三角交通一体化建设，沪苏通铁路衔接南通和上海，并在沿途增设张家港、常熟、太仓三个停靠站，如图．若一动车往返于上海与南通之间，已知各站之间的路程均不相等．则共有____种不同的票价．(不考虑座位等级等其它因素) 19．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定 条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定 条线段. 探索归纳：（3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 20．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）【观察思考】 在表中空白处画出图形； 线段上的 点数包括 ，两点 图例 线段总条数 ______ ______ ______ ______ ______ 【模型构建】如果线段上有个点包括线段的两个端点，那么该线段上共有多少条线段？ 【拓展应用】请将以下问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． （1）8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行______场比赛； （2）某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手______次； （3）海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票______种，票价______种． 21．（2023春·山东·七年级统考期中）【思路探究】 （1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？       （2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？ （3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？      【问题解决】 （4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？（5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？                                                          22．（2023春·广东七年级期中）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形（n＞3）共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： （1）请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 _____ … _______ 多边形对角线的总条数 2 _____ _____ _______ （2）应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 23．（2023秋·江苏无锡·七年级校联考期末）（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积． ①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为 ； ②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为 ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式 ． （2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢? ①方法1：一路往下数，不回头数． 以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个； 以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个； 以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个； 以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个；则图中锐角的总个数是 ； ②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是 ； 用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式 ． （3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题． ①计算：19782＋20222；②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有 条对角线，n边形共有 条对角线． 24．（2023·山东青岛·七年级统考期末）【问题提出】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： (1)探究一：将一条线段上随机设置n个点，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1，当n＝0时，图中线段有：线段AB，共1条线段； 如图2，当n＝1时，以A为端点的线段有：线段AC和线段AB，共2条线段；以C为端点的有：线段CB，共1条线段，故图中共有条线段； 如图3，当n＝2时，以A为端点的线段有：线段AC，线段AD和线段AB，共3条线段；以C为端点的有：线段CD和线段CB，共2条线段；以D为端点的有：线段DB，共1条线段，故图中共有条线段；…… 小结：当随机设置了n个点后，一共可以形成 　 　条线段．（用含n的代数式表示） (2)探究二：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，则一共有多少个长方形（包括正方形）？ 首先我们先探究宽上不设置点的情况． 如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形． 如图4﹣2，当，时，图中一共有3个长方形． 如图4﹣3，当，时，图中一共有6个长方形．…… 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有 　 　个长方形．（用含m的代数式表示） 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有 　 　个长方形．（用含n的代数式表示） 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有9个长方形（包括正方形）． 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有36个长方形（包括正方形）．…… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（用含m、n的代数式表示） 【问题解决】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 线段、角（对角线）的计数模型 本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面分割的计数、多边形的对角线条数和三角形分割个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。 2 模型1.线段的计数模型 2 模型2.角度的计数模型 6 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 9 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 13 17 模型1.线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 例1．（2024·安徽七年级月考）如图，线段上有两点，则图中共有线段（ ）条 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数． 【详解】解：由图得，图中的线段有AC，AD，AB，CD，CB，DB，共6条．故选：D． 【点睛】本题考查线段的定义，找出线段时要注意按顺序做到不重不漏． 例2．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（    ）种． A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】单程两个站点有一种票，相当于两两组合，根据计算即可． 【详解】解：（种），∴要为这次列车制作的单程火车票6种．故选：B． 【点评】本题主要考查了直线、射线、线段，掌握同两个站之间的车票有起点站和终点站的区分是解答本题的关键． 例3．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）济郑高铁是发改委规划的重要的交通连线．线路走向郑州东－开封－濮阳－山东聊城西－济南西站，线路全长380千米，设计速度350千米/小时，郑济高速铁路全线办理客运业务的车站数为13个，其中，河南段8个、山东段5个：郑州东站－新乡南站－新乡东站－卫辉南站－滑浚站－内黄站－濮阳东站－南乐站－莘县南站－聊城西站－芢平南站－长清站－济南西站，每两站之间由于方向不同，车票也不同，那么铁路运营公司要为郑州东至济南西往返最多需要准备（    ）张车票． A．78 B．117 C．156 D．234 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段条数的计算，将每一个车站看作一个点，铁路线为线段，求出所有线段的条数再乘以2即可得到答案． 【详解】解：把这13个车站看作是一条线段上的13个点，根据两点确定一条线段可知，相邻两点之间构成一条线段共有12种情况，隔一个点的两点构成一条线段有11种情况，隔2个点的两点构成一条线段有10种情况，隔3个点的两点构成一条线段有9种情况，……，隔11个点的两点构成一条线段有1种情况， ∴一共可以构成条线段， ∵每两站之间由于方向不同，车票也不同， ∴铁路运营公司要为郑州东至济南西往返最多需要准备张车票，故选C． 例4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）【问题情境】某时段从北京到上海的京沪高铁线，包括北京站和上海站在内共设有11个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票多少种？你有几种方法？哪个方法更简便？ 【问题解决】（1）小明同学的方法是：从每张票的站点数分步考虑，如果始发站、终点站之间只有一站，那么需一站的票有种，同理，需两站的票有种，需三站的票有种，需四站的票有种，…，以此类推可知，需要印制不同的火车票为______种； （2）小红同学的方法是：从向同一个方向运行角度考虑，第1站可以到达10个站，第2站可以到达9个站，…，以此类推，请列出式子并计算结果； 【问题进阶】（3）若某时段的高铁线，包括始发站和终点站在内共设有（且为正整数）个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，则需要印制不同的火车票______种； （4）某班在春节期间开展短信送祝福活动，每位学生都要给班里其他同学发送一条祝福短信，经班主任统计，活动期间共发送了1560条短信，则这个班级共有______学生 【答案】（1）110；（2）见解析；（3）；（4）40 【分析】（1）根据小明同学的推理方法，列出算式计算即可； （2）根据小红同学的推理方法，求出同一方向的结果后乘以2即可； （3）类比（2）的方法，求解即可；（4）令（3）中结论的的值为1560，得出方程解答即可． 【详解】解：（1）；故答案为：110； （2）； （3）； （4）设这个班级共有名学生：由题意，得：，经计算当时满足上式；故答案为：40． 例5．（23-24七年级上·广东深圳·期中）学校体育节要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：    （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，可知一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 实际应用：（4）老师为了让数学兴趣班的同学互相认识，请班上35位同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手_______次． 拓展提高：（5）往返于深圳和潮汕的同一辆高速列车，中途经惠州、陆丰、普宁、潮阳4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备多少种车票：请你求出来． 【答案】（2）15；（3）；（4）595；（5）要准备30种车票 【分析】（2）根据图②求解即可；（3）根据（1）（2）发现的规律求解即可；（4）根据（1）（2）发现的规律求解即可；（5）由题意可得，中途经过4个车站，共6个站往返行车，再根据以上规律求解即可． 【详解】解：（2）由题意可得，（场），故答案为：15； （3）由（1）（2）的规律可得，校有n支足球队进行单循环比赛，则一共要安排（场） 故答案为：； （4）由题意可得，全班同学总共握手（次），故答案为：595； （5）由题意可得，中途经过4个车站，共6个站往返行车，则（种），答：要准备30种车票． 模型2.角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 例1．（2023秋·重庆七年级课时练习）如图所示，图中共有多少个小于平角的角（    ）    A．10个 B．9个 C．8个 D．4个 【答案】A 【分析】根据图形依次数出角的个数即可． 【详解】，，，，，，，，，.一共有10个角．故选：A． 例2．（2023秋·四川南充·七年级统考期末）如图，在内部引射线，，，则图中共有 个锐角. 【答案】6 【分析】找到小于90°的角即可. 【详解】∵，∴∠BOC，∠COD，∠DOA是锐角； ∴∠1+∠2＜90°，∠2+∠3＜90°，∠1+∠2+∠3＜90°， ∴∠BOD，∠COA，∠BOA是锐角；所以，图中共有6个锐角.故答案为：6. 例3．（23-24七年级上·吉林松原·期末）在的内部引一条射线，图中共有3个角；若引两条射线，图中共有6个角；若引n条射线，图中共有 个角． 【答案】 【分析】本题主要考查图形变化类的规律题，每两条射线组成一个角，一条射线与其他射线都能组成一个角，当引出n条射线时，此时共有条射线，其中每一条射线与剩余条射线都组成一个角，可组成个角，条射线可组成的角个角，但每个角都算了两次，则引出n条射线能组成个角． 【详解】解：在的内部引一条射线，图中共有个角； 若引两条射线，图中共有个角；… 若引n条射线，图中共有个角；故答案是：． 例4．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③(2) 【分析】（1）①②根据角的概念求出即可；③根据①②分析得出的规律求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ，∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ，∴图中得到6个角； ③由①②可得，当从点分别引条射线，，∴得到个角； （2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 例1．（2023春·浙江七年级期中）已知条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…由此猜想，条直线最多有个交点（　　） A．16 B．28 C．32 D．40 【答案】B 【分析】利用给出的交点个数，推导出规律，再将8代入计算即可． 【详解】解：∵条直线最多有个交点， 条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…… ∴条直线最多有个交点，∴时，（个）， ∴条直线最多有个交点．故选：B． 【点睛】本题考查直线的交点个数，也就是数字规律题，解题的关键是找到数字规律，把特殊值代入求值． 例2．（2023春·安徽芜湖·七年级校联考期中）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据题意画出图形即可求解． 【详解】如图所示，将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为块，故选：C． 【点睛】本题考查了直线分平面问题，理解题意是解题的关键． 例3．（2023秋·福建漳州·七年级统考期末）如图，在同一平面内，我们把两条直线相交的交点个数记为，三条直线两两相交最多交点个数记为，四条直线两两相交最多交点个数记为条直线两两相交最多交点个数记为，则用含n的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合图形，发现：两条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，据此规律即可得出结论． 【详解】两条直线相交有1个交点，即， 三条直线相交最多有个交点，即， 四条直线相交最多有个交点，即， 以此类推，条直线相交，最多有个交点，即， ∴，故选B． 【点睛】本题考查了相交线，此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 例4．（23-24七年级上·河南许昌·期末）观察表格： 1条直线 0个交点 平面分成（1+1）块 2条直线 1个交点 平面分成（1+1+2）块 3条直线 （1+2）个交点 平面分成（1+1+2+3）块 4条直线 （1+2+3）个交点 平面分成（1+1+2+3+4）块 根据表格中的规律解答问题： （1）5条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （2）n条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到　 　块饼． 【答案】（1）10，16；（2）n(n﹣1)；1+n(n+1)；（3）56 【分析】（1）总结规律，根据规律求解；（2）根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：n(n﹣1)；n条直线两两相交，平面被分成1+n(n+1)块；（3）根据（2）的结论解答即可． 【详解】解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块；故答案为：10，16； （2）2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2＝3个交点； 4条直线相交有1+2+3＝6个交点；5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点； 6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点；…n条直线相交有1+2+3+4+…+(n﹣1)＝n(n﹣1)； 平面被分成1+1+2+3+4+…+(n+1)＝1+n(n+1)；故答案为：n(n﹣1)；1+n(n+1)； （3）当n＝10时，（块），故答案为：56 【点睛】本题考查了直线的交点，规律探索问题以及代数式求值，根据表格找出规律是解题的关键. 例5．（23-24七年级上·江西赣州·期末）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场 【分析】[观察发现]根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n−1)个交点；[实践应用] 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=； ②三条直线相交最多有3个交点：3=； ③四条直线相交最多有6个交点：6=；… n条直线相交最多有个交点．故答案为：6，． [实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入． ∴这一轮共要进行120场比赛． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 例1．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）若从多边形的一个顶点出发，最多可引3条对角线，则这个多边形的对角线共有（    ） A．6条 B．9条 C．12条 D．18条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线，解决本题的关键是熟记对角线的有关概念．根据对角线的概念，知一个多边形从一个顶点出发有条对角线，求出的值，再根据多边形对角线的总数为，即可详解． 【详解】解：一个多边形从一个顶点出发共引3条对角线，，， 那么这个多边形对角线的总数为：（条．故选：B． 例2．（23-24八年级上·重庆·课后作业）若过n边形的一个顶点的所有对角线正好将该n边形分成8个三角形，则n的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据过n边形的一个顶点的所有对角线正好将该n边形分成个三角形，列方程，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，过n边形的一个顶点的所有对角线正好将该n边形分成个三角形， ∴，解得，故选：D． 【点睛】本题考查了多边形对角线分三角形的个数．解题的关键在于熟练掌握：过n边形的一个顶点的所有对角线正好将该n边形分成个三角形． 例3．（2023春·河南新乡·七年级统考阶段练习）若经过边形的一个顶点的所有对角线可以将该n边形分成个三角形，则边形的对角线条数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形，根据此关系式求边数，再求对角线条数即可． 【详解】解：依题意有，解得．对角线条数是，故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解． 例4．（22-23七年级下·江苏南京·期末）连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．如图，边形有 条对角线．    【答案】 【分析】找出过每个顶点可画的对角线的条数，除去重复的即可得出结果． 【详解】解：如图，过顶点可以画条对角线，过顶点可以画条对角线， 过顶点可以画条对角线；…，过顶点可以画条对角线； ∴n边形的对角线条数的为，故答案为：． 【点睛】此题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，关键是熟练掌握一些基本知识． 例 5．（2023秋·山东·七年级专题练习）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①　　　　　　　 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ② 　　　　　 (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________. (2)拓展应用：有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话? 【答案】(1)①，②(2)他们一共通了2850次电话 【分析】（1）根据前面5个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案； （2）将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，再结合（1）的结论即可得． 【详解】（1）解：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为7时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为8时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 归纳类推得：当多边形的顶点数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为（其中，且n为整数），故答案为：，． （2）解：由题意，将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和， 则，答：他们一共通了2850次电话． 【点睛】本题考查了多边形的对角线条数问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 1．（2023春·江苏·七年级专题练习）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画2014条对角线，则它是（　　）边形． A．2017 B．2016 C．2015 D．2014 【答案】A 【分析】边形一个顶点可以画条对角线，代入数据计算即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形．依题意，得，∴． 故这个多边形是2017边形，故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的对角线条数，熟记公式是解题关键． 2．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】B 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得， 解得：，即这个多边形是八边形，故选∶B． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形． 3．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（　　） A．46个 B．55个 C．56个 D．67个 【答案】C 【分析】根据表中数据，总结出规律，再根据规律解题． 【详解】设直线条数有n条，分成的平面最多有m个． 有以下规律： n             m 1             1+1 2             1+1+2 3             1+1+2+3 ⋯ n    m＝1+1+2+3+…+n＝+1， ∴根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+…+10＝56；故选C． 【点睛】本题考查了过平面上两点有且只有一条直线，体现了数形结合的思想． 4．（2023秋·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）过平面上A，B，C，D四点中的任意两点作直线，一共可作的直线条数不可能是（　　） A．6 B．5 C．4 D．1 【答案】B 【分析】分别讨论，①三点共线，②四点共线，③任意三点都不共线，即可得出答案． 【详解】解：（1）当四点共线时，可画1条，如图（1）； （2）当四点中有三点共线时，可画4条，如图（2）； （3）当四点中任意三点不共线时，可画6条，如图（3）； 观察选项，只有选项B符合题意．故选：B． 【点睛】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线，关键是讨论点共线的情况． 5．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（　　） A．20种 B．42种 C．10种 D．84种 【答案】A 【分析】根据图示，由线段的定义解决此题． 【详解】解：如图，图中有5个站点． 往同一个方向（从1站点往5站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有（种）． ∴保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为（种）．故选：A． 【点睛】本题主要考查线段，熟练掌握清晰的逻辑思维以及线段的定义是解决本题的关键． 6．（2023秋·浙江·七年级阶段练习）如图，射线上有，，，则图中有（    ） A．1条射线、3条线段 B．4条射线、3条线段 C．4条射线、6条线段 D．7条射线、8条线段 【答案】C 【分析】根据射线和线段的定义分别计算出条数即可得解． 【详解】解：分别以A、B、C、D为端点向右的射线共有4条， 线段有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6条，所以，有4条射线、6条线段．故选：C． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键，射线要根据端点的不同确定． 7．（23-24七年级上·内蒙古通辽·期末）如图，是一条直线，图中小于平角的角共有（    ） A．4个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的定义分别表示出各角即可． 【详解】解：图中小于平角的角共有：，，，，，，，，，共9个．故选：C． 8．（23-24七年级上·四川眉山·期中）学校有8名教师进行象棋比赛，如果每2名教师之间都进行一场比赛，一共要比赛 场． 【答案】28 【分析】本题考查了比赛场次的计算，在循环赛制中，参赛人数和比赛场数的关系为：比赛场数=参赛人数×（参赛人数）． 【详解】解： （场）； 故答案为：28． 9．（2023秋·四川成都·七年级校考期末）平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则 ． 【答案】 【分析】分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线.的交点个数，找出规律即可解答. 【详解】如图：2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点，5条直线相交最多有个交点， 6条直线相交最多有个交点，… n直线相交最多有个交点．所以， 而最少可以得到1个交点，，故答案为：． 【点睛】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是n条直线相交时最少有一个交点. 10．（2023秋·广西七年级课时练习）如图：已知，，图中以O为顶点的所有角之和为_______． 【答案】 【分析】先找出所有以O为顶点的角，然后根据∠AOC+∠COB=∠AOB=60°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=60°，∠AOE+∠EOB=∠AOB=60°，∠COD+∠DOE=∠COE=30°，求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以O为顶点的角有：∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOB，∠COD，∠COE，∠COB，∠DOE，∠DOB，∠EOB， ∵∠AOC+∠COB=∠AOB=60°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=60°，∠AOE+∠EOB=∠AOB=60°，∠COD+∠DOE=∠COE=30° ∴∠AOC+∠AOD+∠AOE+∠AOB+∠COD+∠COE+∠COB+∠DOE+∠DOB+∠EOB=4∠AOB+2∠COE=300° 故答案为：300°． 【点睛】本题主要考查了角的定义和角的计算，解题的关键在于能够准确找出以O为顶点的角． 11．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是 边形． 【答案】七 【分析】根据过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，计算可求解． 【详解】解：由题意得：， 故过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形的多边形为七边形，故答案为：七． 【点睛】本题主要考查多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题的关键． 12．（2023春·湖北武汉·七年级统考开学考试）已知10条直线两两相交，最多会有的交点数可能是 个． 【答案】45 【分析】要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，求得n条直线相交，最多有个交点；将代入上式即可求解． 【详解】解：3条直线相交，最多有个交点；4条直线相交，最多有个交点； 5条直线相交，最多有个交点；5条直线相交，最多有个交点；… ∴n条直线相交，最多有个交点； ∴10条直线相交，最多有个交点．故答案为：45． 【点睛】此题考查平面内不重合直线的交点个数问题，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多个交点是解题的关键． 13．（2023秋·广东七年级月考）如图，在锐角内部，画条射线，可得 个锐角；画条不同射线，可得 个锐角；画条不同射线，可得 个锐角照此规律，画条不同射线，可得 个锐角．    【答案】 3 6 10 【分析】从一个锐角顶点引出条不同射线，可得个锐角，依据规律解答即可． 【详解】解：在锐角内部，画条射线，可得3个锐角；； 画条不同射线，可得6个锐角；； 画条不同射线，可得10个锐角；； 照此规律，画条不同射线，可得个锐角． 故答案为：3，6，10，． 【点睛】本题考查了射线和角的概念，掌握规律的探求方法是解题的关键． 14．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面最多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则= ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究．根据题意，抽象概括出相应的数字规律，n条直线将平面最多分成部分，进而得到，再进行求解即可．解题的关键是得到． 【详解】解：∵1条直线将平面分成部分， 2条直线将平面最多分成部分， 3条直线将平面最多分成部分， 4条直线将平面形多分成部分……， ∴n条直线将平面最多分成部分， ∴， ∴．故答案为：． 15．（23-24八年级上·重庆·课后作业）（1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形，四边形共有 条对角线； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形，五边形共有 条对角线； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形，六边形共有 条对角线； （4）从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形，n边形共有 条对角线． 【答案】 1 2 2 2 3 5 3 4 9 【分析】画出图形得到各图形从一个顶点出发引的对角线的条数、三角形的个数及对角线的总条数，进而结合规律，得到n边形的结果． 【详解】解：画出图形观察图形可得：    （1）从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形，四边形共有2条对角线； 故答案为：1，2，2； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形，五边形共有5条对角线； 故答案为：2，3，5； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形，六边形共有9条对角线； 故答案为：3，4，9； （4）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形，n边形共有条对角线．故答案为：，，． 【点睛】此题考查规律型：图形的变化，解题关键在于找到其规律． 16．（23-24七年级上·河南南阳·期末）第1题：【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮要进行多少场比赛？ 第2题：一张长方形的餐桌可以坐6个人，按照下图的方式摆放餐桌和椅子： （1）观察表中数据规律填空：______，______，______； （2）一家酒楼，按上图的方式拼桌，要使拼成的一张大餐桌刚好能坐人，请问需几张餐桌拼成一张大餐桌？（3）若酒店有人来就餐，还有更好的拼桌方式吗？最少要用多少张餐桌？如果有，画出此时拼桌方式的示意图；如果没有，请说明理由． 【答案】第1题：【观察发现】6，；【实践应用】； 第2题：（1），，；（2）；（3）． 【分析】第1题：观察发现：4条直线，两两相交，每条直线都要和本身之外的相交，有个交点， 一共4条直线，所以共有，除去重复的可求出结果；把4换成n求出n条直线的交点； 实践应用：比赛场数问题和交点问题一样，套用观察发现中的结果即可； 第2题：（1）观察发现每多一张桌子多2人，n张桌子则增加了张桌子，增加人， 共坐人，将对应数据代入求值即可；（2）用（1）中的公式计算即可；（3）如图：由（1）同理可知，n张桌子共坐人；当人数为时，求出，从而得出最少桌子数． 【详解】第1题：观察发现 四条直线，两两相交，每条直线都要和本身之外的相交，有个交点， 一共4条直线，所以共有，除去重复的，所以有：； n条直线，两两相交，每条直线都要和本身之外的相交，有个交点， 一共n条直线，所以共有个交点，除去重复的，所以有：； 实践应用：（场）， 答：这一轮要进行场比赛；故答案为：6，，； 第2题（1）观察发现每多一张桌子多2人，n张桌子则增加了张桌子，增加人， 共坐人，即：人， 所以：，，，故答案为：，，； （2）由（1）得，，解得， 答：需张餐桌拼成一张大餐桌； （3）如图：由（1）同理可知，n张桌子共坐人， ，解得，n是正整数，， 答：最少要用张餐桌． 【点睛】本题考查了数据规律的探究与实际应用；解题的关键是从题意观察、发现数据规律． 17．（24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【分析】本题考查了线段条数计算、角的个数计算及其拓展等知识，注意数数时要不重不漏． 当直线上有4个点时，以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，所有线段都重复了一次，则可得线段为；直线上有5个点时，同理得线段条数；同理有个点时，得线段条数；（1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，由上步所求即可求解； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花时间的最短；有个机器人，分n是偶数与奇数两种情况考虑即可；（3）仿照一条直线4个点的线段条数分析即可； （4）横向每行仿照一条直线上6个点的线段条数有15个长方形，纵向列仿照一条直线上5个点的线段条数共有10个长方形，从而由即可求得长方形的个数． 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条；故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． 18．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）基本事实：已知过两点可以画一条直线，我们得到了一个基本事实 ，若平面内有不在同一直线上的个点，过其中任意两点，一共可以画 条直线； 类比：如图，已知，在AOB的内部画射线，则图中共有 个角； 图1 实践应用：年月日，沪苏通铁路正式通车，加快了长三角交通一体化建设，沪苏通铁路衔接南通和上海，并在沿途增设张家港、常熟、太仓三个停靠站，如图．若一动车往返于上海与南通之间，已知各站之间的路程均不相等．则共有____种不同的票价．(不考虑座位等级等其它因素) 图2 【答案】基本事实：两点确定一条直线，3；类比：6；实践应用：10 【分析】基本事实：根据两点确定一条直线，过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，类比：根据角的概念，表示出所有的角； 实践应用：先求出线段的条数，从而确定票价的种数． 【详解】解：基本事实：已知过两点可以画一条直线，我们得到了一个基本事实两点确定一条直线，若平面内有不在同一直线上的个点，过其中任意两点，一共可以画3条直线； 故答案为：两点确定一条直线，3； 类比：图中的角有：∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB共6个，故答案为：6 实践应用：根据线段的定义：可知图中共有线段有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10条， ∴有10种不同的票价；故答案为：10 【点睛】本题考查了两点确定一条直线，线段的数量及角的数量，运用数学知识解决生活中的问题．解题的关键是需要掌握正确数线段及角的方法． 19．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定 条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定 条线段. 探索归纳：（3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 【答案】（1）3（2）6（3）（4）B 【分析】（1）直接利用线段的定义即可得到结论． （2）直接利用线段的定义即可得到结论． （3）根据（1）、（2）得到的结论进行解答． （4）单程两个站点有一种票，相当于两两组合，由结论式来解答． 此题考查直线、线段、射线，关键是掌握结论式．以及根据直线、线段、射线的区别解答． 【详解】解：（1）直线上有、、，线段总条数是：， 故答案为：3； （2）若直线上有四个点、、、，线段总条数是：， 故答案为：6； （3）若直线上有个点时，线段总条数． （4）解：（种， 要为这次列车制作的单程火车票10种． 故选：B． 20．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）【观察思考】 在表中空白处画出图形； 线段上的 点数包括 ，两点 图例 线段总条数 ______ ______ ______ ______ ______ 【模型构建】 如果线段上有个点包括线段的两个端点，那么该线段上共有多少条线段？ 【拓展应用】 请将以下问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． （1）8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行______场比赛； （2）某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手______次； （3）海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票______种，票价______种． 【答案】【观察思考】见解析；【模型构建】线段上有个点包括线段的两个端点，该线段上共有条线段；【拓展应用】（1）28；（2）900；（3）；． 【分析】观察思考：根据题意画出图形即可； 模型构建：根据表中的规律找到答案即可； 拓展应用：（1）根据8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】解：【观察思考】   ；   ；    ；  ；   ； 【模型构建】解：， 所以该线上共有条线段， 答：线段上有个点包括线段的两个端点，该线段上共有条线段； 【拓展应用】（1）因为， 所以位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行场比赛； 故答案为：； （2）因为， 所以某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手次； 故答案为：； （3）因为，， 所以海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票种，票价种． 故答案为：；． 【点睛】此题考查了直线上线段条数的变化规律及其应用，得到“线段上有个点包括线段的两个端点，该线段上共有条线段”是解题的关键． 21．（2023春·山东·七年级统考期中）【思路探究】 （1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？    （2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？    （3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？    【问题解决】 （4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？（5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？                                                             【答案】（1）条；（2）个；（3）个；（4）个；（5）个 【分析】（1）数出线段的条数即可；（2）数出角的个数即可；（3）数出三角形的个数即可； （4）根据角的定义，得到每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个，再进行相加即可；（5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个；再进行相加即可． 【详解】解：（1）图中的线段有条：． 答：图中共有条线段． （2）图中共有个大于且小于的角： 答：图中共有个大于且小于的角． （3）由一个三角形组成的三角形个数有8个，由两个三角形组成的三角形个数有4个，由四个三角形组成的三角形个数有4个，所以共有：（个）． 答：图3中含有个三角形． （4）若从一个角的顶点出发，在角的内部引出条射线，则大于且小于的角中，每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔98条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个， ∴大于且小于的角共有：（个）； （5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个；∴共有（个）． 【点睛】本题考查了线段、角、三角形、长方形的个数，注意在数个数时要不重不漏． 22．（2023春·广东七年级期中）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形（n＞3）共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： （1）请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 _____ … _______ 多边形对角线的总条数 2 _____ _____ _______ （2）应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）3、n-3、5、9、；（2）①54条；②不能，理由见解析 【分析】（1）根据多边形从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数计算公式及多边形对角线的总条数的计算公式，进行计算可得答案；（2）①直接利用多边形对角线的总条数的计算公式可计算得出；②根据题意得等式，解出，根据必须是整数为依据下结论． 【详解】 多边形的边数 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … n－3 多边形对角线的总条数 2 5 9 ①把n＝12代入计算得：＝54．故一个十二边形有54条对角线， ②由题意得，，解得，， 因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形求对角线的公式． 23．（2023秋·江苏无锡·七年级校联考期末）（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积． ①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为 ； ②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为 ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式 ． （2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢? ①方法1：一路往下数，不回头数． 以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个； 以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个； 以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个； 以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个；则图中锐角的总个数是 ； ②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是 ； 用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式 ． （3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题． ①计算：19782＋20222；②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有 条对角线，n边形共有 条对角线． 【答案】（1）①；②；=；（2）①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=；（3）①8000968；②119，n(n-3) 【分析】（1）①根据边长为(a+b)的正方形面积公式求解即可； ②利用矩形和正方形的面积公式求解即可；（2）①根据题中的数据求和即可；②根据题意求解即可； （3）①利用（1）的规律求解即可； ②根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为n(n-3)（n≥3，且n为整数）可得答案． 【详解】解：（1）①大正方形的面积为； ②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为； 可以得到等式：=；故答案为：①；②；=； （2）①图中锐角的总个数是：（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1； ②锐角的总个数是n（n－1）； 可以得到等式为（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）； 故答案为：①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②n（n－1）；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）； （3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2 ＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22 ＝2×（20002＋222） ＝2×[4000000＋（20＋2）2] ＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968； ②一个四边形共有2条对角线，即×4×(4-3)=2； 一个五边形共有5条对角线，即×5×(5-3)=5； 一个六边形共有9条对角线，即×6×(6-3)=9；……， 一个十七边形共有×17×(17-3)=119条对角线； 一个n边形共有n(n-3)（n≥3，且n为整数）条对角线．故答案为：119，n(n-3)． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，完全平方公式，多边形的对角线，对于这种图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键． 24．（2023·山东青岛·七年级统考期末）【问题提出】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： (1)探究一：将一条线段上随机设置n个点，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1，当n＝0时，图中线段有：线段AB，共1条线段； 如图2，当n＝1时，以A为端点的线段有：线段AC和线段AB，共2条线段；以C为端点的有：线段CB，共1条线段，故图中共有条线段； 如图3，当n＝2时，以A为端点的线段有：线段AC，线段AD和线段AB，共3条线段；以C为端点的有：线段CD和线段CB，共2条线段；以D为端点的有：线段DB，共1条线段，故图中共有条线段；…… 小结：当随机设置了n个点后，一共可以形成 　 　条线段．（用含n的代数式表示） (2)探究二：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，则一共有多少个长方形（包括正方形）？ 首先我们先探究宽上不设置点的情况． 如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形． 如图4﹣2，当，时，图中一共有3个长方形． 如图4﹣3，当，时，图中一共有6个长方形．…… 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有 　 　个长方形．（用含m的代数式表示） 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有 　 　个长方形．（用含n的代数式表示） 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有9个长方形（包括正方形）． 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有36个长方形（包括正方形）．…… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（用含m、n的代数式表示） 【问题解决】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果） 【答案】(1)(2)； ；；问题解决：97650 【分析】（1）利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律得出结论，再利用结论将特殊值代入运算即可得出结论．（2）利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律得出结论，再利用结论将特殊值代入运算即可得出结论． 问题解决：利用（2）探究到的规律解答即可． 【详解】（1）解：（1）探究一：如图1，当时，图中线段有1条， 如图2，当时，图中线段有条，如图3，当时，图中线段有条， 同理，当时，图中线段有条， ……， 当随机设置了n个点后，一共有条线段，故答案为：； （2）探究二：如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形， 如图4﹣2，当，时，图中一共有个长方形， 如图4﹣3，当，时，图中一共有个长方形， 同理，当，时，图中共有个长方形， ……， 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有个长方形， 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共个长方形； 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， …… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，长上共形成条线段，宽上共形成 条线段连接各边对应的点，则图中一共有个长方形（包括正方形），故答案为：，，； 问题解决：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点， 则长上共形成条线段，宽上共形成条线段，图中一共有个长方形（包括正方形），故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的变化的规律，列代数式，求代数式的值，有理数的混合运算，利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$