专题05 线段、角（对角线）的计数模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

专题05 线段、角（对角线）的计数模型 本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面分割的计数、多边形的对角线条数和三角形分割个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。 2 模型1.线段的计数模型 2 模型2.角度的计数模型 5 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 8 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 13 17 模型1.线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 例1．（2023春·山东淄博·七年级校考期中）下面图形中共有线段 (　　)条． A．7 B．8 C．9 D．10 例2．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，由临沂始发终点至淄博的某一次高铁列车，运行途中停靠的车站依次是：临沂-曲阜-泰安-济南-淄博，那么要为这次列车制作的单程火车票（    ）种． A．4 B．6 C．10 D．12 例3．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备（    ）种不同的车票 A．4 B．8 C．10 D．20 例4．（2024·重庆·七年级统考阶段练习）① 如图（1），直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线：A1A2、A2A1，有1条线段：A1A2； ② 如图（2），直线l上有3个点，则图中有几条可用图中字母表示的射线，有几条线段，并分别用图中字母表示出来； ③ 如图（3），直线l上有n个点，则图中有多少条可用图中字母表示的射线，有多少条线段，分别用含n的代数式表示出来； ④ 应用（3）中发现的规律解决问题：某校七年级共有8个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需多少场比赛？ 例5．（23-24七年级上·山东青岛·期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有＝10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． (2)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排 场比赛； (3)根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛． 实际应用：(4)9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手 次． 拓展提高：(5)往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为种 模型2.角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 例1．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）如图，图①中有1个角，图②中有3个不同角，图③中有6个不同角，…，按此规律下去图⑥中有不同角的个数为 ． 例2．（2023·四川内江·七年级月考）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角 个． 例3．（23-24七年级上·重庆·期中）如图，以点为端点引条射线时，共有 个角；以点为端点引条射线时，共有 个角以点为端点引条射线时，共有 个角用含的代数式表示．    例4．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 例1．（2023春·上海徐汇·七年级校考期中）同一平面内画9条直线，最多能画出 个交点． 例2．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（    ）个部分． A．或 B． C．或 D． 例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（    ） A． B． C． D． 例4．（2024七年级上·重庆·专题练习）为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图． 列表如下： 直线条数 最多交点个数 把平面最多分成部分数 1 0 2 2 1 4 3 3 7 … … … (1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成______部分，可写成和的形式为________． (2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分． (3)当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？ 例5．（2023春·江苏·七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 例1．（23-24八年级上·甘肃平凉·阶段练习）若从一多边形的一个顶点出发，最多可引9条对角线，则它是（    ） A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形 例2．（23-24七年级上·河北保定·期末）若边形的一个顶点引出的所有对角线可以将该边形分成6个三角形，则的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 例3．（2023秋·广东梅州·七年级统考期末）一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总数是（　　） A．88 B．44 C．45 D．50 例4．（2023春·江苏南京·七年级统考期末）连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．如图，边形有 条对角线．    例 5．（2023秋·浙江七年级课时练习）请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①___________ 多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 …… ②___________ （1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________； （2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 1．（2023春·山东威海·七年级统考期中）从多边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则该多边形的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2023春·四川成都·七年级校考阶段练习）由成都到重庆的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：成都—资阳—资中—内江—隆昌—永川—重庆，那么要为这次列车制作的火车票有（    ）． A．6种 B．12种 C．21种 D．42种 3．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（　　）    A．10 B．11 C．18 D．20 4．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，若，则（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 5．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）平面内有条不重合的直线，这条直线把整个平面最少分成个部分，最多分成个部分．若，则的值为（    ） A．47 B．48 C．49 D．50 6．（24-25八年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 7．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（　　） A．46个 B．55个 C．56个 D．67个 8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，（≥2，且是整数）条直线相交最多能有（     ） A．个交点 B．个交点 C．个交点 D．个交点 9．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，则的值为(    ) A．9 B．8 C．6 D．5 10．（2023春·浙江·八年级专题练习）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则此多边形的边数为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 11．（2023秋·广东七年级月考）平面内有7条直线，这7条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A．16 B．22 C．20 D．18 12．（23-24七年级下·山东聊城·期中）如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画10条射线得的角共有 个 13．（21-22七年级上·河北邢台·期中）如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有三个点时，线段总共有＝3条，如果线段AB上有4个点时，线段总数有＝6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有＝10条，…… （1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有 条； （2）某学校七年级共有10个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛的场数是 ． 14．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面最多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则= ． 15．（2023秋·黑龙江绥化·八年级校考期中）从十二边形的一个顶点作对角线，把这个十二边形分成三角形的个数是 ，十二边形的对角线的条数是 16．（2023·浙江嘉兴·七年级统考期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了 个部分． 17．（2023秋·浙江·七年级专题练习）观察思考：   （1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角； （2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角？ （3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？ 18．（2023.广东七年级期末）为了探究n条直线能把平面最多分成几部分,我们从最简单的情形入手: ①一条直线把平面分成2部分; ②两条直线可把平面最多分成4部分; ③三条直线可把平面最多分成7部分; ④四条直线可把平面最多分成11部分;…… 把上述探究的结果进行整理,列表分析: 直线条数 把平面最多分成的部分数 写成和的形式 1 2 1+1 2 4 1+1+2 3 7 1+1+2+3 4 11 1+1+2+3+4 … … … (1)当直线条数为5时,把平面最多分成____部分,写成和的形式:______; (2)当直线条数为10时,把平面最多分成____部分; (3)当直线条数为n时,把平面最多分成多少部分? 19．（2023秋·安徽滁州七年级月考）【观察思考】在表中空白处画出图形； 线段上的 点数包括 ，两点 图例 线段总条数 ______ ______ ______ ______ ______ 【模型构建】如果线段上有个点包括线段的两个端点，那么该线段上共有多少条线段？ 【拓展应用】请将以下问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． （1）8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行______场比赛； （2）某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手______次； （3）海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票______种，票价______种． 20．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．” （1）【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠个车站（来回票价一样），可以从任意站点头票出发且任意两站间的票价都不同，共有___________种不同的票价，需准备________种车票． 聪明的小周是这样思考这个问题的，她用，，，，个点表示车站，每两站之间的票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价． （2）【迁移应用】，，，，，六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出，，，，五支队已经分别比赛了，，，，场球，则还没有与队比赛的球队是______队． （3）【拓展创新】某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划的三分之一，过了小镇，汽车行驶了千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，求，两市相距多少千米？ 21．（2023秋·山西七年级月考））小明在一条直线上选了若干个点，通过数线段的条数，发现其中蕴含了一定的规律，下边是他的探究过程及联想到的一些相关实际问题. （1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+2=3条；一条直线上有4个点，线段共有1+2+3=6条…一条直线上有10个点，线段共有 条. （2）总结规律：一条直线上有n个点，线段共有 条. （3）拓展探究：具有公共端点的两条射线OA、OB形成1个角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB内部再加一条射线OC，此时具有公共端点的三条射线OA、OB、OC共形成3个角；以此类推，具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成 个角 （4）解决问题：曲沃县某学校九年级1班有45名学生毕业留影时，全体同学拍1张集体照，每2名学生拍1张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1张照片留作纪念，又应该冲印多少张纸质照片？ 22．（2023秋·浙江·七年级专题练习）阅读表： 线段上的点数（包括A，B两点） 图形 线段总条数N 3 4 5 6 7 解答下列问题：(1)在表中空白处分别画出图形，写出线段总条数； (2)请猜测，线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）有什么关系？请写出来； (3)变式练习①：如果过每两点可以画一条直线，那么请在下面三组图中分别画线，并回答问题： 第（1）组最多可以画 　条直线；第（2）组最多可以画 　条直线；第（3）组最多可以画 　　条直线． 归纳结论：如果平面上有个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线_____条．（用含n的代数式表示） 变式练习②：某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握_____次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需_____件礼物． 变式练习③：从A地到B地的火车途中共停靠7个站（不包括出发站和终点站），请问共需准备_____种车票． 23．（2023秋·山西太原·七年级校考阶段练习）观察探究及应用． （1）如图，观察图形并填空： 一个四边形有_______条对角线；一个五边形有_______条对角线；一个六边形有_______条对角线； （2）分析探究：由凸边形的一个顶点出发，可作_______条对角线，多边形有个顶点，若允许重复计数，共可作_______条对角线；（3）结论：一个凸边形有_______条对角线；（4）应用：一个凸十二边形有多少条对角线？ 24．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． ．．．．．．．．．．．． 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， ∴_________．则_______． (2)运用规律，计算表达． ①求_____________． ②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条． (3)迁移规律，解决问题． ①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班． ②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条． ③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？ 25．（2023·山东青岛·七年级统考期末）【问题提出】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： (1)探究一：将一条线段上随机设置n个点，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1，当n＝0时，图中线段有：线段AB，共1条线段； 如图2，当n＝1时，以A为端点的线段有：线段AC和线段AB，共2条线段；以C为端点的有：线段CB，共1条线段，故图中共有条线段； 如图3，当n＝2时，以A为端点的线段有：线段AC，线段AD和线段AB，共3条线段；以C为端点的有：线段CD和线段CB，共2条线段；以D为端点的有：线段DB，共1条线段，故图中共有条线段；…… 小结：当随机设置了n个点后，一共可以形成 　 　条线段．（用含n的代数式表示） (2)探究二：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，则一共有多少个长方形（包括正方形）？ 首先我们先探究宽上不设置点的情况． 如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形． 如图4﹣2，当，时，图中一共有3个长方形． 如图4﹣3，当，时，图中一共有6个长方形．…… 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有 　 　个长方形．（用含m的代数式表示） 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有 　 　个长方形．（用含n的代数式表示） 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有9个长方形（包括正方形）． 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有36个长方形（包括正方形）．…… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（用含m、n的代数式表示） 【问题解决】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 线段、角（对角线）的计数模型 本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面分割的计数、多边形的对角线条数和三角形分割个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。 2 模型1.线段的计数模型 2 模型2.角度的计数模型 5 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 8 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 13 17 模型1.线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 例1．（2023春·山东淄博·七年级校考期中）下面图形中共有线段 (　　)条． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】分别以为线段的一个端点找出线段即可求解． 【详解】解：图中线段有：共10条，故选D． 【点睛】本题考查了数线段条数，掌握线段的定义是解题的关键． 例2．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，由临沂始发终点至淄博的某一次高铁列车，运行途中停靠的车站依次是：临沂-曲阜-泰安-济南-淄博，那么要为这次列车制作的单程火车票（    ）种． A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，根据线段条数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：高铁列车在运行途中，停靠的车站依次是临沂-曲阜-泰安-济南-淄博，要为这次列车制作的单程火车票的种类为（种），故选：C． 例3．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备（    ）种不同的车票 A．4 B．8 C．10 D．20 【答案】D 【分析】把甲乙两地看作是一条线段，线段上有3个点，先求出线段条数，再乘以2即是车票的种类． 【详解】解：把甲乙两地看作是一条线段，线段上有3个点，如图， ∴线段一共有（条），而，∴需要准备20种不同的车票，故选D 【点睛】本题主要考查运用数学知识解决生活中的问题；关键是需要掌握正确数线段的方法． 例4．（2024·重庆·七年级统考阶段练习）① 如图（1），直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线：A1A2、A2A1，有1条线段：A1A2； ② 如图（2），直线l上有3个点，则图中有几条可用图中字母表示的射线，有几条线段，并分别用图中字母表示出来； ③ 如图（3），直线l上有n个点，则图中有多少条可用图中字母表示的射线，有多少条线段，分别用含n的代数式表示出来； ④ 应用（3）中发现的规律解决问题：某校七年级共有8个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】②射线有4条，线段有3条；③射线的条数是(2n-2)条，线段的条数是条；④ 28场． 【分析】②写出所有的射线和线段后再计算个数； ③根据规律，射线是每个点为端点的射线有两条，但是两边的两个点只有一条； 线段是从所有点中任取两个； ④根据题意8个队每两个队之间塞一场，和已知点数确定线段数同理，所以代入求值即可． 【详解】解：②根据射线的定义可得：射线有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，共4条；由线段的定义可得线段有：射线有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，共3条； ③根据规律，射线是每个点用两次，但第一个和最后一个只用一次，所以射线的条数是2n-2，线段是从这些点中任取两个点就是一条线段，所以线段的条数是； ④∵某校七年级共有8个班进行足球比赛， ∴全部赛完共需比赛场次为：（场）， ∴全部赛完共需比赛场次为28. 【点睛】本题考查的是线段和射线的计数问题，在一条直线上有n个点，计线段数或者射线数时，要先写出以A点为端点的线段数或射线数，再写出以B为端点的线段数或射线数，…求出所有的线段数和射线数，然后发现规律，来计出n个点时射线数和线段数，最后代入来解决应用问题． 例5．（23-24七年级上·山东青岛·期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有＝10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． (2)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排 场比赛； (3)根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛． 实际应用：(4)9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手 次． 拓展提高：(5)往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为种 【答案】(1)10(2)15(3)(4)861(5)要准备车票的种数为30种 【分析】（1）根据图①线段数量进行作答．（2）根据图②线段数量进行作答．（3）根据每个点存在条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，提出假设，当 时均成立，假设成立．（4）根据题意，代入求解即可．（5）根据题意，代入求解即可． 【详解】（1）解：由图①可知，图中共有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）由图②可知，图中共有15条线段，所以该校一共要安排15场比赛， 故答案为：15； （3）根据图①和图②可知，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则每个点存在条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次 ∴若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排场比赛． 当 时均成立，所以假设成立，故答案为：． （4）将代入（3）中结果， ∴全班同学总共握手861次，故答案为：861； （5）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况 将代入 中解得∴要准备车票的种数为30种． 【点睛】本题考查了归纳总结和对变形对角线问题，求出关于n的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键． 模型2.角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 例1．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）如图，图①中有1个角，图②中有3个不同角，图③中有6个不同角，…，按此规律下去图⑥中有不同角的个数为 ． 【答案】21 【分析】根据前3个图中角的个数，抽象概括出第个图中角的个数为：，进而求出图⑥中不同角的个数即可． 【详解】解：图①中有个角；图②中有个不同角；图③中有个不同角； ∴第个图中有个不同角，∴图⑥中有不同角的个数为；故答案为：21． 【点睛】本题考查图形中的数字规律．根据已有图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键． 例2．（2023·四川内江·七年级月考）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角 个． 【答案】66 【分析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题． 【详解】解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2=3个锐角； 在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3=6个锐角； 在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4=10个锐角；… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+（n+1）=×（n+1）×（n+2）， ∴画10条不同射线，可得锐角×（10+1）×（10+2）=66．故答案为：66． 例3．（23-24七年级上·重庆·期中）如图，以点为端点引条射线时，共有 个角；以点为端点引条射线时，共有 个角以点为端点引条射线时，共有 个角用含的代数式表示．    【答案】 3 6 【分析】有公共顶点的n条射线，可构成个角，依据规律解答即可． 【详解】解：以点为端点引条射线时，共有个角；； 以点为端点引条射线时，共有6个角；； 以点为端点引5条射线时，共有个10角；； …… 以点为端点引条射线时，共有个角； 故答案为：3，6，． 【点睛】本题考查的是角的概念，掌握其规律是解题的关键：有公共顶点的n条射线，可构成个角． 例4．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③(2) 【分析】（1）①②根据角的概念求出即可；③根据①②分析得出的规律求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ，∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ，∴图中得到6个角； ③由①②可得，当从点分别引条射线， ，∴得到个角； （2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛． 【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 例1．（2023春·上海徐汇·七年级校考期中）同一平面内画9条直线，最多能画出 个交点． 【答案】36 【分析】从简单情形考虑：分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】2条直线相交最多有1个交点；3条直线相交最多有个交点； 4条直线相交最多有个交点；5条直线相交最多有个交点； 6条直线相交最多有个交点；… 所以n条直线相交最多有个交点；当时，．故答案：36． 【点睛】本题考查相交线和图形的变化规律，解答此题的关键是找出其中的规律，利用规律解决问题． 例2．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（    ）个部分． A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形即可． 【详解】如图，    所以，平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了或个部分，故选：． 【点睛】此题考查了相交线，关键是根据直线交点个数的问题，找出规律，解决问题． 例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由2条直线相交时最多有1个交点、3条直线相交时最多有1+2=3个交点、4条直线相交时最多有1+2+3=6个交点，可得5条直线相交时交点数为1+2+3+4、6条直线相交时交点数为1+2+3+4+5、7条直线相交时交点数为1+2+3+4+5+6，可知n条直线相交，交点最多有． 【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；3条直线相交时，最多有1+2=3个交点； 4条直线相交时，最多有1+2+3=6个交点；…∴5条直线相交时，最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交时，最多有1+2+3+4+5=15个交点；7条直线相交时，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点； n条直线相交，交点最多有．故选A． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中相交点数量得出：n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n-1个是解题的关键． 例4．（2024七年级上·重庆·专题练习）为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图． 列表如下： 直线条数 最多交点个数 把平面最多分成部分数 1 0 2 2 1 4 3 3 7 … … … (1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成______部分，可写成和的形式为________． (2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分． (3)当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？ 【答案】(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5　(2)45；56；（3）； 【分析】（1）两条直线只有一个交点， 第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2， 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3， 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+4， 可得，n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且n≥2）． 一条直线把平面分成2部分，两条直线把平面分成2+2=4部分，三条直线把平面分成2+2+3=7部分，四条直线把平面分成2+2+3+4=11部分，五条直线把平面分成2+2+3+4+5=16部分，即n条直线把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=1+部分（2）代入（1）中的规律可得结果；（3）由（1）可得结论． 【详解】解：（1）两条直线只有一个交点， 第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2， 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3==6， 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+4=10， ∴可得，n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且n≥2）． 一条直线把平面分成2部分，两条直线把平面分成2+2=4部分，三条直线把平面分成2+2+3=7部分， 四条直线把平面分成2+2+3+4=11部分，五条直线把平面分成2+2+3+4+5=16部分， ∴n条直线把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=[1+]部分 （2）当n=10时，最多有个交点，把平面最多分成1+部分． （3）当直线条数为n时，最多有1＋2＋3＋…＋(n－1)＝个交点； 把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n＝部分． 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交有个交点．本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识． 例5．（2023春·江苏·七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场 【分析】[观察发现]根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n−1)个交点；[实践应用] 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=； ②三条直线相交最多有3个交点：3=；③四条直线相交最多有6个交点：6=；… n条直线相交最多有个交点．故答案为：6，． [实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入．∴这一轮共要进行120场比赛． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 例1．（23-24八年级上·甘肃平凉·阶段练习）若从一多边形的一个顶点出发，最多可引9条对角线，则它是（    ） A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形 【答案】B 【分析】根据多边形从一个顶点出发，最多可以作条对角线，进而可求解． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得：，解得：，它是十二边形，故选B． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握多边形从一个顶点出发，最多可以作条对角线是解题的关键． 例2．（23-24七年级上·河北保定·期末）若边形的一个顶点引出的所有对角线可以将该边形分成6个三角形，则的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了多边形中的三角形的个数的关系．经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数，即可． 【详解】解：依题意有，解得．故选：C． 例3．（2023秋·广东梅州·七年级统考期末）一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总数是（　　） A．88 B．44 C．45 D．50 【答案】C 【分析】根据一个n边形从一个顶点出发有条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据n边形对角线的总数为即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， ∵一个多边形从一个顶点出发共引8条对角线，∴，解得：， ∴总的对角线的条数为：条．故选C． 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题．掌握n边形从一个顶点出发有条对角线和其对角线总数为是解题关键． 例4．（2023春·江苏南京·七年级统考期末）连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．如图，边形有 条对角线．    【答案】 【分析】找出过每个顶点可画的对角线的条数，除去重复的即可得出结果． 【详解】解：如图，过顶点可以画条对角线，过顶点可以画条对角线， 过顶点可以画条对角线；…，过顶点可以画条对角线； ∴n边形的对角线条数的为，故答案为：． 【点睛】此题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，关键是熟练掌握一些基本知识． 例 5．（2023秋·浙江七年级课时练习）请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①___________ 多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 …… ②___________ （1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________； （2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】（1）①；②；（2）135个 【分析】（1）观察表可知从一个顶点出发的对角线的条数是多边形的顶点数减3，即得n-3，由此可完成①；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，则可完成②；（2）把6个组共18名学生看成18边形的顶点，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，因此问题转化为有多少条对角线的问题，由（1）中结论即可完成。 【详解】（1）由表可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为．故答案为：①；② （2）因为（名），18名学生看成是顶点数为18的多边形，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，则由（1）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话为（个）． 【点睛】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用：同组三个人之间不能打电话，对应多边形的一个顶点不能与相邻的两个顶点连成对角线，因此18个人对应18个顶点，不同组的两位同学间打一个电话对应连接两顶点的一条对角线. 1．（2023春·山东威海·七年级统考期中）从多边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则该多边形的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数即可得解． 【详解】解：设多边形的边数为，由题意，得：， ∴，∴该多边形的边数为7；故选C． 【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键． 2．（2023春·四川成都·七年级校考阶段练习）由成都到重庆的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：成都—资阳—资中—内江—隆昌—永川—重庆，那么要为这次列车制作的火车票有（    ）． A．6种 B．12种 C．21种 D．42种 【答案】C 【分析】从成都要经过6个地方，所以要制作6种车票；从资阳要经过5个地方，所以制作5种车票，依次类推，进而求解． 【详解】解：从成都到重庆的单程火车票有如下： 成都—资阳、资中、内江、隆昌、永川、重庆（6种）； 资阳—资中、内江、隆昌、永川、重庆（5种）； 资中—内江、隆昌、永川、重庆（4种）； 内江—隆昌、永川、重庆（3种）； 隆昌—永川、重庆（2种）； 永川—重庆（1种）； 因此要为这次列车制作的火车票有：（种），故选C． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，解题的关键是要找出由一地到另一地的车票的数是多少． 3．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（　　）    A．10 B．11 C．18 D．20 【答案】D 【分析】根据有多少条线段单程就需要印制多少种车票进行求解即可． 【详解】解：∵图中线段有共10条， ∴单程要10种车票，往返就是20种，故选：D． 【点睛】本题主要考查了数线段条数，熟知两点构成一条线段是解题的关键． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，若，则（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】B 【分析】此题考查的是相交线，摸清数字的变化规律是解决此题的关键．根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可解题． 【详解】解：根据题意，得， 两条直线最多将平面分成4个区域，即， 三条直线最多将平面分成7个区域，即， 四条直线最多将平面分成11个区域，即，．．． 则， ， ．．． ∴， ∴ ＝ ， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解． 故选：B． 5．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）平面内有条不重合的直线，这条直线把整个平面最少分成个部分，最多分成个部分．若，则的值为（    ） A．47 B．48 C．49 D．50 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律探索，代数式求值，解题的关键是根据题意得出同一平面内n条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分，然后代入数据求出结果即可． 【详解】解：同一平面内2条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分， 同一平面内3条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分， 同一平面内4条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分， …… 同一平面内n条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分， ∴，， ∵， ∴， ∵当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴符合题意， 故选：B． 6．（24-25八年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：C． 7．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（　　） A．46个 B．55个 C．56个 D．67个 【答案】C 【分析】根据表中数据，总结出规律，再根据规律解题． 【详解】设直线条数有n条，分成的平面最多有m个． 有以下规律： n             m 1             1+1 2             1+1+2 3             1+1+2+3 ⋯ n    m＝1+1+2+3+…+n＝+1， ∴根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+…+10＝56；故选C． 【点睛】本题考查了过平面上两点有且只有一条直线，体现了数形结合的思想． 8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，（≥2，且是整数）条直线相交最多能有（     ） A．个交点 B．个交点 C．个交点 D．个交点 【答案】D 【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式： 【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2=3个交点； 4条直线相交有1+2+3=6个交点；5条直线相交有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交有1+2+3+4+5=15个交点；… n条直线相交有1+2+3+4+…+（n-1）=故选：D 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有个交点． 9．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，则的值为(    ) A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把边形分成个三角形，由此即可计算． 【详解】解：从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，，，的值为．故选：B． 【点睛】本题考查多边形的对角线，关键是掌握：边形从一个顶点出发可引出条对角线，把边形分成个三角形． 10．（2023春·浙江·八年级专题练习）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则此多边形的边数为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据多边形对角线定义可知，一个边形某个顶点除了不能和自身以及左右两个相邻的顶点连成对角线外，其余的个顶点都能与其连成对角线，这个对角线将多边形分成个三角形，结合此多边形被对角线分成4个三角形，得到，解方程求出多边形边数即可得到答案． 【详解】解：根据题意，一个边形过某个顶点所有对角线条数为，这个对角线将多边形分成个三角形，此多边形被对角线分成4个三角形，，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形对角线的定义及实际应用，分析出多边形对角线条数以及将多边形分成的三角形个数，由题意列出方程是解决问题的关键． 11．（2023秋·广东七年级月考）平面内有7条直线，这7条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A．16 B．22 C．20 D．18 【答案】B 【分析】分别求出2条直线、3条直线、4条直线…的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】解：如图：2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有1+2个交点， 4条直线相交最多有1+2+3个交点，…n直线相交最多有1+2+3+4+5+…+(n−1)＝个交点． ∴7直线相交最多有1+2+3+4+5+…+6＝=21个交点． ∴7条直线两两相交最多可以得到21个交点，最少可以得到1个交点， ∴a＝21，b=1，∴a+b＝22，故选B． 【点睛】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是n条直线相交时最少有一个交点． 12．（23-24七年级下·山东聊城·期中）如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画10条射线得的角共有 个 【答案】66 【分析】本题考查了对角的概念和规律探索，根据画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角，可以得出规律是画n条射线，图中共有 个角，把代入计算即可． 【详解】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角，； 画2条射线，图中共有6个角，； 画3条射线，图中共有10个角，； …， ∴画n条射线，图中共有个角， ∴画10条射线所得的角的个数是（个）， 故答案为：66． 13．（21-22七年级上·河北邢台·期中）如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有三个点时，线段总共有＝3条，如果线段AB上有4个点时，线段总数有＝6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有＝10条，…… （1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有 条； （2）某学校七年级共有10个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛的场数是 ． 【答案】 （1）15 （2）45 【分析】（1）由线段AB上有三个点时，线段总共有＝3条，线段AB上有4个点时，线段总数有＝6条，线段AB上有5个点时，线段总数共有＝10条，可归纳得到当线段AB上有6个点时，线段总数共有条线段，从而可得答案； （2）仿照（1）的计算方法进行推导即可. 【详解】解：（1）由题干信息归纳可得： 当线段AB上有6个点时，线段总数共有条线段， 故答案为15 （2）由（1）得： 2个班进行辩论赛，规定进行单循环赛，比赛场次为：场， 3个班进行辩论赛，规定进行单循环赛，比赛场次为：场， 4个班进行辩论赛，规定进行单循环赛，比赛场次为：场， 归纳可得： 10个班进行辩论赛，规定进行单循环赛，比赛场次为：场； 故答案为：45 【点睛】本题考查的是图形数量规律的探索，解题的关键是“从具体的信息中抽象归纳出运算特征，再归纳并运用” 14．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面最多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则= ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究．根据题意，抽象概括出相应的数字规律，n条直线将平面最多分成部分，进而得到，再进行求解即可．解题的关键是得到． 【详解】解：∵1条直线将平面分成部分， 2条直线将平面最多分成部分， 3条直线将平面最多分成部分， 4条直线将平面形多分成部分……， ∴n条直线将平面最多分成部分， ∴， ∴ ． 故答案为：． 15．（2023秋·黑龙江绥化·八年级校考期中）从十二边形的一个顶点作对角线，把这个十二边形分成三角形的个数是 ，十二边形的对角线的条数是 【答案】 【分析】根据多边形有的性质一个顶点引 条对角线，分成个三角形，总共有 条对角线可得答案． 【详解】解：由多边形公式可得，十二边形的一个顶点作对角线，把这个十二边形分成 个三角形，总共有 条对角线， 故答案为： ，． 【点睛】本题考查多边形的性质，解题关键是熟知几个性质． 16．（2023·浙江嘉兴·七年级统考期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了 个部分． 【答案】8或9． 【分析】根据题意画出图形即可． 【详解】如图， 或 所以，平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了 8或9个部分．故答案为：8或9． 【点睛】此题考查了相交线，关键是根据直线交点个数的问题，找出规律，解决问题． 17．（2023秋·浙江·七年级专题练习）观察思考：   （1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角； （2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角？ （3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？ 【答案】（2）6；（3）10，有个不同的角 【分析】（2）根据图1直接数出即可； （3）在图1的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在∠AOB内部画n条射线时角的个数． 【详解】解：（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，如图1， 则图中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB， 共1+2+3=6个不同的角； （3）在∠AOB内部画3条射线OC、OD、OE，如图2， 在图1 的基础上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE，共有6+4=10个不同的角； 若在∠AOB内部画n条射线，则有个不同的角． 【点睛】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键． 18．（2023.广东七年级期末）为了探究n条直线能把平面最多分成几部分,我们从最简单的情形入手: ①一条直线把平面分成2部分; ②两条直线可把平面最多分成4部分; ③三条直线可把平面最多分成7部分; ④四条直线可把平面最多分成11部分;…… 把上述探究的结果进行整理,列表分析: 直线条数 把平面最多分成的部分数 写成和的形式 1 2 1+1 2 4 1+1+2 3 7 1+1+2+3 4 11 1+1+2+3+4 … … … (1)当直线条数为5时,把平面最多分成____部分,写成和的形式:______; (2)当直线条数为10时,把平面最多分成____部分; (3)当直线条数为n时,把平面最多分成多少部分? 【答案】(1) 16； (2) 56； (3)部分 【分析】（1）根据已知探究的结果可以算出当直线条数为5时，把平面最多分成16部分； （2）通过已知探究结果，写出一般规律，当直线为n条时，把平面最多分成1+1+2+3+…+n，求和即可． 【详解】（1）16;1+1+2+3+4+5. （2）56.根据表中规律知,当直线条数为10时,把平面最多分成56部分,即1+1+2+3+…+10=56. （3）当直线条数为n时,把平面最多分成1+1+2+3+…+n=部分. 【点睛】本题考查了图形的变化，通过直线分平面探究其中的隐含规律，运用了从特殊到一般的数学思想，解决此题关键是写出和的形式． 19．（2023秋·安徽滁州七年级月考）【观察思考】 在表中空白处画出图形； 线段上的 点数包括 ，两点 图例 线段总条数 ______ ______ ______ ______ ______ 【模型构建】如果线段上有个点包括线段的两个端点，那么该线段上共有多少条线段？ 【拓展应用】请将以下问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． （1）8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行______场比赛； （2）某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手______次； （3）海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票______种，票价______种． 【答案】【观察思考】见解析；【模型构建】线段上有个点包括线段的两个端点，该线段上共有条线段；【拓展应用】（1）28；（2）900；（3）；． 【分析】观察思考：根据题意画出图形即可；模型构建：根据表中的规律找到答案即可； 拓展应用：（1）根据8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛列式计算即可；（2）根据题意列式计算即可；（3）根据题意列式计算即可． 【详解】解：【观察思考】  ；   ；    ；  ；   ； 【模型构建】解：， 所以该线上共有条线段， 答：线段上有个点包括线段的两个端点，该线段上共有条线段； 【拓展应用】（1）因为， 所以位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行场比赛；故答案为：； （2）因为， 所以某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手次；故答案为：； （3）因为，， 所以海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票种，票价种．故答案为：；． 【点睛】此题考查了直线上线段条数的变化规律及其应用，得到“线段上有个点包括线段的两个端点，该线段上共有条线段”是解题的关键． 20．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．” （1）【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠个车站（来回票价一样），可以从任意站点头票出发且任意两站间的票价都不同，共有___________种不同的票价，需准备________种车票． 聪明的小周是这样思考这个问题的，她用，，，，个点表示车站，每两站之间的票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价． （2）【迁移应用】，，，，，六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出，，，，五支队已经分别比赛了，，，，场球，则还没有与队比赛的球队是______队． （3）【拓展创新】某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划的三分之一，过了小镇，汽车行驶了千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，求，两市相距多少千米？ 【答案】（1），；（2）E队；（3）千米． 【分析】（1）分别画出表示车站的四个点间所有的线段，即可求得票价种类，再根据实际意义，往返车票不一样，即可解得车票种类； （2）根据题意得队已经比赛了5场，即每支队伍都与队比赛过，其中包含队的一场，继而解得队比赛的4场里没有与队的比赛，据此解题； （3）设，两市相距千米，根据题意，列一元一次方程即可解题． 【详解】解：（1）用，，，，个点表示车站， 需准备—、—、—、—、—、—共6种不同票价，12种不同的车票， 故答案为：6；12； （2）由于队已经比赛了5场，即每支队伍都与队比赛过， 又队已经比赛过1场，即与队比赛的那场， 可知，队比赛的4场里没有与队的比赛，故答案为：； （3）设，两市相距千米， ，， 列以下方程：解得 答：，两市相距千米． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用、线段的实际应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21．（2023秋·山西七年级月考））小明在一条直线上选了若干个点，通过数线段的条数，发现其中蕴含了一定的规律，下边是他的探究过程及联想到的一些相关实际问题. （1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+2=3条；一条直线上有4个点，线段共有1+2+3=6条…一条直线上有10个点，线段共有 条. （2）总结规律：一条直线上有n个点，线段共有 条. （3）拓展探究：具有公共端点的两条射线OA、OB形成1个角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB内部再加一条射线OC，此时具有公共端点的三条射线OA、OB、OC共形成3个角；以此类推，具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成 个角 （4）解决问题：曲沃县某学校九年级1班有45名学生毕业留影时，全体同学拍1张集体照，每2名学生拍1张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1张照片留作纪念，又应该冲印多少张纸质照片？ 【答案】（1）45；（2）；（3）；（4）共需拍照991张，共需冲印2025张纸质照片 【分析】（1）根据规律可知：一条直线上有10个点，线段数为整数1到10的和； （2）根据规律可知：一条直线上有n个点，线段数为整数1到n的和； （3）将角的两边看着线段的两个端点，那么角的个数与直线上线段的问题一样，根据线段数的规律探究迁移可得答案； （4）把45名学生看着一条直线上的45点，每2名学生拍1张两人照看着两点成的线段，那么根据（2）的规律即可求出两人合影拍照多少张，再加上集体照即可解答共拍照片张数，然后根据两人合影冲印，集体合影45张计算总张数即可. 【详解】解：（1） 一条直线上有10个点，线段共有1+2+3+……+10=45（条）. 故答案为：45； （2） 一条直线上有n个点，线段共有条.故答案为：； （3）由（2）得：具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成个角；故答案为：； （4）解：  45×（45-1）+1×45=2025 答：共需拍照991张，共需冲印2025张纸质照片 【点睛】此题主要考查了线段的计数问题，体现了“具体---抽象----具体”的思维探索过程，探索规律、运用规律.解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． 22．（2023秋·浙江·七年级专题练习）阅读表： 线段上的点数（包括A，B两点） 图形 线段总条数N 3 4 5 6 7 解答下列问题： (1)在表中空白处分别画出图形，写出线段总条数； (2)请猜测，线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）有什么关系？请写出来； (3)变式练习①：如果过每两点可以画一条直线，那么请在下面三组图中分别画线，并回答问题： 第（1）组最多可以画 　条直线；第（2）组最多可以画 　条直线；第（3）组最多可以画 　　条直线． 归纳结论：如果平面上有个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线_____条．（用含n的代数式表示） 变式练习②：某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握_____次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需_____件礼物． 变式练习③：从A地到B地的火车途中共停靠7个站（不包括出发站和终点站），请问共需准备_____种车票． 【答案】(1)画出图形见解析；， (2)线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）的关系为： (3)变式练习①：3；6；10；归纳结论：；变式练习②：1225；2450；变式练习③：36 【分析】（1）根据图中规律画出图形，写出结果； （2）线段的总条数N与线段上的点数n的关系式； （3）①根据两点确定一条直线作图分析；归纳结论：根据数字变化规律列出代数式； ②根据归纳结论代入相应的数值求解；③从A地到B地的火车途中共停靠7个站（不包括出发站和终点站），那么一共有9个站，即，将，代入（2）中的关系式即可． 【详解】（1）解：线段上的点数（包括A，B两点）为6个时，如图： 此时，线段总条数， 线段上的点数（包括A，B两点）为7个时，如图： 此时，线段总条数，填表如下： 线段上的点数（包括A，B两点） 图形 线段总条数N 3 4 5 6 7 （2）解：线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）的关系为：； （3）解：①第（1）组最多可以画3条直线，第（2）组最多可以画6条直线， 第（3）组最多可以画10条直线，故答案为：3；6；10； 归纳结论：如果平面上有个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线条， 故答案为：； ②当时，（次），（件）， ∴某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握1225次手，最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需 2450件礼物，故答案为：1225；2450； ③当时，（种）， ∴从A地到B地的火车途中共停靠7个站（不包括出发站和终点站），请问共需准备36种车票， 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了线段的定义，此题在线段的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，注意第三问是要求的单趟的车票种类． 23．（2023秋·山西太原·七年级校考阶段练习）观察探究及应用． （1）如图，观察图形并填空： 一个四边形有_______条对角线；一个五边形有_______条对角线；一个六边形有_______条对角线； （2）分析探究：由凸边形的一个顶点出发，可作_______条对角线，多边形有个顶点，若允许重复计数，共可作_______条对角线；（3）结论：一个凸边形有_______条对角线；（4）应用：一个凸十二边形有多少条对角线？ 【答案】（1）2；5；9；（2）(n-3)；n(n-3)；（3）；（4）54 【分析】（1）根据图形数出对角线条数即可；（2）根据所画图形可推导出凸n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，进而可得共可作n(n-3)条对角线；（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条，即可解答；（4）把n=12代入（3）计算即可． 【详解】解：（1）根据图形数出对角线条数，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9对角线；故答案为：2；5；9； （2）∵从凸4边形的一个顶点出发，可作1条对角线， 从凸5边形的一个顶点出发，可作2条对角线， 从凸6边形的一个顶点出发，可作3条对角线， 从凸7边形的一个顶点出发，可作4条对角线，… ∴从凸n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，若允许重复计数，共可作n(n-3)条对角线； 故答案为：(n-3)；n(n-3)． （3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条，故答案为：． （4）把n=12代入计算得：=54．故一个凸十二边形有54条对角线． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题关键是n边形从一个顶点出发的对角线有(n-3)条． 24．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． ．．．．．．．．．．．． 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， ∴_________．则_______． (2)运用规律，计算表达． ①求_____________． ②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条． (3)迁移规律，解决问题． ①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班． ②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条． ③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？ 【答案】(1)，(2)①5047；②，(3)①90；②135；③ 【分析】（1）根据题目中的规律即可求解；（2）①根据（1）中的规律即可求解；②根据规律即可求解；（3）①10个城市每两个城市都要互通航班，据此即可求解；②分别计算横向和竖向的线段条数，即可求解；③利用分类的方法可求得2022年足球世界杯共进行多少场比赛． 【详解】（1）解：．则．故答案为：，； （2）解：①． ②如果该班有名同学，则共击掌次，共赠送祝福语条． 故答案为：①5047；②100；③，； （3）解：①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，10个城市一共需要开通架航班； ②横线上的线段有条，竖线上的线段有条， 则横线和竖线上的线段共有条； ③32支比赛分为8个小组，每个小组4支球队，共有场比赛， 16强分成8组对阵，共有8场比赛， 8强分成4组对阵，共有4场比赛， 4强分成2组对阵，共有2场比赛， 决赛有2场比赛，故共有场比赛． 故答案为：①90；②135；③64． 【点睛】本题考查了探索规律，线段的计数，线段的计数时应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，利用规律解决问题． 25．（2023·山东青岛·七年级统考期末）【问题提出】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： (1)探究一：将一条线段上随机设置n个点，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1，当n＝0时，图中线段有：线段AB，共1条线段； 如图2，当n＝1时，以A为端点的线段有：线段AC和线段AB，共2条线段；以C为端点的有：线段CB，共1条线段，故图中共有条线段； 如图3，当n＝2时，以A为端点的线段有：线段AC，线段AD和线段AB，共3条线段；以C为端点的有：线段CD和线段CB，共2条线段；以D为端点的有：线段DB，共1条线段，故图中共有条线段；…… 小结：当随机设置了n个点后，一共可以形成 　 　条线段．（用含n的代数式表示） (2)探究二：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，则一共有多少个长方形（包括正方形）？ 首先我们先探究宽上不设置点的情况． 如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形． 如图4﹣2，当，时，图中一共有3个长方形． 如图4﹣3，当，时，图中一共有6个长方形．…… 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有 　 　个长方形．（用含m的代数式表示） 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有 　 　个长方形．（用含n的代数式表示） 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有9个长方形（包括正方形）． 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有36个长方形（包括正方形）．…… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（用含m、n的代数式表示） 【问题解决】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果） 【答案】(1)(2)； ；；问题解决：97650 【分析】（1）利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律得出结论，再利用结论将特殊值代入运算即可得出结论．（2）利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律得出结论，再利用结论将特殊值代入运算即可得出结论． 问题解决：利用（2）探究到的规律解答即可． 【详解】（1）解：（1）探究一：如图1，当时，图中线段有1条， 如图2，当时，图中线段有条，如图3，当时，图中线段有条， 同理，当时，图中线段有条， ……， 当随机设置了n个点后，一共有条线段，故答案为：； （2）探究二：如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形， 如图4﹣2，当，时，图中一共有个长方形， 如图4﹣3，当，时，图中一共有个长方形， 同理，当，时，图中共有个长方形， ……， 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有个长方形， 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共个长方形； 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， …… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，长上共形成条线段，宽上共形成 条线段连接各边对应的点，则图中一共有个长方形（包括正方形），故答案为：，，； 问题解决：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点， 则长上共形成条线段，宽上共形成条线段，图中一共有个长方形（包括正方形），故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的变化的规律，列代数式，求代数式的值，有理数的混合运算，利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40 学科网（北京）股份有限公司 $$