专题05 线段、角（对角线）的计数模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版2024）

专题05 线段、角（对角线）的计数模型 本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面分割的计数、多边形的对角线条数和三角形分割个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。 2 模型1.线段的计数模型 2 模型2.角度的计数模型 5 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 9 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 13 17 模型1.线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 例1．（2023秋·四川遂宁·七年级校考期末）如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上，则图中线段的条数有（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 例2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南—淄博—潍坊—青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票 种． 例3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）石衡沧港城际铁路是京津冀城际铁路网“四纵四横一环”的重要组成部分，在沧州境内途径泊头、沧县、黄骅、渤海新区四个县（市），要保证每两个县（市）之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（    ） A．20种 B．15种 C．12种 D．6种 例4．（2023·山东七年级月考）（1）【观察思考】：如图，线段AB上有两个点C、D，图中共有 条线段； （2）【模型构建】：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有 条线段.请简要说明结论的正确性； （3）【拓展应用】：8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行 场比赛. 类比【模型构建】简要说明. 例5．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：       图①              图② （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上）其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排__________场比赛： （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排__________场比赛． 实际应用：（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上52位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手__________次． 拓展提高：（5）往返于广州南和珠海北的广珠轻轨列车，中途经南朗、中山、中山北、东升、小榄、容桂、顺德、北滘等8个车站（每种纸质车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备纸质的车票的种数为__________种． 模型2.角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 例1．（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，则图中共有 个角． 例2．（23-24七年级下·浙江杭州·开学考试）如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 例3．（2023秋·重庆七年级课时练习）（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角； （2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 个不同的角； （3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角； （4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角； （5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角． 例4．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 例1．（2023春·浙江七年级期中）已知条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…由此猜想，条直线最多有个交点（　　） A．16 B．28 C．32 D．40 例2．（2023春·安徽芜湖·七年级校联考期中）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 例3．（2023春·广东七年级期中）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个，n条直线两两相交的直线最多有 个交点． 例4．（2023春·广东七年级期中）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点： （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 例5．（23-24七年级上·江西赣州·期末）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 例1．（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形边数是（　　） A．8 B．10 C．11 D．9 例2．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）从边形的一个顶点引出的对角线把它最多划分为个三角形，则的值为（  ） A． B． C． D． 例3．（2023秋·山东济南·七年级校联考期末）我们知道，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么十二边形的对角线总条数是（    ） A．9 B．54 C．60 D．108 例4．（2023·山东·八年级专题练习）多边形的对角线： 多边形的对角线是连接多边形 的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有 条对角线，将n边形分成 个三角形，一个n边形共有 条对角线． 例 5．（2023春·山东聊城·七年级校联考期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）平面内有条不重合的直线，这条直线把整个平面最少分成个部分，最多分成个部分．若，则的值为（    ） A．47 B．48 C．49 D．50 2．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．（2023秋·山东青岛·七年级校考期末）如图，AB是一段高铁行驶路线图图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（　　）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 4．（2023·河北邯郸·七年级校考期末）由邯郸到北京的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：邯郸—邢台—石家庄—保定—北京，那么要为这次列车制作的火车票有（    ） A．9种 B．20种 C．10种 D．72种 5．（2023·湖北荆门·七年级统考期中）两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 6．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点按这样的规律若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 7．（2023春·四川达州·七年级校考期末）如图图形是按一定的规律排列的，依照此规律，第10个图形有（　　）条线段．    A．125 B．140 C．155 D．160 8．（2023·四川成都·七年级校考期末）成都与重庆之间往返的动车，除起始站和终点站外中途都有3个停靠站，则铁路部门针对此动车需要发售 种不同行程的动车票. 9．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）过五边形的一个顶点有 条对角线． 10．（2023秋·河南郑州·七年级校考期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则 ． 11．（2023秋·重庆·七年级期中）如图所示，过六边形的顶点的所有对角线可将六边形分成 个三角形． 12．（2023秋·山东德州·八年级校考期中）从多边形的一个顶点所引的对角线，把这个多边形分成7个三角形，则这个多边形共 条对角线． 13．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面最多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则= ． 14．（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 15．（2023·北京·七年级校考阶段练习）表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系： 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 3=1+2 6=1+2+3 … 按此规律，6条直线相交，最多有 个交点；n条直线相交，最多有 个交点．（n为正整数） 16．（2023秋·江苏·七年级专题练习）平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点． (1)请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数； (2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）； (3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？ (4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 17．（2023·北京市七年级课时练习）如图，线段上的点数与以这些点为端点的线段的总数有如下关系：    (1)当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总共有________条； (2)当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总共有多少条？ (3)根据上述信息解决下面的问题：①某学校七年级共有20个班级进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两个班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要设置多少种不同的车票（仅考虑车票的起点站与终点站之分）？ 18．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）如图，线段 AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有3个点时，线段共有3条；如果线段上有4个点时，线段共有6条；如果线段上有5个点时，线段共有10条；(1)当线段上有6个点时，线段共有 条？(2)当线段上有n个点时，线段共有多少条？（用n的代数式表示）；(3)当，线段共有多少条？    19．（2023秋·浙江·七年级专题练习）观察思考：   （1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角； （2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角？ （3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？ 20．（2023春·广东肇庆·七年级校考阶段练习）观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图a，图中共有＿＿＿对对顶角；（2）如图b，图中共有＿＿＿对对顶角； （3）如图c，图中共有＿＿＿对对顶角.（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有       n条直线相交于一点, 则可形成＿＿＿对对顶角？ （5）若有2008条直线相交于一点，则可形成＿＿＿对对顶角？ 21．（2023秋黑龙江七年级月考）找规律： 一次足球比赛中，有n（n≥2）个球队参加比赛，假设此次比赛为单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场），球队总数与总的比赛场数如表． 球队数（n） 2 3 4 5 6 比赛场数 1 3 6 10 15 （1）8个球队总共比赛的总场数为 　 　．（2）当有n个球队参加时，共比多少场？ （2）当n＝10时，共有多少场比赛？ 22．（2023秋·河北八年级课时练习）如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…                                                                                                  （1）完成下表： 连接个数 出现三角形个数 若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ 若一直连接到An，则图中共有__________个三角形． 21．（2023秋·浙江七年级月考）(1)观察思考 如图所示，线段AB上的点数与线段的总条数有如下关系：如果线段AB上有3个点，那么线段总条数为3；如果线段AB上有4个点，那么线段总条数为6；如果线段AB上有5个点，那么线段总条数为________． 　　　　3＝2＋1＝       6＝3＋2＋1＝ (2)模型构建:如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，那么共有________条线段． (3)拓展应用:8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？ 请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． 22．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）： 内部有1个点                   内部有2个点                   内部有3个点 （1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的个数 5 7 9 … （2）原五边形能否被分割成2019个三角形？若能，求此时五边形内部有多少个点？若不能，请说明理由. 23．（2023秋·山东青岛·七年级统考期末）问题提出： 某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校一共要安排 场比赛．      （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排__________场比赛； ………… （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排___________场比赛． 实际应用：（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手___________次． 拓展提高：（5）往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为_____种． 24．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． ．．．．．．．．．．．． 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， ∴_________．则_______． (2)运用规律，计算表达． ①求_____________． ②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条． (3)迁移规律，解决问题． ①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班． ②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条． ③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？ 25．（2023·山东青岛·七年级统考期末）【问题提出】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： (1)探究一：将一条线段上随机设置n个点，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1，当n＝0时，图中线段有：线段AB，共1条线段； 如图2，当n＝1时，以A为端点的线段有：线段AC和线段AB，共2条线段；以C为端点的有：线段CB，共1条线段，故图中共有条线段； 如图3，当n＝2时，以A为端点的线段有：线段AC，线段AD和线段AB，共3条线段；以C为端点的有：线段CD和线段CB，共2条线段；以D为端点的有：线段DB，共1条线段，故图中共有条线段；…… 小结：当随机设置了n个点后，一共可以形成 　 　条线段．（用含n的代数式表示） (2)探究二：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，则一共有多少个长方形（包括正方形）？ 首先我们先探究宽上不设置点的情况． 如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形． 如图4﹣2，当，时，图中一共有3个长方形． 如图4﹣3，当，时，图中一共有6个长方形．…… 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有 　 　个长方形．（用含m的代数式表示） 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有 　 　个长方形．（用含n的代数式表示） 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有9个长方形（包括正方形）． 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有36个长方形（包括正方形）．…… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（用含m、n的代数式表示） 【问题解决】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 线段、角（对角线）的计数模型 本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面分割的计数、多边形的对角线条数和三角形分割个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。 2 模型1.线段的计数模型 2 模型2.角度的计数模型 5 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 9 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 13 17 模型1.线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 例1．（2023秋·四川遂宁·七年级校考期末）如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上，则图中线段的条数有（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】D 【分析】根据线段的定义，写出所有线段后再计算条数． 【详解】解：由图可得，线段有：线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD、线段CD，共6条． 故选：D． 【点睛】本题主要考查线段的定义，注意解决计数问题时要做到不重不漏． 例2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南—淄博—潍坊—青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票 种． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的数量问题；单程两个站点有一种票，相当于图中线段条数问题，根据计算即可． 【详解】解：（种），∴要为这次列车制作的单程火车票6种．故答案为：． 例3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）石衡沧港城际铁路是京津冀城际铁路网“四纵四横一环”的重要组成部分，在沧州境内途径泊头、沧县、黄骅、渤海新区四个县（市），要保证每两个县（市）之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（    ） A．20种 B．15种 C．12种 D．6种 【答案】C 【分析】先求出线段的条数，再计算车票的种数． 【详解】解：需要印制不同的火车票的种数为（种）故选：C 【点睛】本题考查了线段的运用，注意根据规律计算的同时，还要注意火车票需要考虑往返情况． 例4．（2023·山东七年级月考）（1）【观察思考】：如图，线段AB上有两个点C、D，图中共有 条线段； （2）【模型构建】：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有 条线段.请简要说明结论的正确性； （3）【拓展应用】：8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行 场比赛. 类比【模型构建】简要说明. 【答案】(1)6；(2)，理由见解析；(3)28，理由见解析. 【分析】（1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可； （2）根据数线段的特点列出式子化简即可； （3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论． 【详解】解：（1）以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD， 以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB， 以点D为左端点的线段有线段DB，共有3+2+1=6条线段. （2）. 理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=（m-1）+（m-2）+（m-3）+…+3+2+1， ∴倒序排列有x=1+2+3+…+（m-3）+（m-2）+（m-1）， ∴2x==m（m-1），∴x= （3）把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行 =28场比赛. 故答案为(1)6；(2)，理由见解析；(3)28，理由见解析. 【点睛】此题是线段的计数问题，主要考查了数线段的方法和技巧，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． 例5．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：       图①              图② （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上）其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排__________场比赛： （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排__________场比赛． 实际应用：（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上52位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手__________次． 拓展提高：（5）往返于广州南和珠海北的广珠轻轨列车，中途经南朗、中山、中山北、东升、小榄、容桂、顺德、北滘等8个车站（每种纸质车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备纸质的车票的种数为__________种． 【答案】（2）15（3）（4）1326（5）90 【分析】本题考查了归纳总结和对变形对角线问题，求出关于n的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键．（2）根据图②线段数量进行作答；（3）根据每个点存在条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，即可得出答案；（4）根据题意，代入求解即可；（5）根据题意，代入求解即可． 【详解】解：（2）由图②可知，我们可以在平面内画出6个点（任意3个点都不在同一条直线上）其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外5个点都连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排15场比赛；故答案为：15； （3）根据图①和图②可知，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则每个点存在条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次 ∴若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排场比赛；故答案为：； （4）将代入（3）中结果，∴全班同学总共握手1326次，故答案为：1326； （5）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况 将代入 中解得∴要准备车票的种数为90种． 模型2.角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 例1．（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，则图中共有 个角． 【答案】 【分析】根据题意可知图中有两条射线，进而可得图中角的数量为个． 【详解】解：∵图中有两条射线， ∴图中角的数量为个，故答案为：． 【点睛】本题考查了根据角中射线的数量求角的个数，根据图形找出规律是解题的关键． 例2．（23-24七年级下·浙江杭州·开学考试）如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个，以 为一边的角1个． 共有角 个 ．去掉 直角 ，还有27个．故答案为：B． 例3．（2023秋·重庆七年级课时练习）（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角； （2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 个不同的角； （3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角； （4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角； （5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角． 【答案】（1）3（2）6（3）10（4）66（5） 【详解】试题分析：（1）根据图形，图中有1+2=3个不同的角； （2）根据图形，图中有1+2+3=6个不同的角；（3）图中有1+2+3+4=10个不同的角，； （4）图中有1+2+3+…+9+10+11=66个角；（5）求出1+2+3+…+n+（n+1）的值即可 试题解析：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，故答案为3． （2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，故答案为6． （3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，故答案为10． （4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+10+11=66个不同的角，故答案为66． （5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）= 个不同的角． 考点：角的概念． 例4．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③(2) 【分析】（1）①②根据角的概念求出即可；③根据①②分析得出的规律求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ，∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ，∴图中得到6个角； ③由①②可得，当从点分别引条射线， ，∴得到个角； （2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛． 【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 例1．（2023春·浙江七年级期中）已知条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…由此猜想，条直线最多有个交点（　　） A．16 B．28 C．32 D．40 【答案】B 【分析】利用给出的交点个数，推导出规律，再将8代入计算即可． 【详解】解：∵条直线最多有个交点， 条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…… ∴条直线最多有个交点，∴时，（个）， ∴条直线最多有个交点．故选：B． 【点睛】本题考查直线的交点个数，也就是数字规律题，解题的关键是找到数字规律，把特殊值代入求值． 例2．（2023春·安徽芜湖·七年级校联考期中）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据题意画出图形即可求解． 【详解】如图所示，将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为块，故选：C． 【点睛】本题考查了直线分平面问题，理解题意是解题的关键． 例3．（2023春·广东七年级期中）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个，n条直线两两相交的直线最多有 个交点． 【答案】 1 15 【分析】根据相交直线的交点找出相应规律求解即可． 【详解】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个； 若平面内有相交的2条直线，则最多有1个交点；（即：）； 若平面内有两两相交的3条直线，则最多有3个交点；（即：）； 若平面内有两两相交的4条直线，则最多有6个交点；（即：）； 若平面内有两两相交的5条直线，则最多有10个交点；（即：）； 则平面内两两相交的6条直线，其交点个数最多有15个交点；（即）； 若平面内有n条直线两两相交，则最多有个交点；故答案为：1，15，． 【点睛】题目主要考查直线交点问题及规律探索，找出相应规律是解题关键． 例4．（2023春·广东七年级期中）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点： （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 【答案】（1）3，6，28，；（2）7，11，37， 【分析】（1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可得出n条直线相交最多有交点的个数； （2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即可n条直线最多把平面分成几部分． 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1+2=3个交点； 4条直线相交最多有1+2+3=6个交点；5条直线相交最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交最多有1+2+3+4+5=15个交点；7条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点， 8条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28个交点，… n条直线相交最多有个交点； （2）1条直线最多把平面分成1+1=2部分；2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分； 3条直线最多把平面分成1+1+2+3=7部分；4条直线最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分； 5条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分；6条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分； 7条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分； 8条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分；… n条直线最多把平面分成 【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，弄清题中的规律是解本题的关键． 例5．（23-24七年级上·江西赣州·期末）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场 【分析】[观察发现]根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n−1)个交点；[实践应用] 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=； ②三条直线相交最多有3个交点：3=； ③四条直线相交最多有6个交点：6=；… n条直线相交最多有个交点．故答案为：6，． [实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入． ∴这一轮共要进行120场比赛． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 例1．（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形边数是（　　） A．8 B．10 C．11 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题．根据一个边形从一个顶点出发有条对角线，即可求出该多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 一个多边形从一个顶点出发共引8条对角线，，解得：，故选：C． 例2．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）从边形的一个顶点引出的对角线把它最多划分为个三角形，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式即可求边数． 【详解】解：依题意有，解得：．故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解． 例3．（2023秋·山东济南·七年级校联考期末）我们知道，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么十二边形的对角线总条数是（    ） A．9 B．54 C．60 D．108 【答案】B 【分析】n边形的对角线条数公式 代入即可求出． 【详解】12×（12-3）÷2=54故本题答案为：B 【点睛】求多边形的对角线条数是本题的考点，牢记公式是解决此题的关键． 例4．（2023·山东·八年级专题练习）多边形的对角线： 多边形的对角线是连接多边形 的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有 条对角线，将n边形分成 个三角形，一个n边形共有 条对角线． 【答案】 任意不相邻 【分析】根据多边形的对角线的定义作答即可． 【详解】解：多边形的对角线是指连接多边形任意不相邻的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有条对角线，将边形分成个三角形，一个n边形共有条对边线． 故答案为：任意不相邻，，，． 【点睛】本题考查多边形的对角线．解题的关键在于熟练掌握多边形对角线的定义，对角线的条数等知识． 例 5．（2023春·山东聊城·七年级校联考期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014 【分析】根据题意求出相应数据，填表即可；①由表格探求的边形对角线总条数公式：得出最终结果；②从边形的一个顶点出发可引条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为，据此求解． 【详解】解：填表如下： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 3 多边形对角线的总条数 5 9 故答案为：3，，， ； 把代入得，．十二边形有条对角线． 能．由题意得，23，解得=1014． 多边形的边数n是正整数，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014． 【点睛】本题考查边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）平面内有条不重合的直线，这条直线把整个平面最少分成个部分，最多分成个部分．若，则的值为（    ） A．47 B．48 C．49 D．50 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律探索，代数式求值，解题的关键是根据题意得出同一平面内n条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分，然后代入数据求出结果即可． 【详解】解：同一平面内2条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分， 同一平面内3条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分， 同一平面内4条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分， …… 同一平面内n条直线，把这个平面至少分成部分，最多分成部分， ∴，， ∵，∴， ∵当时，， 当时，， 当时，， 当时，，∴符合题意，故选：B． 2．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点而图中共有线段六条，所以出现报警次数最多六次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报, 图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA 发出警报的可能最多有6个故选C． 【点睛】本题考查的是直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 3．（2023秋·山东青岛·七年级校考期末）如图，AB是一段高铁行驶路线图图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（　　）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【答案】C 【分析】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制（5﹣1）种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：5×（5﹣1）＝20，故选：C． 【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站． 4．（2023·河北邯郸·七年级校考期末）由邯郸到北京的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：邯郸—邢台—石家庄—保定—北京，那么要为这次列车制作的火车票有（    ） A．9种 B．20种 C．10种 D．72种 【答案】A 【详解】共需制作的车票数为：4+3+2+1，=2×10，=10（种）．故选A． 5．（2023·湖北荆门·七年级统考期中）两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题中直线的位置关系不明确，应分情况讨论，包括两条相交直线是否是另一条直线平行、相交或交于同一点． 【详解】解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1； 当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2； 当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3；故选D． 【点睛】本题涉及直线的相关知识，难度一般，考生需要全面考虑问题 6．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点按这样的规律若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点……按这样的规律，n条直线相交的交点最多是个交点，再把各选项的n的值代入计算即可解答问题． 【详解】解：2条直线相交有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点…， 按照这样的规律，n条直线相交的交点最多是个交点， 当时，则，当时，则， 当时，则，当时，则， 答：若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为9． 故选B． 【点睛】此题考查的是相交线及规律性题目，解答此题关键是根据直线的条数变化得到的交点个数的变化，得出规律，再利用规律进行计算即可解答问题． 7．（2023春·四川达州·七年级校考期末）如图图形是按一定的规律排列的，依照此规律，第10个图形有（　　）条线段．    A．125 B．140 C．155 D．160 【答案】B 【分析】根据已知图形，得出一般规律第个图形的线段条数为，据此即可求出第10个图形的线段条数． 【详解】解：观察图形发现第1图形的线段条数为； 第2个图形的线段条数为； 第3个图形的线段条数为；…… 观察可知一般规律，第个图形的线段条数为； 即第10个图形的线段条数为，故选：B． 【点睛】本题属于规律探索题，考查了线段的数量，根据题意图形正确得出一般规律是解题关键． 8．（2023·四川成都·七年级校考期末）成都与重庆之间往返的动车，除起始站和终点站外中途都有3个停靠站，则铁路部门针对此动车需要发售 种不同行程的动车票. 【答案】 【分析】根据题意画出示意图，数出线段的条数，再根据往返是两种不同的车票，可得答案． 【详解】解：由图知：成都与重庆之间往返的动车，中途还需停靠3个站，共有10条线段， ∵往返是两种不同的车票，∴铁路部门对此运行区间应准备20种不同的火车票．故答案为20． 【点睛】此题主要考查了数学知识解决生活中的问题；需要掌握正确数线段的方法． 9．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）过五边形的一个顶点有 条对角线． 【答案】2 【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一个顶点出发可引出条对角线． 【详解】从五边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的2个顶点引对角线，即能引出2条对角线， 故答案为：2． 【点睛】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线． 10．（2023秋·河南郑州·七年级校考期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则 ． 【答案】 【分析】过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形，据此求得的值，继而即可求解． 【详解】解：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握过多边形的一个顶点的对角线条数为是解题的关键． 11．（2023秋·重庆·七年级期中）如图所示，过六边形的顶点的所有对角线可将六边形分成 个三角形． 【答案】4 【分析】从边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成个三角形，依此作答． 【详解】解：过六边形的顶点的所有对角线可将六边形分成个三角形．故答案为4． 【点睛】本题主要考查多边形的对角线，从边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为． 12．（2023秋·山东德州·八年级校考期中）从多边形的一个顶点所引的对角线，把这个多边形分成7个三角形，则这个多边形共 条对角线． 【答案】27 【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数，再求出对角线． 【详解】解：设这个多边形有n条边，，解得：， ∴这个多边形的对角线条数：．故答案为：27． 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．多边形过一个顶点引的对角线将多边形分为个三角形，一共有条对角线． 13．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面最多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则= ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究．根据题意，抽象概括出相应的数字规律，n条直线将平面最多分成部分，进而得到，再进行求解即可．解题的关键是得到． 【详解】解：∵1条直线将平面分成部分， 2条直线将平面最多分成部分， 3条直线将平面最多分成部分， 4条直线将平面形多分成部分……， ∴n条直线将平面最多分成部分， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14．（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 【答案】20 【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5个点中线段的总条数是（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票，∴应印制（种），故答案为：20． 【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”． 15．（2023·北京·七年级校考阶段练习）表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系： 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 3=1+2 6=1+2+3 … 按此规律，6条直线相交，最多有 个交点；n条直线相交，最多有 个交点．（n为正整数） 【答案】 15, 【分析】根据观察，可发现规律：n条直线最多的交点是1+2+3+（n-1）． 【详解】6条直线相交，最多有个交点1+2+3+4+5=15； n条直线相交，最多有1+2+3+（n-1）＝.故答案是：15，. 【点睛】考查了直线，每两条直线有一个交点得出n条直线最多的交点是1+2+3+（n-1）是解题关键. 16．（2023秋·江苏·七年级专题练习）平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点． (1)请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数； (2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）； (3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？ (4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 【答案】(1)图见解析，有6个(2)见解析(3)见解析(4)①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这时交点最少，②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多 【分析】（1）画出满足条件的图形即可；（2）根据题意画出与解析（1）交点个数不同的图形即可； （3）根据题意要求画出交点个数分别为6，21，15的图形即可； （4）从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出，从画出的图形中归纳规律即可得到答案． 【详解】（1）解：解：如图1所示；交点共有6个， （2）解：如图2，3所示： （3）解：当时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4所示： 当时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5所示： 当时，如图6所示． （4）解：当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律： ①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这时交点最少， ②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多． 【点睛】本题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形，再再根据图形归纳规律． 17．（2023·北京市七年级课时练习）如图，线段上的点数与以这些点为端点的线段的总数有如下关系：    (1)当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总共有________条； (2)当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总共有多少条？ (3)根据上述信息解决下面的问题：①某学校七年级共有20个班级进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两个班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要设置多少种不同的车票（仅考虑车票的起点站与终点站之分）？ 【答案】(1)3，6，10(2)线段总共有条 (3)①该校七年级的辩论赛共要进行190场；②需要设置132种车票 【分析】（1）根据线段的定义进行求解即可；（2）根据（1）中的等式，得到以这些点为端点的线段总数共有条；（3）①根据（2）中的结论，进行求解即可；②根据（2）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）； 当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）； 当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）．答案：3，6，10 （2）当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）； 因为（条）， 所以（条）．答：线段总共有条． （3）①当时，（场）． 答：该校七年级的辩论赛共要进行190场． ②当线段上（除两端点，）有10个点时，∴，， ∴车票有（种）．答：需要设置132种车票． 【点睛】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到一条线段上有个点，可以得到条线段． 18．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）如图，线段 AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有3个点时，线段共有3条；如果线段上有4个点时，线段共有6条；如果线段上有5个点时，线段共有10条；    (1)当线段上有6个点时，线段共有 条？(2)当线段上有n个点时，线段共有多少条？（用n的代数式表示） (3)当，线段共有多少条？ 【答案】(1)15(2)(3)4950条 【分析】（1）由已知条件可得出线段上有6个点时的线段数的规律是，即可得出答案； （2）通过观察得知，当线段上有n个点时，线段总数为：，即可得出结论； （3）把代入前面的公式即可得出答案． 【详解】（1）通过观察得知：当有3个点时，线段的总数为： ； 当有4个点时，线段的总数为： ；当有5个点时，线段的总数为： ； ∴当有6个点时，线段的总数为： 条． （2）由（1）可看出，当线段AB上有n个点时，线段总数为： （3）把代入前面的公式：条． 【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 19．（2023秋·浙江·七年级专题练习）观察思考：   （1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角； （2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角？ （3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？ 【答案】（2）6；（3）10，有个不同的角 【分析】（2）根据图1直接数出即可；（3）在图1的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在∠AOB内部画n条射线时角的个数． 【详解】解：（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，如图1， 则图中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB，共1+2+3=6个不同的角； （3）在∠AOB内部画3条射线OC、OD、OE，如图2， 在图1 的基础上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE，共有6+4=10个不同的角； 若在∠AOB内部画n条射线，则有个不同的角． 【点睛】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键． 20．（2023春·广东肇庆·七年级校考阶段练习）观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图a，图中共有＿＿＿对对顶角；（2）如图b，图中共有＿＿＿对对顶角； （3）如图c，图中共有＿＿＿对对顶角.（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有       n条直线相交于一点, 则可形成＿＿＿对对顶角？ （5）若有2008条直线相交于一点，则可形成＿＿＿对对顶角？ 【答案】（1）2；（2）6；（3）12；（4）n（n-1）；（5）4030056 【分析】（1）（2）（3）分别根据对顶角的定义计算即可得解； （4）根据对顶角的对数和直线的条数的规律写出即可； （5）把n=2008代入（4）的公式计算即可得解． 【详解】解：（1）图中共有∠AOC和∠BOD、∠AOD和∠BOC共2对对顶角，； （2）图中共有6对对顶角；（3）图中共有12对对顶角； （4）∵2=2×(2-1)，6=3×(3-1)，12=4×(4-1)，∴n条直线相交，形成n（n-1）对对顶角， （5）2008条直线相交于一点，可形成2008×（2008-1）=4030056对对顶角. 【点睛】本题考查了对顶角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图，按照一定的顺序计算对顶角的对数是解题的关键. 21．（2023秋黑龙江七年级月考）找规律： 一次足球比赛中，有n（n≥2）个球队参加比赛，假设此次比赛为单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场），球队总数与总的比赛场数如表． 球队数（n） 2 3 4 5 6 比赛场数 1 3 6 10 15 （1）8个球队总共比赛的总场数为 　 　． （2）当有n个球队参加时，共比多少场？ （2）当n＝10时，共有多少场比赛？ 【答案】（1）28；（2）；（3）45 【分析】（1）根据2个球队要进行2×1÷2＝1场比赛，3个球队要进行3×2÷2＝3场比赛，4个球队要进行4×3÷2＝6场比赛，5个球队要进行5×4÷2＝10场比赛，6个球队要进行6×5÷2＝15场比赛，即可得到8个球队要进行8×7÷2＝28场比赛； （2）由（1）可以得到规律n支球队要进行比赛的总场数为 由此求解即可； （3）根据（2）的计算结果代值计算即可． 【详解】解：（1）∵2个球队要进行2×1÷2＝1场比赛， 3个球队要进行3×2÷2＝3场比赛， 4个球队要进行4×3÷2＝6场比赛， 5个球队要进行5×4÷2＝10场比赛， 6个球队要进行6×5÷2＝15场比赛， … ∴8个球队要进行8×7÷2＝28场比赛， 故答案为：28； （2）根据（1）中规律可得：n支球队要进行比赛的总场数为 ， ∴共比场； （3）当n＝10时，球队要进行×10×9＝45（场）比赛， ∴共有45场比赛． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律以及代数式求值，解题的关键在于能够根据题意找到所包含的规律． 22．（2023秋·河北八年级课时练习）如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…                                                                                                  （1）完成下表： 连接个数 出现三角形个数 若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ 若一直连接到An，则图中共有__________个三角形． 【答案】（1）图标见解析（2）8个点；（3） 【详解】试题分析:根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当上面有3个分点时，有6+4=10；4个分点时，有10+5=15；5个分点时，有15+6=21；6个分点时，有21+7=28；7个分点时，有28+8=36；若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点； （1） 连接个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 10 15 21 28 （2）8个点； （3） 21．（2023秋·浙江七年级月考）(1)观察思考 如图所示，线段AB上的点数与线段的总条数有如下关系：如果线段AB上有3个点，那么线段总条数为3；如果线段AB上有4个点，那么线段总条数为6；如果线段AB上有5个点，那么线段总条数为________． 　　　　3＝2＋1＝       6＝3＋2＋1＝ (2)模型构建:如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，那么共有________条线段． (3)拓展应用:8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？ 请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． 【答案】(1)10　(2)；（3）见解析. (3)把8位同学看作线段上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段，线段上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行＝28(场)比赛． 【详解】【分析】（1）根据图形可以得出5个点的线段总数为1+2+3+4=10条，故得出结论； （2）根据题意就可以得出m个点就有1+2+3+…+(m-1)=条线段； （3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论． 【详解】（1）根据题意可知线段AB上有5个点，那么线段总条数为1+2+3+4=10条，故答案为10； （2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1， ∴倒序排列有x=1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1）， ∴2x=m（m﹣1），∴x=，故答案为； （3）把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段， 直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行=28场比赛， 答：一共要进行28场比赛. 【点睛】本题考查了规律性问题，线段的条数，根据题意得出直线上点的个数与线段的总条数间的规律是解题的关键. 22．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）： 内部有1个点                   内部有2个点                   内部有3个点 （1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的个数 5 7 9 … （2）原五边形能否被分割成2019个三角形？若能，求此时五边形内部有多少个点？若不能，请说明理由. 【答案】（1）详见解析；（2）1008 【分析】（1）查出题干图形中三角形的个数，并观察发现，每多一个点，三角形的个数增加2，然后据此规律填表即可； （2）根据（1）中规律，列式求解，如果n是整数，则能分割，如果不是整数，则不能分割． 【详解】（1）有1个点时，内部分割成5个三角形；有2个点时，内部分割成5+2=7个三角形； 有3个点时，内部分割成5+2×2=9个三角形；有4个点时，内部分割成6+2×3=11个三角形；… 以此类推，有n个点时，内部分割成5+2×（n-1）=（2n+3）个三角形；故可填表为： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 11 … （2）可以，令，解得.∴此时正方形ABCD内部有1008个点． 【点睛】本题是对图形变化问题的考查，根据数据的变化规律，结合图形，总结出每增加一个点，三角形的个数增加2的规律是解题的关键． 23．（2023秋·山东青岛·七年级统考期末）问题提出： 某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校一共要安排 场比赛．      （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排__________场比赛； ………… （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排___________场比赛． 实际应用：（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手___________次． 拓展提高：（5）往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为_____种． 【答案】（1）10，10；（2）15；（3）；（4）861；（5）30 【分析】（1）根据图①线段数量进行作答．（2）根据图②线段数量进行作答． （3）根据每个点存在n-1条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，提出假设，当 时均成立，假设成立．（4）根据题意，代入求解即可．（5）根据题意，代入求解即可． 【详解】（1）由图①可知，图中共有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）由图②可知，图中共有15条线段，所以该校一共要安排15场比赛．   （3）根据图①和图②可知，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则每个点存在n-1条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次 ∴若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排场比赛． 当 时均成立，所以假设成立． （4）将n=42代入关系式中∴全班同学总共握手861次． （5）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况 将n=6代入 中解得 ∴要准备车票的种数为30种． 【点睛】本题考查了归纳总结和配对问题，求出关于n的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键． 24．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． ．．．．．．．．．．．． 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， ∴_________．则_______． (2)运用规律，计算表达． ①求_____________． ②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条． (3)迁移规律，解决问题． ①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班． ②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条． ③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？ 【答案】(1)，(2)①5047；②，(3)①90；②135；③ 【分析】（1）根据题目中的规律即可求解；（2）①根据（1）中的规律即可求解；②根据规律即可求解；（3）①10个城市每两个城市都要互通航班，据此即可求解；②分别计算横向和竖向的线段条数，即可求解；③利用分类的方法可求得2022年足球世界杯共进行多少场比赛． 【详解】（1）解：．则．故答案为：，； （2）解：①． ②如果该班有名同学，则共击掌次，共赠送祝福语条． 故答案为：①5047；②100；③，； （3）解：①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，10个城市一共需要开通架航班； ②横线上的线段有条，竖线上的线段有条， 则横线和竖线上的线段共有条； ③32支比赛分为8个小组，每个小组4支球队，共有场比赛， 16强分成8组对阵，共有8场比赛， 8强分成4组对阵，共有4场比赛， 4强分成2组对阵，共有2场比赛， 决赛有2场比赛，故共有场比赛． 故答案为：①90；②135；③64． 【点睛】本题考查了探索规律，线段的计数，线段的计数时应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，利用规律解决问题． 25．（2023·山东青岛·七年级统考期末）【问题提出】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： (1)探究一：将一条线段上随机设置n个点，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1，当n＝0时，图中线段有：线段AB，共1条线段； 如图2，当n＝1时，以A为端点的线段有：线段AC和线段AB，共2条线段；以C为端点的有：线段CB，共1条线段，故图中共有条线段； 如图3，当n＝2时，以A为端点的线段有：线段AC，线段AD和线段AB，共3条线段；以C为端点的有：线段CD和线段CB，共2条线段；以D为端点的有：线段DB，共1条线段，故图中共有条线段；…… 小结：当随机设置了n个点后，一共可以形成 　 　条线段．（用含n的代数式表示） (2)探究二：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，则一共有多少个长方形（包括正方形）？ 首先我们先探究宽上不设置点的情况． 如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形． 如图4﹣2，当，时，图中一共有3个长方形． 如图4﹣3，当，时，图中一共有6个长方形．…… 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有 　 　个长方形．（用含m的代数式表示） 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有 　 　个长方形．（用含n的代数式表示） 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有9个长方形（包括正方形）． 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有36个长方形（包括正方形）．…… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（用含m、n的代数式表示） 【问题解决】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果） 【答案】(1)(2)； ；；问题解决：97650 【分析】（1）利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律得出结论，再利用结论将特殊值代入运算即可得出结论．（2）利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律得出结论，再利用结论将特殊值代入运算即可得出结论． 问题解决：利用（2）探究到的规律解答即可． 【详解】（1）解：（1）探究一：如图1，当时，图中线段有1条， 如图2，当时，图中线段有条，如图3，当时，图中线段有条， 同理，当时，图中线段有条，……， 当随机设置了n个点后，一共有条线段，故答案为：； （2）探究二：如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形， 如图4﹣2，当，时，图中一共有个长方形， 如图4﹣3，当，时，图中一共有个长方形， 同理，当，时，图中共有个长方形，……， 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有个长方形， 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共个长方形； 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有个长方形（包括正方形），…… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，长上共形成条线段，宽上共形成 条线段连接各边对应的点，则图中一共有个长方形（包括正方形），故答案为：，，； 问题解决：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点， 则长上共形成条线段，宽上共形成条线段，图中一共有个长方形（包括正方形），故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的变化的规律，列代数式，求代数式的值，有理数的混合运算，利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$