专题05 线段、角（对角线）的计数模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题05 线段、角（对角线）的计数模型 本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面分割的计数、多边形的对角线条数和三角形分割个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。 2 模型1.线段的计数模型 2 模型2.角度的计数模型 6 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 9 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 13 17 模型1.线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 例1．（2024·自贡·七年级校考阶段练习）如图，点、、、是直线上的四个点，图中共有线段（    ） A．7条 B．6条 C．5条 D．4条 【答案】B 【分析】可用公式法直接确定线段的个数． 【详解】解：当一条线上由n个点时，共有1+2+3+……+（n-1）=个线段 ∴此题图中共有==6（条）故选：B 【点睛】本题主要考查同一直线上点与线段的数量关系，做到不重不漏是解题的关键． 例2．（23-24七年级·重庆·假期作业）如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（　　）种． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】设泰山−−济南−−淄博−−潍坊−−青岛五站分别用A，B，C，D， E表示，数出利用上述五点为端点的线段条数即可． 【详解】解：设泰山−−济南−−淄博−−潍坊−−青岛五站分别用A，B，C，D， E表示，则共有线段：、、、、、、、、、，共10条，， ∴要为这次列车制作的单程火车票10种．故选：B． 【点睛】本题考查了直线、线段、射线，要注意单程票，切记理解成往返车票而出错． 例3．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）某列车往返于菏泽至临沂，运行途中停靠的车站依次是：菏泽——巨野——济宁——兖州——临沂，那么这次列车需要制作火车票（    ）种． A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分类计数原理，根据每个点做起点都有4个终点车站求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，这次列车需要制作火车票：（种），故选：D． 例4．（23-24七年级上·重庆·期中）如图，线段上的点数与以这些点为端点的线段的总数有如下关系：    (1)当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总共有________条； (2)当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总共有多少条？ (3)根据上述信息解决下面的问题：①某学校七年级共有20个班级进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两个班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要设置多少种不同的车票（仅考虑车票的起点站与终点站之分）？ 【答案】(1)3，6，10(2)线段总共有条 (3)①该校七年级的辩论赛共要进行190场；②需要设置132种车票 【分析】（1）根据线段的定义进行求解即可； （2）根据（1）中的等式，得到以这些点为端点的线段总数共有条； （3）①根据（2）中的结论，进行求解即可；②根据（2）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）； 当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）； 当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）．答案：3，6，10 （2）当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）； 因为（条）， 所以（条）．答：线段总共有条． （3）①当时，（场）．答：该校七年级的辩论赛共要进行190场． ②当线段上（除两端点，）有10个点时， ∴，，∴车票有（种）．答：需要设置132种车票． 【点睛】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到一条线段上有个点，可以得到条线段． 例5．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）【问题提出】欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？ 【构建模型】为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段． （1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛； （2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 【实际应用】（3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛． （4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（1）．（2）（3）（4）30 【分析】本题考查了归纳总结和配对问题，涉及列代数式及其求值、有理数的运算，求出关于的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键．（1）根据图②线段数量进行作答．（2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段，即可得求出比赛的场数． （3）根据题意可得，一个小组会有场比赛，故六个小组则共有有场比赛． （4）因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票，得出六个车站一共形成了种车票． 【详解】（1）由图②可知，图中实际共有条线段， ∴根据题意，可得支队伍进行单循环比赛一共要安排场比赛．故答案为：． （2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段， 即根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排场比赛，故答案为：． （3）根据题意可得，欧洲杯支参赛球队分成个小组， 由上可得一个小组会有场比赛，故六个小组则共有有场比赛， 即本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛，故答案为． （4）由题意可得一共有六个车站，因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即每两个车站就会有两种车票， ∴一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票， ∴这样六个车站一共形成了种车票．故答案为． 模型2.角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 例1．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如图所示，图中小于平角的角共有（　　） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据角的定义，理清图示意思即可求解． 【详解】解：先数出以为一边的角，再数出以、、为一边的角，把他们加起来． 也可根据公式：来计算，其中，指从点发出的射线的条数． ∵图中共有四条射线，∴图中小于平角的角共有个．故选：． 【点睛】此题通过数角的个数，考查同学们总结规律的能力或公式应用的能力，掌握角的概念是解题关键． 例2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如图，图中一共有（   ）个锐角． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】先数图中最小的角有3个，再数两个小角组成的角有2个，最后确定有3个小角组成的角有1个，从而可得答案． 【详解】解：（个），答：一共有6个锐角．故选：B． 【点睛】本题考查角的计数方法的应用，掌握“数角的顺序与方法，做到不重复，不遗漏”是解本题的关键． 例3．（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有 个角；画条射线所得的角的个数是 ． 【答案】 10 【分析】由题意根据图形数出即可得出画3条射线，图中角的个数，进而依据结果得出规律即可. 【详解】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角，3= ； 画2条射线，图中共有6个角，6= ； 画3条射线，图中共有10个角，10= ；…， ∴画n条射线，图中共有个角. 故答案为：10，． 【点睛】本题考查对角的概念和规律探索，解题的关键是能够根据求出的结果探索得出规律． 例4．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③(2) 【分析】（1）①②根据角的概念求出即可；③根据①②分析得出的规律求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ，∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ，∴图中得到6个角； ③由①②可得，当从点分别引条射线， ，∴得到个角； （2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛． 【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 例1．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字 两直线相交，最多1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有6个交点；像这样的十条直线相交最多的交点个数为(   ) A．30个 B．35个 C．40个 D．45个 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n−1)个交点． 【详解】解：10条直线两两相交，最多有n(n−1)= ×10×9=45． 故选：D． 【点睛】此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 例2．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（    ）个部分． A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形即可． 【详解】如图，    所以，平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了或个部分，故选：． 【点睛】此题考查了相交线，关键是根据直线交点个数的问题，找出规律，解决问题． 例3．（23-24七年级上·广西贺州·期末）如图①，两条直线相交有一个交点．如图②，三条直线相交最多有3个交点．如图③，四条直线相交最多有6个交点．如图④，五条直线相交最多有10个交点．则n条直线相交最多交点个数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查的是直线两两相交的交点数量的探究，先分别求解三条直线，四条直线，五条直线的最多交点数量，再总结归纳即可得解． 【详解】解：三条直线交点最多为个， 四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个， 六条直线交点最多为个；…… n条直线交点最多为． 故答案为： 例4．（23-24七年级上·重庆·课后作业）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 【答案】（1）3，6，28，；（2）7，11，37， 【分析】（1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可得出n条直线相交最多有交点的个数； （2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即可n条直线最多把平面分成几部分． 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有1+2=3个交点； 4条直线相交最多有1+2+3=6个交点； 5条直线相交最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交最多有1+2+3+4+5=15个交点； 7条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点， 8条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28个交点，… n条直线相交最多有个交点； （2）1条直线最多把平面分成1+1=2部分； 2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分； 3条直线最多把平面分成1+1+2+3=7部分； 4条直线最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分； 5条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分； 6条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分； 7条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分； 8条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分；… n条直线最多把平面分成 【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，弄清题中的规律是解本题的关键． 例5．（23-24七年级下·河南南阳·开学考试）我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： (1)完成下表 直线数 … 交点数 … (2)在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】(1)；； (2)这一轮要进行场比赛 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 根据题意，结合图形，发现：条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点．条直线相交最多有个交点，而，，，，故可猜想，条直线相交，最多有个交点； 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 【详解】（1）解：①两条直线相交最多有个交点：； ②三条直线相交最多有个交点：；③四条直线相交最多有个交点：； ④五条直线相交最多有个交点：，⑤六条直线相交最多有个交点：… 条直线相交最多有个交点；故答案为：；； （2）解：该类问题符合上述规律，所以可将代入， 即；故这一轮要进行场比赛 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 例1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）过一个多边形的一个顶点引出的对角线共有4条，则该多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线公式，根据从每一个顶点处可以作的对角线的条数为计算即可得解． 【详解】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有4条， ∴多边形的边数为，∴这个多边形是七边形．故选：C． 例2．（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）若过边形的一个顶点的所有对角线刚好将该边形分成5个三角形，则的值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数，再求对角线条数即可． 【详解】解：由题可知：，解得：，故选B． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解． 例3．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）一个多边形从一个顶点出发可引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总条数是（    ） A．88 B．80 C．44 D．40 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题，．掌握n边形从一个顶点出发有条对角线和其对角线总数为是解题关键．根据一个多边形从一个顶点出发有8条对角线，可求出该多边形的边数为11，再根据n边形对角线的总数为即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，∵一个多边形从一个顶点出发共引8条对角线， ∴，解得：，∴总的对角线的条数为：（条）．故选：C． 例4．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，则一个凸边形有 条对角线． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律，根据已有多边形对角线的条数，归纳出规律成为解题的关键． 先确定一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线，据此归纳规律即可解答． 【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线， 则一个n边形共有（，且n为整数）条对角线．故答案为：． 例 5．（2023春·山东聊城·七年级校联考期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014 【分析】根据题意求出相应数据，填表即可；①由表格探求的边形对角线总条数公式：得出最终结果；②从边形的一个顶点出发可引条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为，据此求解． 【详解】解：填表如下： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 3 多边形对角线的总条数 5 9 故答案为：3，，， ； 把代入得，．十二边形有条对角线． 能．由题意得，23，解得=1014． 多边形的边数n是正整数，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014． 【点睛】本题考查边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． 1．（2024·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，以A为一个端点的线段共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据线段的定义“直线上两点间的有限部分（包括两个端点）”找出以A为一个端点的线段即可选择． 【详解】解：根据题意可知：以A为一个端点的线段有：AB，AC，AD共3条，故选C． 【点睛】本题考查线段的定义，理解线段的定义，正确找出以A为一个端点的线段是解答本题的关键． 2．（2023·四川眉山·七年级统考期中）六个好朋友见面互相握手致意，每两个人握一次手，握手的次数一共是（  ） A．20 B．30 C．15 D．36 【答案】C 【详解】试题分析：简单的排列问题．第一个人握手5次,第二个人握手4次,第三个人握手3次,第四个人握手2次,第五个人握手1次，共计15次 故选C 考点：简单的排列问题 3．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）如图，AOE是一条直线，图中的角共有（ ） A．4个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【详解】解：图中的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，∠AOE，共10个，故选D． 点评：本题考查了对角的定义的理解，注意：数角时从一边数，目的是为了做到不重不漏，题目较好，但是一道比较容易出错的题目． 4．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】两点确定一条直线；不同三点最多可确定3条直线；不同4点最多可确定（1+2+3）条直线，不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线， 因为1+2+3+4+5+6+7=28，所以平面上不同的8个点最多可确定28条直线．故选：C． 5．（2023秋·陕西榆林·七年级校考阶段练习）如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线，这样直线共有多少条（ ） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意可以画出适合条件的几种情况，从而可以解答本题． 解：如下图所示： 则所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线共有四条：①竖直的三颗黑色的，②竖直的三颗白色的，③斜着三颗黑色的，④斜着三颗白色的，故选C． 考点：直线、射线、线段． 6．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（　　） A．46个 B．55个 C．56个 D．67个 【答案】C 【分析】根据表中数据，总结出规律，再根据规律解题． 【详解】设直线条数有n条，分成的平面最多有m个． 有以下规律： n             m 1             1+1 2             1+1+2 3             1+1+2+3 ⋯ n    m＝1+1+2+3+…+n＝+1， ∴根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+…+10＝56；故选C． 【点睛】本题考查了过平面上两点有且只有一条直线，体现了数形结合的思想． 7．（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）若一个边形从一个顶点最多能引出条对角线，则是(    ) A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】可根据边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：，列方程求解． 【详解】解：设多边形有条边，则，解得．故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形． 8．（2023秋·山东济南·七年级统考期末）从五边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将五边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（   ） A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．3，3 【答案】C 【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2． 【详解】解：对角线的数量m=5-3=2（条）；分成的三角形的数量为n=5-2=3（个）．故选：C． 【点睛】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2． 9．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（   ） A．35 B．44 C．54 D．64 【答案】A 【分析】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为．根据一个n边形的对角线条数为进行求解即可． 【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线…… 一个十边形共有条对角线，故A正确．故选：A． 10．（23-24七年级·黑龙江大庆·期末）往返A，B两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有 种． 【答案】6 【分析】本题考查直线、射线、线段，掌握线段条数的计算方法是正确解答的关键． 根据线段的数量解答即可． 【详解】解：如图， 图中共有条线段，即，，， ，，， 因此不同的票价共有6种，故答案为：6． 11．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面最多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则= ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究．根据题意，抽象概括出相应的数字规律，n条直线将平面最多分成部分，进而得到，再进行求解即可．解题的关键是得到． 【详解】解：∵1条直线将平面分成部分， 2条直线将平面最多分成部分， 3条直线将平面最多分成部分， 4条直线将平面形多分成部分……， ∴n条直线将平面最多分成部分， ∴， ∴．故答案为：． 12．（2023秋·四川达州·七年级统考期末）如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系:如果线段AB上有三个点时，线段总共有3条，如果线段AB上有4个点时，线段总数有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少 . 【答案】条 【分析】根据给出的条件进行观察找出规律：当有n个点时，线段总数为： 条，问题可解． 【详解】解：当线段AB上有n个点时，线段总数为 故答案为：条 【点睛】本题考查线段条数计算和规律性探索，解答关键是辨别线段数目增长的规律． 13．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）如图，在∠AOB的内部以O为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n条射线，共有 个角． 【答案】 【分析】首先分析在∠AOB的内部以O端点引1条射线，有1+2个角，引2条线段，有1+2+3个角，···进而得出引n条线段，有角的个数，得出答案即可． 【详解】在∠AOB的内部以O端点引1条射线，有1+2=3（个）角，引2条线段，有1+2+3=6（个）角，··· 引n条线段，有（个）角， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数角的个数，掌握数字变化规律式解题的关键． 14．（2023秋·广东佛山·七年级阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点和其余各顶点，可以把这个多边形分割成10个三角形，则这个多边形的边数为 ，过这个多边形的一个顶点能作 条对角线． 【答案】 12 9 【分析】从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把n边形分为（n-2）的三角形． 【详解】由题意可知，n-2=10，解得n=12．∴这个多边形的边数为12; 12-3=9, ∴过这个多边形的一个顶点能作9条对角线.故答案为12；9. 【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握从一个n边形的某个顶点出发，可以把n边形分为（n-2）的三角形． 15．（2023秋·安徽芜湖·七年级校考期末）如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则 （1）五条直线相交最多有 个交点； （2）条直线相交最多有 个交点（，且为正整数）. 【答案】 【分析】根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解；根据图形列出交点个数的算式，然后计算即可得解． 【详解】解：三条直线交点最多为个，四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个，六条直线交点最多为个；…… n条直线交点最多为．故答案为：；． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，发现规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． 16．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，在锐角内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条射线，可得6个锐角；画3条射线，可得10个锐角…照此规律，画10条射线，可得锐角 个．    【答案】66 【分析】此题考查角的概念，解题关键在于掌握从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是，难度适中．根据题意，从基本图形出发，看每一次所得锐角个数比上一次增加多少个锐角，寻找一般规律即可得出答案． 【详解】解：∵在锐角内部，画1条射线，可得个锐角； 在锐角内部，画2条射线，可得个锐角； 在锐角内部，画3条射线，可得个锐角；… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是： ， ∴画10条不同射线，可得锐角（个）．故答案为：66． 17．（2023秋·浙江·七年级专题练习）（1）在一条直线上取1个点、2个点、3个点、…、n个点，分别可以得到多少条线段？请画示意图帮助分析，直接填写下表回答： 直线上点的个数 1 2 3 4 5 … n 共有线段条数 … （2）平面内有两个点、3个点、4个点、5个点、…、n个点，过任意两点作一条直线，最多可以作几条直线？请画示意图帮助分析，直接填写下表回答： 平面内点的个数 2 3 4 5 … n 最多可作直线条数 … 【答案】（1）图见解析，0，1，3，6，10，；（2）图见解析，1，3，6，10， 【分析】（1）根据题意画出示意图即可求出直线上取1个点、2个点、3个点、4个点、5个点时的线段条数，找到点的个数和线段条数之间的关系即可求出n个点时线段的条数． （2）根据题意画出示意图即可求出平面内有两个点、3个点、4个点、5个点时最多可作直线条数，找到点的个数和直线条数条数之间的关系即可求出n个点时线段的条数． 【详解】解：（1）根据题意可得， 在一条直线上取1个点时，如图所示， 共有0条线段； 在一条直线上取2个点时，如图所示， 共有1条线段； 在一条直线上取3个点时，如图所示， 共有3条线段； 在一条直线上取4个点时，如图所示， 共有6条线段； 在一条直线上取5个点时，如图所示， 共有10条线段； … 在一条直线上取n个点时，共有条线段； 故答案为：0，1，3，6，10，；． （2）当平面内有两个点时，如图所示， 最多可作1条直线； 当平面内有3个点时，如图所示， 最多可作3条直线； 当平面内有4个点时，如图所示， 最多可作6条直线； 当平面内有5个点时，如图所示， 最多可作10条直线； … 当平面内有n个点时，最多可作条直线； 故答案为：1，3，6，10，． 【点睛】此题考查了直线，线段的概念和两点确定一条线段，解题的关键是熟练掌握直线，线段的概念和两点确定一条线段． 18．（23-24七年级上·重庆·单元测试）阅读并填空： 问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？ 要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，共3条，同样 以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有 条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有 条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有 条线段． 知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有 个角；若在内部画条射线，则总共有 个角． 学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备 种不同的车票． 【答案】 6 10 6 20 【分析】问题：根据线段的定义以及阅读部分提供的思路解答； 知识迁移：结合问题部分的解题思路，再根据角的定义解答； 学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答． 【详解】解：问题：根据题意，则 ；；； 知识迁移：在内部画2条射线，则图中有个不同的角，在内部画n条射线，则图中有 个不同的角； 学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数， ， 需要车票的种数：（种）． 故答案为：6 ，10，，6，，20； 【点睛】此题主要考查了线段的计数问题，角的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． 19．（24-25七年级上·重庆·假期作业）数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 正多边形 …… 边数 4 5 6 … 一个顶点可画对角线数量 1 2 3 … 对角线总数量 2 5 9 … 聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律，正七边形共有 条对角线，正n边形共有 条对角线． 【答案】 14 【分析】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握计算公式；观察题意可知，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，从n个顶点出发每个引出条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为（，且n为整数） 【详解】解：根据分析可知，n边形从一个顶点出发可引出条对角线， ∴正n边形共有条对角线。 当时， 所以从正七边形的有条对角线， 故答案为：， 20．（2023秋·河北衡水·七年级统考期末）观察思考：   （1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角；     （2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角?     （3）3条射线呢?你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角?   请你先解答以上问题，再结合已学过的知识，针对类似的图形也提出三个问题并作答．(要求：画出图形，写出题干，提出问题并作答) 【答案】（2）6；（3）10；有个不同的角；提出三个问题并作答见解析. 【分析】（2）根据图1直接数出即可； （3）在图1的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在∠AOB内部画n条射线时角的个数；把角换成线段，增加的射线条数换成线段上点的个数解答即可． 【详解】解：（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，如图1，则图中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB共1+2+3=6个不同的角； （3）在∠AOB内部画3条射线OC、OD、OE，如图2，在图1 的基础上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE，共有6+4=10个不同的角； 若在∠AOB内部画n条射线，则有个不同的角． 提出问题： （1）如图3，线段AB上有一个点C，则图3中共有 条不同的线段； （2）如图4，线段AB上有两个点C、D，则图中共有几条不同的线段？ （3）线段AB上有3个点呢?你能发现什么规律，表示出线段AB上有n个点时能有几条不同的线段? 解：（1）图3中有：AC、AB、CB共3条不同的线段； 故答案为：3； （2）如图4，图中有：AC、AD、AB、CD、CB、DB共1+2+3=6条线段； （3）线段AB上有3个点C、D、E时，如图5，在图4的基础上增加了线段AE、BE、CE和DE，共有6+4=10条不同的线段； 线段AB上有n个点时，则有条不同的线段． 【点睛】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键． 21．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题初探】 （1）如图，平面上有四个点T、Y、R、S，根据下列语句画图： ①作射线； ②作直线、交于点M； ③连接、交于点O． （2）我们还可以观察到，经过图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出______条直线：经过不在同一直线上的5个点，最多能画出______直线； 【类比分析】 （3）如果在同一平面里，有不在同一条直线上的20个点，你能算出共有多少条线段吗？ 【学以致用】 （4）按照这个规律回答下列问题： ①2022年卡塔尔世界杯足球赛进入8强赛（即有8个队参加比赛）时，如果进行的是单循环赛（每两个队只比赛一次），则需要进行多少场比赛？ ②某球迷乘火车从A站出发，沿途经过3个站后到达B站，那么在A、B两站之间需要多少种不同的票价？需要多少种车票？ 【答案】（1）①图见解析②图见解析③图见解析（2）6，10（3）190条（4）①28②10种，20种 【分析】本题考查画直线，射线，线段，直线，线段的数量问题． （1）根据要求作图即可； （2）直接数出直线的条数即可； （3）根据每两个点确定一条线段，所以每一个点与剩下的19个点都能构成一条线段，重复计算2次，除以2，进行求解即可． （4）①根据每个队都要跟剩余的7个队踢一场比赛，重复计算2次，除以2即可； ②同①法，求出需要多少种不同的票价，再根据从到和从到需要2套票，乘以2即可． 理解直线，射线，线段的定义，是解题的关键． 【详解】解：（1）①作射线，如图所示；②作直线、交于点M，如图所示； ③连接、交于点O，如图所示． （2）图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出6条直线，图中的不在同一直线上的5个点，最多能画出10条直线；故答案为：6，10； （3）∵每两个点确定一条线段，∴每个点都能跟剩余的的点组成一条线段， ∴可以画出：条线段； （4）①∵每个队都要跟剩余的7个队踢一场比赛，且每两个队只比赛一次， ∴需要进行场比赛； ②由题意，得从到共有5个站点，每两个站点之间票价不同， ∴共有：种不同的票价； ∵从到和从到的票的种类不一样，∴需要种车票． 22．（2023秋·山西太原·七年级校考阶段练习）阅读并填空： 问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？ 要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，3条，同样以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有______条线段． 知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有______个角；若在内部画条射线，则总共有______个角． 学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备______种不同的车票． 【答案】6 ，10，，6，，20 【分析】问题：根据线段的定义解答； 知识迁移：根据角的定义解答； 学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答． 【详解】解：问题：根据题意，则；；； 知识迁移：在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）=个不同的角； 学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数×5×4=10，需要车票的种数：10×2=20（种）． 故答案为：6 ，10，，6，，20； 【点睛】此题考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． 23．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积． ①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为 ； ②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为 ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式 ． （2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢? ①方法1：一路往下数，不回头数． 以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个； 以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个； 以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个； 以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个； 则图中锐角的总个数是 ； ②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是 ； 用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式 ． （3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题． ①计算：19782＋20222； ②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有 条对角线，n边形共有 条对角线． 【答案】（1）①；②；=；（2）①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=；（3）①8000968；②119，n(n-3) 【分析】（1）①根据边长为(a+b)的正方形面积公式求解即可； ②利用矩形和正方形的面积公式求解即可； （2）①根据题中的数据求和即可； ②根据题意求解即可； （3）①利用（1）的规律求解即可； ②根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为n(n-3)（n≥3，且n为整数）可得答案． 【详解】解：（1）①大正方形的面积为； ②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为； 可以得到等式：=； 故答案为：①；②；=； （2）①图中锐角的总个数是：（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1； ②锐角的总个数是n（n－1）； 可以得到等式为（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）； 故答案为：①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②n（n－1）；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）； （3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2 ＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22 ＝2×（20002＋222） ＝2×[4000000＋（20＋2）2] ＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968； ②一个四边形共有2条对角线，即×4×(4-3)=2； 一个五边形共有5条对角线，即×5×(5-3)=5； 一个六边形共有9条对角线，即×6×(6-3)=9； ……， 一个十七边形共有×17×(17-3)=119条对角线； 一个n边形共有n(n-3)（n≥3，且n为整数）条对角线． 故答案为：119，n(n-3)． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，完全平方公式，多边形的对角线，对于这种图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键． 24．（2023秋·山东青岛·七年级统考期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有＝10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． (2)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排 场比赛； (3)根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛． 实际应用：(4)9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手 次． 拓展提高：(5)往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为种 【答案】(1)10(2)15(3)(4)861(5)要准备车票的种数为30种 【分析】（1）根据图①线段数量进行作答．（2）根据图②线段数量进行作答．（3）根据每个点存在条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，提出假设，当 时均成立，假设成立．（4）根据题意，代入求解即可．（5）根据题意，代入求解即可． 【详解】（1）解：由图①可知，图中共有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）由图②可知，图中共有15条线段，所以该校一共要安排15场比赛，故答案为：15； （3）根据图①和图②可知，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则每个点存在条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次 ∴若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排场比赛． 当 时均成立，所以假设成立，故答案为：． （4）将代入（3）中结果，∴全班同学总共握手861次，故答案为：861； （5）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况 将代入 中解得∴要准备车票的种数为30种． 【点睛】本题考查了归纳总结和对变形对角线问题，求出关于n的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键． 25．（2023·山东青岛·七年级统考期末）【问题提出】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： (1)探究一：将一条线段上随机设置n个点，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1，当n＝0时，图中线段有：线段AB，共1条线段； 如图2，当n＝1时，以A为端点的线段有：线段AC和线段AB，共2条线段；以C为端点的有：线段CB，共1条线段，故图中共有条线段； 如图3，当n＝2时，以A为端点的线段有：线段AC，线段AD和线段AB，共3条线段；以C为端点的有：线段CD和线段CB，共2条线段；以D为端点的有：线段DB，共1条线段，故图中共有条线段；…… 小结：当随机设置了n个点后，一共可以形成 　 　条线段．（用含n的代数式表示） (2)探究二：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，则一共有多少个长方形（包括正方形）？ 首先我们先探究宽上不设置点的情况． 如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形． 如图4﹣2，当，时，图中一共有3个长方形． 如图4﹣3，当，时，图中一共有6个长方形．…… 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有 　 　个长方形．（用含m的代数式表示） 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有 　 　个长方形．（用含n的代数式表示） 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有9个长方形（包括正方形）． 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有36个长方形（包括正方形）．…… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（用含m、n的代数式表示） 【问题解决】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果） 【答案】(1)(2)； ；；问题解决：97650 【分析】（1）利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律得出结论，再利用结论将特殊值代入运算即可得出结论．（2）利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律得出结论，再利用结论将特殊值代入运算即可得出结论． 问题解决：利用（2）探究到的规律解答即可． 【详解】（1）解：（1）探究一：如图1，当时，图中线段有1条， 如图2，当时，图中线段有条，如图3，当时，图中线段有条， 同理，当时，图中线段有条， ……， 当随机设置了n个点后，一共有条线段，故答案为：； （2）探究二：如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形， 如图4﹣2，当，时，图中一共有个长方形， 如图4﹣3，当，时，图中一共有个长方形， 同理，当，时，图中共有个长方形， ……， 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有个长方形， 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共个长方形； 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， …… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，长上共形成条线段，宽上共形成 条线段连接各边对应的点，则图中一共有个长方形（包括正方形），故答案为：，，； 问题解决：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点， 则长上共形成条线段，宽上共形成条线段，图中一共有个长方形（包括正方形），故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的变化的规律，列代数式，求代数式的值，有理数的混合运算，利用特殊到一般的方法列出计算的等式，依据等式中数字与点的个数的规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！39 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 线段、角（对角线）的计数模型 本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面分割的计数、多边形的对角线条数和三角形分割个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。 2 模型1.线段的计数模型 2 模型2.角度的计数模型 6 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 9 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 13 17 模型1.线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 例1．（2024·自贡·七年级校考阶段练习）如图，点、、、是直线上的四个点，图中共有线段（    ） A．7条 B．6条 C．5条 D．4条 例2．（23-24七年级·重庆·假期作业）如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（　　）种． A．5 B．10 C．15 D．20 例3．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）某列车往返于菏泽至临沂，运行途中停靠的车站依次是：菏泽——巨野——济宁——兖州——临沂，那么这次列车需要制作火车票（    ）种． A．6 B． C． D． 例4．（23-24七年级上·重庆·期中）如图，线段上的点数与以这些点为端点的线段的总数有如下关系：    (1)当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总共有________条； (2)当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总共有多少条？ (3)根据上述信息解决下面的问题：①某学校七年级共有20个班级进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两个班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要设置多少种不同的车票（仅考虑车票的起点站与终点站之分）？ 例5．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）【问题提出】欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？ 【构建模型】为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段． （1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛； （2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 【实际应用】（3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛． （4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 模型2.角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 例1．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如图所示，图中小于平角的角共有（　　） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 例2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如图，图中一共有（   ）个锐角． A．4 B．6 C．8 D．10 例3．（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有 个角；画条射线所得的角的个数是 ． 例4．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 例1．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字 两直线相交，最多1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有6个交点；像这样的十条直线相交最多的交点个数为(   ) A．30个 B．35个 C．40个 D．45个 例2．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（    ）个部分． A．或 B． C．或 D． 例3．（23-24七年级上·广西贺州·期末）如图①，两条直线相交有一个交点．如图②，三条直线相交最多有3个交点．如图③，四条直线相交最多有6个交点．如图④，五条直线相交最多有10个交点．则n条直线相交最多交点个数为 （用含n的代数式表示）． 例4．（23-24七年级上·重庆·课后作业）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 例5．（23-24七年级下·河南南阳·开学考试）我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： (1)完成下表 直线数 … 交点数 … (2)在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 例1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）过一个多边形的一个顶点引出的对角线共有4条，则该多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 例2．（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）若过边形的一个顶点的所有对角线刚好将该边形分成5个三角形，则的值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 例3．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）一个多边形从一个顶点出发可引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总条数是（    ） A．88 B．80 C．44 D．40 例4．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，则一个凸边形有 条对角线． 例 5．（2023春·山东聊城·七年级校联考期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 1．（2024·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，以A为一个端点的线段共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（2023·四川眉山·七年级统考期中）六个好朋友见面互相握手致意，每两个人握一次手，握手的次数一共是（  ） A．20 B．30 C．15 D．36 3．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）如图，AOE是一条直线，图中的角共有（ ） A．4个 B．8个 C．9个 D．10个 4．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2023秋·陕西榆林·七年级校考阶段练习）如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线，这样直线共有多少条（ ） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 6．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（　　） A．46个 B．55个 C．56个 D．67个 7．（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）若一个边形从一个顶点最多能引出条对角线，则是(    ) A．5 B．8 C．9 D．10 8．（2023秋·山东济南·七年级统考期末）从五边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将五边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（   ） A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．3，3 9．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（   ） A．35 B．44 C．54 D．64 10．（23-24七年级·黑龙江大庆·期末）往返A，B两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有 种． 11．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面最多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则= ． 12．（2023秋·四川达州·七年级统考期末）如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系:如果线段AB上有三个点时，线段总共有3条，如果线段AB上有4个点时，线段总数有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少 . 13．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）如图，在∠AOB的内部以O为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n条射线，共有 个角． 14．（2023秋·广东佛山·七年级阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点和其余各顶点，可以把这个多边形分割成10个三角形，则这个多边形的边数为 ，过这个多边形的一个顶点能作 条对角线． 15．（2023秋·安徽芜湖·七年级校考期末）如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则 （1）五条直线相交最多有 个交点； （2）条直线相交最多有 个交点（，且为正整数）. 16．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，在锐角内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条射线，可得6个锐角；画3条射线，可得10个锐角…照此规律，画10条射线，可得锐角 个．    17．（2023秋·浙江·七年级专题练习）（1）在一条直线上取1个点、2个点、3个点、…、n个点，分别可以得到多少条线段？请画示意图帮助分析，直接填写下表回答： 直线上点的个数 1 2 3 4 5 … n 共有线段条数 … （2）平面内有两个点、3个点、4个点、5个点、…、n个点，过任意两点作一条直线，最多可以作几条直线？请画示意图帮助分析，直接填写下表回答： 平面内点的个数 2 3 4 5 … n 最多可作直线条数 … 18．（23-24七年级上·重庆·单元测试）阅读并填空： 问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？ 要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，共3条，同样 以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有 条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有 条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有 条线段． 知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有 个角；若在内部画条射线，则总共有 个角． 学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备 种不同的车票． 19．（24-25七年级上·重庆·假期作业）数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 正多边形 …… 边数 4 5 6 … 一个顶点可画对角线数量 1 2 3 … 对角线总数量 2 5 9 … 聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律，正七边形共有 条对角线，正n边形共有 条对角线． 20．（2023秋·河北衡水·七年级统考期末）观察思考：   （1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角；     （2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角?     （3）3条射线呢?你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角?   请你先解答以上问题，再结合已学过的知识，针对类似的图形也提出三个问题并作答．(要求：画出图形，写出题干，提出问题并作答) 21．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题初探】 （1）如图，平面上有四个点T、Y、R、S，根据下列语句画图： ①作射线；②作直线、交于点M；③连接、交于点O． （2）我们还可以观察到，经过图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出______条直线：经过不在同一直线上的5个点，最多能画出______直线； 【类比分析】（3）如果在同一平面里，有不在同一条直线上的20个点，你能算出共有多少条线段吗？ 【学以致用】（4）按照这个规律回答下列问题： ①2022年卡塔尔世界杯足球赛进入8强赛（即有8个队参加比赛）时，如果进行的是单循环赛（每两个队只比赛一次），则需要进行多少场比赛？ ②某球迷乘火车从A站出发，沿途经过3个站后到达B站，那么在A、B两站之间需要多少种不同的票价？需要多少种车票？ 22．（2023秋·山西太原·七年级校考阶段练习）阅读并填空： 问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？ 要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，3条，同样以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有______条线段． 知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有______个角；若在内部画条射线，则总共有______个角． 学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备______种不同的车票． 23．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积． ①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为 ； ②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为 ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式 ． （2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢? ①方法1：一路往下数，不回头数． 以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个； 以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个； 以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个； 以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个； 则图中锐角的总个数是 ； ②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是 ； 用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式 ． （3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题． ①计算：19782＋20222； ②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有 条对角线，n边形共有 条对角线． 24．（2023秋·山东青岛·七年级统考期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有＝10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． (2)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排 场比赛； (3)根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛． 实际应用：(4)9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手 次． 拓展提高：(5)往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为种 25．（2023·山东青岛·七年级统考期末）【问题提出】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： (1)探究一：将一条线段上随机设置n个点，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1，当n＝0时，图中线段有：线段AB，共1条线段； 如图2，当n＝1时，以A为端点的线段有：线段AC和线段AB，共2条线段；以C为端点的有：线段CB，共1条线段，故图中共有条线段； 如图3，当n＝2时，以A为端点的线段有：线段AC，线段AD和线段AB，共3条线段；以C为端点的有：线段CD和线段CB，共2条线段；以D为端点的有：线段DB，共1条线段，故图中共有条线段；…… 小结：当随机设置了n个点后，一共可以形成 　 　条线段．（用含n的代数式表示） (2)探究二：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，则一共有多少个长方形（包括正方形）？ 首先我们先探究宽上不设置点的情况． 如图4﹣1，当，时，图中一共有1个长方形． 如图4﹣2，当，时，图中一共有3个长方形． 如图4﹣3，当，时，图中一共有6个长方形．…… 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有 　 　个长方形．（用含m的代数式表示） 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有 　 　个长方形．（用含n的代数式表示） 如图5﹣1，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有9个长方形（包括正方形）． 如图5﹣2，当，时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣3，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图5﹣4，当，时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有36个长方形（包括正方形）．…… 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（用含m、n的代数式表示） 【问题解决】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 　 　个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$