专题06 与圆有关的最值问题-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题06 与圆有关的最值问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、圆上点到定点的距离最值 2 类型二、两圆上动点的距离最值 3 类型三、圆上的点到直线的距离最值 4 类型四、圆的切线长度最值问题 4 类型五、过圆内定点的弦长最值 5 类型六、利用代数式几何意义求最值 6 压轴能力测试（10题） 6 一、圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为 则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点. 二、圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 三、切线长度最值问题 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 四、过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 五、利用代数法的几何意义求最值 1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题； 2、形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题； 3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 类型一、圆上点到定点的距离最值 例．（24-25高二上·广东茂名·期中）若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24高二上·山西长治·期末）已知圆的半径为1，以点为圆心，若圆上的点到原点的距离的最大值为7，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25高二上·四川绵阳·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最大值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【变式训练3】（24-25高二上·福建三明·月考）已知直线：与直线：交于点A，若点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 类型二、两圆上动点的距离和差最值 例．（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）（多选）已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练2】（24-25高二上·江西抚州·月考）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 类型三、圆上的点到直线的距离最值 例．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆，点是圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为 . 【变式训练1】（24-25高二上·江苏南京·月考）已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25高二上·河北唐山·月考）两点，点是圆上任意一点，则面积最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25高二上·江苏南京·期中）已知点A，B为圆上两动点，且，点P为直线上动点，则的最小值为 ． 类型四、圆的切线长度最值问题 例．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D．6 【变式训练1】（24-25高二上·四川成都·期中）若圆C：关于直线对称，则由点向圆C所作的切线长的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 【变式训练2】（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25高二上·江西抚州·月考）在平面直角坐标系中，过点向圆引切线，切线长为l．设点P到直线的距离为d，则的最小值为 ． 类型五、过圆内定点的弦长最值 例．（23-24高二上·广东江门·期中）过的直线与圆相交，若使得相交弦长最短，则该直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25高二上·北京·期中）已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25高二上·山东菏泽·月考）直线（其中）被圆所截得的最短弦长等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25高二上·江西上饶·月考）已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型六、利用代数式几何意义求最值 例．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ） A．[4,10] B．[8,10] C．[4,16] D．[8,16] 【变式训练1】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 【变式训练2】（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24高二下·广东·月考）过圆外一点做圆的切线，切点为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．8 1．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（24-25高二上·重庆渝中·月考）直线过点，且与圆：相交所形成的长度为的弦的条数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（23-24高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 4．（23-24高二下·湖南长沙·期末）已知，且，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．36 D．48 5．（24-25高二上·江苏扬州·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·安徽·月考）（多选）已知实数，满足，则（   ） A．当时，的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是1 7．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）（多选）已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．已知，，则的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 8．（24-25高二上·广东广州·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之差为 . 9．（24-25高二上·江苏泰州·月考）已知为圆上任意一点，，则的最小值为 . 10．（23-24高二下·湖北·月考）过点的直线交：于，两点，则的最小值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 与圆有关的最值问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、圆上点到定点的距离最值 2 类型二、两圆上动点的距离最值 4 类型三、圆上的点到直线的距离最值 7 类型四、圆的切线长度最值问题 9 类型五、过圆内定点的弦长最值 11 类型六、利用代数式几何意义求最值 12 压轴能力测试（10题） 14 一、圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为 则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点. 二、圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 三、切线长度最值问题 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 四、过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 五、利用代数法的几何意义求最值 1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题； 2、形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题； 3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 类型一、圆上点到定点的距离最值 例．（24-25高二上·广东茂名·期中）若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将圆化为标准方程为， 故圆的圆心为，半径， 因为，故点在圆的内部， 且， 所以的取值范围为：.故选：C 【变式训练1】（23-24高二上·山西长治·期末）已知圆的半径为1，以点为圆心，若圆上的点到原点的距离的最大值为7，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设为圆上的点，则. 因为.故选：A 【变式训练2】（24-25高二上·四川绵阳·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最大值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 【解析】设， 因为，则， 整理可得，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 则，可得，当且仅当点为时，等号成立， 所以的最大值为.故选：D. 【变式训练3】（24-25高二上·福建三明·月考）已知直线：与直线：交于点A，若点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】当时，直线：，直线：，此时直线与直线垂直； 当时，直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以直线与直线垂直； 易知直线经过定点，直线经过定点， 所以点A在以为直径的圆上， 的中点为，所以， 所以圆， 所以, 所以，故选：A. 类型二、两圆上动点的距离和差最值 例．（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）（多选）已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由题意知：圆是以为圆心，为半径的圆；圆是以为圆心，为半径的圆； 作圆关于轴对称的圆，则圆； 则 （当且仅当三点共线时取等号）， ，， ，，AB的取值不可能，CD的取值可能.故选：AB. 【变式训练1】（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】由题意，的最大时，最大，最小即可， 设圆，可得圆心，半径， 设圆，可得圆心，半径， 则的最大值为，的最小值为， 所以 ， 因为在直线上，关于的对称点为， 直线与交点为，所以， 共线时等号成立， 所以的最大值为.故选：D. 【变式训练2】（24-25高二上·江西抚州·月考）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为， 由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则， 由图可知， 当且仅当共线时取等号， 因为，所以的最小值为.故选：B 【变式训练3】（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【解析】圆，圆心，半径为1， 圆，圆心，半径为2， 设关于直线的对称点为，设， 则，解得， ， ， 则的最小值为10． 故答案为：10． 类型三、圆上的点到直线的距离最值 例．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆，点是圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为 . 【答案】4 【解析】由题圆，可得，圆心，半径， 圆心到直线的距离等于， 所以点到直线的距离的最大值为. 故答案为：4. 【变式训练1】（24-25高二上·江苏南京·月考）已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心，半径， 则， 由，得， 所以，则， 在中，， 所以弦的中点的轨迹方程为，圆心为，半径， 圆心到直线距离的， 所以弦的中点到直线距离的最大值为.故选：A . 【变式训练2】（24-25高二上·河北唐山·月考）两点，点是圆上任意一点，则面积最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】两点，则， 直线方程为， 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是.故选：D 【变式训练3】（24-25高二上·江苏南京·期中）已知点A，B为圆上两动点，且，点P为直线上动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设的中点为，则，且， ，所以点在以为圆心，半径为的圆上. ， 要求的最小值，则需求的最小值， 到直线的距离为， 所以的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为： 类型四、圆的切线长度最值问题 例．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】记圆心到直线的距离为，则． 因为， 所以当直线与垂直，即时，的值最小， 故．故选：B. 【变式训练1】（24-25高二上·四川成都·期中）若圆C：关于直线对称，则由点向圆C所作的切线长的最小值是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】由圆C：关于直线对称， 所以可知圆心在直线上，即，所以， 点到圆心的距离为 由点向圆C所作的切线长为 ， 所以当时，切线长最短为.故选：C 【变式训练2】（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为.故选：A. 【变式训练3】（24-25高二上·江西抚州·月考）在平面直角坐标系中，过点向圆引切线，切线长为l．设点P到直线的距离为d，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题可知圆心，半径， 则点到圆心的距离， 切线长，可看作到定点的距离， 则的最小值即为A到直线的距离，即 故答案为： 类型五、过圆内定点的弦长最值 例．（23-24高二上·广东江门·期中）过的直线与圆相交，若使得相交弦长最短，则该直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以点在圆内， 圆的圆心，当过点的直线与垂直时，所得弦的长度最短， 因为过点，的直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：. 【变式训练1】（24-25高二上·北京·期中）已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线恒过定点，圆的圆心为，半径为， 又，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为．故选：A. 【变式训练2】（24-25高二上·山东菏泽·月考）直线（其中）被圆所截得的最短弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为可化为， 所以直线恒过定点， 由圆知圆心，半径， 由圆的几何性质知，当与直线垂直时，直线被圆所截得弦最短， 此时弦长为,故选：B 【变式训练3】（24-25高二上·江西上饶·月考）已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线，可得， 由，解得，所以直线恒过点， 可得点在圆内部， 又由圆，可得圆心，半径为， 当直线过圆心时，截得弦长最长，此时， 当直线与垂直时，此时弦长最短，又由， 可得， 所以弦长的取值范围是.故选：B. 类型六、利用代数式几何意义求最值 例．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ） A．[4,10] B．[8,10] C．[4,16] D．[8,16] 【答案】C 【解析】将化为，即圆心为，半径为3， 由表示圆上点到原点距离的平方，而圆心到原点的距离为1， 又在圆内， 所以圆上点到原点距离范围为，故的取值范围是.故选：C 【变式训练1】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】可化为，表示圆心为，半径为的圆， 的几何意义是圆上一点与点连线的斜率，设，则， 当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，由，整理得， 解得或，故的最小值为.故选：B. 【变式训练2】（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 圆化为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为是圆上任意一点， 所以圆与直线有公共点， 即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径， 所以，解得， 即的最大为.故选:D. 【变式训练3】（23-24高二下·广东·月考）过圆外一点做圆的切线，切点为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【解析】如图： 依题意，，即. 解法一：， 当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故选：B 解法二：设，由题意知直线与圆：有公共点， 令，解得，故的最大值为.故选：B 1．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【解析】由，则其轨迹为直线， 由圆，整理可得圆， 可得圆心，半径， 设圆心关于直线成轴对称的对称点， 则线段的中点为，直线的斜率， 可得，解得，即， 结合题意，作图如下： 由圆与圆关于直线成轴对称，则， 由图可知，故选：C. 2．（24-25高二上·重庆渝中·月考）直线过点，且与圆：相交所形成的长度为的弦的条数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】由题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 故长度为的弦的条数为1条.故选：C 3．（23-24高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 【答案】D 【解析】由，则圆心坐标是，半径是3．因为圆心到点的距离为， 所以点在圆内，最长弦为圆的直径， 由垂径定理，得最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直， 故最短弦的长为，最长弦即直径， 所以四边形的面积为．故选：D 4．（23-24高二下·湖南长沙·期末）已知，且，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．36 D．48 【答案】C 【解析】设与为圆上一点， 则，得，， 即为等腰直角三角形，设为的中点， 则，得， 即点在以为圆心，2为半径的圆上， 故， 因为点到定点D的距离的最大值为， 因此的最大值为36.故选：C 5．（24-25高二上·江苏扬州·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线可知，则， 由圆可知圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 设点到直线的距离为， 则，即， 所以面积.故选：C. 6．（23-24高二下·安徽·月考）（多选）已知实数，满足，则（   ） A．当时，的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是1 【答案】BCD 【解析】由，得．该方程表示圆心为，半径的圆． 设，则表示圆上的点（除去点和）与原点连线的斜率， 由，则，解得或， 所以（可以为）， 即当时，无最小值，的最大值是，故A错误，B正确； 设，则，表示当直线与圆有公共点时直线在轴上的截距， 则，解得，即的最小值是，故C正确； 因为表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在轴上， 所以当，时，取得最小值，且最小值为，故D正确．故选：BCD 7．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）（多选）已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．已知，，则的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】由题圆C的圆心为，半径为， 对于A，显然圆心满足，故直线穿过圆心， 所以圆关于直线对称，A对； 对于B， ， 设，如图， 所以根据代数式的几何意义可知的最小值为：，故B对； 对于C，设，即，动点在圆C上， 则z取得最小值时，即为直线在y轴上截距最小， 如图，过圆C所在平面作直线，直线与直线平行， 由图可知，当直线与圆C相切时其在y轴上截距取得最大值或最小值， 此时圆心C到直线的距离等于半径，即， 或，故的最小值为，故C错； 对于D，因为，设， 则根据代数几何意义可知当圆上的点与定点两点间斜率最大时， 的值最大， 如图，显然当过T的直线与圆相切时斜率最大， 设切线为，， 则有圆心到切线距离，或， ，故D对.故选：ABD. 8．（24-25高二上·广东广州·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之差为 . 【答案】16 【解析】设，因为，，三点， 所以 ， 因为点P在圆上运动， 则，解得， 所以， 当时，取的最大值88， 当时，取的最小值72. 所以取的最大值与最小值之差为. 故答案为：16 9．（24-25高二上·江苏泰州·月考）已知为圆上任意一点，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，则， 则 而表示到，两点距离和， 所以． 所以，所以的最小值为． 故答案为： 10．（23-24高二下·湖北·月考）过点的直线交：于，两点，则的最小值为 【答案】 【解析】 过分别作直线的垂线，垂足分别为， 设的中点为，过作直线的垂线，垂足为，连接， 又 . 因为为的中点，故， 故的轨迹为以的直径的圆，其方程为， 即，其圆心为，半径为， 到直线的距离为， 故到直线的距离的最小值为， 故的最小值为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$