第一部分 专题三 培优微专题13 数列中的新定义问题（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

1．(2024·泰安三模)对于m，t∈N*，s∈N，t不是10的整数倍，且m＝t·10s，则称m为s级十全十美数．已知数列{an}满足：a1＝8，a2＝40，an＋2＝5an＋1－6an. (1)若{an＋1－kan}为等比数列，求k； (2)求在a1，a2，a3，…，a2024中，3级十全十美数的个数． 解：(1)设{an＋1－kan}的公比为q，根据题意，列出方程组，即可求得k的值；(2)由(1)知，得到an＋1－2an＝(a2－2a1)3n－1＝8·3n，和an＋1－3an＝(a2－3a1)2n－1＝8·2n，两式相减得an＝8(3n－2n)，分n为奇数和n为偶数，两种情况讨论，结合二项展开式的性质，即可求解． (1)设{an＋1－kan}的公比为q， 则an＋2－kan＋1＝q(an＋1－kan)，即an＋2＝(q＋k)an＋1－qkan， 由an＋2＝5an＋1－6an，可得，解得或， 所以k＝2或k＝3. (2)由(1)知，当时，an＋1－2an＝(a2－2a1)3n－1＝8·3n， 当时，an＋1－3an＝(a2－3a1)2n－1＝8·2n， 两式相减得an＝8(3n－2n)． 当n为奇数时，3n－2n的个位数为1或9，an＝8(3n－2n)的个位数不可能为0； 当n为偶数时，设n＝2k(k∈N*)，则an＝8(32k－22k)＝8(9k－4k)， 要想an末尾3个数字为0，需满足9k－4k被＝53＝125整除， 当k＝1,2,3时，9k－4k均不符合题意； 当k＞3时，9k－4k＝(－1＋10)k－(－1＋5)k＝[C(－1)k＋C(－1)k－1·10＋C(－1)k－2·102＋…＋C·10k]－[C(－1)k＋C(－1)k－1·5＋C(－1)k－2·52＋…＋C·5k]， 自103,53以后各项均可被125整除， 故只需考虑 － ＝(－1)k－1·5k＋(－1)k－2·75·＝·(－1)k－2·5k·[－2＋15(k－1)]能否被125整除， 其中－2＋15(k－1)不是5的倍数， 故若原式能被125整除，需k为偶数且能被25整除，即k需是50的倍数， 在1,2,3，…，2024中，50的倍数有40个：50,100,150，…，2000， 故在a1，a2，…，a2024中，3级十全十美数的个数为40. 2．(2024·温州适应性考试二)数列{an}，{bn}满足：{bn}是等比数列，b1＝2，a2＝5，且a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2(an－3)bn＋8(n∈N*)． (1)求an，bn； (2)求集合A＝{x|(x－ai)(x－bi)＝0，i≤2n，i∈N*}中所有元素的和； (3)对数列{cn}，若存在互不相等的正整数k1，k2，…，kj(j≥2)，使得ck1＋ck2＋…＋ckj也是数列{cn}中的项，则称数列{cn}是“和稳定数列”．试分别判断数列{an}，{bn}是否是“和稳定数列”．若是，求出所有j的值；若不是，说明理由． 解：(1)根据已知及等比数列的定义求出{bn}的通项公式，由已知和求通项可得{an}的通项公式，(2)根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果(3)根据“和稳定数列”的定义可判定． (1)∵a1b1＝2(a1－3)b1＋8，b1＝2，∴a1＝2， 又a1b1＋a2b2＝2(a2－3)b2，b1＝2，∴a1＝2，a2＝5，解得：b2＝4 因为{bn}是等比数列，所以{bn}的公比q＝＝2，∴bn＝2n 又当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝2(an－1－3)bn－1＋8， 作差得：anbn＝2(an－3)bn－2(an－1－3)bn－1 将bn＝2n代入，化简：an＝2(an－3)－(an－1－3)， 得：an－an－1＝3(n≥2) ∴{an}是公差d＝3的等差数列，∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－1 (2)记集合A的全体元素的和为S， 集合M＝{a1，a2，…，a2n}的所有元素的和为A2n＝＝6n2＋n， 集合N＝{b1，b2，…，b2n}的所有元素的和为B2n＝＝22n＋1－2， 集合M∩N的所有元素的和为T，则有S＝A2n＋B2n－T 对于数列{bn}： 当n＝2k－1(k∈N*)时，b2k－1＝22k－1＝(3－1)2k－1＝3p－1(p∈N*)是数列{an}中的项 当n＝2k(k∈N*)时，b2k＝2b2k－1＝2(3p－1)＝6p－2(p∈N*)不是数列{an}中的项 ∴T＝b1＋b3＋…＋b2k－1，其中⇒＜k≤ 即k＝(其中[x]表示不超过实数x的最大整数) ∴T＝＝(4k－1)＝ ∴S＝6n2＋n＋22n＋1－·－ (3)①当j＝3m，(m∈N*)时，是3的正整数倍， 一定不是数列{an}中的项； 当j＝3m－1，(m∈N*)时，＝1(mod3)，不是数列{an}中的项； 当j＝3m＋1，(m∈N*)时，＝2(mod3)，是数列{an}中的项； 综上，数列{an}是“和稳定数列”，j＝3m＋1，(m∈N*)； ②数列{bn}不是“和稳定数列”，理由如下： 数列{bn}不是“和稳定数列”． 学科网（北京）股份有限公司 $$