第一部分 专题二 微专题8 三角恒等变换与解三角形（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

一、单选题 1．(2024·全国甲卷)已知＝，则tan＝(　　) A．2＋1　　　　　　 B．2－1 C. D．1－ 解析：B　[因为＝，所以tan α＝1－，tan＝＝2－1.] 2．(2024·金华、义乌三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则c为(　　) A．1 B．2 C．3 D．1或3 解析：C　[根据余弦定理直接求解即可． 由余弦定理得cos A＝， 即＝，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍)．] 3．(2024·日照三模)已知a＝(sin 14°＋cos 14°)，b＝sin 61°，c＝，则a，b，c的大小顺序为(　　) A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c 解析：A　[利用辅助角公式化简a，再利用正弦函数的单调性即可比较出大小． 因为a＝(sin 14°＋cos 14°)＝··sin(14°＋45°)＝sin 59°， b＝sin 61°，c＝＝sin 60°，由正弦函数y＝sin x在上单调递增知：a＜c＜b.] 4．(2024·葫芦岛协作校一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“sin2A＋sin2B＋cos2C＞1”是“△ABC是锐角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[利用正弦定理和余弦定理可得cos C＞0，但A，B不一定为锐角；若△ABC是锐角三角形可知满足sin2A＋sin2B＋cos2C＞1，即可得出结论． 由△ABC是锐角三角形，得0＜C＜，从而cos C＞0， 故a2＋b2－c2＞0，即sin2A＋sin2B－sin2C＞0，即sin2A＋sin2B－(1－cos2C)＞0， 可得sin2A＋sin2B＋cos2C＞1，即必要性成立； 反之，若“sin2A＋sin2B＋cos2C＞1”可得sin2A＋sin2B＋cos2C－1＞0，即sin2A＋sin2B－sin2C＞0， 可得a2＋b2－c2＞0，可知cos C＞0，但角A，B可能为钝角，所以充分性不成立．] 5．在△ABC中内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解析：C　[利用正弦定理得sin Asin C＝，再利用余弦定理有a2＋c2＝ac，再利用正弦定理得到sin2A＋sin2C的值，最后代入计算即可． 因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理得sin Asin C＝sin2B＝. 由余弦定理可得：b2＝a2＋c2－ac＝ac， 即：a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sin Asin C＝， 所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝， 因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C＞0，则sin A＋sin C＝.] 6．(2024·杭州质检)在△ABC中，已知＝nsin C，＝ncos C．若tan＝－3，则n＝(　　) A．无解 B．2 C．3 D．4 解析：A　[由tan＝－3可得tan A＝2，进而得到tan A＝tan B·tan C＝2，借助三角形内角和与两角和的正切公式可得tan B＋tan C＝2，设tan B＝t，有t2－2t＋2＝0，可得该方程无解，故不存在这样的n. 由tan＝＝－3，即tan A＝2，则cos A≠0， 由＝nsin C，＝ncos C，知cos C≠0， 则＝tan C，则tan A＝tan B·tan C＝2， 又tan A＝tan(π－B－C)＝－tan(B＋C)＝－＝tan B＋tan C， 故tan B＋tan C＝2，设tan B＝t，则tan C＝2－t， 有t(2－t)＝2，即t2－2t＋2＝0，Δ＝4－8＝－4＜0， 即该方程无解，故不存在这样三角形，即n无解．] 二、多选题 7．(2024·齐齐哈尔二模)已知函数f(x)＝sin＋cos，则(　　) A．f为偶函数 B．曲线y＝f(x)的对称中心为，k∈Z C．f(x)在区间上单调递减 D．f(x)在区间上有一条对称轴 解析：BD　[根据题意利用三角恒等变换整理得f(x)＝2sin，结合正弦函数的性质逐项分析判断． 由题意可得：f(x)＝sin＋cos＝sin＋cos＝2sin， 对于选项A：因为f＝2sin(x－π)＝－2sin x，所以f为奇函数，故A错误； 对于选项B：令x－＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z， 所以曲线y＝f(x)的对称中心为，k∈Z，故B选项正确； 对于选项C：因为f＝2sin＝1，f＝2sin＝2，即f＜f，即f(x)在内不是单调递减，故C错误； 对于选项D：因为x∈，则x－∈(0，π)， 且y＝sin x在(0，π)内有且仅有一条对称轴x＝，所以f(x)在区间上有且仅有一条对称轴，故D选项正确．] 8．(2022·广州三模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c.下面四个结论正确的是(　　) A．a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4 B．若＝，则A＝45° C．若a2＋b2＜c2，则△ABC一定是钝角三角形 D．若A＜B，则cos A＜cos B 解析：BC　[由正弦定理知＝4＝2R，所以外接圆半径是2，故A错误； 由正弦定理及＝可得，＝＝1，即tan A＝1，由0＜A＜π，知A＝45°，故B正确； 因为cos C＝＜0，所以C为钝角，△ABC一定是钝角三角形，故C正确； 若A＝，B＝，显然cos A＞cos B，故D错误．] 三、填空题 9．(2024·鹰潭二模)已知cos＝，且α∈，则cos＝________. 解析：根据题意，由同角三角函数的平方关系可得sin＝，即可得到cos＝sin α＝sin，由正弦函数的和差角公式代入计算，即可得到结果． 因为α∈，所以α＋∈， 又cos＝， 所以sin＝＝， 所以cos＝sin α＝sin ＝sincos α－cossin α＝×－×＝. 答案： 10．(2024·东三省四市教研体二模)哈尔滨防洪胜利纪念塔，坐落在风景如画的松花江南岸，是为纪念哈尔滨市人民战胜1957年的特大洪水，于1958年建成的，是这座英雄城市的象征，它象征着20世纪的哈尔滨人民力量坚不可摧．小明同学想利用镜面反射法测量防洪纪念塔主体的高度．如图所示，小明测量并记录人眼距离地面高度h m，将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能够看到楼顶的位置，测量人与镜子的距离为a1m，将镜子后移a m，重复前面中的操作，测量人与镜子的距离为a2m.根据数据可求出防洪纪念塔AB的高度为________(单位：m)． 解析：作出图形如图所示， 由题意可知，GH＝DE＝h，HF＝a2，FC＝a，EC＝a1， 易知△GHF∽△ABF，△DEC∽△ABC， 设BC＝x，则＝，＝，化简得x＝，AB＝×x＝， 所以防洪纪念塔AB的高度为. 答案： 四、解答题 11．(2024·温州适应性考试二)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2csin B＝b. (1)求C； (2)若tan A＝tan B＋tan C，a＝2，求△ABC的面积． 解：(1)根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得sin C，从而确定角C.(2)根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积． (1)由2csin B＝b得2sin Csin B＝sin B，而B为三角形内角， 故sin B＞0，得sin C＝，而C为三角形内角， ∴C＝或. (2)由tan A＝－tan(B＋C)＝tan B＋tan C得－＝tan B＋tan C， 又tan B＋tan C≠0，∴tan Btan C＝2，故B，C∈ ， 由(1)得tan C＝1，故tan B＝2， ∴tan A＝tan B＋tan C＝3，而A为三角形内角， ∴sin A＝. 又＝即＝⇒c＝， 又tan B＝2，而B为三角形内角，故sin B＝， ∴△ABC的面积为S＝acsin B＝×2××＝. 12．(2024·江苏苏锡常镇调研一)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos B＋1＝. (1)证明：B＝2A； (2)若sin A＝，b＝，求△ABC的周长． 解：(1)利用正弦定理边化角结合角范围可证； (2)利用倍角公式求得sin C，然后利用正弦定理可得． (1)(2cos B＋1)sin A＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B⇒sin A＝sin Bcos A－cos Bsin A＝sin(B－A)， 因为A，B∈(0，π)，∴B－A∈(－π，π) ∴A＝B－A或A＋(B－A)＝π(舍)，∴B＝2A. (2)由sin A＝，结合(1)知A＋B＝3A∈(0，π)，则A∈， 得cos A＝＝＝， sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝2××＝， cos B＝cos 2A＝1－2sin2A＝1－2×＝， ∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝＝， 由正弦定理得＝＝⇒＝＝⇒， ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$