第1部分 专题3 微专题10 数列求和及其综合应用（word教参）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

微专题10　数列求和及其综合应用 ★[高考定位]　数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法．常与数列的综合问题结合考查，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等． 　　　　数列求和 数列求和最常用的四种方法 1．公式法： 适合求等差数列或等比数列的前n项和，对于等比数列，利用公式法求和时，一定要注意q是否取1. 2．错位相减法： 这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． 3．裂项相消法： 把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求数列的前n项和．若{an}为等差数列，d为公差，则＝. 4．分组求和法： 一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分(即能分别求和)，然后再合并 [角度1]　分组求和 [例1]　(2024·莆田质检二)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且a2，a4，a8成等比数列，S5＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝求数列{bn}的前2n项和T2n. [解]　(1)根据题意列式求a1，d，进而可得结果；(2)根据题意利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解． (1)由题意可得：， 即， 且d≠0，解得a1＝d＝1， 所以数列{an}的通项公式an＝1＋n－1＝n. (2)由(1)可得bn＝， 可得T2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n) ＝(1＋3＋…＋2n－1)＋(22＋24＋…＋22n)＝＋ ＝n2＋(4n－1)， 所以T2n＝n2＋(4n－1)． 在处理一般数列求和时，一般要注意使用转化思想，把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时，要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解，在利用分组求和法求和时，有时数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后验证是否可以合并为一个公式． [角度2]　裂项求和 [例2]　(2024·安阳一模)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3·2n. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)由an＋1＝2an＋3·2n，可得－＝，又＝1， 故数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以＝1＋(n－1)·＝， 得到an＝(3n－1)·2n－1. (2)由(1)可知bn＝＝＝－， 故Tn＝－＋－＋…＋－＝2－. 1．裂项相消法求和就是将数列中的每一项分成两项或多项，使这些分开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项． 2．消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． [角度3]　错位相减求和 [例3]　(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)利用退位法可求{an}的通项公式．(2)利用错位相减法可求Tn. (1)当n＝1时，4S1＝4a1＝3a1＋4，解得a1＝4. 当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4，所以4Sn－4Sn－1＝4an＝3an－3an－1即an＝－3an－1， 而a1＝4≠0，故an≠0，故＝－3， ∴数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列， 所以an＝4×(－3)n－1. (2)bn＝(－1)n－1n×4×(－3)n－1＝4n×3n－1， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n×3n－1 故3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n×3n 所以－2Tn＝4＋4×31＋4×32＋…＋4×3n－1－4n×3n ＝4＋4×－4n×3n＝4＋2×3×(3n－1－1)－4n×3n ＝(2－4n)×3n－2， ∴Tn＝(2n－1)·3n＋1. 应用错位相减法求和需注意的问题 (1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列． (2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． 1．(2024·宁波模拟)已知等差数列{an}的公差为2，记数列{bn}的前n项和为Sn，b1＝0，b2＝2且满足bn＋1＝2Sn＋an. (1)证明：数列{bn＋1}是等比数列； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn. 解：(1)根据通项与前n项和之间的关系，作差可得bn＋1＝3bn＋2，即可利用等比数列的定义求解； (2)根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差、等比数列求和求解． (1)n≥2时，bn＋1－bn＝2(Sn－Sn－1)＋an－an－1＝2bn＋2，即bn＋1＝3bn＋2. 又b1＝0，b2＝2，也符合b2＝3b1＋2， 所以n≥1时，bn＋1＝3bn＋2，即bn＋1＋1＝3(bn＋1)． 又b1＋1＝1≠0，所以bn＋1≠0， 所以＝3，所以数列{bn＋1}成等比数列． (2)由(1)易得bn＝3n－1－1.由b2＝2b1＋a1可得a1＝2，所以an＝2n. 所以anbn＝2n(3n－1－1)＝2n·3n－1－2n， 所以Tn＝2(1×30＋2×31＋3×32＋…＋n×3n－1)－n(n＋1)． 令M＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n·3n－1， 则3M＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n， 所以2M＝－(30＋31＋32＋…＋3n－1)＋n·3n＝n·3n－＝， 所以Tn＝2M－n(n＋1)＝－n(n＋1)． 2．(2024·岳阳质监三)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若等差数列{an}的公差不为零且数列{bn}满足：bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设数列公差，由条件列出方程，求解后运用等差数列基本量运算即得；(2)求出数列{bn}的通项公式，根据其形式结构进行拆项和裂项，利用分组求和法与裂项求和法即可求得Tn. (1)设数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋3d成等比数列，所以(2＋d)2＝2(2＋3d)， 解得d＝0或d＝2，当d＝0时，an＝2；当d＝2时，an＝2＋(n－1)×2＝2n， 所以数列{an}的通项公式为an＝2或an＝2n. (2)因为等差数列{an}的公差不为零，由(1)知an＝2n(n∈N*)，则bn＝ ＝ ＝＝1＋ ＝1＋， 所以Tn＝n＋＋＋＋…＋， 即Tn＝n＋＝n＋. 　　　　数列中的不等式问题 [例4]　(2024·湖北七市州调研)已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝. (1)求{an}的通项公式； (2)若对于任意n∈N*,2n·λ≥Sn成立，求实数λ的取值范围． [解]　(1)根据题意，得到n≥2时，4Sn－1＝an－1an＋1，两式相减得到an＋1－an－1＝4，得到a1，a3，a2n－1及a2，a4，a2n，均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式； (2)由(1)求得Sn＝n2，证得为λ≥恒成立，设bn＝，求得数列的单调性和最大值，即可求解． (1)因为数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝，即4Sn＝anan＋1＋1， 当n≥2时，可得4Sn－1＝an－1an＋1， 两式相减得4an＝an(an＋1－an－1)， 因为an≠0，故an＋1－an－1＝4， 所以a1，a3，…，a2n－1，…及a2，a4，…，a2n，…均为公差为4的等差数列： 当n＝1时，由a1＝1及S1＝，解得a2＝3， 所以a2n－1＝1＋4(n－1)＝2(2n－1)－1，a2n＝3＋4(n－1)＝2(2n)－1， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)知an＝2n－1， 可得Sn＝n＝n＝n2， 因为对于任意n∈N*,2n×λ≥Sn成立，所以λ≥恒成立， 设bn＝，则bn＋1－bn＝－＝， 当1－＜n＜1＋，即n＝1,2时，bn＋1－bn＞0，bn＜bn＋1 当n＞1＋，即n≥3，n∈N*时，bn＋1－bn＜0，bn＞bn＋1 所以b1＜b2＜b3＞b4＞b5＞…，故(bn)max＝b3＝，所以λ≥， 即实数λ的取值范围为. 解决数列与函数、不等式的综合问题的注意点 (1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别注意； (2)解题时应准确构造函数，利用函数性质时应注意限制条件； (3)证明不等关系时进行适当的放缩． (2024·桂林、来宾三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且4a1－3Sn＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝nan，且数列{bn}的前n项和为Tn，若∀n∈N*都有不等式Tn≤＋3λan恒成立，求λ的取值范围． 解：(1)根据an＝Sn－Sn－1运算即可求解；(2)由(1)可得bn＝nn－1，结合错位相减求和法计算可得Tn＝－n，将原问题转化为不等式λ≥－－对∀n∈N*恒成立，结合一次函数的性质即可求解． (1)因为4a1－3Sn＝， 当n＝1时，得4a1－3a1＝1，即a1＝1≠0,3Sn＝4－①， 当n≥2时，3Sn－1＝4－②， 由①－②得3an＝－，an＝，又a1＝1也满足， 所以an＝n－1. (2)因为bn＝nan＝nn－1， 所以Tn＝1×0＋2×1＋3×2＋…＋n×n－1，Tn＝1×1＋22＋…＋(n－1)×n－1＋n×n， 两式相减得Tn＝0＋1＋2＋…＋n－1－n×n， 即Tn＝－nn， 则Tn＝－n， 故Tn＝－n. 由Tn≤＋3λan，得－n≤＋3λn－1，即λ≥－－， 依题意，∀n∈N*不等式λ≥－－恒成立， 因为y＝－－随着n增大而减小， 所以λ≥－，即λ的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$