第1部分 专题2 培优微专题6 三角函数中ω、φ的范围问题（word教参）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

[培优微专题6]　三角函数中ω、φ的范围问题 三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上． 三角函数的最值(值域)与ω，φ 的取值范围 [例1]　(1)(2023·湖州二模)已知函数f(x)＝acos ωx(a≠0，ω＞0)，若将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＝0在上有且仅有两个不相等的实根，则实数ω的取值范围是(　　) A.　　　　　 B. C. D. [解析]　将函数f(x)＝acos ωx(a≠0，ω＞0)向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)， 即g(x)＝acos＝acos， ∵x∈，∴ωx＋∈， ∵g(x)＝0在上有且仅有两个不相等的实根，∴ω＋∈，解得≤ω＜4， 即实数ω的取值范围是. [答案]　B (2)[多选](2023·湛江一模)已知ω＞0，函数f(x)＝cos，下列选项正确的有(　　) A．若f(x)的最小正周期T＝2，则ω＝π B．当ω＝2时，函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos 2x的图象 C．若f(x)在区间上单调递增，则ω的取值范围是 D．若f(x)在区间(0，π)上只有一个零点，则ω的取值范围是 [解析]　由余弦函数图象与性质，可得T＝＝2，得ω＝π，所以A正确； 当ω＝2时，可得f(x)＝cos， 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得f＝cos＝cos≠g(x)，所以B错误； 若f(x)在区间上单调递增， 则，k∈Z， 解得1＋3k≤ω≤＋2k，k∈Z， 又因为ω＞0，所以只有当k＝0时，此不等式有解，即1≤ω≤，所以C正确； 若f(x)在区间(0，π)上只有一个零点，则，解得＜ω≤，所以D正确． [答案]　ACD 求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围． 1．(2024·桂林、来宾三模)已知函数f(x)＝cos ωx－2sin 2ωxsin ωx(ω＞0)在(0,2π)上有最小值，没有最大值，则ω的取值范围是(　　) A.　　　　　 B. C. D. 解析：D　[根据给定条件，利用差角的余弦公式化简函数f(x)，再由指定范围求出相位范围，结合余弦函数的性质列式求解即得． 依题意，f(x)＝cos(2ωx－ωx)－2sin 2ωxsin ωx＝cos(2ωx＋ωx)＝cos 3ωx， 当x∈(0,2π)时，3ωx∈(0,6ωπ)，若f(x)在(0,2π)上有最小值没有最大值， 则π＜6ωπ≤2π，所以＜ω≤.] 　　　　单调性与ω，φ的取值范围 [例2]　(2024·安顺一模)将函数f(x)＝sin x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的(ω＞0)倍，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A.　　　　　　 B. C. D．(0,1] [解析]　首先求函数g(x)的解析式，再根据x∈，代入函数的解析式，结合正弦函数的图象和性质，即可求解． 由三角函数的图象变换规律可知， g(x)＝sin， x∈，ωx－∈， 因为函数g(x)在上单调递增，所以－ω－≥－，且ω＞0， 得0＜ω≤. [答案]　B 若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解． 2．(2024·河南洛平许济四市质检)在△ABC中，tan A＝3tan B，A－B的最大值为φ.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间上单调递增，则ω的最大值为________． 解析：由已知在△ABC中，tan A＝3tan B， 由tan(A－B)利用不等式可得φ＝，然后利用正弦函数的单调性与区间的关系列不等式即可． 因为tan A＝3tan B，故B为锐角， 且tan(A－B)＝＝＝， 又＋3tan B≥2 ＝2， 所以tan(A－B)≤＝，所以A－B的最大值为，即φ＝， 当且仅当＝3tan B时，即tan B＝，等号成立，函数f(x)＝sin(ω＞0)， 因为－≤x≤，所以－ω≤ωx＋≤＋ω， 要使f(x)在区间上单调递增，则， 所以0＜ω≤2， 所以ω的最大值为2. 答案：2 　 　　　对称轴、零点与ω，φ的取值范围 [例3]　(2024·厦门质检二)将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝f(x)和y＝g(x)在(0，π)上都恰好存在两个零点，则ω的取值范围是________． [解析]　由ωx＋的范围，判断两个零点的值，列不等式求ω的取值范围；再由ωx－＋的范围，判断两个零点的值，列不等式求ω的取值范围，取交集即可．当x∈(0，π)时， ωx＋∈， 函数y＝f(x)在(0，π)上的两个零点只能满足ωx＋＝π或ωx＋＝2π， 所以2π＜ωπ＋≤3π，解得＜ω≤①. 由题意，得g(x)＝sin， 当x∈(0，π)时， ωx－＋∈. 由①知－∈， 函数y＝g(x)在(0，π)上的两个零点只能满足ωx－＋＝0或ωx－＋＝π， 所以π＜＋≤2π，解得1＜ω≤②. 由①②，得ω的取值范围是. [答案]　 已知函数的零点、极值点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点、极值点即可，注意函数的极值点即为三角函数的最大值、最小值点． 3．(2024·烟台二模)将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数g(x)的图象，若x＝－为g(x)图象的一条对称轴，则φ的最小值为(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解析：B　[本题先根据三角函数图象平移的规则求出g(x)，再根据正弦函数的对称轴求出φ和整数k的关系式，再对k取值即可求解． 由题意得：g(x)＝sin 2 ＝sin， 又因为x＝－π是g(x)的一条对称轴， 所以kπ＋＝2·＋＋2φ，k∈Z， 即φ＝＋π，k∈Z，下面结合选项对整数k取值(显然k取负整数)： k＝－1时，φ＝π； k＝－2时，φ＝π； k＝－3时，φ＝π； k＝－4时，φ＝－.] 学科网（北京）股份有限公司 $$