第1部分 专题1 微专题3 不等式（word教参）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

微专题3　不等式 ★[高考定位]　考查利用基本不等式求最值、证明不等式等，利用基本不等式解决实际问题；一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相结合考查参数的取值范围，以考查一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式、根的存在等． 　 　　　不等式的解法 1．一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. [例1]　(1)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝， 那么集合A∩B＝(　　) A．[－2,4)　　　　　　 B．(－1,3] C．[－2，－1] D．[－1,3] [解析]　分析：解不等式求出集合A，B，根据交集的定义即可求解． 由题意可知，A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|－2≤x≤3}， B＝＝{x|－1＜x≤4}， 所以A∩B＝{x|－1＜x≤3}． [答案]　B (2)[多选]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　) A．a＞0 B．不等式bx＋c＞0的解集是{x|x＜－6} C．a＋b＋c＞0 D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为∪ [解析]　分析：A选项，根据不等式的解集得到a＞0；BC选项，转化为－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出b＝－a，c＝－6a，解不等式，得到bx＋c＞0的解集，并得到a＋b＋c＝－6a＜0；D选项，变形得到6x2－x－1＞0的解集即可． A选项，∵关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)， ∴a＞0，A选项正确； BC选项，已知－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系得， 则b＝－a，c＝－6a， 不等式bx＋c＞0，即－ax－6a＞0，解得x＜－6，B正确； 且a＋b＋c＝－6a＜0，C错误； D选项，不等式cx2－bx＋a＜0，即－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＞0， 解得x＜－或x＞，D正确． [答案]　ABD 不等式的求解技巧 (1)对于和函数有关的不等式，可利用函数的单调性进行转化． (2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集． (3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论． 1．若关于x的不等式x2＋bx＋c≤1(b，c∈R)的解集为，则b＋c的值是(　　) A．－ B．－ C．2 D．－ 解析：D　[分析：根据不等式的解集得出相应方程的根，再用韦达定理可求b＋c. 不等式x2＋bx＋c≤1(b，c∈R)的解集为， 则方程x2＋bx＋c－1＝0的两根为x1＝－，x2＝2，由韦达定理得：x1＋x2＝－b＝－＋2＝，x1x2＝c－1＝－×2＝－3， 可得b＝－，c＝－2 故b＋c＝－－2＝－.] 2．[多选]下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2＞0的解集为{x|x＜－2或x＞1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x＜2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“|x－1|＜1”是“＜0”的充分不必要条件 解析：ABD　[分析：解出各选项中的不等式后可判断． A选项，x2＋x－2＞0⇔(x－1)(x＋2)＞0⇔x＜－2或x＞1，A正确；B选项，≤1⇔－1≤0⇔≤0⇔⇔－3≤x＜2，B正确； C选项，|x－2|≥1⇔x－2≥1或x－2≤－1， 即x≥3或x≤1，C错误； D选项，|x－1|＜1⇔0＜x＜2，＜0⇔(x＋4)(x－5))＜0⇔－4＜x＜5，而{x|0＜x＜2}⊆{x|－4＜x＜5}，D正确．] 　　　　不等式的性质 不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性) (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性) (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性) (4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性) (5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性) a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性) (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性) (7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性) (8)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)．(单向性) [例2]　(1)[多选](2024·齐齐哈尔三模)已知a，b＞0，则使得“a＞b”成立的一个充分条件可以是(　　) A.＜ B．|a－2|＞|b－2| C．a2b－ab2＞a－b D．ln(a2＋1)＞ln(b2＋1) [解析]　分析：由不等式的性质可判断AD；取特值可判断B；a2b－ab2＞a－b可化为a＋＞b＋结合y＝x＋的单调性可判断C. 对于A，因为ab＞0，＜，故a＞b，故A选项正确；对于B，取a＝1，b＝2，此时满足1＞0，但a＜b，B选项错误；对于C，a2b－ab2＞a－b可得：a2b＋b＞ab2＋a， 则b(a2＋1)＞a(b2＋1)，因为a，b＞0，即＞，所以a＋＞b＋，因为函数y＝x＋在(0，＋∞)不单调，所以C选项错误； 对于D，由ln(a2＋1)＞ln(b2＋1)可知，a2＞b2，因为a，b＞0， 所以a＞b，故D选项正确， [答案]　AD (2)[多选]已知实数x，y满足1＜x＜6,2＜y＜3，则(　　) A．3＜x＋y＜9　　　　 B．－1＜x－y＜3 C．2＜xy＜18 D.＜＜6 [解析]　分析：由不等式的性质直接求解． 因为1＜x＜6,2＜y＜3，则3＜x＋y＜9,2＜xy＜18，故A、C正确； 由题－3＜－y＜－2，故－2＜x－y＜4，B错误； 1＜y－1＜2，则＜＜1，故＜＜6，D正确． [答案]　ACD 判断不等式是否成立的方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断． 1．已知a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.＜ B．a2＞b2 C．a|c|＞b|c| D.＞ 解析：D　[分析：根据不等式的基本性质判断AD；举例说明即可判断BC. A．当a＞0＞b时，＞，故A错误；B.当a＝－1，b＝－2时，满足a＞b，但a2＞b2不成立，故B错误；C.当c＝0时，a|c|＝b|c|，故C错误；D.由a＞b，c2＋1＞0，得＞，故D正确．] 2．[多选](2024·武汉模拟)已知a＜b＜c(a，b，c∈R)，且a＋2b＋3c＝0，则(　　) A．a＜0＜c B．∃a，c使得a2－25c2＝0 C．a＋c可能大于0 D.＜－ 解析：AD　[分析：对于A，根据已知条件变形即可证明；对于B，根据已知得a＋5c＞0，得c＞－＞0，即可证明；对于C，根据已知条件变形即可证明；对于D，将条件变形为a＋c＝－2(b＋c)，再利用＜0即可证明结论． 对于A，由a＜b＜c及a＋2b＋3c＝0， 得6a＝a＋2a＋3a＜a＋2b＋3c＝0，所以a＜0， 又0＝a＋2b＋3c＜c＋2c＋3c＝6c，所以c＞0，A正确；对于B，由a＜b＜c及a＋2b＋3c＝0，得a＋2c＋3c＞0，所以a＋5c＞0，得c＞－＞0， 所以c2＞，得a2－25c2＜0，B错误； 对于C，由a＜b＜c及a＋2b＋3c＝0，得3a＋3c＜a＋2b＋3c＝0，所以a＋c＜0，C错误． 对于D，由a＋2b＋3c＝0，得a＋c＝－2(b＋c)，所以＝＝＋＝－＋. 因为a＋c＜0，c＞0，所以＜0，所以＜－，D正确．] 　　　　基本不等式 利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则 (1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定，和有最小值) (2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2.(简记：和定，积有最大值) [例3]　(1)[多选](2024·重庆模拟)下列结论中，错误的结论有(　　) A．y＝x(4－3x)取得最大值时x的值为1 B．若x＜－1，则x＋的最大值为－2 C．函数f(x)＝的最小值为2 D．若a＞0，b＞0，且a＋b＝2，那么＋的最小值为 [解析]　分析：根据二次函数的最值以及基本不等式判断各选项． 对于A，y＝x(4－3x)的对称轴为x＝，所以y＝x(4－3x)取得最大值时x的值为，故A错误； 对于B，令y＝x＋＝x＋1＋－1 若x＜－1，x＋1＜0，－(x＋1)＞0，－(x＋1)－≥2，当x＝－2时，取等号， 所以(x＋1)＋≤－2，则y＝x＋1＋－1≤－3.则y＝x＋的最大值为－3，故B错误； 对于C，函数f(x)＝＝＋ 令t＝≥2，当t＋＝2时，t＝1，不满足题意，故C错误； 对于D，若a＞0，b＞0，且a＋b＝2， ＋＝(a＋b) ＝≥，当＝时， 即a＝2－2，b＝4－2时，取等号． 所以＋的最小值为，故D正确． [答案]　ABC (2)(2024·临汾适应性考试三)若0＜x＜1，则＋的最小值是(　　) A．1 B．4 C．2＋2 D．3＋2 [解析]　分析：根据基本不等式及“1”的妙用计算即可． 因为0＜x＜1，所以1－x＞0， 则＋＝·[x＋(1－x)]＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当＝，即x＝－1时，等号成立，取得最小值3＋2. [答案]　D 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，在其满足基本不等式中“正”(各项都是正数)“定”(和或积为定值)“等”(等号能取得)的条件下才能应用，否则会出现错误． 1．(2024·新余二模)已知x，y为正实数，且x＋y＝2，则的最小值为(　　) A．12 B．3＋2 C. D. 解析：C　[分析：借助“1”的活用将分式齐次化后结合基本不等式计算即可得． 由x＋y＝2，则＝＝ ＝＝＋＋≥2＋＝， 当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立．] 2．(2024·潍坊三模)已知a，b，c均为正实数，函数f(x)＝x2＋(a＋2b)x＋ln x. (1)若f(x)的图象过点(1,2)，则＋的最小值为________； (2)若f(x)的图象过点(c，ab＋ln c)，且(3a＋b)t≥c恒成立，则实数t的最小值为________． 解析：分析：(1)由f(x)的图象过点(1,2)得a＋2b＝1，根据基本不等式“1”的巧用计算即可；(2)由f(x)的图象过点(c，ab＋ln c)得c2＋ac＝b(a－2c)，进而得出b＝，利用换元法及基本不等式即可求得的最大值，即可得出t的最小值． (1)由f(x)的图象过点(1,2)得，f(1)＝1＋a＋2b＝2，即a＋2b＝1， 所以(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立． (2)由(3a＋b)t≥c恒成立得，t≥， 因为f(x)的图象过点(c，ab＋ln c)，则f(c)＝c2＋(a＋2b)c＋ln c＝ab＋ln c，即c2＋ac＝b(a－2c)， 当a＝2c时，c＝0不合题意舍， 所以a≠2c，即≠2，则b＝，则由b＞0得a＞2c， 所以＝＝＝， 设－2＝m＞0， 所以＝＝， ＝≤＝， 当且仅当3m＝，即m＝1，则a＝3c，b＝4c时，等号成立． 答案：(1)9　(2) 点睛：第二空由f(x)的图象过点(c，ab＋ln c)得出b＝，代入消元得出关于a，c的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得. 学科网（北京）股份有限公司 $$