精品解析：天津市滨海新区汉沽第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中教学质量监测数学试题

汉沽一中高二年级2024-2025学年度第一学期数学学科 期中教学质量监测试卷 一、选择题：本题共9小题，共54分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则x等于（ ） A. B. C. 3 D. 6 2. 直线 的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 圆心为且过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若椭圆上一点P到焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 圆与圆的公共弦所在直线恒过点（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 过点且与圆: 相切的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，直线过点且与线段有公共点，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，共36分. 10. 直线： 的斜率和在轴上的截距分别为______________，________________. 11. 已知直线与垂直，则的值为__________. 12. 若空间中有三点;，， 则A到直线BC的距离为________________________，点 到平面ABC的距离为_____________. 13. 已知在圆上，则实数______，圆的半径______. 14. 已知圆C: 上有且仅有四个点到直线l： 的距离为2，则实数k的取值范围是______ . 15. 已知分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上的一点，且，则的面积为______． 三、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知点； （1）求过点且与平行的直线方程； （2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 17. 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于两点，求所得弦长的值. 18. 如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点. （1）求证: 平面 （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求平面 与平面 夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为，若为正三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； （3）过点的直线与椭圆相交于，两点，，直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉沽一中高二年级2024-2025学年度第一学期数学学科 期中教学质量监测试卷 一、选择题：本题共9小题，共54分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则x等于（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由，列方程求解即可. 【详解】因为向量，且， 所以，得， 故选：B. 2. 直线 的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率的概念直接求出倾斜角即可. 【详解】由，得（为直线的倾斜角）， 则，即直线的倾斜角为. 故选：C 3. 圆心为且过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出圆的半径，写出圆的方程. 【详解】因为圆心为的圆过原点，所以半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 4. 若椭圆上一点P到焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义可得. 【详解】根据椭圆的定义知，，因为，所以． 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆的定义，一般地，与焦点三角形有关的计算问题，应利用椭圆的几何性质来考虑，本题属于基础题. 5. 圆与圆的公共弦所在直线恒过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个圆的方程求出公共弦的直线方程，然后利用直线方程求解定点即可. 【详解】圆与圆， 两圆的方程相减得：，即公共弦所在的直线方程. 且，即， 故直线恒过点. 故选：A 6. 如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】结合图形，易得 又因为点M，N分别为，的中点， 故，，， 所以. 故选：A. 7. 过点且与圆: 相切的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出点M在圆上，进而求出切线斜率即可得到答案. 【详解】因为，所以点M在圆上，而， 则切线斜率为，所以切线方程为：. 故选：C 8. 已知点，，直线过点且与线段有公共点，则的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，观察直线与线段的交点从点到点运动时，直线的倾斜角的变化，从而可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】如下图所示，直线的斜率为，作直线交线段于点， 当直线从的位置运动到直线的位置时，此时，直线的倾斜角逐渐增大，倾斜角由锐角逐渐增大为直角，，此时； 当直线从直线的位置运动到的位置时，此时，直线的倾斜角逐渐增大，倾斜角由直角逐渐增大为钝角，，此时. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题考查直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于中等题． 9. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断点在椭圆内，再借助“点差法”求出这条弦所在直线的斜率即可计算作答. 【详解】依题意，点在椭圆内，设这条弦的两个端点， 由得：，又， 于是得弦AB所在直线斜率，方程为：，即， 所以这条弦所在的直线方程是. 故选：B 二、填空题：本题共6小题，共36分. 10. 直线： 的斜率和在轴上的截距分别为______________，________________. 【答案】 ①. ## ②. 3 【解析】 【分析】根据斜率公式，即可求得斜率值；令，解出，即可得在轴上的截距. 【详解】由斜率公式，可得：； 令，解出，即在轴上的截距为3. 故答案为：；3. 11. 已知直线与垂直，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的充要条件建立方程求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得， 故答案为： 12. 若空间中有三点;，， 则A到直线BC的距离为________________________，点 到平面ABC的距离为_____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直接利用空间向量计算距离的方式分别计算即可. 【详解】由题得 所以A到直线的距离为； 设平面的一个法向量 所以有， 令，得，所以， ， 所以 到平面ABC的距离为. 故答案为：； 13. 已知在圆上，则实数______，圆的半径______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将点的坐标代入圆的方程，即可求得的值，再由半径公式即求出的值. 【详解】解：因为在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为：， 所以. 故答案为：. 14. 已知圆C: 上有且仅有四个点到直线l： 的距离为2，则实数k的取值范围是______ . 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，问题转化为圆心到直线的距离小于2，列式运算得解. 【详解】因为圆上有且仅有四个点到直线的距离为2，又圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 即，解得. 故答案为：. 15. 已知分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上的一点，且，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合椭圆定义求得可得面积． 【详解】由椭圆方程知，， 因为，所以，所以， 所以． 故答案为：4． 三、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知点； （1）求过点且与平行的直线方程； （2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用直线平行的斜率关系和直线的点斜式方程求解即可； （2）分类讨论截距是否为0进行求解即可. 【小问1详解】 直线的斜率： ， 故过点且与平行的直线方程斜率. 且故直线方程为：，即. 【小问2详解】 过点且在轴和轴上截距相等的直线方程, 当截距为0时, 直线过原点，直线方程为：，即； 当截距不为0时,由截距相等可设直线方程为：， 代入得， 故直线方程为即. 综上得：直线方程为或 17. 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于两点，求所得弦长的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程； （2）求出圆心到直线距离，进而求出弦长. 【小问1详解】 由题意可得，圆心为，半径为2， 则圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知：圆的半径， 设圆心到的距离为，则， 所以. 18. 如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点. （1）求证: 平面 （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：以A为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则, ,,,,， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证； （2）由（1）可得，利用空间向量法求解线面角即可； （3）由（1）可得，求出平面的一个法向量，利用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. 【小问3详解】 由（1）知，，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为，若为正三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； （3）过点的直线与椭圆相交于，两点，，直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出，即可得到椭圆方程； （2）依题意可得直线为，联立直线和椭圆方程，消元，求出交点的横坐标，直接利用弦长公式进行求解； （3）设，，直线为，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，列方程组求解. 【小问1详解】 依题意可得，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，故该直线为， 由，消去可得， 故，所以. 【小问3详解】 显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾）， 设，，直线为， 由，消去得，显然， 由韦达定理可得：①，， 又，则，故②， 由①②得，，故， 即，化简可得，解得. 故直线为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $