第1部分 专题2 培优微专题9 奔驰定理与四心问题（PPT课件）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

第一部分 聚热点·题型突破 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 [培优微专题9]　奔驰定理与四心问题 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 研析考点 层级突破 01 课时冲关 高效提能 02 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 研析考点 层级突破 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力． 奔驰定理 1．奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，则有S1·eq \o(PA,\s\up16(→))＋S2·eq \o(PB,\s\up16(→))＋S3·eq \o(PC,\s\up16(→))＝0(其中S1，S2，S3分别为△PBC，△PAC，△PAB的面积)． 证明：设∠APB＝α，∠APC＝β，|eq \o(PA,\s\up16(→))|＝x， |eq \o(PB,\s\up16(→))|＝y，|eq \o(PC,\s\up16(→))|＝z. 根据三角形正弦定理面积公式得 S1eq \o(PA,\s\up16(→))＋S2eq \o(PB,\s\up16(→))＋S3eq \o(PC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)yzsin[2π－(α＋β)]·eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)xzsin βeq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)xysin αeq \o(PC,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)yzsin(α＋β)eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)xzsin βeq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)xysin αeq \o(PC,\s\up16(→))，① 把①式两边与向量eq \o(PA,\s\up16(→))作数量积得 (S1eq \o(PA,\s\up16(→))＋S2eq \o(PB,\s\up16(→))＋S3eq \o(PC,\s\up16(→)))·eq \o(PA,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)x2yzsin(α＋β)＋eq \f(1,2)x2yzsin βcos α＋eq \f(1,2)x2yzsin αcos β ＝eq \f(1,2)x2yz[－sin(α＋β)＋sin βcos α＋sin αcos β]＝0. 同理：①式两边与向量eq \o(PB,\s\up16(→))，eq \o(PC,\s\up16(→))作数量积都得0. 但是S1eq \o(PA,\s\up16(→))＋S2eq \o(PB,\s\up16(→))＋S3eq \o(PC,\s\up16(→))不可能同时与eq \o(PA,\s\up16(→))，eq \o(PB,\s\up16(→))，eq \o(PC,\s\up16(→))三个向量垂直，而eq \o(PA,\s\up16(→))，eq \o(PB,\s\up16(→))，eq \o(PC,\s\up16(→))也不可能都为0，所以S1eq \o(PA,\s\up16(→))＋S2eq \o(PB,\s\up16(→))＋S3eq \o(PC,\s\up16(→))＝0. 该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志，所以我们把上述结论称为奔驰定理，该定理对于推导出三角形的四心的向量结论有直接的作用． [例1]　(1)已知O是△ABC内部一点，满足eq \o(OA,\s\up16(→))＋2eq \o(OB,\s\up16(→))＋meq \o(OC,\s\up16(→))＝0，且eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(4,7)，则实数m等于(　　) A．2　　 B．3 C．4　　 D．5 [解析]　由奔驰定理得 S△BOC·eq \o(OA,\s\up16(→))＋S△AOC·eq \o(OB,\s\up16(→))＋S△AOB·eq \o(OC,\s\up16(→))＝0， 又eq \o(OA,\s\up16(→))＋2eq \o(OB,\s\up16(→))＋meq \o(OC,\s\up16(→))＝0， ∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m. ∴eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(m,1＋2＋m)＝eq \f(4,7)，解得m＝4. [答案]　C (2)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3eq \o(AM,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5 [解析]　方法一：将3eq \o(AM,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝0变形可得eq \o(MA,\s\up16(→))＋eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(MC,\s\up16(→))＝0， 根据奔驰定理可知S△BCM∶S△ACM∶S△ABM＝1∶1∶1， 则S△ABM∶S△ABC＝1∶3. 方法二：如图，D为BC边的中点，则eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))， 因为3eq \o(AM,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝0， 所以3eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝2eq \o(AD,\s\up16(→))，所以eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→))， 所以S△ABM＝eq \f(2,3)S△ABD＝eq \f(1,3)S△ABC. [答案]　B 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比． 1．如图，设O为△ABC内一点，且满足eq \o(OA,\s\up16(→))＋2eq \o(OB,\s\up16(→))＋3eq \o(OC,\s\up16(→))＝3eq \o(AB,\s\up16(→))＋2eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))，则eq \f(S△AOB,S△ABC)等于(　　) A.eq \f(2,5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,3) 解析：D　[∵O为△ABC内一点，且满足eq \o(OA,\s\up16(→))＋2eq \o(OB,\s\up16(→))＋3eq \o(OC,\s\up16(→))＝3eq \o(AB,\s\up16(→))＋2eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))， ∴eq \o(OA,\s\up16(→))＋2eq \o(OB,\s\up16(→))＋3eq \o(OC,\s\up16(→))＝3(eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)))＋2(eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)))＋(eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→)))⇒3eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋2eq \o(OC,\s\up16(→))＝0， ∵S△BOC·eq \o(OA,\s\up16(→))＋S△AOC·eq \o(OB,\s\up16(→))＋S△AOB·eq \o(OC,\s\up16(→))＝0， S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶1∶2， ∴eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(S△AOB,S△AOB＋S△BOC＋S△AOC)＝eq \f(1,3).] 　三角形的四心 三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明) (1)点O是△P1P2P3的重心⇔eq \o(OP,\s\up16(→))1＋eq \o(OP,\s\up16(→))2＋eq \o(OP,\s\up16(→))3＝0⇔ ＝eq \f(1,3)S△P1P2P3； (2)点O是△P1P2P3的垂心⇔eq \o(OP,\s\up16(→))1·eq \o(OP,\s\up16(→))2＝eq \o(OP,\s\up16(→))2·eq \o(OP,\s\up16(→))3＝eq \o(OP,\s\up16(→))3·eq \o(OP,\s\up16(→))1⇔tan P1·eq \o(OP,\s\up16(→))1＋tan P2·eq \o(OP,\s\up16(→))2＋tan P3·eq \o(OP,\s\up16(→))3＝0⇔＝tan P1∶tan P2∶tan P3(△P1P2P3不是直角三角形)； (3)点O是△P1P2P3的内心⇔aeq \o(OP,\s\up16(→))1＋beq \o(OP,\s\up16(→))2＋eq \o(cOP,\s\up16(→))3＝0⇔＝a∶b∶c(其中a，b，c是△P1P2P3的三边，分别对应角P1，P2，P3)； (4)点O是△P1P2P3的外心⇔|eq \o(OP,\s\up16(→))1|＝|eq \o(OP,\s\up16(→))2|＝|eq \o(OP,\s\up16(→))3|⇔eq \o(OP,\s\up16(→))1sin 2P1＋eq \o(OP,\s\up16(→))2sin 2P2＋eq \o(OP,\s\up16(→))3sin 2P3＝0⇔＝sin 2P1∶sin 2P2∶sin 2P3. [例2]　(1) 已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λ(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))(λ≥0)，则点P一定经过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 [解析]　取BC的中点D，由eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λ(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))(λ≥0)，得eq \o(AP,\s\up16(→))＝2λeq \o(AD,\s\up16(→))，从而可得eq \o(AP,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))共线，得直线AP与直线AD重合，进而得结论． 取BC的中点D，则eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝2eq \o(AD,\s\up16(→))， 因为eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λ(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))(λ≥0)， 所以eq \o(AP,\s\up16(→))＝2λeq \o(AD,\s\up16(→))， 所以eq \o(AP,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))共线，即直线AP与直线AD重合， 所以直线AP一定过△ABC的重心． [答案]　D (2)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋，λ∈R，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 [解析]　利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推出向量垂直即可． 如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D点． 则eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|cos∠ABC)＝eq \f(|\o(BC,\s\up16(→))||\o(AB,\s\up16(→))|cosπ－∠ABC,|\o(AB,\s\up16(→))|cos∠ABC)＝－|eq \o(BC,\s\up16(→))|， 同理eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \f(\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AC,\s\up16(→))|cos∠ACD)＝|eq \o(BC,\s\up16(→))|， ∵动点P满足eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋ ，λ∈R. ∴eq \o(AP,\s\up16(→))＝，λ∈R. ∴eq \o(AP,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝＝λ(－|eq \o(BC,\s\up16(→))|＋|eq \o(BC,\s\up16(→))|)＝0， ∴eq \o(AP,\s\up16(→))⊥eq \o(BC,\s\up16(→))， 因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心． [答案]　D 求解内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，涉及三角形的四心问题时，要注意观察题目有无这一条件． 2．已知点O是△ABC所在平面上的一点，△ABC的三边为a，b，c，若aeq \o(OA,\s\up16(→))＋beq \o(OB,\s\up16(→))＋ceq \o(OC,\s\up16(→))＝0，则点O是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：B　[在AB，AC上分别取点D，E，使得eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(\o(AB,\s\up16(→)),c)，eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(\o(AC,\s\up16(→)),b)，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，即可得知四边形ADFE是菱形，再根据平 面向量线性运算法则及共线定理得知A，O，F三点共线，即可得知O在∠BAC的平分线上，同理说明O在其他两角的平分线上，即可判断． 在AB，AC上分别取点D，E，使得eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(\o(AB,\s\up16(→)),c)，eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(\o(AC,\s\up16(→)),b)，则|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝|eq \o(AE,\s\up16(→))|＝1. 以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图， 则四边形ADFE是菱形， 且eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(\o(AB,\s\up16(→)),c)＋eq \f(\o(AC,\s\up16(→)),b).∴AF为∠BAC的平分线．∵aeq \o(OA,\s\up16(→))＋beq \o(OB,\s\up16(→))＋ceq \o(OC,\s\up16(→))＝0 ∴a·eq \o(OA,\s\up16(→))＋b·(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)))＋c·(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))＝0， 即(a＋b＋c)eq \o(OA,\s\up16(→))＋beq \o(AB,\s\up16(→))＋ceq \o(AC,\s\up16(→))＝0， ∴eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \f(b,a＋b＋c) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(c,a＋b＋c) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(bc,a＋b＋c) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up16(→)),c)＋\f(\o(AC,\s\up16(→)),b)))＝eq \f(bc,a＋b＋c) eq \o(AF,\s\up16(→)). ∴A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上． 同理可得O在其它两角的平分线上， ∴O是△ABC的内心．] $$