第1部分 专题2 培优微专题8 极化恒等式和等和线定理（PPT课件）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

第一部分 聚热点·题型突破 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 [培优微专题8]　极化恒等式和等和线定理 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 研析考点 层级突破 01 课时冲关 高效提能 02 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 研析考点 层级突破 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查．平面向量的极化恒等式、等和线，对于解决平面几何问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用． 　极化恒等式 极化恒等式：a·b＝eq \f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]． 1．几何意义：如图1向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq \f(1,4). 图1 2．平行四边形模式：如图2，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，则eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)(|eq \o(AC,\s\up16(→))|2－|eq \o(BD,\s\up16(→))|2)． 图2 3．(1)三角形模式：如图3，在△ABC中，设D为BC的中点，则eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝|eq \o(AD,\s\up16(→))|2－|eq \o(BD,\s\up16(→))|2. 图3 (2)三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． (3)记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边边长的一半的平方差． [例1]　(1)如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，eq \o(BF,\s\up16(→))＝2eq \o(FO,\s\up16(→))，则eq \o(FD,\s\up16(→))·eq \o(FE,\s\up16(→))＝(　　) A．－eq \f(3,4)　　 B．－eq \f(8,9) C．－eq \f(1,4) D．－eq \f(4,9) [解析]　∵eq \o(BF,\s\up16(→))＝2eq \o(FO,\s\up16(→))，圆O的半径为1， ∴|eq \o(FO,\s\up16(→))|＝eq \f(1,3). 法一　eq \o(FD,\s\up16(→))·eq \o(FE,\s\up16(→))＝(eq \o(FO,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→)))·(eq \o(FO,\s\up16(→))＋eq \o(OE,\s\up16(→))) ＝eq \o(FO,\s\up16(→))2＋eq \o(FO,\s\up16(→))·(eq \o(OE,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→)))＋eq \o(OD,\s\up16(→))·eq \o(OE,\s\up16(→)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋0－1＝－eq \f(8,9). 法二　由极化恒等式得 eq \o(FD,\s\up16(→))·eq \o(FE,\s\up16(→))＝eq \o(FO,\s\up16(→))2－eq \f(1,4) eq \o(DE,\s\up16(→))2＝eq \f(1,9)－1＝－eq \f(8,9). [答案]　B (2)在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))2的最小值为________． [解析]　取BC中点O，连接PO，作PN⊥BC交BC于点N， 由极化恒等式得eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝eq \o(PO,\s\up16(→))2－eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up16(→))2， 所以eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))2＝eq \o(PO,\s\up16(→))2＋eq \f(3,4) eq \o(BC,\s\up16(→))2， 在△ABC中，S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \o(BC,\s\up16(→))|·2|eq \o(PN,\s\up16(→))|＝|eq \o(BC,\s\up16(→))||eq \o(PN,\s\up16(→))|＝2， 则|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝eq \f(2,|\o(PN,\s\up16(→))|)， 又由图可得|eq \o(PO,\s\up16(→))|≥|eq \o(PN,\s\up16(→))|， 所以eq \o(PO,\s\up16(→))2＋eq \f(3,4) eq \o(BC,\s\up16(→))2≥|eq \o(PN,\s\up16(→))|2＋eq \f(3,|\o(PN,\s\up16(→))|2)≥2,|\o(PN,\s\up16(→))|2)eq \r(|\o(PN,\s\up16(→))|2·) ＝2eq \r(3)， 当且仅当PO⊥BC，且|eq \o(PN,\s\up16(→))|2＝eq \f(3,|\o(PN,\s\up16(→))|2)， 即|eq \o(PN,\s\up16(→))|＝eq \r(4,3)时等号成立． 所以eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))2的最小值为2eq \r(3). [答案]　2eq \r(3) 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题． 1．如图，在四边形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \o(AD,\s\up16(→))＝λeq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝－eq \f(3,2)，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且|eq \o(MN,\s\up16(→))|＝1，则eq \o(DM,\s\up16(→))·eq \o(DN,\s\up16(→))的最小值为________． 解析：依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°， 由eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝|eq \o(AD,\s\up16(→))|·|eq \o(AB,\s\up16(→))|·cos∠BAD＝ －eq \f(3,2)|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝－eq \f(3,2)，得|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝1，eq \o(BC,\s\up16(→))＝6eq \o(AD,\s\up16(→))， 因此λ＝eq \f(1,6). 取MN的中点E，连接DE(图略)， 则eq \o(DM,\s\up16(→))＋eq \o(DN,\s\up16(→))＝2eq \o(DE,\s\up16(→))， eq \o(DM,\s\up16(→))·eq \o(DN,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)[(eq \o(DM,\s\up16(→))＋eq \o(DN,\s\up16(→)))2－(eq \o(DM,\s\up16(→))－eq \o(DN,\s\up16(→)))2] ＝eq \o(DE,\s\up16(→))2－eq \f(1,4) eq \o(NM,\s\up16(→))2＝eq \o(DE,\s\up16(→))2－eq \f(1,4). 当点M，N在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离， 即|AB|·sin B＝eq \f(3\r(3),2)， 因此eq \o(DE,\s\up16(→))2－eq \f(1,4)的最小值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))2－eq \f(1,4)＝eq \f(13,2)， 即eq \o(DM,\s\up16(→))·eq \o(DN,\s\up16(→))的最小值为eq \f(13,2). 答案：eq \f(1,6)　eq \f(13,2) 等和线定理 平面内一组基底eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))及任一向量eq \o(OP′,\s\up16(→))，eq \o(OP′,\s\up16(→))＝λeq \o(OA,\s\up16(→))＋μeq \o(OB,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． [例2]　(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若eq \o(BE,\s\up16(→))＝λeq \o(BA,\s\up16(→))＋μeq \o(BD,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　) A．1　　 B.eq \f(3,4) C.eq \f(2,3)　　 D.eq \f(1,2) [解析]　法一(通法) ∵E为线段AO的中点， ∴eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(BO,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(BD,\s\up16(→))))＝eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \f(1,4) eq \o(BD,\s\up16(→))＝λeq \o(BA,\s\up16(→))＋μeq \o(BD,\s\up16(→))， ∴λ＝eq \f(1,2)，μ＝eq \f(1,4)， 则λ＋μ＝eq \f(3,4). 法二(等和线法) 如图，AD为值是1的等和线，过E作AD的平行线，设λ＋μ＝k， 则k＝eq \f(|\o(BE,\s\up16(→))|,|\o(BF,\s\up16(→))|). 由图易知，eq \f(|\o(BE,\s\up16(→))|,|\o(BF,\s\up16(→))|)＝eq \f(3,4). [答案]　B (2)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq \o(AP,\s\up16(→))＝λeq \o(AB,\s\up16(→))＋μeq \o(AD,\s\up16(→))，则λ＋μ的最大值为(　　) A．3 B．2eq \r(2) C.eq \r(5) D．2 [解析]　如图所示，由平面向量基底等和线定理知，当等和线l与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(AB＋BE＋EF,AB)＝eq \f(3AB,AB)＝3. [答案]　A 要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线． 2．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，设eq \o(OP,\s\up16(→))＝λeq \o(OC,\s\up16(→))＋μeq \o(OD,\s\up16(→))，则λ＋μ的取值范围为________． 解析：法一(通法) 分别以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则eq \o(OC,\s\up16(→))＝(0,1)，eq \o(OD,\s\up16(→))＝(2,0)， 设P(x，y)，eq \o(OP,\s\up16(→))＝(x，y)， ∴(x，y)＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2μ，,y＝λ，)) ∴λ＋μ＝eq \f(1,2)x＋y， 设z＝eq \f(1,2)x＋y，则y＝－eq \f(1,2)x＋z， 所以z是直线y＝－eq \f(1,2)x＋z在y轴上的截距， 由图可知，当该直线过点B(1,1)时，它在y轴上的截距最大，为eq \f(3,2)； 和直线CD重合时，在y轴上的截距最小，为1，故z∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，即λ＋μ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))). 法二(等和线法)　如图，设λ＋μ＝k，则直线CD为k＝1的等和线，所有与直线CD平行的直线中，过点B的直线离点O最远，此时k的值最大，且此时k＝eq \f(|OE|,|OD|)， 易知AD＝DE＝1，故此时k＝eq \f(3,2)， 显然k的最小值为1， 即λ＋μ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))). 答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) $$