第1部分 专题2 培优微专题7 平面向量数量积的最值与范围问题（PPT课件）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

第一部分 聚热点·题型突破 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 [培优微专题7]　平面向量数量积的最值与范围问题 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 研析考点 层级突破 01 课时冲关 高效提能 02 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 研析考点 层级突破 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 　 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 　 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档．主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围． 向量模的最值、范围 [例1]　(2024·永州三模)在△ABC中，∠ACB＝120°，|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝3，|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝4，eq \o(DC,\s\up16(→))·eq \o(DB,\s\up16(→))＝0，则|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))|的最小值为(　　) A．6eq \r(3)－2　　　　　　 B．2eq \r(19)－4 C．3eq \r(3)－1 D.eq \r(19)－2 [解析]　以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直BC的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点D的轨迹方程，取BD的中点为M，求得M的轨迹方程，数形结合可求|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))|min. 由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直CB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，B(4,0)，由eq \o(DC,\s\up16(→))·eq \o(DB,\s\up16(→))＝0，可得D是以BC为直径的圆， 所以D的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4， 取BD的中点为M，设M(x，y)，D(x0，y0)， 可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋4,2),y＝\f(y0＋0,2)))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4,y0＝2y))，所以(2x－6)2＋(2y)2＝4， 所以点M的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝1，圆心为H(3,0)，半径为1， 由eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝2eq \o(AM,\s\up16(→))，所以|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))|＝2|eq \o(AM,\s\up16(→))|，所以|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))|min＝2|eq \o(AM,\s\up16(→))|min， 所以|eq \o(AM,\s\up16(→))|min＝|eq \o(AH,\s\up16(→))|－1 ＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)－3))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)－0))2)－1＝3eq \r(3)－1， 所以|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))|min＝6eq \r(3)－2. [答案]　A 求模的范围或最值常见方法 (1)通过|a|2＝a2转化为实数问题； (2)数形结合； (3)坐标法． 1．(2024·江苏苏锡常镇四市调研)如图，圆O1和圆O2外切于点P，A，B分别为圆O1和圆O2上的动点，已知圆O1和圆O2的半径都为1，且eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))＝－1，则|eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))|2的最大值为(　　) A．2　 B．4 C．2eq \r(2)　　 D．2eq \r(3) 解析：D　[由eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))＝(eq \o(PO1,\s\up16(→))＋eq \o(O1A,\s\up16(→)))·(eq \o(PO2,\s\up16(→))＋eq \o(O2B,\s\up16(→)))＝－1，化简得到|eq \o(O1A,\s\up16(→))·eq \o(O2B,\s\up16(→))|＝|eq \o(PO1,\s\up16(→))·(eq \o(O2B,\s\up16(→))－eq \o(O1A,\s\up16(→)))|≤|eq \o(O2B,\s\up16(→))－eq \o(O1A,\s\up16(→))|，两边平方化简可得：－1－eq \r(3)≤eq \o(O1A,\s\up16(→))·eq \o(O2B,\s\up16(→))≤－1＋eq \r(3)，由|eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))|2＝|eq \o(PO1,\s\up16(→))＋eq \o(O1A,\s\up16(→))＋eq \o(PO2,\s\up16(→))＋eq \o(O2B,\s\up16(→))|2化简即可得到答案． eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))＝(eq \o(PO1,\s\up16(→))＋eq \o(O1A,\s\up16(→)))·(eq \o(PO2,\s\up16(→))＋eq \o(O2B,\s\up16(→)))＝eq \o(PO1,\s\up16(→))·eq \o(PO2,\s\up16(→))＋eq \o(PO1,\s\up16(→))·eq \o(O2B,\s\up16(→))＋eq \o(O1A,\s\up16(→))·eq \o(PO2,\s\up16(→))＋eq \o(O1A,\s\up16(→))·eq \o(O2B,\s\up16(→)) ＝－1＋eq \o(PO1,\s\up16(→))·(eq \o(O2B,\s\up16(→))－eq \o(O1A,\s\up16(→)))＋eq \o(O1A,\s\up16(→))·eq \o(O2B,\s\up16(→))＝－1， 所以|eq \o(O1A,\s\up16(→))·eq \o(O2B,\s\up16(→))|＝|eq \o(PO1,\s\up16(→))·(eq \o(O2B,\s\up16(→))－eq \o(O1A,\s\up16(→)))|≤|eq \o(O2B,\s\up16(→))－eq \o(O1A,\s\up16(→))|， 所以|eq \o(O1A,\s\up16(→))·eq \o(O2B,\s\up16(→))|2≤|eq \o(O2B,\s\up16(→))|2＋|eq \o(O1A,\s\up16(→))|2－2eq \o(O1A,\s\up16(→))·eq \o(O2B,\s\up16(→))，即|eq \o(O1A,\s\up16(→))·eq \o(O2B,\s\up16(→))|2＋2eq \o(O1A,\s\up16(→))　eq \o(O2B,\s\up16(→))－2≤0， 解得－1－eq \r(3)≤eq \o(O1A,\s\up16(→))·eq \o(O2B,\s\up16(→))≤－1＋eq \r(3). |eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))|2＝|eq \o(PO1,\s\up16(→))＋eq \o(O1A,\s\up16(→))＋eq \o(PO2,\s\up16(→))＋eq \o(O2B,\s\up16(→))|2＝|eq \o(O1A,\s\up16(→))＋eq \o(O2B,\s\up16(→))|2＝|eq \o(O1A,\s\up16(→))|2＋|eq \o(O2B,\s\up16(→))|2＋2eq \o(O1A,\s\up16(→))·eq \o(O2B,\s\up16(→))＝2＋2eq \o(O1A,\s\up16(→))·eq \o(O2B,\s\up16(→))≤2＋2×(－1＋eq \r(3))＝2eq \r(3).] 　向量数量积的最值、范围 [例2]　(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝eq \f(1,2)DE，eq \o(BE,\s\up16(→))＝λeq \o(BA,\s\up16(→))＋μeq \o(BC,\s\up16(→))，则λ＋μ＝________；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则eq \o(AF,\s\up16(→))·eq \o(DG,\s\up16(→))的最小值为________． [解析]　解法一：以{eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))}为基底向量，根据向量的线性运算求eq \o(BE,\s\up16(→))，即可得λ＋μ，设eq \o(BF,\s\up16(→))＝keq \o(BE,\s\up16(→))，求eq \o(AF,\s\up16(→))，eq \o(DG,\s\up16(→))，结合数量积的运算律求eq \o(AF,\s\up16(→))·eq \o(DG,\s\up16(→))的最小值；解法二：建系标系，根据向量的坐标运算求eq \o(BE,\s\up16(→))，即可得λ＋μ，设F(a，－3a)，a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，求出eq \o(AF,\s\up16(→))，eq \o(DG,\s\up16(→))的坐标，结合数量积的坐标运算求eq \o(AF,\s\up16(→))·eq \o(DG,\s\up16(→))的最小值． 解法一：因为CE＝eq \f(1,2)DE，即eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BA,\s\up16(→))，则eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))， 可得λ＝eq \f(1,3)，μ＝1，所以λ＋μ＝eq \f(4,3)； 由题意可知：|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝|eq \o(BA,\s\up16(→))|＝1，eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0， 因为F为线段BE上的动点， 设eq \o(BF,\s\up16(→))＝keq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)keq \o(BA,\s\up16(→))＋keq \o(BC,\s\up16(→))，k∈[0,1]， 则eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋keq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)k－1)) eq \o(BA,\s\up16(→))＋keq \o(BC,\s\up16(→))， 又因为G为AF中点，则eq \o(DG,\s\up16(→))＝eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \o(AG,\s\up16(→))＝－eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)k－1)) eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k－1)) eq \o(BC,\s\up16(→))， 可得eq \o(AF,\s\up16(→))·eq \o(DG,\s\up16(→))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)k－1))\o(BA,\s\up16(→))＋k\o(BC,\s\up16(→))))·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)k－1))\o(BA,\s\up16(→))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k－1))\o(BC,\s\up16(→)))) ＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)k－1))2＋keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k－1))＝eq \f(5,9) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(6,5)))2－eq \f(3,10)， 又因为k∈[0,1]，可知：当k＝1时，eq \o(AF,\s\up16(→))·eq \o(DG,\s\up16(→))取到最小值－eq \f(5,18)； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(－1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(－1,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))， 可得eq \o(BA,\s\up16(→))＝(－1,0)，eq \o(BC,\s\up16(→))＝(0,1)，eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))， 因为eq \o(BE,\s\up16(→))＝λeq \o(BA,\s\up16(→))＋μeq \o(BC,\s\up16(→))＝(－λ，μ)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－λ＝－\f(1,3),μ＝1))，所以λ＋μ＝eq \f(4,3)； 因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))上，设F(a，－3a)，a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))， 且G为AF中点，则Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,2)，－\f(3,2)a))， 可得eq \o(AF,\s\up16(→))＝(a＋1，－3a)，eq \o(DG,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)，－\f(3,2)a－1))， 则eq \o(AF,\s\up16(→))·eq \o(DG,\s\up16(→))＝eq \f(a＋12,2)＋(－3a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)a－1))＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,5)))2－eq \f(3,10)， 且a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，所以当a＝－eq \f(1,3)时，eq \o(AF,\s\up16(→))·eq \o(DG,\s\up16(→))取到最小值为－eq \f(5,18). [答案]　eq \f(4,3)　－eq \f(5,18) 结合图形求解运算量较小，建立坐标系将数量积用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中选择的变量要有可操作性． 2．(2024·鹰潭二模)在Rt△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，A＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,2)，c＝2，P是△ABC外接圆上一点，则eq \o(PC,\s\up16(→))·(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→)))的最大值是(　　) A．4 B．2＋eq \r(10) C．3 D．1＋eq \r(10) 解析：A　[先判断△ABC外接圆圆心O是AB的中点，将eq \o(PC,\s\up16(→))·(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→)))化简为2eq \o(PC,\s\up16(→))·eq \o(PO,\s\up16(→))，再将eq \o(PC,\s\up16(→))分解整理得2eq \o(PO,\s\up16(→))2＋2eq \o(PO,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→))，结合图形，利用向量数量积的定义式进行分析，即得eq \o(PC,\s\up16(→))·(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→)))的最大值． 如图，设Rt△ABC的外心为O，则点O是AB的中点， 由eq \o(PC,\s\up16(→))·(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→)))＝2eq \o(PC,\s\up16(→))·eq \o(PO,\s\up16(→))＝2(eq \o(PO,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))·eq \o(PO,\s\up16(→))＝2eq \o(PO,\s\up16(→))2＋2eq \o(PO,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→))， 因c＝2，故|eq \o(PO,\s\up16(→))|＝|eq \o(OC,\s\up16(→))|＝1， 而eq \o(PO,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→))＝cos〈eq \o(PO,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))〉， 故eq \o(PC,\s\up16(→))·(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→)))≤2＋2＝4，当且仅当eq \o(PO,\s\up16(→))与eq \o(OC,\s\up16(→))同向时取等号．] 向量夹角的最值、范围 [例3]　(2024·临汾适应性考试)在平行四边形ABCD中，eq \f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|)＋eq \f(3\o(AD,\s\up16(→)),|\o(AD,\s\up16(→))|)＝eq \f(λ\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AC,\s\up16(→))|)，λ∈[eq \r(7)，3]，则cos∠BAD的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(1,6))) [解析]　根据向量的运算律及数量积定义计算即可． 设与eq \o(AB,\s\up16(→))同方向的单位向量eq \f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|)＝e1，与eq \o(AD,\s\up16(→))同方向的单位向量eq \f(\o(AD,\s\up16(→)),|\o(AD,\s\up16(→))|)＝e2，与eq \o(AC,\s\up16(→))同方向的单位向量eq \f(\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AC,\s\up16(→))|)＝e3， 由题意，所以e1＋3e2＝λe3， 所以(e1＋3e2)2＝λ2eeq \o\al(2,3)，即eeq \o\al(2,1)＋6e1·e2＋9eeq \o\al(2,2)＝λ2eeq \o\al(2,3)， 所以1＋6×1×1×cos∠BAD＋9＝λ2， 所以cos∠BAD＝eq \f(λ2－10,6)， 因为λ∈[eq \r(7)，3]，所以λ2∈[7,9]， 所以eq \f(λ2－10,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,6)))， 即cos∠BAD∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,6))). [答案]　A 向量夹角取值范围的计算，解题的关键就是将向量的坐标特殊化处理，借助基本不等式来求解． 3．已知非零向量a，b的夹角为θ，|a＋b|＝2，且|a||b|≥eq \f(4,3)，则夹角θ的最小值为(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2) 解析：C　[应用向量数量积运算律及题设可得4≥2|a|·|b|(1＋cos θ)，注意等号成立条件，结合已知不等条件求θ范围，即可得最小值． 由|a＋b|2＝4有|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|cos θ＝4，即4≥2|a|·|b|(1＋cos θ)≥eq \f(8,3)(1＋cos θ)， 前一个等号成立条件为|a|＝|b|，整理得cos θ≤eq \f(1,2).由于θ∈[0，π]，所以eq \f(π,3)≤θ≤π，于是夹角为θ的最小值为eq \f(π,3).] $$