第1部分 专题2 微专题6 平面向量（PPT课件）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

第一部分 聚热点·题型突破 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 微专题6　平面向量 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 研析考点 层级突破 01 课时冲关 高效提能 02 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 研析考点 层级突破 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题二 平面向量、三角函数与解三角形 数学 [教师用书独具] 2024年高考试卷 考情分布 命题解读 新高考全国Ⅰ卷 T4，T7，T15 1.考查内容：主要考查平面向量的运算、三角函数的运算、三角函数的性质、解三角形等知识． 新高考全国Ⅱ卷 T3，T9，T13，T15 2．趋势分析：(1)多层次：各种难度都有涉及，题型齐全； (2)综合性：强化通性通法，加大以三角函数的性质、解三角形为载体的方法、能力的考查； 全国甲卷 T8，T9，T11 (3)变角度：加大三角函数的性质、解三角形相关问题的考查力度； (4)重能力：加大运算、探究等综合问题． 3．学科素养：直观想象、数学运算、逻辑推理. ★[高考定位]　高考中经常直接考查向量的概念和运算，以解决有关长度、垂直、夹角等问题，此类题一般以客观题形式出现，难度不大．有时也考查平面向量的综合应用．常与解析几何、三角函数等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅．综合性比较强，难度也比较大． 平面向量的概念及线性运算 在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点． [例1]　(1)[多选]下列说法错误的是(　　) A．零向量没有方向 B．共线向量是同一条直线上的向量 C．若向量e1与向量e2共线，则有且只有一个实数λ，使得e1＝λe2 D．|a·b|≤|a|·|b| [解析]　对A，零向量的方向规定为任意方向，故错误；对B，共线向量是能平移到一条直线上的向量，不是一定要在一条直线上的向量，故错误；对C，根据共线定理可知，e2≠0时，才有唯一实数λ，使得e1＝λe2，若e2＝0，则实数λ不唯一，故错误；对D，|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|≤|a|·|b|，故正确．故选ABC. [答案]　ABC (2)(2024·安阳三模)在△ABC中，BD＝eq \f(1,3)BC，点E是AD的中点，记eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AC,\s\up16(→))＝b，则eq \o(BE,\s\up16(→))＝(　　) A．－eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b　　　　 B．－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,6)b C．－eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)b D.eq \f(2,3)a－eq \f(1,6)b [解析]　根据三角形中向量对应线段的数量及位置关系，用eq \o(AB,\s\up16(→))、eq \o(AC,\s\up16(→))表示出eq \o(BE,\s\up16(→))即可． 由题设eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)[eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))]＝－eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AC,\s\up16(→))， 所以eq \o(BE,\s\up16(→))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,6)b. [答案]　B 平面向量的线性运算技巧 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中要重视数形结合，结合图形分析向量间的关系． 1．(2024·承德二模)在△ABC中，D为BC中点，连接AD，设E为AD中点，且eq \o(BA,\s\up16(→))＝x，eq \o(BE,\s\up16(→))＝y，则eq \o(BC,\s\up16(→))＝(　　) A．4x＋2y B．－4x＋y C．－4x－2y D．4y－2x 解析：D　[利用平面向量基本定理将eq \o(BE,\s\up16(→))用eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(BA,\s\up16(→))表示出来，再用向量的线性运算把eq \o(BC,\s\up16(→))用eq \o(BE,\s\up16(→))，eq \o(BA,\s\up16(→))表示即可． 由于eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up16(→))，所以eq \o(BC,\s\up16(→))＝4eq \o(BE,\s\up16(→))－2eq \o(BA,\s\up16(→))＝4y－2x.] 2．(2023·武汉调研)正六边形ABCDEF中，用eq \o(AC,\s\up16(→))和eq \o(AE,\s\up16(→))表示eq \o(CD,\s\up16(→))，则eq \o(CD,\s\up16(→))＝(　　) A．－eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AE,\s\up16(→)) B．－eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AE,\s\up16(→)) C．－eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AE,\s\up16(→)) D．－eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AE,\s\up16(→)) 解析：B　[设边长为2，如图，设AD，EC交于点O，有OD＝1，AO＝3， 则eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(CO,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AE,\s\up16(→)))＋eq \f(1,6)(eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AE,\s\up16(→)))＝－eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AE,\s\up16(→)).] 　共线向量定理与平面向量基本定理 1．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：当且仅当存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 2．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. [例2]　(1)(2024·马鞍山质监)已知平面向量e1，e2不共线，a＝(2k－1)e1＋2e2，b＝e1－e2，且a∥b，则k＝(　　) A．－eq \f(1,2)　　 B．0 C．1　　 D.eq \f(3,2) [解析]　依题意可得a＝tb，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可． 因为a＝(2k－1)e1＋2e2，b＝e1－e2且a∥b， 所以a＝tb，即(2k－1)e1＋2e2＝t(e1－e2)， 又e1，e2不共线， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2k－1＝t,2＝－t))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(t＝－2,k＝－\f(1,2))). [答案]　A (2)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经)一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形．若D为BE的中点，①△DEF与△ABC的面积比为__________；②设eq \o(AD,\s\up16(→))＝λeq \o(AB,\s\up16(→))＋μeq \o(AC,\s\up16(→))，则λ＋μ＝__________. [解析]　如图：连接AE，由题意知△ABD≌△BCE≌△CAF，且D，E，F分别为BE，CF，AD的中点． 则S△DEF＝S△AEF＝eq \f(1,2)S△AFC， S△ABC＝S△AFC＋S△ABD＋S△BCE＋S△DEF＝7S△DEF， 得eq \f(S△DEF,S△ABC)＝eq \f(1,7). eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CE,\s\up16(→)))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(CF,\s\up16(→)))) eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(CF,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))， 化简得eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(4,7) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,7) eq \o(AC,\s\up16(→))， 所以λ＋μ＝eq \f(4,7)＋eq \f(2,7)＝eq \f(6,7). [答案]eq \f(1,7)　eq \f(6,7) 平面向量的线性运算应注意三点 (1)三角形法则和平行四边形法则的运算条件． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． (3)eq \o(OA,\s\up16(→))＝λeq \o(OB,\s\up16(→))＋μeq \o(OC,\s\up16(→))(λ，μ为实数)，若A、B、C三点共线，则λ＋μ＝1. 1．(2024·浙江五校联考)已知不共线的平面向量a，b满足(a＋λb)∥(λa＋2b)，则正数λ＝(　　) A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2 解析：B　[思路一：根据向量共线的判定条件即可解出λ.思路二：由共线向量基本定理即可得解． 方法一：由已知有1·2＝λ·λ，λ＞0，解得λ＝eq \r(2). 方法二：设(a＋λb)＝μ(λa＋2b)，μ∈R，由题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＝μλ,λ＝2μ＞0))，解得λ＝eq \r(2).] 2．[多选]设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))，则点M是边BC的中点 B．若eq \o(AM,\s\up16(→))＝2eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))，则点M是边BC的三等分点 C．若eq \o(AM,\s\up16(→))＝－eq \o(BM,\s\up16(→))－eq \o(CM,\s\up16(→))，则点M是△ABC的重心 D．若eq \o(AM,\s\up16(→))＝xeq \o(AB,\s\up16(→))＋yeq \o(AC,\s\up16(→))，且x＋y＝eq \f(1,3)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(2,3) 解析：ACD　[对于A中，根据向量的平行四边形法则，若eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))， 则点M是边BC的中点，所以A正确； 对于B中，由eq \o(AM,\s\up16(→))＝2eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))，则eq \o(AM,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))，即eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→))， 则B为CM的中点，所以B错误； 对于C中，如图所示，由eq \o(AM,\s\up16(→))＝－eq \o(BM,\s\up16(→))－eq \o(CM,\s\up16(→))，可得eq \o(AM,\s\up16(→))＋eq \o(BM,\s\up16(→))＋eq \o(CM,\s\up16(→))＝0， 取BC的中点D，可得eq \o(MA,\s\up16(→))＝－2eq \o(MD,\s\up16(→))，则点M为△ABC的重心，所以C正确； 对于D中，由eq \o(AM,\s\up16(→))＝xeq \o(AB,\s\up16(→))＋yeq \o(AC,\s\up16(→))，且x＋y＝eq \f(1,3)， 所以3eq \o(AM,\s\up16(→))＝3xeq \o(AB,\s\up16(→))＋3yeq \o(AC,\s\up16(→))且3x＋3y＝1， 设eq \o(AN,\s\up16(→))＝3eq \o(AM,\s\up16(→))，可得eq \o(AN,\s\up16(→))＝3xeq \o(AB,\s\up16(→))＋3yeq \o(AC,\s\up16(→))，且3x＋3y＝1，所以N，B，C三点共线， 因为eq \o(AN,\s\up16(→))＝3eq \o(AM,\s\up16(→))，所以M为AN的一个三等分点(靠近A)，如图所示， 所以S△MBC＝eq \f(2,3)S△ABC，即△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(2,3)，所以D正确．] 　　　　平面向量的数量积 平面向量的三个性质 1．若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(|a·a|)＝eq \r(x2＋y2). 2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12). 3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， 则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))). [例3]　(1)(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．1 [解析]　由(b－2a)⊥b得b2＝2a·b，结合|a|＝1，|a＋2b|＝2，得1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，由此即可得解． 因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2， 所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4， 从而|b|＝eq \f(\r(2),2). [答案]　B (2)(2024·焦作二模)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”．如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形ABCD，EFGH均为正方形，AD＝AE＝2，则eq \o(FB,\s\up16(→))·eq \o(AH,\s\up16(→))＝________. [解析]　建立直角坐标系，由数量积的坐标表示求解即可． 以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，因为AD＝AE＝2， 则F(－2,0)，B(2,2)，A(0,2)，H(4,2)， 所以eq \o(FB,\s\up16(→))＝(4,2)，eq \o(AH,\s\up16(→))＝(4,0)，所以eq \o(FB,\s\up16(→))·eq \o(AH,\s\up16(→))＝16. [答案]　16 求解向量数量积最值问题的两种思路 (1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值． (2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值． 1．(2024·新课标全国Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：D　[因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，则4＋x2－4x＝0，解得x＝2.] 2．[多选](2024·揭阳模拟)已知向量a＝(m＋1，－1)，b＝(1－m,2)，则下列说法正确的是(　　) A．|a＋b|＝eq \r(5) B．当m＝1时，a在b上的投影向量的坐标为(0，－1) C．若a∥b，则m＝3 D．存在m∈R，使得a⊥b 解析：AB　[a＋b＝(2,1)⇒|a＋b|＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，因此选项A正确； 当m＝1时，a＝(2，－1)，b＝(0,2)， 因为eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(－2,2)×eq \f(1,2)(0,2)＝(0，－1)， 所以a在b上的投影向量的坐标为(0，－1)，因此选项B正确； 因为a∥b，所以有2(m＋1)＝－(1－m)⇒m＝－3，因此选项C不正确；a⊥b⇒(m＋1)(1－m)－2＝0⇒m2＝－1，该方程无实根， 因此选项D不正确，故选AB.] $$