第1部分 专题1 培优微专题3 同构函数（PPT课件）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

第一部分 聚热点·题型突破 专题一 函数与导数、不等式 [培优微专题3]　同构函数 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 研析考点 层级突破 01 课时冲关 高效提能 02 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 研析考点 层级突破 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 同构法在近几年的模考中频繁出现，首先将题目中的等式或不等式经过适当的整理变形，表示成两侧具有相同结构，然后利用这个结构式构造相对应的函数，再利用函数单调性解题． 地位同等同构型 [例1]　若实数a，b满足4a＋log3a＝8b＋3log27b，则(　　) A．a<eq \f(3b,2)　　　　　　 B．a>eq \f(3b,2) C．a>b3 D．a<b3 [解析]　由题意知a>0，b>0， ∵4a＝22a,8b＝23b,3log27b＝log3b， ∴22a＋log3a＝23b＋log3b， ∴22a＋log3a＋log32＝23b＋log3b＋log32， 即22a＋log32a＝23b＋log32b， ∵y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增， ∴log32b<log33b， ∴22a＋log32a<23b＋log33b. 设f(x)＝2x＋log3x，则f(2a)<f(3b)， ∵y＝2x与y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴2a<3b，即a<eq \f(3b,2). [答案]　A 含有二元变量x1，x2的函数，常见的同构类型有以下几种： (1)g(x1)－g(x2)>λ[f(x2)－f(x1)]⇔g(x1)＋λf(x1)>g(x2)＋λf(x2)，构造函数φ(x)＝g(x)＋λf(x)； (2)eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>k(x1<x2)⇔f(x1)－f(x2)<kx1－kx2⇔f(x1)－kx1<f(x2)－kx2，构造函数φ(x)＝f(x)－kx； (3)eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<eq \f(k,x1x2)(x1<x2)⇔f(x1)－f(x2)>eq \f(kx1－x2,x1x2)＝eq \f(k,x2)－eq \f(k,x1)⇔f(x1)＋eq \f(k,x1)>f(x2)＋eq \f(k,x2)，构造函数φ(x)＝f(x)＋eq \f(k,x). 1．若对于0<x1<x2<a，都有x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2成立，则a的最大值为(　　) A.eq \f(1,2)　　 B．1 C．e　　 D．2e 解析：B　[∵x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2， ∴eq \f(ln x1,x1)－eq \f(ln x2,x2)≤eq \f(1,x2)－eq \f(1,x1)， 即eq \f(ln x1＋1,x1)≤eq \f(ln x2＋1,x2)， 又0<x1<x2<a， 令φ(x)＝eq \f(ln x＋1,x)， ∴φ(x)在(0，a)上单调递增，φ′(x)＝eq \f(－ln x,x2)， 当x∈(0,1)时，φ′(x)>0， 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0， ∴φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故a≤1，∴a的最大值为1.] 指对跨阶同构型 [例2]　(2024·深圳二模)设函数f(x)＝x＋ex，g(x)＝x＋ln x，若存在x1，x2，使得f(x1)＝g(x2)，则|x1－x2|的最小值为(　　) A.eq \f(1,e) B．1 C．2 D．e [解析]　根据题意，由条件可得f(x1)＝f(ln x2)，即可得到x1＝ln x2，构造函数h(x)＝ln x－x，求导得其最值，即可得到结果． 由题意可得f(x1)＝g(x2)，即x1＋＝x2＋ln x2， 所以， 又f′(x)＝1＋ex＞0，所以f(x)在R上单调递增， 即f(x1)＝f(ln x2)，所以x1＝ln x2， 且|x1－x2|＝|ln x2－|＝|ln x2－x2|， 令h(x)＝ln x－x，x∈(0，＋∞)， 则h′(x)＝eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)，其中x＞0， 令h′(x)＝0，则x＝1， 当x∈(0,1)时，h′(x)＞0，则h(x)单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，则h(x)单调递减， 所以当x＝1时，h(x)有极大值，即最大值， 所以h(x)≤h(1)＝－1，|h(x)|≥1， 所以|x1－x2|min＝|ln x2－x2|min＝|－1|＝1. [答案]　B 指对跨阶同构的基本模式有： (1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式： ①同左：aea≤bln b⇔aea≤(ln b)eln b，构造函数f(x)＝xex； ②同右：aea≤bln b⇔ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x； ③两边同取自然对数：aea≤bln b⇔a＋ln a≤ln b＋ln(ln b)，构造函数为f(x)＝x＋ln x. (2)商型：eq \f(ea,a)<eq \f(b,ln b)，一般也有三种同构方式： ①同左：eq \f(ea,a)<eq \f(b,ln b)⇔eq \f(ea,a)<eq \f(eln b,ln b)，构造函数为f(x)＝eq \f(ex,x)； ②同右：eq \f(ea,a)<eq \f(b,ln b)⇔eq \f(ea,ln ea)<eq \f(b,ln b)，构造函数为f(x)＝eq \f(x,ln x)； ③两边同取自然对数：eq \f(ea,a)＜eq \f(b,ln b)⇔a－ln a<ln b－ln(ln b)，构造函数为f(x)＝x－ln x. (3)和差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式： ①同左：ea±a>b±ln b⇔ea±a>eln b±ln b，构造函数为f(x)＝ex±x； ②同右：ea±a>b±ln b⇔ea±ln ea>b±ln b，构造函数为f(x)＝x±ln x. 2．[多选](2024·晋城一模)已知函数f(x)＝x2ex＋ln x，则(　　) A．“x＞1”是“f(x)＞e－x＋lneq \f(e,x)”的充要条件 B．“x＞1”是“f(x)＞e－x＋lneq \f(e,x)”的充分不必要条件 C．当f(x)＝(e2－1)x＋2时，x＋ln x＝2 D．当f(x)＝(e2－1)x＋2时，x＋ln x＝e 解析：AC　[利用指对同构构造函数g(t)＝et＋t结合函数单调性判断各选项． 因为x2ex＝ex＋2ln x，所以f(x)＞e－x＋lneq \f(e,x)等价于ex＋2ln x＋x＋2ln x＞e＋1，构造函数g(t)＝et＋t， 则g(x＋2ln x)＞g(1)，因为g(t)是增函数，所以x＋2ln x＞1. 因为函数h(x)＝x＋2ln x为增函数，且h(1)＝1，所以x＋2ln x＞1⇔x＞1， 所以“x＞1”是“f(x)＞e－x＋lneq \f(e,x)”的充要条件，A正确，B错误． 当f(x)＝(e2－1)x＋2时，x＋ln x＝2，理由如下： f(x)＝(e2－1)x＋2可变为ex＋2ln x＋x＋2ln x＝e2x＋2＋ln x＝e2＋ln x＋2＋ln x， 则g(x＋2ln x)＝g(2＋ln x)．因为g(t)是增函数，所以x＋2ln x＝2＋ln x，即x＋ln x＝2，C正确，D错误．] 　零点同构型 [例3]　已知f(x)＝xln x＋eq \f(a,2)x2＋1，若关于x的方程xex－a＝f(x)－eq \f(a,2)x2＋ax－1有两个不同的实数解，求a的取值范围． [解]　由xex－a＝f(x)－eq \f(a,2)x2＋ax－1(x＞0)， 即xex－a＝xln x＋ax， 即ex－a＝ln x＋a， 即ex－a＋x－a＝x＋ln x， ∴ln(ex－a)＋ex－a＝ln x＋x， 令h(x)＝ln x＋x(x＞0)， 则h(ex－a)＝h(x)， h′(x)＝eq \f(1,x)＋1＞0， ∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴ex－a＝x， 则x－a＝ln x，a＝x－ln x(x＞0)， 因为关于x的方程xex－a＝f(x)－eq \f(a,2)x2＋ax－1有两个不同的实数解， 则方程a＝x－ln x(x＞0)有两个不同的实数解． 令φ(x)＝x－ln x， 则φ′(x)＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)， 当0＜x＜1时，φ′(x)＜0， 当x＞1时，φ′(x)＞0， 所以函数φ(x)＝x－ln x在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以φ(x)min＝φ(1)＝1， 当x→0时，φ(x)→＋∞， 当x→＋∞时，φ(x)→＋∞， 所以a＞1， 综上，a的取值范围为(1，＋∞)． 在涉及函数的零点问题时，可根据函数式的结构或转化为方程后构造函数，其实质是把函数式简化，以达到研究函数零点的目的． 3．已知x0是函数f(x)＝x2ex－2＋ln x－2的零点，则＝________. 解析：x2ex－2＋ln x－2＝0， 可得x2ex－2＝2－ln x， 即eq \f(x2ex,e2)＝2－ln x， x2ex＝2e2－e2ln x，xex＝eq \f(2e2,x)－eq \f(e2,x)ln x， 即xex＝eq \f(e2,x)ln eq \f(e2,x)， 两边同取自然对数， ln x＋x＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(e2,x)))＋ln eq \f(e2,x)， 所以lneq \f(e2,x)＝x，即2－ln x＝x， 即ln x＝2－x， ∴e2－x＝x，∴＝x0＋ln x0＝2. 答案：2 $$