第1部分 专题1 培优微专题1 公切线（PPT课件）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

第一部分 聚热点·题型突破 专题一 函数与导数、不等式 [培优微专题1]　公切线 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 研析考点 层级突破 01 课时冲关 高效提能 02 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 研析考点 层级突破 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 近几年高考中为了体现题目的新颖性，出现了公切线问题，主要在客观题中出现，考查学生对“化归与转化”的思想和“函数”的思想的理解，题目的综合性较强，难度较大． 求两曲线的公切线 [例1]　(2024·邵阳模拟)已知直线l是曲线y＝ln(x－2)＋2与y＝ln(x－1)的公切线，则直线l与x轴的交点坐标为________． [解析]　利用导数求得函数的切线方程，由题意，建立方程组，可得答案． 设直线l与曲线y＝ln(x－2)＋2和y＝ln(x－1)分别相切于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 分别求导，得y′＝eq \f(1,x－2)，y′＝eq \f(1,x－1)， 故l：y－[ln(x1－2)＋2]＝eq \f(1,x1－2)(x－x1)，整理可得y＝eq \f(1,x1－2)x＋ln(x1－2)＋2－eq \f(x1,x1－2). 同理得l：y－ln(x2－1)＝eq \f(1,x2－1)(x－x2)，整理可得y＝eq \f(1,x2－1)x＋ln(x2－1)－eq \f(x2,x2－1). 因为直线l为两曲线的公切线， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,x1－2)＝\f(1,x2－1),lnx1－2＋2－\f(x1,x1－2)＝lnx2－1－\f(x2,x2－1)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝\f(3,2),x1＝\f(5,2)))， 所以直线l的方程为y＝2x－3－ln 2，令y＝0，则x＝eq \f(3＋ln 2,2). 则直线l与x轴的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋ln 2,2)，0)). [答案]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋ln 2,2)，0)) 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 1．已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的公切线，则直线l的方程为________． 解析：设直线l与曲线y＝ex－1相切于点P(a，ea－1)，与曲线y＝ln x＋1相切于点Q(b，ln b＋1)， 则ea＝eq \f(1,b)＝eq \f(ln b－ea＋2,b－a)， 整理得(a－1)(ea－1)＝0， 解得a＝1或a＝0， 当a＝1时，l的方程为y＝ex－1； 当a＝0时，l的方程为y＝x. 答案：y＝ex－1或y＝x 与公切线有关的求值或范围问题 [例2]　若函数f(x)＝aln x(a＞0)和g(x)＝x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为(　　) A．e　　 B.eq \r(e) C．2e　　 D．2eq \r(e) [解析]　设直线与g(x)＝x2的切点为(x1，xeq \o\al(2,1))，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为y＝2x1x－xeq \o\al(2,1)，同样可推f(x)＝aln x的切线方程为y＝eq \f(a,x2)x＋a(ln x2－1)．两条切线重合，即可得出a＝4xeq \o\al(2,2)－4xeq \o\al(2,2)ln x2有唯一实根．构造h(x)＝4x2－4x2ln x(x＞0)，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案． 设直线与g(x)＝x2的切点为(x1，xeq \o\al(2,1))， 因为g′(x)＝2x，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为2x1，即该直线的方程为y－xeq \o\al(2,1)＝2x1(x－x1)， 即y＝2x1x－xeq \o\al(2,1). 设直线与f(x)＝aln x的切点为(x2，aln x2)， 因为f′(x)＝eq \f(a,x)，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为eq \f(a,x2)， 即该直线的方程为y－aln x2＝eq \f(a,x2)(x－x2)， 即y＝eq \f(a,x2)x＋a(ln x2－1)． 因为函数f(x)＝aln x(a＞0)和g(x)＝x2有且只有一条公切线， 所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x1＝\f(a,x2),aln x2－1＝－x\o\al(2,1)))， 即a＝4xeq \o\al(2,2)－4xeq \o\al(2,2)ln x2有唯一实根． 令h(x)＝4x2－4x2ln x(x＞0)， 则h′(x)＝8x－8xln x－4x＝4x(1－2ln x)． 解h′(x)＝0，可得x＝eq \r(e). 当4x(1－2ln x)＞0时，0＜x＜eq \r(e)，所以h(x)在(0，eq \r(e))上单调递增； 当4x(1－2ln x)＜0时，x＞eq \r(e)，所以h(x)在(eq \r(e)，＋∞)上单调递减． 所以h(x)在x＝eq \r(e)处取得最大值h(eq \r(e))＝4e－4e×eq \f(1,2)＝2e. 当x→0时，h(x)→0，h(e)＝4e2－4e2ln e＝0，函数h(x)图象如图所示， 因为a＞0，a＝4x2－4x2ln x有唯一实根，所以只有a＝2e. [答案]　C 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程． 2．若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝eq \f(ex,a)(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(e2,4))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，2)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞)) 解析：D　[y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m， y＝eq \f(ex,a)(a>0)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(en,a)))处的切线斜率为eq \f(en,a)， 如果两个曲线存在公切线，那么2m＝eq \f(en,a). 又由斜率公式得到2m＝eq \f(m2－\f(en,a),m－n)， 由此得到m＝2n－2， 则4n－4＝eq \f(en,a)有解， 则y＝4x－4，y＝eq \f(ex,a)的图象有公共点． 当直线y＝4x－4与曲线y＝eq \f(ex,a)相切时，设切点为(s，t)，则eq \f(es,a)＝4，且t＝4s－4＝eq \f(es,a)， 可得t＝4，s＝2， 即有切点(2,4)，a＝eq \f(e2,4)， 故a的取值范围是a≥eq \f(e2,4).] 判断公切线条数 [例3]　曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　设公切线l与y＝x2的切点为(x1，xeq \o\al(2,1))， 与y＝ln x的切点为(x2，ln x2)， y＝x2的导数为y′＝2x，y＝ln x的导数为y′＝eq \f(1,x)， 则在切点(x1，xeq \o\al(2,1))处的切线方程为y－xeq \o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－xeq \o\al(2,1)， 则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝eq \f(1,x2)(x－x2)， 即y＝eq \f(1,x2)x＋ln x2－1， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x1＝\f(1,x2)，,x\o\al(2,1)＝1－ln x2，)) 整理得到xeq \o\al(2,1)－ln x1＝1＋ln 2， 令f(x)＝x2－ln x，x∈(0，＋∞)， 则f′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝eq \f(2x2－1,x)， f′(x)>0⇒x>eq \f(\r(2),2)；f′(x)<0⇒0<x<eq \f(\r(2),2)， ∴f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))上单调递减，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))上单调递增， f(x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)ln 2<1＋ln 2， 即函数f(x)与y＝1＋ln 2的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)的图象与直线y＝1＋ln 2有两个交点，则方程x2－ln x＝1＋ln 2有两个不相等的正根，即曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是2. [答案]　C 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 3．已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：A　[设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f′(x)＝2x－4，g′(x)＝－x－2，g′(n)＝f′(m)＝eq \f(gn－fm,n－m)， 解得m＝－eq \f(n－2,2)＋2，代入化简得8n3－8n2＋1＝0， 构造函数h(x)＝8x3－8x2＋1， h′(x)＝8x(3x－2)， 则h(x)在(－∞，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))上单调递增， 在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))上单调递减，极大值h(0)>0，极小值heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))<0，故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有三个解，故公切线有3条．] $$