第1部分 专题1 微专题3 不等式（PPT课件）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

第一部分 聚热点·题型突破 专题一 函数与导数、不等式 微专题3　不等式 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 研析考点 层级突破 01 课时冲关 高效提能 02 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 研析考点 层级突破 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 ★[高考定位]　考查利用基本不等式求最值、证明不等式等，利用基本不等式解决实际问题；一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相结合考查参数的取值范围，以考查一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式、根的存在等． 不等式的解法 1．一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)eq \f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)eq \f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. [例1]　(1)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4－x,x＋1)≥0))))， 那么集合A∩B＝(　　) A．[－2,4)　　　　　　 B．(－1,3] C．[－2，－1] D．[－1,3] [解析]　分析：解不等式求出集合A，B，根据交集的定义即可求解． 由题意可知，A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|－2≤x≤3}， B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4－x,x＋1)))≥0))＝{x|－1＜x≤4}， 所以A∩B＝{x|－1＜x≤3}． [答案]　B (2)[多选]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　) A．a＞0 B．不等式bx＋c＞0的解集是{x|x＜－6} C．a＋b＋c＞0 D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) [解析]　分析：A选项，根据不等式的解集得到a＞0；BC选项，转化为－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出b＝－a，c＝－6a，解不等式，得到bx＋c＞0的解集，并得到a＋b＋c＝－6a＜0；D选项，变形得到6x2－x－1＞0的解集即可． A选项，∵关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪ (3，＋∞)， ∴a＞0，A选项正确； BC选项，已知－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2＋3＝－\f(b,a),－2×3＝\f(c,a)))， 则b＝－a，c＝－6a， 不等式bx＋c＞0，即－ax－6a＞0，解得x＜－6，B正确； 且a＋b＋c＝－6a＜0，C错误； D选项，不等式cx2－bx＋a＜0，即－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＞0， 解得x＜－eq \f(1,3)或x＞eq \f(1,2)，D正确． [答案]　ABD 不等式的求解技巧 (1)对于和函数有关的不等式，可利用函数的单调性进行转化． (2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集． (3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论． 1．若关于x的不等式x2＋bx＋c≤1(b，c∈R)的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))，则b＋c的值是(　　) A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(3,2) C．2 D．－eq \f(5,2) 解析：D　[分析：根据不等式的解集得出相应方程的根，再用韦达定理可求b＋c. 不等式x2＋bx＋c≤1(b，c∈R)的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))， 则方程x2＋bx＋c－1＝0的两根为x1＝－eq \f(3,2)，x2＝2，由韦达定理得：x1＋x2＝－b＝－eq \f(3,2)＋2＝eq \f(1,2)，x1x2＝c－1＝－eq \f(3,2)×2＝－3， 可得b＝－eq \f(1,2)，c＝－2 故b＋c＝－eq \f(1,2)－2＝－eq \f(5,2).] 2．[多选]下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2＞0的解集为{x|x＜－2或x＞1} B．不等式eq \f(2x＋1,x－2)≤1的解集为{x|－3≤x＜2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“|x－1|＜1”是“eq \f(x＋4,x－5)＜0”的充分不必要条件 解析：ABD　[分析：解出各选项中的不等式后可判断． A选项，x2＋x－2＞0⇔(x－1)(x＋2)＞0⇔x＜－2或x＞1，A正确；B选项，eq \f(2x＋1,x－2)≤1⇔eq \f(2x＋1,x－2)－1≤0⇔eq \f(x＋3,x－2)≤0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋3x－2≤0,x－2≠0))⇔－3≤x＜2，B正确； C选项，|x－2|≥1⇔x－2≥1或x－2≤－1， 即x≥3或x≤1，C错误； D选项，|x－1|＜1⇔0＜x＜2，eq \f(x＋4,x－5)＜0⇔(x＋4)(x－5))＜0⇔－4＜x＜5，而{x|0＜x＜2}⊆{x|－4＜x＜5}，D正确．] 不等式的性质 不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性) (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性) (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性) (4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性) (5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性) a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性) (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性) (7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性) (8)开方法则：a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n≥2，n∈N)．(单向性) [例2]　(1)[多选](2024·齐齐哈尔三模)已知a，b＞0，则使得“a＞b”成立的一个充分条件可以是(　　) A.eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) B．|a－2|＞|b－2| C．a2b－ab2＞a－b D．ln(a2＋1)＞ln(b2＋1) [解析]　分析：由不等式的性质可判断AD；取特值可判断B；a2b－ab2＞a－b可化为a＋eq \f(1,a)＞b＋eq \f(1,b)结合y＝x＋eq \f(1,x)的单调性可判断C. 对于A，因为ab＞0，eq \f(b,ab)＜eq \f(a,ab)，故a＞b，故A选项正确；对于B，取a＝1，b＝2，此时满足1＞0，但a＜b，B选项错误；对于C，a2b－ab2＞a－b可得：a2b＋b＞ab2＋a， 则b(a2＋1)＞a(b2＋1)，因为a，b＞0，即eq \f(a2＋1,a)＞eq \f(b2＋1,b)，所以a＋eq \f(1,a)＞b＋eq \f(1,b)，因为函数y＝x＋eq \f(1,x)在(0，＋∞)不单调，所以C选项错误； 对于D，由ln(a2＋1)＞ln(b2＋1)可知，a2＞b2，因为a，b＞0， 所以a＞b，故D选项正确， [答案]　AD (2)[多选]已知实数x，y满足1＜x＜6,2＜y＜3，则(　　) A．3＜x＋y＜9　　　　 B．－1＜x－y＜3 C．2＜xy＜18 D.eq \f(1,2)＜eq \f(x,y－1)＜6 [解析]　分析：由不等式的性质直接求解． 因为1＜x＜6,2＜y＜3，则3＜x＋y＜9,2＜xy＜18，故A、C正确； 由题－3＜－y＜－2，故－2＜x－y＜4，B错误； 1＜y－1＜2，则eq \f(1,2)＜eq \f(1,y－1)＜1，故eq \f(1,2)＜eq \f(x,y－1)＜6，D正确． [答案]　ACD 判断不等式是否成立的方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断． 1．已知a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) B．a2＞b2 C．a|c|＞b|c| D.eq \f(a,c2＋1)＞eq \f(b,c2＋1) 解析：D　[分析：根据不等式的基本性质判断AD；举例说明即可判断BC. A．当a＞0＞b时，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，故A错误；B.当a＝－1，b＝－2时，满足a＞b，但a2＞b2不成立，故B错误；C.当c＝0时，a|c|＝b|c|，故C错误；D.由a＞b，c2＋1＞0，得eq \f(a,c2＋1)＞eq \f(b,c2＋1)，故D正确．] 2．[多选](2024·武汉模拟)已知a＜b＜c(a，b，c∈R)，且a＋2b＋3c＝0，则(　　) A．a＜0＜c B．∃a，c使得a2－25c2＝0 C．a＋c可能大于0 D.eq \f(b＋2c,a＋c)＜－eq \f(1,2) 解析：AD　[分析：对于A，根据已知条件变形即可证明；对于B，根据已知得a＋5c＞0，得c＞－eq \f(a,5)＞0，即可证明；对于C，根据已知条件变形即可证明；对于D，将条件变形为a＋c＝－2(b＋c)，再利用eq \f(c,a＋c)＜0即可证明结论． 对于A，由a＜b＜c及a＋2b＋3c＝0， 得6a＝a＋2a＋3a＜a＋2b＋3c＝0，所以a＜0， 又0＝a＋2b＋3c＜c＋2c＋3c＝6c，所以c＞0，A正确；对于B，由a＜b＜c及a＋2b＋3c＝0，得a＋2c＋3c＞0，所以a＋5c＞0，得c＞－eq \f(a,5)＞0， 所以c2＞eq \f(a2,25)，得a2－25c2＜0，B错误； 对于C，由a＜b＜c及a＋2b＋3c＝0，得3a＋3c＜a＋2b＋3c＝0，所以a＋c＜0，C错误． 对于D，由a＋2b＋3c＝0，得a＋c＝－2(b＋c)，所以eq \f(b＋2c,a＋c)＝eq \f(b＋c＋c,a＋c)＝eq \f(b＋c,a＋c)＋eq \f(c,a＋c)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(c,a＋c). 因为a＋c＜0，c＞0，所以eq \f(c,a＋c)＜0，所以eq \f(b＋2c,a＋c)＜－eq \f(1,2)，D正确．] 基本不等式 利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则 (1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2eq \r(p).(简记：积定，和有最小值) (2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值eq \f(1,4)s2.(简记：和定，积有最大值) [例3]　(1)[多选](2024·重庆模拟)下列结论中，错误的结论有(　　) A．y＝x(4－3x)取得最大值时x的值为1 B．若x＜－1，则x＋eq \f(1,x＋1)的最大值为－2 C．函数f(x)＝eq \f(x2＋5,\r(x2＋4))的最小值为2 D．若a＞0，b＞0，且a＋b＝2，那么eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为eq \f(3＋2\r(2),2) [解析]　分析：根据二次函数的最值以及基本不等式判断各选项． 对于A，y＝x(4－3x)的对称轴为x＝eq \f(2,3)，所以y＝x(4－3x)取得最大值时x的值为eq \f(2,3)，故A错误； 对于B，令y＝x＋eq \f(1,x＋1)＝x＋1＋eq \f(1,x＋1)－1 若x＜－1，x＋1＜0，－(x＋1)＞0，－(x＋1)－eq \f(1,x＋1)≥2，当x＝－2时，取等号， 所以(x＋1)＋eq \f(1,x＋1)≤－2，则y＝x＋1＋eq \f(1,x＋1)－1≤－3.则y＝x＋eq \f(1,x＋1)的最大值为－3，故B错误； 对于C，函数f(x)＝eq \f(x2＋5,\r(x2＋4))＝eq \r(x2＋4)＋eq \f(1,\r(x2＋4)) 令t＝eq \r(x2＋4)≥2，当t＋eq \f(1,t)＝2时，t＝1，不满足题意，故C错误； 对于D，若a＞0，b＞0，且a＋b＝2， eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋b) ＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2＋\f(b,a)＋\f(2a,b)))≥eq \f(3＋2\r(2),2)，当eq \f(b,a)＝eq \f(2a,b)时， 即a＝2eq \r(2)－2，b＝4－2eq \r(2)时，取等号． 所以eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为eq \f(3＋2\r(2),2)，故D正确． [答案]　ABC (2)(2024·临汾适应性考试三)若0＜x＜1，则eq \f(1,x)＋eq \f(2,1－x)的最小值是(　　) A．1 B．4 C．2＋2eq \r(2) D．3＋2eq \r(2) [解析]　分析：根据基本不等式及“1”的妙用计算即可． 因为0＜x＜1，所以1－x＞0， 则eq \f(1,x)＋eq \f(2,1－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,1－x)))·[x＋(1－x)]＝3＋eq \f(1－x,x)＋eq \f(2x,1－x)≥3＋2eq \r(2)， 当且仅当eq \f(1－x,x)＝eq \f(2x,1－x)，即x＝eq \r(2)－1时，等号成立，取得最小值3＋2eq \r(2). [答案]　D 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，在其满足基本不等式中“正”(各项都是正数)“定”(和或积为定值)“等”(等号能取得)的条件下才能应用，否则会出现错误． 1．(2024·新余二模)已知x，y为正实数，且x＋y＝2，则eq \f(x＋6y＋6,xy)的最小值为(　　) A．12 B．3＋2eq \r(2) C.eq \f(25,2) D.eq \f(6\r(2)－3,2) 解析：C　[分析：借助“1”的活用将分式齐次化后结合基本不等式计算即可得． 由x＋y＝2，则eq \f(x＋6y＋6,xy)＝eq \f(2x＋12y＋12,2xy)＝eq \f(x＋yx＋6x＋yy＋3x＋y2,2xy) ＝eq \f(4x2＋9y2＋13xy,2xy)＝eq \f(2x,y)＋eq \f(9y,2x)＋eq \f(13,2)≥2eq \r(\f(2x,y)·\f(9y,2x))＋eq \f(13,2)＝eq \f(25,2)， 当且仅当eq \f(2x,y)＝eq \f(9y,2x)，即x＝eq \f(6,5)，y＝eq \f(4,5)时，等号成立．] 2．(2024·潍坊三模)已知a，b，c均为正实数，函数f(x)＝x2＋(a＋2b)x＋ln x. (1)若f(x)的图象过点(1,2)，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为________； (2)若f(x)的图象过点(c，ab＋ln c)，且(3a＋b)t≥c恒成立，则实数t的最小值为________． 解析：分析：(1)由f(x)的图象过点(1,2)得a＋2b＝1，根据基本不等式“1”的巧用计算即可；(2)由f(x)的图象过点(c，ab＋ln c)得c2＋ac＝b(a－2c)，进而得出b＝eq \f(c2＋ac,a－2c)，利用换元法及基本不等式即可求得eq \f(c,3a＋b)的最大值，即可得出t的最小值． (1)由f(x)的图象过点(1,2)得，f(1)＝1＋a＋2b＝2，即a＋2b＝1， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋2b)＝5＋eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)≥5＋2eq \r(4)＝9，当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(2a,b)，即a＝b＝eq \f(1,3)时等号成立． (2)由(3a＋b)t≥c恒成立得，t≥eq \f(c,3a＋b)， 因为f(x)的图象过点(c，ab＋ln c)，则f(c)＝c2＋(a＋2b)c＋ln c＝ab＋ln c，即c2＋ac＝b(a－2c)， 当a＝2c时，c＝0不合题意舍， 所以a≠2c，即eq \f(a,c)≠2，则b＝eq \f(c2＋ac,a－2c)，则由b＞0得a＞2c， 所以eq \f(c,3a＋b)＝eq \f(c,3a＋\f(c2＋ac,a－2c))＝eq \f(ac－2c2,3a2－5ac＋c2)＝eq \f(\f(a,c)－2,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2－\f(5a,c)＋1)， 设eq \f(a,c)－2＝m＞0， 所以eq \f(\f(a,c)－2,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2－\f(5a,c)＋1)＝eq \f(m,3m＋22－5m＋2＋1)＝eq \f(m,3m2＋7m＋3)， ＝eq \f(1,3m＋\f(3,m)＋7)≤eq \f(1,2\r(3m·\f(3,m))＋7)＝eq \f(1,13)， 当且仅当3m＝eq \f(3,m)，即m＝1，则a＝3c，b＝4c时，等号成立． 答案：(1)9　(2)eq \f(1,13) 点睛：第二空由f(x)的图象过点(c，ab＋ln c)得出b＝eq \f(c2＋ac,a－2c)，代入消元得出关于a，c的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得. $$