第1部分 专题1 微专题1 函数的图象与性质（PPT课件）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

第一部分 聚热点·题型突破 专题一 函数与导数、不等式 微专题1　函数的图象与性质 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 研析考点 层级突破 01 课时冲关 高效提能 02 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 研析考点 层级突破 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 　 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 下一页 上一页 返回导航 第一部分 专题一 函数与导数、不等式 数学 [教师用书独具] 2024年高考试卷 考情分布 命题解读 新高考全国Ⅰ卷 T1，T6，T8，T10，T13，T18 1.考查内容：主要考查函数的性质、不等式、导数的几何意义、导数的综合应用等． 新高考全国Ⅱ卷 T2，T6，T8，T11，T16 2．趋势分析： (1)多层次：各种难度都有涉及，题型齐全； (2)综合性：强化通性通法，加大以函数为载体的方法、能力的考查； (3)变角度：加大函数、导数相关问题的考查力度； (4)重能力：加大运算、探究、证明等综合问题． 全国甲卷 T6，T7，T15，T21 3．学科素养：直观想象、数学运算、逻辑推理. ★[高考定位]　考查关于此部分内容的命题多集中于函数的概念、性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域，分段函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别．此部分内容有时出现在选择题、填空题、压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大． 　　　　函数及其表示 1．函数的三要素 定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则． 2．分段函数 对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． [例1]　(1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fx－2，x≥0,2x2－3x，x＜0))，则f(1)＝(　　) A．14　　 B．5 C．1　　 D．－1 [解析]　分析：根据分段函数解析式代入计算可得． 因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fx－2，x≥0,2x2－3x，x＜0))，所以f(1)＝f(－1)＝2×(－1)2－3×(－1)＝5. [答案]　B (2)[多选](2024·常州模拟)下列说法中正确的是(　　) A．若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)的定义域为[0,4] B．若f(1＋eq \r(x))＝2x＋1，则f(x)＝2x2－4x＋3，x∈[1，＋∞) C．函数y＝4x＋2x＋1的值域为(1，＋∞) D．f(x)＝eq \f(1,x－1)在(－∞，1)∪(1，＋∞)上单调递减 [解析]　分析：利用抽象函数定义域的求解原则可判断A选项；利用换元法求函数f(x)的解析式，可判断B选项；利用指数函数与二次函数的基本性质求出函数y＝4x＋2x＋1的值域，可判断C选项；利用反比例型函数的单调性可判断D选项． 对于A选项，因为函数f(x)的定义域为[0,2]， 对于函数f(2x)，则0≤2x≤2，解得0≤x≤1，即函数f(2x)的定义域为[0,1]，A错； 对于B选项，若f(1＋eq \r(x))＝2x＋1，令t＝eq \r(x)＋1≥1，可得x＝(t－1)2， 所以，f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3，其中t≥1， 所以，f(x)＝2x2－4x＋3，x∈[1，＋∞)，B对； 对于C选项，因为2x＞0，y＝4x＋2x＋1＝(2x)2＋2x＋1＞1， 即函数y＝4x＋2x＋1的值域为(1，＋∞)，C对； 对于D选项，函数f(x)＝eq \f(1,x－1)的减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)，但不能用(－∞，1)∪(1，＋∞)表示，D错． [答案]　BC 求函数值时的三个关注点 (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则； (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解； (3)对于利用函数性质求值问题，必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解． 1．(2024·台州调研二)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋2－x，x≤3，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))，x＞3))，则f(log29)＝(　　) A.eq \f(8,3) B.eq \f(10,3) C.eq \f(80,9) D.eq \f(82,9) 解析：B　[分析：由已知函数解析式，结合对数恒等式即可求解． 由于log29＞3，所以f(log29)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)log29)) 2．[多选](2024·保定质检)下列命题正确的是(　　) A．y＝eq \r(x2)与y＝x不是同一个函数 B．y＝eq \r(2x＋1) 的值域为(1，＋∞) C．函数f(x)＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) D．若函数f(x)的定义域为[2,5]，则函数f(x＋1)的定义域为[1,4] 解析：ABD　[分析：A.由函数的定义判断；B.由指数函数的值域判断；C.由单调区间不能合并判断；D.利用抽象函数的定义域求解判断． A．因为y＝eq \r(x2)＝|x|，所以与y＝x不是同一个函数，故正确；B.因为2x＞0，所以2x＋1＞1，即y＞1，所以y＝eq \r(2x＋1)的值域为(1，＋∞)，故正确； C．函数f(x)＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，故错误；D.因为函数f(x)的定义域为[2,5]，所以2≤x≤5，则2≤x＋1≤5，解得1≤x≤4，函数f(x＋1)的定义域为[1,4]，故正确．] 　　　　函数的图象及应用 1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． [角度1]　函数图象的识别 [例2]　(1)(2024·怀化二模)已知函数f(x)＝ex－lg|x|，则f(x)的图象大致为(　　) [解析]　分析：根据给定的函数，由x＜0时的单调性排除两个选项，当x＞0时，利用导数探讨函数的单调性、极值，判断作答． 函数f(x)＝ex－lg|x|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 当x＜0时，f(x)＝ex－lg(－x)，因为函数y＝ex在(－∞，0)上递增，函数y＝lg(－x)在(－∞，0)上递减，因此函数f(x)＝ex－lg(－x)在(－∞，0)上递增，B、D错误； 当x＞0时，f(x)＝ex－lg x，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，C选项不满足，A选项符合要求． [答案]　A (2)已知某函数图象如图所示，则该函数解析式为(　　) A．f(x)＝ln|x|－eq \f(1,x) B．f(x)＝ln|x|＋eq \f(1,|x|) C．f(x)＝eq \f(1,x)＋ln|x| D．f(x)＝eq \f(1,x)－ln|x| [解析]　分析：根据特殊值验证，排除错误选项，再检验正确选项即可得解． 对于A，f(1)＝ln|1|－eq \f(1,1)＝－1，显然不满足图象，故A错误；对于B，f(－1)＝ln|－1|＋eq \f(1,|－1|)＝1，显然不满足图象，故B错误；对于C，f(－e)＝eq \f(1,－e)＋lne＞0，显然不满足图象，故C错误；对于D，经检验，f(x)＝eq \f(1,x)－ln|x|满足对应图象，故D正确． [答案]　D [角度2]　函数图象的变换 [例3]　(1)函数y＝|lg(x＋1)|的图象是(　　) [解析]　分析：由函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数y＝|lg(x＋1)|的图象与x轴的公共点是(0,0)，即可求解． 由于函数y＝lg(x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象左移一个单位得到，函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1,0)，故函数y＝lg(x＋1)的图象与x轴的交点是(0,0)，即函数y＝|lg(x＋1)|的图象与x轴的公共点是(0,0)，显然四个选项只有A选项满足． [答案]　A (2)若函数f(x)的图象向左平移一个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　) A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1 [解析]　分析：根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可． 因为与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x， 向右平移1个单位得y＝e－(x－1)＝e－x＋1， 所以f(x)＝e－x＋1. [答案]　C 函数图象的几种常见变换 (1)平移变换：左右平移——“左加右减”；上下平移——“上加下减”． (2)翻折变换：①将y＝f(x)在x轴下方的图象翻折到上方，与y＝f(x)在x轴上方的图象合起来得到y＝|f(x)|的图象；②将y＝f(x)在y轴左侧的图象去掉，再作右侧部分关于y轴对称的图象，两者合起来得到y＝f(|x|)的图象． (3)对称变换：①若y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则有f(a＋x)＝f(a－x)或f(2a－x)＝f(x)或f(x＋2a)＝f(－x)；②y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；③y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 1．(2024·郑州三模)下列可以作为方程x3＋y3＝3xy的图象的是(　　) 解析：B　[分析：借助排除法，得到x＜0与y＜0不可能同时成立，即可排除A、C、D. 当x＜0时，x3＝3xy－y3＝y(3x－y2)＜0,3x－y2＜0，若y＜0，则y(3x－y2)＞0，不符，故x＜0、y＜0不可能同时成立，故A、C、D选项错误．] 2．若奇函数y＝f(x)的图象沿x轴的正方向平移2个单位所得的图象为C，又设图象D与C关于原点对称，则D对应的函数是(　　) A．y＝f(x＋2) B．y＝f(x－2) C．y＝f(x)＋2 D．y＝f(x)－2 解析：A　[分析：根据平移变换得到C对应的解析式y＝f(x－2)，又由图象D与C关于原点对称，得到D的解析式，利用奇函数整理即可． 将y＝f(x)的图象沿x轴的正方向平移2个单位所得的图象为C：y＝f(x－2)， 因为图象D与C关于原点对称，故D：y＝－f(－x－2) 因为y＝f(x)为奇函数，所以y＝－f(－x－2)＝f(x＋2)．] 函数的性质 1．函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)． (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数图象的对称中心或对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称． [例4]　(1)(2024·泰安三模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝－x5－3x＋a－1，则f(－a)的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　分析：由奇函数性质可求得a的值，结合f(－a)＝－f(a)计算即可． 由题意得，函数f(x)为奇函数，且定义域为R， 由奇函数的性质得，f(0)＝a－1＝0，解得a＝1，经过检验符合题意， 所以当x≥0时，f(x)＝－x5－3x， 所以f(－a)＝－f(a)＝－f(1)＝－(－1－3)＝4. [答案]　D (2)[多选](2024·揭阳二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)－f(2－x)＝4x.若f(2x－3)的图象关于点(2,1)对称，且f(0)＝0，则(　　) A．f(x)的图象关于点(1,1)对称 B．函数g(x)＝f(x)－2x的图象关于直线x＝2对称 C．函数g(x)＝f(x)－2x的周期为2 D．f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝2 499 [解析]　分析：对A，根据函数图象的变换性质判断即可；对B，由题意计算g(2＋x)－g(2－x)＝0即可判断；对C，由A可得g(x)＝g(－x)，由B可得g(－x)＝g(x＋4)，进而可判断C；对D，由f(2＋x)－f(2－x)＝4x结合f(0)＝0与f(x)的对称性可得f(0)，f(1)，f(2)，f(3)，进而g(0)，g(1)，g(2)，g(3)，结合C中g(x)的周期为4求得g(1)＋g(2)＋…＋g(50)，进而可得f(1)＋f(2)＋…＋f(50)． 对A，因为f(2x－3)的图象关于点(2,1)对称，则f(x－3)的图象关于点(4,1)对称， 故f(x)的图象关于点(1,1)对称，故A正确； 对B，g(2－x)＝f(2－x)－2(2－x)＝f(2－x)＋2x－4， g(2＋x)＝f(2＋x)－2(2＋x)＝f(2＋x)－4－2x， 又f(2＋x)－f(2－x)＝4x，故g(2＋x)－g(2－x)＝f(2＋x)－f(2－x)－4x＝0. 即g(2＋x)＝g(2－x)，故g(x)＝f(x)－2x的图象关于直线x＝2对称，故B正确； 对C，由A，f(2＋x)＝2－f(－x)，且f(2－x)＝2－f(x)， 又因为f(2＋x)－f(2－x)＝4x，故[2－f(－x)]－[2－f(x)]＝4x， 即f(x)－f(－x)＝4x，故f(x)－2x＝f(－x)－2(－x)，即g(x)＝g(－x)． 由B，g(－x)＝g(x＋4)，故g(x)＝g(－x)＝g(x＋4)，故g(x)＝f(x)－2x的周期为4，故C错误； 对D，由f(0)＝0，f(x)的图象关于点(1,1)对称，且定义域为R，则f(1)＝1，f(2)＝2， 又f(2＋x)－f(2－x)＝4x，代入x＝1可得f(3)－f(1)＝4，则f(3)＝5， 又g(x)＝f(x)－2x，故g(0)＝f(0)＝0，g(1)＝f(1)－2＝－1，g(2)＝f(2)－4＝－2，g(3)＝f(3)－6＝－1，又g(x)的周期为4，g(4)＝f(0)＝0. 则g(1)＋g(2)＋…＋g(50)＝12×[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＋g(2) ＝12×(－4)－1－2＝－51. 即f(1)－2＋f(2)－4＋…＋f(50)－100＝－51， 则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝2＋4＋…＋100－51＝eq \f(50×2＋100,2)－51＝2 499，故D正确． [答案]　ABD 　　 函数的周期的求法 (1)若函数f(x)为偶函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则2a是函数f(x)的一个周期． (2)若函数f(x)为奇函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则4a是函数f(x)的一个周期． (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，且f(b＋x)＝f(b－x)(a≠b)，则2(b－a)是函数f(x)的一个周期． 1．(2024·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2－2ax－a，x<0,ex＋lnx＋1，x≥0))，在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1,0] C．[－1,1] D．[0，＋∞) 解析：B　[由题意知f(x)在R上单调递增，令h(x)＝－x2－2ax－a，则h(x)的对称轴必大于等于0，否则与题意不符，即－a≥0⇒a≤0，排除C、D项；又因为当x＝0时，f(x)＝1，所以当x＜0时，h(x)≤1⇒－x2－2ax－a≤1，代入x＝0，得－a≤1⇒a≥－1，所以－1≤a≤0，故a的取值范围是[－1,0]．] 2．[多选](2024·新乡三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2x＋6)＝f(－2x)，且f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝1，则(　　) A．f(2 024)＝1 B．f(x)的图象关于直线x＝－3对称 C．f(x)是周期函数 D． (－1)kkfeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(1,2)))＝2 025 解析：BCD　[分析：根据给定的等式，结合赋值法推导出函数f(x)及对称轴，再逐项分析计算得解． 由f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)，得f(x＋1)＋f(x＋3)＝f(－2)， 则f(x－1)＝f(x＋3)，即f(x)＝f(x＋4)，因此f(x)是周期为4的周期函数，C正确； 令x＝－1，得f(－2)＋f(0)＝f(－2)，则f(0)＝0，因此f(2 024)＝f(0)＝0，A错误； 由f(2x＋6)＝f(－2x)，得f(x＋6)＝f(－x)，则f(－x)＝f[(x－12)＋6]＝f(x－6)， 因此f(x)的图象关于直线x＝－3对称，B正确； 由f(x＋6)＝f(－x)，得f(x)的图象关于直线x＝3对称， 因此直线x＝－3＋4n及x＝3＋4n(n∈Z)均为f(x)图象的对称轴， 从而f(－2)＝f(0)＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝1， 令x＝eq \f(3,2)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋1))＝0， 即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝－1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝－1， 故 (－1)kkfeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) －3feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＋4feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))－…－2 025feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4 049,2))) ＝(1－2－3＋4)＋…＋(2 021－2 022－2 023＋2 024)＋2 025＝2 025，D正确．] 点睛：函数y＝f(x)的定义域为D，∀x∈D， ①存在常数a，b使得f(x)＋f(2a－x)＝2b⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)图象关于点(a，b)对称． ②存在常数a使得f(x)＝f(2a－x)⇔f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)图象关于直线x＝a对称. $$