专题02 特殊四边形的旋转、折叠及最值问题（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题02 特殊四边形的旋转、折叠及最值问题 菱形的旋转问题 1．（23-24·九年级上 河南·期末）如图，菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，菱形的对角线交于点O，，，将绕点O顺时针方向旋转得到，连接．若点D的对应点E恰好落在线段上，则的面积是（    ） A．6 B．9 C．18 D．36 3．（23-24九年级上·福建·期末）如图，在中，，，将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，点F在上，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：四边形为菱形． 4．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图，中，，，是由绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点D． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 5．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图．一个锐角等于的菱形，将一个的的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个的，使它的两边分别交、于点E，F． (1)如图1，当时，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)旋转，如图2，当时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 菱形的折叠问题 6．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图．菱形的顶点A在x轴上，于点D，将菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为．若，点的横坐标为4，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，E为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在边上的F处．若垂直对角线，则 度．    8．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 9．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，． ①求的面积； ②若直线上有一点F，当为等腰三角形时，直接写出线段为的长． 菱形的最值问题 10．（23-24九年级上·浙江·期末）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为4，是它的较短对角线，点、分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的最大值是 ． 11．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在菱形中，是对角线上一点，分别是边上的一点，连接．若菱形的边长为，，则的最大值是 ． 12．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，点，分别是，的中点．若，，则线段的最小值为 ． 13．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是 ． 14．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知，点C在射线上，点D，E在射线上，其中，四边形是平行四边形．    (1)请只用无刻度的直尺画出菱形，保留作图痕迹，并说明理由． (2)作出（1）中菱形后，若点P是边上一动点，点Q是菱形对角线上一动点，则的最小值为 ． 矩形的旋转问题 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的面积为 ． 16．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将长方形绕O按顺时针方向旋转度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是 ． 17．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在矩形中，，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A的对应点G落在矩形的边上，点D的对应点F在矩形的外部． (1)尺规作图：作矩形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求点C到的距离． 18．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H， 求证： (1) (2)． 矩形的折叠问题 19．（23-24 九年级上·山西·期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 20．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，平行四边形纸片，，，面积为，将其沿对角线折叠，使点C落在点F处，与边交于点E，则的长为（    ）    A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 22．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在矩形中，点M在边上，先将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．之后再将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 23．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将纸片沿折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．以上结论中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 矩形的最值问题 24．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点均在轴上，点在轴上，点在第一象限，已知直线的函数解析式为：，点是直线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 25．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，连接，则长的最小值为（　　） A． B．3 C． D．4 26．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，四边形中，于点D，，，，点E是的中点，连接，则的最大值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 27．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕的同时，得到了线段．观察所得的，和，这三个角之间的关系是 ． 28．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，在矩形中，点E，F分别是边，上的动点，点P是线段的中点，过点P作，，垂足分别为G，H，连接．若，，，则的最小值为 ． 29．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ．    30．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ． 31．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在，交于． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，，试求的面积． 正方形的旋转问题 32．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形 ，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形 ，那么点的坐标是 . 33．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)顺次连接，，，，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 34．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在正方形中，将正方形的边绕点A顺时针旋转到，连接、，过点A作于F，交直线于P． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，其它条件不变，试探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)继续旋转线段，若旋转角，则线段之间的数量关系为 （直接写出结果） 35．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且，我们把这种模型称为“半角模型”，旋转是解决此类模型的常用方法． (1)补全图形：将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到； (2)直接写出线段之间的数量关系 ． (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是4，求的周长． 正方形的折叠问题 36．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，得折痕、，则的大小为（　　） A． B． C． D． 37．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，正方形纸片的四个角都为，若该纸片沿折叠，则点D会与点B重合，已知点E为正方形的边上一点，连接，将三角形沿折叠，点D落在点处，作平分．若，则的度数为 ． 38．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠得到四边形，点A的对应点M恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 39．（23-24九年级上·山东东营·期末）如图，在边长为8的正方形纸片中，E是边上的一点，，连接，将正方形纸片折叠，使点D落在线段上的点G处，折痕为，则的长为 正方形的最值问题 40．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图．正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以一边作正方形．设，点、与点的距离分别为，．则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 41．（23-24九年级上·安徽徐州·期末）如图，点A是y轴正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为 ． 42．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是 ． 43．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正方形中，，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一动点，为的中点，下列结论：①；②；③线段MN的最大值是；④线段MN的最小值是．其中正确的是 ．（只填写序号） 44．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的最小值为 ． 45．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，，对角线、交于点O，点E、F分别为边、上的动点（不与端点重合），且，连接、、，则线段的最小值为 ． 46．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是AD边上的动点，连接CE，将CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF，则BF的最小值为 ． ．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图所示，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转后到达的位置．延长交于点，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③若，则．其中不正确的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是（    ） A．4 B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，在一张菱形纸片中，，点E在边上(不与B、C重合)，将沿直线折叠得到，连接．以下选项中正确的是（    ） A． B． C．当平分时， D．以上都不对 5．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，，，是的中点，两边、分别交于点，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点．若，则的度数为 ． 7．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在矩形纸片中，，，点，分别是矩形的边，上的动点，将该纸片沿直线折叠，使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在点处，连接、、，与交于点．则当点与点重合时， ． 8．（23-24九年级上·四川德阳·期末）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直线的图象上，两条直角边所在直线分别与坐标轴相交于、两点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，当三角板绕点旋转时，的最小值为8，则点的坐标是 ． 9．（23-24九年级上·湖北孝感·期末）如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为 ． 10．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的点处．若，则 ． 11．（23-24九年级上·贵州黔南·期末）数学活动中，小伟同学利用一张正方形纸片作如下操作：①如图，先对折正方形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕和线段．若线段，则线段 ．    12．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，是菱形的对角线，，点是边上的动点，且，若，则的最小值为 ． 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，，E为边上一动点，以BE为边构造等边（点F位于下方），连接．①当时， °；  ②点E在运动的过程中，的最小值为 ． 14．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转30°得，交AC于点E，分别交、于点D、F．试判断四边形的形状，并说明理由． 15．（23-24九年级上·河南安阳·期末）给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．    (1)在你学过的四边形中，写出一种勾股四边形的名称________． (2)如图，将绕顶点B按顺时针方向旋转得到，连接，，，已知． ①直接写出的度数是________． ②判断四边形是否为勾股四边形，并说明理由． 16．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，对角线，交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于，于点，． (1)证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形； (2)试说明在旋转过程中，线段与总保持相等； (3)在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 特殊四边形的旋转、折叠及最值问题 菱形的旋转问题 1．（23-24·九年级上 河南·期末）如图，菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：作于，则， 四边形是菱形，， 点的坐标为， 若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，则菱形绕点连续旋转次，旋转次为一周，旋转次为（周）， 绕点连续旋转次得到菱形与菱形重合， 点与重合， 点的坐标为， 故选：D． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，菱形的对角线交于点O，，，将绕点O顺时针方向旋转得到，连接．若点D的对应点E恰好落在线段上，则的面积是（    ） A．6 B．9 C．18 D．36 【答案】B 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O，，， ∴，， ∵将绕点O顺时针方向旋转得到，点D的对应点E恰好落在线段上， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24九年级上·福建·期末）如图，在中，，，将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，点F在上，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：四边形为菱形． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 由旋转的性质可知，． 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． （2）证明：由旋转的性质可知，， 由（1）可知，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 由（1）可知，，且， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 由（1）可知，， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的判定，旋转的性质，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 4．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图，中，，，是由绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点D． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明： ∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ，， ， ∴， 即，在和中 ， ∴， ； （2）解：四边形为菱形， ，， ， ∵， ， ∴为等腰直角三角形， ， ． 5．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图．一个锐角等于的菱形，将一个的的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个的，使它的两边分别交、于点E，F． (1)如图1，当时，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)旋转，如图2，当时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)成立，证明见解析； 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， 在和中， （）， . （2）解：仍然成立，理由如下： 如图，连接， 四边形是菱形，， ， 是等边三角形，是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ． 菱形的折叠问题 6．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图．菱形的顶点A在x轴上，于点D，将菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为．若，点的横坐标为4，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，令与的交点为， 四边形是菱形，， ，，， ，菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为 ， ，即， ， 点的横坐标为4， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点B的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，E为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在边上的F处．若垂直对角线，则 度．    【答案】 【详解】解：连接，   四边形是菱形， ，， 设， 垂直对角线， ， ， 由折叠的性质知， ， ， ， ， 解得 ， ， 故答案为：72． 8．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 【答案】2 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 又由折叠有，且， ∴， 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵在菱形中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，． ①求的面积； ②若直线上有一点F，当为等腰三角形时，直接写出线段为的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②线段的长为2或或18或5． 【详解】（1）证明：∵平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点， ∴，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． （2）解：①∵平行四边形是菱形， ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形， ∴ 设菱形边上的高为h， ∴菱形的面积为 即 解得 ∴； ②由① ∵平行四边形， ∴ 如图所示，以E点为圆心，为半径画弧，与直线相交于、， 当，此时为等腰三角形 ∴； 当，此时为等腰三角形 ∴； 如图所示，以C点为圆心，为半径画弧，与直线相交于， 当，此时为等腰三角形， 由①可知 ∴ ； 由①可知 ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∴即B点，此时为等腰三角形， 则 综上所述：当为等腰三角形时，线段的长为2或18或或5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的定义是解决问题的关键． 菱形的最值问题 10．（23-24九年级上·浙江·期末）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为4，是它的较短对角线，点、分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，菱形的边长为， ∴， ∴和都为正三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为正三角形， 过点B作，如图： ∴， ∴， ∵， ∴， 要使的面积最大，则的面积最小，则为最短， ∴当时，为最短，即N与H重合时， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在菱形中，是对角线上一点，分别是边上的一点，连接．若菱形的边长为，，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】如图，在上截取，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当三点不共线时，或， 当三点共线时，最大，此时点与重合， ∴， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，点，分别是，的中点．若，，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接、． 四边形，四边形是菱形，， ，， ，分别是对角线，的中点， ，， ， 设，则，，， ， ∴有最小值， ∴最小值为， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是 ． 【答案】1.5 【详解】解：连接、，与交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， 又∵， ∴， ∵点G是线段上的动点，， ∴， ∵点E，F分别是线段，的中点，即是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知，点C在射线上，点D，E在射线上，其中，四边形是平行四边形．    (1)请只用无刻度的直尺画出菱形，保留作图痕迹，并说明理由． (2)作出（1）中菱形后，若点P是边上一动点，点Q是菱形对角线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）连结，交于点G，作射线，交于点N，连结，则四边形就是所求作的图形；   四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）连结，，过点D作于点H， 四边形是菱形， 垂直平分， ， ， 当点P在点H处，且点Q在上时，取最小值，最小值为的长， ，， 是等边三角形， ， ， ， 即的最小值为． 故答案为：．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，几何作图，线段垂直平分线的性质及轴对称的性质等知识，利用平行四边形的对角线互相平分作图及轴对称的性质是解题的关键． 矩形的旋转问题 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：过点作的平行线，交于点，交于点． 则． 由旋转可得，． ∵四边形为矩形， ，而， ， ， ， ， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 16．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将长方形绕O按顺时针方向旋转度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴点P在点B的右侧． ∵四边形是矩形，点A的坐标是，点C的坐标是， ∴，，． 过点Q作于点H，连接，如图，则． ∵，， ∴． 设， ∵， ∴， 则，． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积等，合理地作出辅助线是解题的关键． 17．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在矩形中，，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A的对应点G落在矩形的边上，点D的对应点F在矩形的外部． (1)尺规作图：作矩形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求点C到的距离． 【答案】(1)图见解析 (2) 【详解】（1）如图1，矩形是所求作的矩形； （2）如图2，由矩形的性质及旋转的性质可得 ，． 过点C作，分别交和于点M、N． ∵四边形是矩形， ∴，． ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是矩形． ∴，． 在中，由勾股定理，得 ． ∵， ∴，． ∴． 18．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H， 求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴． 矩形的折叠问题 19．（23-24 九年级上·山西·期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵由翻折而成， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理，掌握这些性质是解题的关键． 20．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，平行四边形纸片，，，面积为，将其沿对角线折叠，使点C落在点F处，与边交于点E，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作，，垂足分别为，    ∴， ∵平行四边形纸片，则 ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得， ∴， 在中，， ∵平行四边形纸片， ∴， ∴， 由折叠有性质知， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴， 故选：C． 21．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：∵是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得，，， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解之得：， ∴， ∴． 故选：C． 22．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在矩形中，点M在边上，先将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．之后再将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 23．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将纸片沿折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．以上结论中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】∵与，与都为矩形中对边，上的一部分， ∴，． ∴四边形是平行四边形． 又由翻折的性质，可得． ∴是菱形，因此①正确； ∴． 若平分，则， ∵， ∴只有，这与的度数不确定矛盾，因此②错误； 当点与点重合时，设，则． 在中，即， 解得，得到的最小值为；点与点重合时， ， ∴，得到的最大值为． ∴线段的取值范围为，因此③正确； 如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 在中，因此④正确． 综上所述，结论正确的有①③④，共个． 故选． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，平行四边形的判定，菱形的判定及性质，矩形的判定及性质，熟练掌握折叠的性质及菱形的判定及性质是解题的关键． 矩形的最值问题 24．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点均在轴上，点在轴上，点在第一象限，已知直线的函数解析式为：，点是直线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 连接，交于点，连接交于点，连接，过作轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，垂直平分， ∴， ∴当点与重合，即三点共线时由最小值， 在中，， ∴的最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数求点的坐标和性质，轴对称——最短路径问题，勾股定理，菱形的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 25．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，连接，则长的最小值为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【详解】解：连接，由题意可知， 则四边形为矩形， 则，如图所示， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，，解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， 由点到直线垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时，， ∴的最小值为， ∴长的最小值为． 故选：A． 26．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，四边形中，于点D，，，，点E是的中点，连接，则的最大值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】解：如图，连接，取的中点为，连接、， ， ， ，， ， 是的中点， ， 是的中点，E是的中点， 是中位线， ， （当且仅当在线段上时等号成立）， ， 最大为6， 故选：A． 27．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕的同时，得到了线段．观察所得的，和，这三个角之间的关系是 ． 【答案】 【详解】解：，理由如下： 如图，连接， 四边形是矩形， ， 将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ， 再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 28．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，在矩形中，点E，F分别是边，上的动点，点P是线段的中点，过点P作，，垂足分别为G，H，连接．若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接， 矩形， ， ， ， 点P是线段的中点， ， ， ， 四边形是矩形， ， 当三点共线，最小， 则的最小值为， 故答案为：． 29．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ．    【答案】// 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴． 延长，使得，连接，，如图，    ∵，， ∴， ∴平分． ∵， ∴， ∴， ∴点Q在定直线上． ∵BP中点为E， ∴， ∴当最小时，有最小值． ∵当时，最小，此时， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形三线合一的性质，垂线段最短等知识．正确作出辅助线是解题关键． 30．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ． 【答案】 3 / 【详解】解：当与点重合时， 如图： 由于对称：，， 设，则，， 在中， 由勾股定理得：； ， 则； 如图：取中点， ， 由题意知，无论如何变动，经过点， 连接、、， 在△中， 四边形关于对称得到四边形， ，故只有当、、三点共线时、长度最大， 此时， 过点作，，， 在中，，， ， 在中，， ， ， 故答案为：3；． 31．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在，交于． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，，试求的面积． 【答案】(1)等腰三角形，见解析 (2) 【详解】（1）是等腰三角形 证明：矩形 由折叠知， 是等腰三角形； （2）设，则 由（1）知， 在中， 解得， 正方形的旋转问题 32．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形 ，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形 ，那么点的坐标是 . 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为， ∴点的坐标为， ∵， ∴每旋转八次，点的对应点循环出现一次， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， ∴点的坐标为， 故答案为：． 33．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)顺次连接，，，，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)能，． 【详解】（1）证明：连接 ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴； （2）解：能， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得：， 故当互相平分时，四边形为矩形， ∵互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 设，则，， 由（1）知， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 34．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在正方形中，将正方形的边绕点A顺时针旋转到，连接、，过点A作于F，交直线于P． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，其它条件不变，试探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)继续旋转线段，若旋转角，则线段之间的数量关系为 （直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 绕点A顺时针旋转到， ， ， ， ，， ，， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点A作于Q，则， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图，过点A作于Q，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形的变换——旋转，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 35．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且，我们把这种模型称为“半角模型”，旋转是解决此类模型的常用方法． (1)补全图形：将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到； (2)直接写出线段之间的数量关系 ． (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)证明见解析 (4) 【详解】（1）解：如图，补全图形如下： （2）解：结论是：； （3）解：理由如下：由旋转，可知： ， ∴点E、B、C共线， ， ． 在和中， ， ． ， ， ； （4）解：由（1）得，； ， ∵正方形的边长为4， ； 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 正方形的折叠问题 36．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，得折痕、，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 四边形是正方形， ， 根据折叠可得，， ， ， 即． 故选：A 37．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，正方形纸片的四个角都为，若该纸片沿折叠，则点D会与点B重合，已知点E为正方形的边上一点，连接，将三角形沿折叠，点D落在点处，作平分．若，则的度数为 ． 【答案】或/或 【详解】解：设， ∵正方形纸片的四个角都为，若该纸片沿折叠，则点D会与点B重合， ∴， ①如图1：当点在的下方时，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：； ②如图2：当点在的上方时，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 38．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠得到四边形，点A的对应点M恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 【答案】或 【详解】解：如图1，点M在边上时，连结，过点F作于点H， 四边形沿折叠得到四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， 四边形时矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， ， ， ； 如图2，点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L， 同理可得，， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ； 综上所述，线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确地分类及作出所需要的辅助线是解题的关键． 39．（23-24九年级上·山东东营·期末）如图，在边长为8的正方形纸片中，E是边上的一点，，连接，将正方形纸片折叠，使点D落在线段上的点G处，折痕为，则的长为 【答案】 【详解】解：∵四边形是边长为8的正方形纸片，， 由翻折可知： 在和中， 解得． 故答案为：． 正方形的最值问题 40．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图．正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以一边作正方形．设，点、与点的距离分别为，．则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：如图，连接、、， ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴ 当时，最小， ∴的最小值为， 故选：A． 41．（23-24九年级上·安徽徐州·期末）如图，点A是y轴正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：取中点M，连接 ，， ∵，，正方形， ∴，， 由勾股定理可得， ∵， 当O，M，C三点共线时，最大，且最大值为， 故答案为：. 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握相关知识是解题的关键． 42．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，记的中点为，连接， ∵， ∴， ∵正方形， ∴由勾股定理得，， 由题意知，，即， ∴线段长的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 43．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正方形中，，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一动点，为的中点，下列结论：①；②；③线段MN的最大值是；④线段MN的最小值是．其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】②③/③② 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 点，分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， ， 故①不符合题意； ， ， 故②符合题意； 连接， 是中点，是中点， 是的中位线， 当与重合时，的值最小，当与重合时最大， 正方形的边长是4，是等腰直角三角形， ， 的最小值是4，的最大值是， 的最小值是，的最大值是， 故④不符合题意，③符合题意， 其中正确的是②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查矩形的判定，三角形中位线定理，正方形的性质，关键是由正方形的性质推出四边形是矩形，由三角形中位线定理推出，明白当与重合时，的值最小，当与重合时最大． 44．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：由折叠的性质得，， 则当，即点B、P、F三点共线时，的最小， 此时，点P在对角线上， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， 故答案为：． 45．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，，对角线、交于点O，点E、F分别为边、上的动点（不与端点重合），且，连接、、，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在正方形中，对角线、交于点O， ，，， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 当时，取最小值， ，， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 46．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是AD边上的动点，连接CE，将CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF，则BF的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点F作直线于H， ∴， ∵将绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，BF的最小值为， 故答案为：． ．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过A作于K， 在菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，负值舍去， ∵G、H分别为、的中点， ∴， ∵垂线段最短， ∴当F和K重合时，最小，也最小， ∴的最小值为， 故选：D． 2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图所示，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转后到达的位置．延长交于点，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③若，则．其中不正确的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【详解】解：将绕点按顺时针方向旋转后得到， ，，，， 四边形为正方形， ，， ，， ，即， ，，， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， ， 故结论①②正确； 过点作于，如图， ，， ，， ，， ， 又，， ， ， 四边形是正方形， ， 又， ， ，即是中点， ． 故结论③正确； 综上所述，结论①②③正确；故不正确的是0个， 故选：D． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴，当共线时，有最大值， 连接与相交于点，如图， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，在一张菱形纸片中，，点E在边上(不与B、C重合)，将沿直线折叠得到，连接．以下选项中正确的是（    ） A． B． C．当平分时， D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：A.∵将沿直线折叠得到， ， 只有时，才成立， 故选项不正确； B.由折叠得：， 四边形是菱形， ，， ∴， ， ，， ， 故选项不正确； C．如图，由折叠得：，，   平分， ， 、分别平分、， ∵三角形三条内角平分线交于一点， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故选项正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形角平分线等，综合性较强，是中考数学常考题型． 5．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，，，是的中点，两边、分别交于点，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】中，，，是中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ①②正确，符合题意； ， ， ， ③正确，符合题意； 是等腰直角三角形，是的中点， ， 不是的中位线， ， 故④错误，不符合题意； 即正确的有①②③， 故选：A． 十一、填空题 6．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：∵四边形是矩形． ，， ， 由旋转性质，得：． ， ∵在矩形中，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴，即的度数为， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在矩形纸片中，，，点，分别是矩形的边，上的动点，将该纸片沿直线折叠，使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在点处，连接、、，与交于点．则当点与点重合时， ． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质可知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 当，重合时，如图： 设， 在中， ， ， ，即， ，，， ， ， ， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·四川德阳·期末）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直线的图象上，两条直角边所在直线分别与坐标轴相交于、两点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，当三角板绕点旋转时，的最小值为8，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E、F， ∵点A在直线的图象上， ∴点A在的角平分线上， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵的最小值为8， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·湖北孝感·期末）如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键． 10．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的点处．若，则 ． 【答案】/57度 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ． ． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·贵州黔南·期末）数学活动中，小伟同学利用一张正方形纸片作如下操作：①如图，先对折正方形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕和线段．若线段，则线段 ．    【答案】 【详解】解：取的中点G，连接，如图所示：    根据折叠可知：，，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 12．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，是菱形的对角线，，点是边上的动点，且，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接交于，以为邻边作平行四边形， ， ， 故的最小值为， 菱形，，， ， ， ，， 菱形， ， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，，E为边上一动点，以BE为边构造等边（点F位于下方），连接．①当时， °；  ②点E在运动的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接、相交于点，连接，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ，， ①是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ②，点在上运动， 当时，有最小值， 此时，， ， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，三角形外角性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转30°得，交AC于点E，分别交、于点D、F．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】菱形，理由见解析 【详解】解：四边形是菱形．理由如下： ，， ， 由题意可知， 旋转角为 ， ， ， 同理， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了旋转变换的性质，等角对等边的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，等腰三角形的性质，经过角度的计算得到相等的角是解题的关键． 15．（23-24九年级上·河南安阳·期末）给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．    (1)在你学过的四边形中，写出一种勾股四边形的名称________． (2)如图，将绕顶点B按顺时针方向旋转得到，连接，，，已知． ①直接写出的度数是________． ②判断四边形是否为勾股四边形，并说明理由． 【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可 (2)①；②四边形是勾股四边形，理由见解析 【详解】（1）解：正方形、矩形、直角梯形均可， 故答案为：正方形、矩形、直角梯形均可； （2）解：①由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； ②∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 即四边形是勾股四边形． 【点睛】本题考查旋转的性质、勾股定理、等边三角形的性质与判定、特殊四边形的性质，熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质与判定证得是解题的关键 16．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，对角线，交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于，于点，． (1)证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形； (2)试说明在旋转过程中，线段与总保持相等； (3)在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形可以是菱形．理由见详解，旋转角为 【详解】（1）证明：当时，， 又， 四边形为平行四边形． （2）证明：四边形为平行四边形， ． ． （3）四边形可以是菱形． 理由：如图，连接，    ∵四边形为平行四边形， ∴， 由（2）知，得， 与互相平分． 当时，四边形为菱形． 在中，， ，又， ， ， 绕点顺时针旋转时，四边形为菱形． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$