专题01 特殊平行四边形的判定与性质（十大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末好题汇编（北师大版）

专题01 特殊平行四边形的判定与性质 菱形的性质 1．（23-24九年级上·江西·期末）如图，E是菱形的边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24九年级上·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是 ． 5．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，菱形的边长是， 于点 E．若，则菱形的面积为 ． 菱形的证明 6．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：    甲：连接，作的中垂线交 、于E、F，则四边形是菱形． 乙：分别作与的平分线、，分别交于点E，交于点 F，则四边形是菱形． 则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（   ） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 7．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在 中，E、F、D分别是边上的点，且，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形，并写出证明过程． 8．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在 中， ，D、E分别是、的中点，连接，过点E作，交于点 F．求证：四边形是菱形．    9．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知：在 中， ，为底边上任意一点，过点分别作、的平行线交于，交于． (1)求四边形的周长； (2)位于的什么位置时，四边形为菱形？ 说明你的理由． 菱形的判定与性质的综合 10．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·广东佛山·期末）在四边形中，，，对角线交于点O，平分，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为 ． 13．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为 ．    14．（23-24九年级上·辽宁沈阳·单元测试）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．（23-24九年级上·山西大同·期末）综合与实践 问题情境：如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，交于点． 问题解决： (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)若，，平行四边形的面积为120，直接写出的长． 矩形的性质 16．（23-24九年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于，则点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·四川内江·期末）如图，点P是矩形的边上一动点，、长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线和的距离之和是（     ） A．26 B．12 C．24 D．不能确定 19．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 20．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）如图，是矩形的一条对角线，，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 （用α的代数式表示）． 21．（23-24九年级上·广西钦州·期末）如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 直角三角形斜边上的中线性质 22．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在和中，，，M是的中点，连接，，，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 24．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是（   ）    A． B． C． D． 25．（23-24九年级上·广东清远·期末）如图所示，为的中位线，点F 在 上，且平 分，， 若，则的长为 ． 矩形的证明 26．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是 ． 27．（23-24九年级上·四川内江·期末）如图，已知，在边的同侧分别作三个等腰直角三角形、、，且，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)直接写出当满足什么条件时，四边形是矩形？ 28．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，的对角线相交于点O，是等边三角形．求证：四边形是矩形． 29．（23-24九年级上·四川内江·期末）在中，于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若平分，且，，判断四边形的形状，并求其面积． 矩形的判定与性质的综合 30．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 31．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 32．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 33．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 34．（23-24九年级上辽宁锦州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 35．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在四边形中，，与相交于点O，且O是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求四边形的面积． 正方形的性质 36．（23-24九年级上·云南红河·期末）如图，在正方形外侧作等边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在正方形中，为边上的点，连接，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 38．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． 39．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，正方形的边在数轴上，数轴上的点表示的数为，正方形的面积为16．将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点、、、的对应点分别为、、、，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为，当时，数轴上点表示的数是    40．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，． （1）比较，的大小： ； （2）若，则的值为 ． 41．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积是 ，若以为边作等边，那么的度数是 42．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，正方形的边长为4，E，F是对角线上的两点，且，则四边形的面积是 ． 正方形的证明 43．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（   ） A．①表示有一组邻角相等 B．②表示有一组邻边相等 C．③表示对角线平分一组对角 D．④表示对角线互相垂直 44．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图所示，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于，连接，． (1)试确定四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明． 45．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 46．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图所示，在中，，平分，于，于，求证：四边形是正方形．                          正方形的判定与性质的综合 47．（23-24九年级上·广西玉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点固定在点处，转动直角三角形，若两条直角边分别与轴正半轴交于点，轴正半轴交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 48．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 49．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠，使点落在点处．连结，当为直角三角形时，线段的长是 ．    50．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ． 51．（23-24九年级上·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 52．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知中，，点D为边BC上一动点，四边形是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F， (1)判断BD与CG的数量关系，并证明； (2)求证：； (3)若，求AE的值． 53．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，正方形中，点是对角线上不与端点重合的一动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)试用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为，且，求正方形的面积． 1．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（    ）    A． B． C．2 D．3 2．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，在边长为5的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 3．（23-24九年级上·重庆梁平·期末）如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 4．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图（1），四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，三角形的面积与运动时间 （秒）的函数图象如图（2）所示，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．四边形周长为 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，且．过点A作于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 7．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，已知四边形是正方形，对角线、相交于，设、分别是、上的点，若，，则四边形的面积是 ． 8．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段 ． 9．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 10．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图， 在中， 是由绕点A顺时针旋转得到的，连接相交于点D． (1)求证： (2)当四边形为菱形时，求的长． 11．（23-24九年级上·广东清远·期末）如图，四边形是正方形，，按顺时针方向旋转一定角度后得到， 若． (1)旋转中心为 ；旋转角度为 ；_________； (2)指出与的关系如何？并说明理由． 12．（23-24九年级上·山东青岛·单元测试）如图，在中，点是的中点，点是线段延长线上一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，则在点E的运动过程中：①当当　　时，四边形是矩形；②当　　时，四边形是菱形． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 特殊平行四边形的判定与性质 菱形的性质 1．（23-24九年级上·江西·期末）如图，E是菱形的边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵是边的中点，， ∴是的中位线， ， ∴， ， 故选：B． 3．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，，则， 故①②正确； ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， 故③④正确， 综上，正确的有4个， 故选：D． 4．（23-24九年级上·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ． 作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，与交于点，此时的最小值，其值为． ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，菱形的边长是， 于点 E．若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：，， ∴在中，则， 菱形的边长是cm， 在中，， ， 菱形的面积为， 故答案为：． 菱形的证明 6．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：    甲：连接，作的中垂线交 、于E、F，则四边形是菱形． 乙：分别作与的平分线、，分别交于点E，交于点 F，则四边形是菱形． 则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（   ） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【答案】C 【详解】解：如图1： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故甲的作法正确； 如图2， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故乙的作法正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 7．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在 中，E、F、D分别是边上的点，且，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形，并写出证明过程． 【答案】添加的条件为：（答案不唯一），证明见解析 【详解】解∶添加的条件为∶（答案不唯一） 证明∶∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 8．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在 中， ，D、E分别是、的中点，连接，过点E作，交于点 F．求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【详解】证明∶∵D、E分别是、的中点，， ∴是的中位线， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ D是的中点， ∴ ∵， ∴． ∴四边形是菱形． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知：在 中， ，为底边上任意一点，过点分别作、的平行线交于，交于． (1)求四边形的周长； (2)位于的什么位置时，四边形为菱形？ 说明你的理由． 【答案】(1)8 (2)M 为的中点时，四边形为菱形．理由见解析 【详解】（1）∵，， 四边形是平行四边形，，． ， ， ． ，． 四边形的周长； （2）当点在的中点时，四边形是菱形， ∵点是的中点， ， ∵， ∴， ∴，， ∴ 又由（1）知四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 菱形的判定与性质的综合 10．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可得：在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 11．（23-24九年级上·广东佛山·期末）在四边形中，，，对角线交于点O，平分，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为 ． 【答案】12 【详解】解：作于R，于S，连接交于点 由题意知：, ∴四边形是平行四边形, ∵两个矩形等宽， ∴， ∵， ∴ ∴平行四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 13．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为 ．    【答案】4 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故答案为：4． 14．（23-24九年级上·辽宁沈阳·单元测试）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴． 15．（23-24九年级上·山西大同·期末）综合与实践 问题情境：如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，交于点． 问题解决： (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)若，，平行四边形的面积为120，直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)2.5 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 矩形的性质 16．（23-24九年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选: D. 17．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于，则点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于， ， 点表示， 点表示， 故选：D． 18．（23-24九年级上·四川内江·期末）如图，点P是矩形的边上一动点，、长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线和的距离之和是（     ） A．26 B．12 C．24 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是矩形， ，，，， ， ， ，， ，， ， ， ． 点到矩形的两条对角线和的距离之和是12． 故选：B． 19．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选B． 20．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）如图，是矩形的一条对角线，，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 （用α的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：如图，设与交于点， 由作图可得：平分，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（23-24九年级上·广西钦州·期末）如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】3 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴, 又 ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 直角三角形斜边上的中线性质 22．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在和中，，，M是的中点，连接，，，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过M作于E， ∵，，M是的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴的面积为， 故选：A． 23．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：连接， ，是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 24．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ， 是直角三角形， 地位于、两地的中点处， ， 故选：C 25．（23-24九年级上·广东清远·期末）如图所示，为的中位线，点F 在 上，且平 分，， 若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：为的中位线，， ，为的中点， 在中，为的中点，， ， ， 故答案为：． 矩形的证明 26．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴当时， 是为矩形， 故答案为∶ （答案不唯一）． 27．（23-24九年级上·四川内江·期末）如图，已知，在边的同侧分别作三个等腰直角三角形、、，且，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)直接写出当满足什么条件时，四边形是矩形？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当满足时，四边形是矩形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵、是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∵、是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：当满足时，四边形是矩形． 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的判定和矩形的判定定理是解题的关键． 28．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，的对角线相交于点O，是等边三角形．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵的对角线相交于点O， ∴， ∵是等边三角形． ∴， ∴， ∴是矩形． 29．（23-24九年级上·四川内江·期末）在中，于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若平分，且，，判断四边形的形状，并求其面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是矩形，32 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，即， ， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； ∵平分， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 又， ， ． 矩形的判定与性质的综合 30．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 31．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形． ， ，即， 故答案为：． 32．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 33．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，． 34．（23-24九年级上辽宁锦州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为2 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）四边形是菱形， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理．熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 35．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在四边形中，，与相交于点O，且O是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ． 又，， ， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ，． 是等边三角形，且， ， ， 是矩形， ，， ， 四边形的面积． 正方形的性质 36．（23-24九年级上·云南红河·期末）如图，在正方形外侧作等边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是正方形， ，， 又是正三角形， ，， 是等腰三角形，， ． 故选：C． 37．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在正方形中，为边上的点，连接，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 38．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得出：， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中， 故答案为： 39．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，正方形的边在数轴上，数轴上的点表示的数为，正方形的面积为16．将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点、、、的对应点分别为、、、，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为，当时，数轴上点表示的数是    【答案】2或 【详解】解：正方形的面积为16， 正方形的边长为4， ， ①当正方形沿数轴向右移动时，如图，   移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为，且， 即， ， ， 数轴上的点表示的数为， ， ， 此时数轴上点表示的数是2； ②当正方形沿数轴向左移动时，如图，    同理可得， ， 数轴上的点表示的数为， ， ， 此时数轴上点表示的数是； 综上，数轴上点表示的数是2或； 故答案为：2或． 40．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，． （1）比较，的大小： ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：（1）∵为正方形， ∴，， ∵为正方形， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）作交的延长线于点Q，则， 设， ，则，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 41．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积是 ，若以为边作等边，那么的度数是 【答案】 8 或 【详解】解：根据正方形，得到， 故答案为：8； 当点E在正方形的外部时， ∵正方形，等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴ ， 当点E在正方形的内部时， ∵正方形，等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴ ， 故答案为：或． 42．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，正方形的边长为4，E，F是对角线上的两点，且，则四边形的面积是 ． 【答案】8 【详解】解：正方形的边长为4， ， 由勾股定理求得， ， ； ， ； 同理得：的面积相等且等于面积的，即为2 四边形的面积为：； 故答案为：8． 正方形的证明 43．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（   ） A．①表示有一组邻角相等 B．②表示有一组邻边相等 C．③表示对角线平分一组对角 D．④表示对角线互相垂直 【答案】D 【详解】解：A、有一组邻角相等，则平行四边形为矩形是正确的，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由选项A得：， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 故本选项不符合题意； B、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形这一判定定理得该选项正确，不符合题意； C、该选项正确，理由如下： 如图，∵矩形， ∴， 由题意得平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故本选项不符合题意； D、菱形本身对角线就互相垂直，故该选项错误，符合题意， 故选：D． 44．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图所示，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于，连接，． (1)试确定四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）解：四边形是矩形理由如下， ∵，为的中点， ，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ．，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是矩形； （2）解：当时，四边形为正方形， 证明：∵四边形为平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． 45．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 【详解】（1）证明：， ，，且， ， ， 是的中线， ， ，且 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形； （2）解：当时，四边形是正方形， 理由如下：，是中线， ，且四边形是菱形， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 46．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图所示，在中，，平分，于，于，求证：四边形是正方形．                          【答案】证明见解析 【详解】证明：平分，，， ，， 又， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形． 正方形的判定与性质的综合 47．（23-24九年级上·广西玉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点固定在点处，转动直角三角形，若两条直角边分别与轴正半轴交于点，轴正半轴交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：作轴于，轴于，则四边形是矩形， ∵， ∴ ∴四边形是正方形， ∴，， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选． 48．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 【答案】 【详解】解：如图，作，于，连接， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 49．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠，使点落在点处．连结，当为直角三角形时，线段的长是 ．    【答案】或 【详解】解：如图，当为直角三角形，且时，    ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴、、在同一直线上， 由勾股定理可得：， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为直角三角形，且时，    ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 由折叠的性质可得：， ∴四边形是正方形， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 50．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ． 【答案】 【详解】解：过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S， ∵P是正方形对角线上的一点， ∴，， ∴四边形、都是矩形，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵直线m，n经过点P且， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形的面积正方形的面积 ∴， 同理可证，是正方形，， 则四边形的面积正方形的面积，， ∴四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即四边形与四边形的面积之和 故答案为： 51．（23-24九年级上·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：如图1．连接，由折叠性质可知， ，， ，， ， ∵当 P 为 的中点 ∴ ∴ ， ， ， 作于T，设，则，， 在中由勾股定理得， 解得：， ； （2）解：如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形， ， ∴，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 52．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知中，，点D为边BC上一动点，四边形是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F， (1)判断BD与CG的数量关系，并证明； (2)求证：； (3)若，求AE的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解： 证明：∵四边形是正方形，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． ∴ （2）证明：如图，连接GF，∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴在中，， ∴ （3）连接DG， ∵， ∴在中， ， ∵，∴， 由（1）知， 由（2）知，在中，， ∵四边形是正方形， ∴， 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转模型全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 53．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，正方形中，点是对角线上不与端点重合的一动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)试用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为，且，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 即， 又点是正方形对角线上的一点，平分， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形． （2）解：，理由如下： 矩形为正方形， ，． 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ． 在中， ． （3）解：如图所示，过作于点，过作于点， ∵正方形的面积为， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ 在中， ∴正方形的面积为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等． 1．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∵矩形沿折叠，点的对应点正好落在的中点处， ∴，， 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，在边长为5的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，此时，    ∴，，，， ∴，，，共线， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设：，则，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，正方形的性质，根据题目意思正确作出辅助线是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·重庆梁平·期末）如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，． ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值， ， ， 的最小值为2.4， 故选：A． 4．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图（1），四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，三角形的面积与运动时间 （秒）的函数图象如图（2）所示，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．四边形周长为 【答案】C 【详解】解：当时，点到达点处，即，故A正确． 如图，过点作于点，则四边形为矩形， ， ， ， 当时，点到达点处， ， ，故B正确． 四边形的面积：，故C错误， 在中，， 又∵， ∴， ∴四边形周长为：，故D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点图象问题，矩形的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系是解题的关键． 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，且．过点A作于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，， ， ， ， 在中，， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 7．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，已知四边形是正方形，对角线、相交于，设、分别是、上的点，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】8 【详解】解：四边形是正方形，对角线、相交于， ，，且，， ，， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的面积是8． 故答案为：8 8．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段 ． 【答案】 【详解】解：连接 分别是的中点 为的中位线， 是矩形 ， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 10．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图， 在中， 是由绕点A顺时针旋转得到的，连接相交于点D． (1)求证： (2)当四边形为菱形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）∵是由绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握菱形和旋转的性质是解题关键． 11．（23-24九年级上·广东清远·期末）如图，四边形是正方形，，按顺时针方向旋转一定角度后得到， 若． (1)旋转中心为 ；旋转角度为 ；_________； (2)指出与的关系如何？并说明理由． 【答案】(1)点A；；3 (2) 【详解】（1）解：旋转中心为点A，旋转角为； ∵四边形是正方形， ∴， ∵按顺时针方向旋转一定角度后得到， ∴， ∴； 故答案为：点A；；3； （2）解：的关系为：．理由如下： 延长交于点G， ∵按顺时针方向旋转一定角度后得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的关系为：． 12．（23-24九年级上·山东青岛·单元测试）如图，在中，点是的中点，点是线段延长线上一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，则在点E的运动过程中：①当当　　时，四边形是矩形；②当　　时，四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【详解】（1）证明：， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：①． 四边形是矩形， ， ， ， ， ，即当时，四边形是矩形； ②． 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ，即当时，四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形、矩形和菱形的判定与性质是解决问题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$