专题02 勾股定理中的折叠、路径及台风问题（五大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题02 勾股定理中的折叠、路径及台风问题 以长方体为背景的最短路径问题 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）一只蚂蚁从棱长为a的正方体的一个顶点A出发，沿着表面趴到棱的中点E的最短路程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 3．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ． 4．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 5．（23-24八年级上·重庆黔江·期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 6．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·河南郑州·期末）固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（    ） A． B． C． D． 以圆柱为背景的最短路径问题 8．（23-24八年级上·山东临沂·期末）我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是 尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺） 9．（2023·陕西西安·二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．    10．（23-24八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 11．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（   ）    A． B． C． D． 将军饮马与最短路径问题 12．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米， (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度． 13．（23-24八年级上·陕西西安·期末）要在街道旁修建一个奶站，向居民区、提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为轴，测得点的坐标为，点的坐标为，则从、两点到奶站距离之和的最小值是 ． 14．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，牧童在河边A处放牛，家在河边B处，时近傍晚，牧童驱赶牛群先到河边饮水，然后在天黑前赶回家，已知点A到河边C的距离为500m，点B到河边D的距离为700m，且CD＝500m． (1)请在图中画出牧童回家的最短路线； (2)求出牧童回家最短路线的长度． 15．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，A、B两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 16．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图所示，两个村子A，B在一条河的同侧，A，B两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．现要在河边上建造一水厂，向A，B两村送水，铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在 上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用W． 折叠问题 17．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于 ． 18．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，D，E分别是线段和线段上的点，把沿着直线折叠，若点B恰好与点A重合，求此时线段的长和的面积． 19．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 21．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处． (1)求证：； (2)设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由． 勾股定理的应用(是否受台风影响问题) 22．（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（）方向以的速度向D移动在距离B地的正北方有一A地，已知A地到的距离，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？ 23．（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． (1)山地C距离公路的垂直距离为多少米? (2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 24．（23-24八年级上·山东德州·期末）吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点处，为附近的一条街道，已知点与直线上两点、的距离分别为和，，若吊车周围以内会受噪声影响． (1)求的度数； (2)街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说明理由． 25．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时．    (1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； (2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间． 26．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且． (1)求两村的距离； (2)为了安全起见，爆破点周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁? 请说明理由． 27．（23-24八年级上·山西临汾·期末）2023年7月5号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，台风中心沿监测点与监测点所在的直线由西向东运动，已知点为一大型农场，在处测得农场在北偏东方向上，且，相距，在处测得农场在北偏西方向上，且，相距． (1)求监测点与监测点之间的距离． (2)农场会受此次台风的影响吗？说明理由． 1．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ． 2．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 4．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·全国·期末）如图，一棱长为的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形，其边长都是1cm．假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从底面A处沿表面爬行至侧面的B处，最少要用时（    ） A．3.5s B． C．2s D．2.5s 6．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在长方形中，，，P是射线上一动点，l为长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在l上时，的长为多少？ 7．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． (1)燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． (2)若测得A，B两镇的距离为，又测得A，B两镇到公路l的距离分别为和，求所铺设管道的最短长度． 8．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一条河流的段长为，在B点的正北方处有一村正A，在D点的正南方处有一村庄E，计划在上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求的最小值为___________； (3)结合（1）（2）问，请求出下列代数式的最小值： ①的最小值； ②的最小值． 9．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，在长方形中，，． (1)求对角线的长； (2)点E是线段上的一点，把沿着直线折叠点D恰好落在线段上，点F重合，求线段的长． 10．（23-24八年级上·重庆北碚·期末）如图，某海港的正东方向海里处有一海岛，气象站发现在海岛的正南方向海里的处有一台风中心，测得它正以海里/小时的速度沿方向向海港运动，以台风中心为圆心，周围海里以内为受影响区域． (1)通过计算说明海岛会受台风影响吗？ (2)求出台风中心同时影响海港和海岛的时长． 11．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为，A，B两岛的距离为． (1)求出B，C两岛的距离； (2)在岛屿B产生了台风，风力影响半径为（即以台风中心B为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理中的折叠、路径及台风问题 以长方体为背景的最短路径问题 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）一只蚂蚁从棱长为a的正方体的一个顶点A出发，沿着表面趴到棱的中点E的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， 如图， 由题意得：． 如图， 由题意得：． 综上可知，沿着表面趴到棱的中点E的最短路程为， 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 【答案】26 【详解】解：依题意，如图， 根据题意可得：展开图中的，． 在中，， ∴， 即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是． 故答案为：26． 3．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ． 【答案】 【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 由题意得， ∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ∴； 把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 由题意得 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ； 把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 由题意得 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 【答案】 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴； 故答案为： 5．（23-24八年级上·重庆黔江·期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 【答案】10 【详解】解：如图1， ，，， ， ； 如图2， ，，，， ， ， ， 蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为． 故答案为：10． 6．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ， ． 故选C． 7．（23-24八年级上·河南郑州·期末）固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 正方体的棱长为4， ，， 在中，， 在中，， ． 故选：A． 以圆柱为背景的最短路径问题 8．（23-24八年级上·山东临沂·期末）我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是 尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺） 【答案】15 【详解】解：如图， 在直角三角形中， ∵尺，尺， ∴尺， 即这根藤条的长度是15尺． 故答案为：15 9．（2023·陕西西安·二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．    【答案】 【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图， ∵高为，底面周长为， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是， 故答案为：．    10．（23-24八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故选：A． 11．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作点关于右侧管口的对称点，连接，    由题意得：，，， ∴， ∵钢管横截面的周长为， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是． 故选：． 将军饮马与最短路径问题 12．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米， (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度． 【答案】(1)475米 (2)1000米，米 【详解】（1）解：如图1， 此时AQ＝BQ． 设CQ＝x，则DQ＝800﹣x， ∴， 解得x＝475， 即CQ的长为475米； （2）解：如图2， 作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则AP＝P， AP+BP＝P+BP， PA+PB的最小值为=1000米． ∵， ∴， ∴， ∴CP＝＝＝（米）， 即CP的长度为米． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，作图﹣应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出Q、P的位置是本题的关键． 13．（23-24八年级上·陕西西安·期末）要在街道旁修建一个奶站，向居民区、提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为轴，测得点的坐标为，点的坐标为，则从、两点到奶站距离之和的最小值是 ． 【答案】 【详解】作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接， ∵， ∴，此时点到、的距离最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到、的距离最小值为， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，牧童在河边A处放牛，家在河边B处，时近傍晚，牧童驱赶牛群先到河边饮水，然后在天黑前赶回家，已知点A到河边C的距离为500m，点B到河边D的距离为700m，且CD＝500m． (1)请在图中画出牧童回家的最短路线； (2)求出牧童回家最短路线的长度． 【答案】(1)见解析 (2)牧童回家最短路线的长度为1300 m 【详解】（1）作A关于直线CD的对称点A'，连接A' B交CD于P点，即为所求作的点． （2）由作图可得最短路程为A' B的距离，过A'作A' F⊥BD的延长线于F， 则DF= A'C= AC = 500m， A'F= CD = 500m， BF= 700 + 500 = 1200m， 根据勾股定理可得， A'B=( m)． 【点睛】此题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置是关键综合运用勾股定理的知识． 15．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，A、B两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 【答案】见解析,总费用为78万元 【详解】解：作点A关于的对称点，连接与交于点M，过点作交延长线于点K，      ∴千米，， ∴， 即的最小值为的长，此时铺设水管的费用最节省， ∵， ∴， 由平行线间距离处处相等可得： 千米，千米， ∴千米， ∴千米， ∴此时总费用为万元． 16．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图所示，两个村子A，B在一条河的同侧，A，B两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．现要在河边上建造一水厂，向A，B两村送水，铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在 上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用W． 【答案】作图见解析，最省的铺设水管的费用元 【详解】解：如图所示，作出点B关于的对称点，连接交于点O，连接，点O就是建水厂的位置，过点作交延长线于点， ∵，，，点B关于的对称点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 同理得， ∴， ∴， 铺设水管长度为：， ∵铺设水管的工程费用为每千米15000元， ∴铺设水管的总费用为：元． 折叠问题 17．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于 ． 【答案】 【详解】解：， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，D，E分别是线段和线段上的点，把沿着直线折叠，若点B恰好与点A重合，求此时线段的长和的面积． 【答案】的长为，的面积为． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， 在中，，，， 设，则 在中，根据勾股定理得 ， 即， 在中，根据勾股定理得 （负值已舍去） ． 19．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 20．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 21．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处． (1)求证：； (2)设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）证明：由折叠的性质 ，得，， 在长方形纸片中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，之间的关系是．理由如下： 由（1）知，由折叠的性质， 得，，． 在中，， 所以，所以． 勾股定理的应用(是否受台风影响问题) 22．（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（）方向以的速度向D移动在距离B地的正北方有一A地，已知A地到的距离，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？ 【答案】小时 【详解】解：在中，根据勾股定理， （） 则台风中心经过小时从B点移到D点 23．（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． (1)山地C距离公路的垂直距离为多少米? (2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】(1)山地C距离公路的垂直距离为米 (2)需要封锁的公路长为400米 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，且， 如图1，过点C作于点D， （米） 答：山地C距离公路的垂直距离为米． （2）公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图2，过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则米，， 由（1）可知，米， ∵480米米， ∴有危险需要暂时封锁， 在中，由勾股定理得： （米） ∴（米）， 即需要封锁的公路长为400米． 24．（23-24八年级上·山东德州·期末）吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点处，为附近的一条街道，已知点与直线上两点、的距离分别为和，，若吊车周围以内会受噪声影响． (1)求的度数； (2)街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说明理由． 【答案】(1) (2)会受到影响，会影响位于吊车垂直位置左右街道上的居民，理由见解析 【详解】（1）解：，，， ，， 是直角三角形， ； （2）街道上的居民会受到噪声的影响， 理由如下：如图，过点作于点， 由（1）得， ， ， 解得：， 吊车周围以内会受到噪声的影响， 街道上的居民会受到噪声的影响． 当，时，此范围内的居民会受影响． ， ， 即会影响位于吊车垂直位置左右街道上的居民，即范围内的居民会受影响．（说法合理即可） 25．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时．    (1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； (2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为． (2)卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度． ∴的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离．    ∵，， ∴． 答：卡车对学校的噪声影响最大时，卡车与学校的距离为． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为．    26．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且． (1)求两村的距离； (2)为了安全起见，爆破点周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁? 请说明理由． 【答案】(1)米 (2)没有危险不需要封锁，理由见解析 【详解】（1）解：处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且， ， 答：两村的距离为米； （2）解：没有危险不需要封锁， 理由如下： 过点作，如图所示： 利用面积相等得到，即，解得， 爆破点周围半径750米范围内不得进入，， 在进行爆破时，公路段没有危险不需要封锁． 27．（23-24八年级上·山西临汾·期末）2023年7月5号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，台风中心沿监测点与监测点所在的直线由西向东运动，已知点为一大型农场，在处测得农场在北偏东方向上，且，相距，在处测得农场在北偏西方向上，且，相距． (1)求监测点与监测点之间的距离． (2)农场会受此次台风的影响吗？说明理由． 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为． (2)农场会受此次台风的影响．理由见解析 【详解】（1）解：，， ， 在中， ∴， 答：监测点A与监测点B之间的距离为． （2）解：过点作于点， ∵， 又 ∴， 解得：． 因此，农场会受此次台风的影响． 1．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ． 【答案】 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度， ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：C． 3．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 【答案】10 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米），米， 最短路径为：（米）． 故答案为：10． 4．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接， ，， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ． 故选：A． 5．（23-24八年级上·全国·期末）如图，一棱长为的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形，其边长都是1cm．假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从底面A处沿表面爬行至侧面的B处，最少要用时（    ） A．3.5s B． C．2s D．2.5s 【答案】D 【详解】解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面右面由勾股定理得； （2）展开前面上面由勾股定理得； 所以最短路径长为，用时最少：秒． 故选：D． 6．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在长方形中，，，P是射线上一动点，l为长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在l上时，的长为多少？ 【答案】 【详解】解：设直线l分别与交于E、F， ∵l为长方形的一条对称轴， ∴；，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 7．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． (1)燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． (2)若测得A，B两镇的距离为，又测得A，B两镇到公路l的距离分别为和，求所铺设管道的最短长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P， 则点P即为所求． 沿线段，铺设管道，管道总长度最短． （2）解：设交直线l于点E，过点B作直线l的垂线，交直线l于点F，过点作于点C，过点A作于点D， 四边形为矩形，四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 所铺设管道的最短长度为． 8．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一条河流的段长为，在B点的正北方处有一村正A，在D点的正南方处有一村庄E，计划在上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求的最小值为___________； (3)结合（1）（2）问，请求出下列代数式的最小值： ①的最小值； ②的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①25；② 【详解】（1）解：如图，点即为所作： 根据两点之间线段最短可知，连接交于点C，点C即为所求； （2）解：如图所示，过点作，交延长线与点，连接交于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知的最小值为， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：①如图所示，，过点作，交延长线与点，连接交于， 设则， 同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知的最小值为， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴， ∴的最小值为； ②如图所示，，过点作，交延长线与点，连接交于， 设则， 同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知的最小值为， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴， ∴的最小值为； ∵， ∴的最小值为． 9．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，在长方形中，，． (1)求对角线的长； (2)点E是线段上的一点，把沿着直线折叠点D恰好落在线段上，点F重合，求线段的长． 【答案】(1)15 (2)4 【详解】（1）解：由题意可知：，， 在中，； （2）由折叠可知：，，． 设，则，． 在中，，则，解得：． 即：． 10．（23-24八年级上·重庆北碚·期末）如图，某海港的正东方向海里处有一海岛，气象站发现在海岛的正南方向海里的处有一台风中心，测得它正以海里/小时的速度沿方向向海港运动，以台风中心为圆心，周围海里以内为受影响区域． (1)通过计算说明海岛会受台风影响吗？ (2)求出台风中心同时影响海港和海岛的时长． 【答案】(1)海岛会受台风影响理由见解析 (2)小时． 【详解】（1）解：港受台风影响， 过点作， ∵ ∴， ，， ∴； 是直角三角形， ， ， 海里， ，以台风中心为圆心周围海里以内为受影响区域， 海岛受台风影响； （2）解：∵ ∴ ∴当海里时，台风中心正好开始同时影响海港和海岛， 当海里时，台风中心正好结束同时影响海港和海岛， ∴海里 海里， 海里， 台风的速度为海里/小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 11．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为，A，B两岛的距离为． (1)求出B，C两岛的距离； (2)在岛屿B产生了台风，风力影响半径为（即以台风中心B为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点C作于点D， 由题意可得：， ， ， 在中， ， 由勾股定理得：， ， 解得： 在中， ， 由勾股定理得：， 答：B，C两岛的距离为； （2）解：会受影响， 以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F， 则， 在中， 由勾股定理，得， ， ， 答：台风影响岛屿C持续时间为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$