专题01 勾股定理及其逆定理（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题01 勾股定理及其逆定理 勾股树问题 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为正整数， ∴为偶数， 设其股是，则弦为， 由勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：A． 2．（23-24八年级上·广东广州·期末）下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15 【答案】D 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，不符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）在学习《直角三角形》这一章时，爱动脑筋的小明同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．按照这个规律，当时，b的值是（    ） a 3 5 7 9 11 … b 4 12 24 40 60 … c 5 13 25 41 61 … A．611 B．612 C．613 D．614 【答案】B 【详解】解：由表格中的数据得：，， ∴， ∴当时，则， 解得：， 故选：B 4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 【答案】 【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：， 即， ∴ 所以第5个勾股数组为， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 【答案】见详解 【详解】解：n为整数（）， a，b，c为整数， ， ， ， ， ， a，b，c为勾股数． 利用勾股定理求长度 6．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图，中，，于点D，，，则的长为（　　） A．10 B． C． D．5 【答案】B 【详解】解：∵， ，， ∴， ∵于点， ∵， ∴， 故选B． 7．（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得： ， ， ∴， 解得：， 故选：D． 8．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）如图，两个大小、形状均相同的和拼在一起，其中点A与点重合，点落在边上，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得与全等且均为等腰直角三角形， ， ， ， 在中， ∵， 是直角三角形， ． 故选：A． 9．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，延长到C，使分别过点C、E 作、的垂线，两线相交于点 D，连接．若，，则的长是（      ） A．5 B．7 C． D．无法确定 【答案】C 【详解】如图, ∵,， ∴. 在与中, ， ∴, ∴, , ∴在直角中，由勾股定理得 则. 在等腰直角中，， 故选: C. 10．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条的长为 米． 【答案】 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在中，于，，，求的长．    【答案】 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴的长为． 利用勾股定理求面积 12．（23-24八年级上·河南许昌·期末）如图，，，是边上的中线，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 是边上的中线， ， 的面积， 故选：A． 13．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【详解】解：由题意可知：，，，． 如图，连接， 在直角和中，， 即， ，， ． 故选：B． 14．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，是边 上的中线，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边 上的中线，则的面积是， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中，连接，， 的面积是 的面积的2倍，，求的长．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解:∵, , ∴ ∵的面积是面积的2倍, ，解得：． 16．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：   (1)的长； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 赵爽弦图 17．（23-24八年级上·云南大理·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】解：有图形可得：个全等的直角三角形的面积=大正方形的面积中间小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 18．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图形可得，，，故正确； ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴，故错误； 故选：． 19．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积 【答案】21 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：21 20．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，由题意得， ∴（负值已舍）， 如图，，设，，则， 由题意得， ∴，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 解得， 如图，，设点C到的距离为， ∴，即， ∴， ∴点C到的距离为， 故答案为：． 判断直角三角形 21．（23-24八年级·广西南宁·期末）三角形的三边长为a，b，c，且满足，则这个三角形是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【详解】解：， ， ， 这个三角形是直角三角形． 故选：C． 22．（23-24八年级上·山东青岛·期末）设的三边长分别为a，b，c，满足下列条件的，不是直角三角形的是（  ） A． B． C．a，b，c的值分别为8，40，41 D． 【答案】C 【详解】解：A：，即，此时是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， 此时是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，此时不是直角三角形，故本选项符合题意； D、设，∵， 此时是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C 23．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：根据勾股定理，，，， ∵， ∴是直角三角形， ∵点D为的中点， ∴． 故答案为：． 24．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在如图的方格中，画一个格点三角形（三个顶点都在小正方形的顶点上），使它的三条边长分别，和5，并判断其形状． 【答案】图见解析，直角三角形 【详解】如图所示， ，，， ，， ， ∴为直角三角形． 25．（23-24八年级上·江西南昌·期末）如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点，，，在格点上 (1)四边形的周长为________； (2)求证：是直角． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1），，， ∴四边形的周长为； （2）连接， ∵，，     ∴ ∴是直角． 利用勾股定理的逆定理求解 26．（23-24八年级上·江西吉安·期末）在中， ，则 的面积为    （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 27．（23-24八年级上·陕西延安·期末）如图，已知，，，垂足为C．，，求的度数． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴是直角三角形，且； ∴． 28．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知四边形中，，，，，，，则四边形的面积等于 ． 【答案】36 【详解】解：连接， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为 ． 故答案为：36． 29．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，已知在中，，求的面积． 【答案】54 【详解】解：∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴的面积． 30．（23-24八年级上·江西九江·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 【答案】． 【详解】解：，， ， 设，则， 又， ， 或（舍去）， ，， 又，， ，， ， 是直角三角形， ． 勾股定理的应用(梯子问题及旗杆问题) 31．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离与梯子底端B向外移的距离相等时，的长是 ． 【答案】 【详解】解： 设 解得： 故答案为：． 32．（23-24八年级上·河南周口·期末）《九章算术》书上一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选：A． 33．（23-24八年级上·山西临汾·期末）如图，一架m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端B到墙底C的距离为1m． (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度； (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑m，那么梯子底端B外移m吗？ 【答案】(1)此时梯子的顶端A距地面的高度为m (2)梯子底端B外移距离不是m 【详解】（1）解：∵mm， ∴ ∴此时梯子的顶端A距地面的高度为m （2）解：由题意可知梯子的顶端A沿墙下滑m后， ∴m ∴ ∴梯子底端B外移距离不是m 34．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面l于点D，在主梁上的点 A 拉两条斜拉索，，经测量， ，求主梁上的点 A 到桥面l的高度． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ． ∴主梁上的点A 到桥面l的高度． 35．（23-24八年级上·广东江门·期末）数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．求水的深度和这根芦苇的长度． 【答案】水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺． 【详解】解：如图，依题意得，，． ∵ G为的中点， 设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为尺． 在中，根据勾股定理可得， 即 解得， ． 答：水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺． 36．（23-24八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）． 【答案】秋千的起始位置距离地面的高度为1米 【详解】解：作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米，米， 在中，米， ∴米， ∴米， 答：秋千的起始位置距离地面的高度为1米． 勾股定理的应用(航海问题及超速问题) 37．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距 海里． 【答案】30 【详解】解：如图，由已知得，海里，海里， 在中，由题意得，， 由勾股定理得， 即， （海里）． 故答案为：30． 38．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东方向，航行50海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东方向上．则 ；轮船到灯塔P的距离 海里．（结果保留根号） 【答案】 /45度 【详解】解：根据题意得：，， ∴； 如图，过点B作于点C，则， ∴， ∴， ∴， ∵，海里， ∴海里， ∴海里， 故答案为：；． 39．（23-24八年级上·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，新路长度是80米 (2)该车没有超速，见解析 【详解】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． （2）解：该车没有超速．     理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 40．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子的长为，此人把绳子收紧后船移动到点 D 的位置(即绳子的长为9米)，问船向岸边移动了多少米?(结果保留根号) 【答案】 【详解】解：在中： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：船向岸边移动了米． 41．（23-24八年级上·云南德宏·期末）某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 【答案】此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB是40海里 【详解】解：由题意，得： ，，（海里），（海里）， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∴（海里）， 答：此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离是40海里． 42．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，一辆汽车在一条限速的笔直的公路上沿直线匀速行驶，某一时刻汽车行驶到车速检测仪A正前方处的点C处，后汽车行驶到距离车速检测仪A点的点B处． (1)求B、C间的距离； (2)这辆汽车超速了吗?请说明理由． 【答案】(1)B、C间的距离为 (2)这辆汽车未超速，理由见解析 【详解】（1）解：在中，由，，且为斜边， 根据勾股定理可得． 答：，间的距离为． （2）解：这辆小汽车没有超速，理由如下： ， 而， ， ∴这辆小汽车没有超速． 1．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，，，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， ∵正方形，的面积分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴正方形的面积， 故选：． 2．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）已知的三边长分别为3、4、5，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，而另一个不是等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ）条． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：如图所示：，，， ∵， ∴是直角三角形，． ①当，符合题意； ②，符合题意； ③，符合题意； ④，符合题意； ⑤，符合题意； ⑥， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴分开的两个三角形都是等腰三角形不符合题意， ∴前五种都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 3．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 【答案】A 【详解】解：由题意得，，， ，， ， ， 分两种情况： 如图1， ， 乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东， 如图2， ， 乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西 ， 综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东或北偏西， 故选：A． 5．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）在中，，、、的对边分别为a、b、c，若，的面积为54，则的周长为 ． 【答案】36 【详解】在中，，， 为直角三角形 在中，设a，b分别为，， 的面积为54， ， 解得：， ，， 在中，由勾股定理得， 的周长为， 故答案为：36． 6．（23-24八年级上·重庆大足·期末）一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，以为边在第二象限内作等边．则点C的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：当时，， ， 当时，， ， ，， ， 作点关于原点的对称点， 则，， 是等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ； 故答案为：． 7．（23-24八年级上·天津西青·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点都在网格的格点上，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴根据勾股定理可得 ， ∵在中， ， 又， ， 同理得， ． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，边上的中线，的长度为 ． 【答案】 【详解】解：延长到E使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ； ∴ 故答案为：． 9．（23-24八年级上·安徽黄山·期末）程大位，明代珠算大师，南直隶徽州府休宁人. 他的著作《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它向前推送尺（水平距离）时，秋千踏板离地就和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长?”即如图，尺，尺，尺，求的长． 【答案】尺 【详解】解：设尺， 根据题意知，尺， 尺. 尺， 尺，      ， ，即           解得尺.            答：绳索长为尺． 10．（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，，于点D，平 分． (1) ； (2)求的度数； (3)过点B作于点F，交于点G．若，求△ABG的面积． 【答案】(1)60 (2) (3) 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平 分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 【答案】(1)．理由见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：． 理由如下： 如图， ，， ． 又， ． ，， ． 在和中， ， ． ，． 又， ； （2）证明：， ， ， ． 12．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为，若，，，． (1)试说明为直角； (2)记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)66 【详解】（1）解： ， ， ，， ∴， ，，， ， 是直角三角形，且为直角； （2）解：，， ，， ， ，， ， 故答案为：66． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理及其逆定理 勾股树问题 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东广州·期末）下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15 3．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）在学习《直角三角形》这一章时，爱动脑筋的小明同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．按照这个规律，当时，b的值是（    ） a 3 5 7 9 11 … b 4 12 24 40 60 … c 5 13 25 41 61 … A．611 B．612 C．613 D．614 4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 利用勾股定理求长度 6．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图，中，，于点D，，，则的长为（　　） A．10 B． C． D．5 7．（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）如图，两个大小、形状均相同的和拼在一起，其中点A与点重合，点落在边上，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，延长到C，使分别过点C、E 作、的垂线，两线相交于点 D，连接．若，，则的长是（      ） A．5 B．7 C． D．无法确定 10．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条的长为 米． 11．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在中，于，，，求的长．    利用勾股定理求面积 12．（23-24八年级上·河南许昌·期末）如图，，，是边上的中线，则的面积是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 14．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，是边 上的中线，则的面积是 ． 15．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中，连接，， 的面积是 的面积的2倍，，求的长．（结果保留根号） 16．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：   (1)的长； (2)四边形的面积． 赵爽弦图 17．（23-24八年级上·云南大理·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 18．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（       ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积 20．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ． 判断直角三角形 21．（23-24八年级·广西南宁·期末）三角形的三边长为a，b，c，且满足，则这个三角形是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 22．（23-24八年级上·山东青岛·期末）设的三边长分别为a，b，c，满足下列条件的，不是直角三角形的是（  ） A． B． C．a，b，c的值分别为8，40，41 D． 23．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为 ． 24．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在如图的方格中，画一个格点三角形（三个顶点都在小正方形的顶点上），使它的三条边长分别，和5，并判断其形状． 25．（23-24八年级上·江西南昌·期末）如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点，，，在格点上 (1)四边形的周长为________； (2)求证：是直角． 利用勾股定理的逆定理求解 26．（23-24八年级上·江西吉安·期末）在中， ，则 的面积为    （   ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级上·陕西延安·期末）如图，已知，，，垂足为C．，，求的度数． 28．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知四边形中，，，，，，，则四边形的面积等于 ． 29．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，已知在中，，求的面积． 30．（23-24八年级上·江西九江·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 勾股定理的应用(梯子问题及旗杆问题) 31．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离与梯子底端B向外移的距离相等时，的长是 ． 32．（23-24八年级上·河南周口·期末）《九章算术》书上一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级上·山西临汾·期末）如图，一架m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端B到墙底C的距离为1m． (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度； (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑m，那么梯子底端B外移m吗？ 34．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面l于点D，在主梁上的点 A 拉两条斜拉索，，经测量， ，求主梁上的点 A 到桥面l的高度． 35．（23-24八年级上·广东江门·期末）数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．求水的深度和这根芦苇的长度． 36．（23-24八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）． 勾股定理的应用(航海问题及超速问题) 37．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距 海里． 38．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东方向，航行50海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东方向上．则 ；轮船到灯塔P的距离 海里．（结果保留根号） 39．（23-24八年级上·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 40．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子的长为，此人把绳子收紧后船移动到点 D 的位置(即绳子的长为9米)，问船向岸边移动了多少米?(结果保留根号) 41．（23-24八年级上·云南德宏·期末）某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 42．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，一辆汽车在一条限速的笔直的公路上沿直线匀速行驶，某一时刻汽车行驶到车速检测仪A正前方处的点C处，后汽车行驶到距离车速检测仪A点的点B处． (1)求B、C间的距离； (2)这辆汽车超速了吗?请说明理由． 1．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，，，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）已知的三边长分别为3、4、5，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，而另一个不是等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ）条． A．4 B．5 C．6 D．7 3．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 5．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）在中，，、、的对边分别为a、b、c，若，的面积为54，则的周长为 ． 6．（23-24八年级上·重庆大足·期末）一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，以为边在第二象限内作等边．则点C的坐标为 ． 7．（23-24八年级上·天津西青·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点都在网格的格点上，则的度数是 ． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，边上的中线，的长度为 ． 9．（23-24八年级上·安徽黄山·期末）程大位，明代珠算大师，南直隶徽州府休宁人. 他的著作《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它向前推送尺（水平距离）时，秋千踏板离地就和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长?”即如图，尺，尺，尺，求的长． 10．（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，，于点D，平 分． (1) ； (2)求的度数； (3)过点B作于点F，交于点G．若，求△ABG的面积． 11．（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 12．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为，若，，，． (1)试说明为直角； (2)记的面积为，的面积为，则的值为 ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$