精品解析：广西贵港市平南县2024—2025学年上学期九年级期中教学质量检测数学试题

2024年秋季期九年级期中教学质量检测 数学试题 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 2. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：含有一个未知数，且未知数的次数是的等式是一元二次方程， 故，其中，原式不是一元二次方程，选项A不符合题意； 含有两个未知数，不是一元二次方程，选项B不符合题意； 是一元二次方程，选项C符合题意； 含有两个未知数，不是一元二次方程，选项D不符合题意； 故选C． 3. 下列四组线段中，不成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段，解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选C． 4. 已知反比例函数的图象如图所示，点的坐标可能为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数图象上的点，横纵坐标值的乘积等于比例系数，逐一判断即可． 【详解】解：， 点的坐标可能为， 故选：A． 5. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把方程两边同时开平方，再解两个一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故选：D． 6. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的判别式等于0求出a的值，将其代入P点坐标问题得解． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴方程的判别式， 即1-4×a×()=0，解得a=-1， 将a=-1代入P点坐标，则有P点坐标为：(-3,4)， 即P点在第二象限， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况以及在坐标系中判断点所在象限的知识，利用方程的判别式等于0解出a是解答本题的关键． 7. 如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：B． 8. 在RtABC中，∠C=90°，如果，那么的值是（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义解得即可． 【详解】解：由已知，， ∵ ∴ ∵∠C=90° ∴=45° 故选：C 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答关键是根据定义和已知条件构造等式求解． 9. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使，则，即可推出，则是边的垂线即可，由此求解即可． 【详解】解：当是的垂线时，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 根据作图痕迹可知， A选项中，是的角平分线，不符合题意； B选项中，不与垂直，不符合题意； 选项中，是的垂线，符合题意； 选项中，不与垂直，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，作垂线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 10. 目前，支付宝平台入驻了不少的理财公司，推出了一些理财产品.李阿姨用10000元本金购买了一款理财产品，到期后自动续期，两期结束后共收回本息10926元设此款理财产品每期的平均收益率为x，则根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，找出等量关系列出方程，即可得到答案. 【详解】解：根据题意，设此款理财产品每期的平均收益率为x，则 ； 故选择：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解题的关键是找到等量关系，列出方程. 11. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：B． 【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键． 12. 如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为（　　） A. cm B. 1cm C. cm D. 2cm 【答案】D 【解析】 【分析】设剪去的正方形的边长为xcm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为(10-2x)cm，宽为(6-x)cm，根据长方体铁盒的底面积是24cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设剪去的正方形的边长为xcm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为(10-2x)cm，宽为cm， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 故选：D． 【点睛】本题考查长方体的展开图，一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据比例的性质解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质． 14. 若点，在反比例函数的图象上，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可知反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，再由即可得到． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 15. 在小华某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有_____人． 【答案】10 【解析】 【分析】设这个微信群共有x人，则每人需发（x−1）个红包，根据该微信群共发了90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这个微信群共有x人，则每人需发（x−1）个红包， 依题意得：x（x−1）＝90， 整理得：x2−x−90＝0， 解得：x1＝10，x2＝−9（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16. 如图，在中，D为边上的一点，要使成立，还需要添加一个条件为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据题意可知，则可添加，利用两组角对应相等的两个三角形相似证明． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 17. 天平在初中物理学科中是用来测物体质量的一种重要工具，是根据杠杆平衡原理制成的．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”，若与互为“天平数”，则代数式______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，根据“天平数”的定义可得，进而可得，再利用整体代入法求解． 【详解】解：与互为“天平数”， ， ， ， 故答案为：20． 18. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，表示出点的坐标是解题的关键． 作于，由等腰三角形三线合一的性质得出，利用平行四边形的性质可知，故设，则，代入即可求得的值． 【详解】解：作于， ， ， ， 设，则， 点在函数的图象上． ， 故答案为：6． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂等计算，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可． 详解】解：， ， 或， ，． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为． （2）与的位似比是______． （3）的面积是______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出位似图形，即可求解； （2）根据位似比等于相应线段之比，即可求解； （3）根据三角形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求． 【小问2详解】 解：∵A的坐标为．点的坐标为， ∴与的位似比是位似比为， 故答案为：． 【小问3详解】 的面积是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了位似变换的作图，根据坐标确定位似比是解答此题的关键． 22. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求与之间的函数表达式； （2）这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，随的增大怎样变化？ （3）点、在这个函数的图象上吗？ 【答案】（1） （2）这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大 （3）点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求反比例函数解析式． （2）利用反比例函数的图象和性质即可解题． （3）利用反比例函数的图象和性质即可解题． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数中， 即， 解得： ∴与之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵在反比例函数中，， ∴这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大． 【小问3详解】 解：将点、分别代入中， 可得：，， ∴点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 23. 如图，某位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知两条边，，测得边离地面距离，人与树距离，求树高． 【答案】树高为． 【解析】 【分析】易证，然后根据相似三角形的性质可求出BC的长，进一步即可求出结果． 【详解】解：由题意，得， 又， ， ， ，，， ，解得：， ， ． 即树高为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 综合实践： 主题 “晋中市第六届运动会主题”草坪设计 情境 为了迎晋中市第六届运动会，同学们参与一块长为米，宽为米的矩形“市运主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案    驱动问题一 （1）小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ； ③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 【答案】（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等；②，；③，；（2）小路的宽为 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用． （1）①通过平移的性质，猜想即可；②直接利用两条小路的面积之和减去重叠的小正方形的面积求出甲方案中的面积，根据平移的性质，用大长方形的面积减去平移后得到的长方形的面积计算乙方案中的面积；③同法②，列出代数式即可； （2）设小路的宽为，根据题意，列出方程进行求解即可； 正确的识图，找准等量关系，列出代数式和一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等， 故答案为：四种方案小路面积的大小相等； ②甲：； 乙：， 故答案为：，； ③甲：， 乙：， 故答案为：，； （2）设小路的宽为，则， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：小路的宽为． 25. 华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，，） 【答案】浮雕像的高度约为2.0米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形．过点于F点，在中，求出，即可得到，再利用勾股定理即可求出． 【详解】.解：过点于F点， 在中，，， ，， ， ∴在中， . 答：浮雕像的高度约为． 26. 小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点F是线段上一点． 探究发现： （1）当点F为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”） 拓展延伸： （2）将（1）中的条件与结论互换，即：若，则点F为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决： （3）若，求的长． 【答案】（1）是；（2）结论成立，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通过AB=BD求出∠A=∠ADB，紧接着根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，据此进一步得出∠ADB=∠FDE，最终通过证明∠ADB+∠EDC=90°证明结论成立即可； （2）根据垂直的性质可以得出90°，90°，从而可得，接着证明出，利用可知，从而推出，最后通过证明得出，据此加以分析即可证明结论； （3）如图，设G为的中点，连接GD，由（1）得，故而，在中，利用勾股定理求出，由此得出，紧接着，继续通过勾股定理求出，最后进一步证明，再根据相似三角形性质得出，从而求出，最后进一步分析求解即可. 【详解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°， ∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD， ∵∠ACB=∠ECD， ∴∠A=∠E， ∵AB=BD， ∴∠A=∠ADB， 在中， ∵F是斜边CE的中点， ∴FD=FE=FC， ∴∠E=∠FDE， ∵∠A=∠E， ∴∠ADB=∠FDE， ∵∠FDE+∠FDC=90°， ∴∠ADB+∠FDC=90°， 即∠FDB=90°， ∴BD⊥DF，结论成立， 故答案为：； （2）结论成立，理由如下： ∵， ∴90°，90°， ∴， ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 又90°，90°，， ∴， ∴． ∴． ∴F为的中点； （3）如图，设G为的中点，连接GD，由（1）可知， ∴， 又∵， 在中，， ∴， 在中，， 在与中， ∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和相似三角形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季期九年级期中教学质量检测 数学试题 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下面几对图形中，相似的是（ ） A B. C. D. 2. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C D. 3. 下列四组线段中，不成比例的是（ ） A ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4. 已知反比例函数的图象如图所示，点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 5 8. 在RtABC中，∠C=90°，如果，那么值是（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 9. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是 （ ） A. B. C. D. 10. 目前，支付宝平台入驻了不少的理财公司，推出了一些理财产品.李阿姨用10000元本金购买了一款理财产品，到期后自动续期，两期结束后共收回本息10926元设此款理财产品每期的平均收益率为x，则根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 11. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 12. 如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为（　　） A. cm B. 1cm C. cm D. 2cm 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 若，则________． 14. 若点，在反比例函数的图象上，则______．（填“”“”或“”） 15. 在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有_____人． 16. 如图，在中，D为边上的一点，要使成立，还需要添加一个条件为______． 17. 天平在初中物理学科中是用来测物体质量的一种重要工具，是根据杠杆平衡原理制成的．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”，若与互为“天平数”，则代数式______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为． （2）与的位似比是______． （3）的面积是______． 22. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求与之间的函数表达式； （2）这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，随的增大怎样变化？ （3）点、在这个函数的图象上吗？ 23. 如图，某位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知两条边，，测得边离地面距离，人与树距离，求树高． 24. 综合实践： 主题 “晋中市第六届运动会主题”草坪设计 情境 为了迎晋中市第六届运动会，同学们参与一块长为米，宽为米的矩形“市运主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案    驱动问题一 （1）小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ； ③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 25. 华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，，） 26. 小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点F是线段上一点． 探究发现： （1）当点F为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”） 拓展延伸： （2）将（1）中条件与结论互换，即：若，则点F为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决： （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$