1.4.3 一元二次不等式的应用课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.4.3 一元二次不等式的应用 1 【学习目标】 1.能够从实际生产和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. 2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法. 3.体会化归与转化思想的应用,加强数学建模素养的培养. 2 知识点 一元二次不等式的应用 利用不等式解决实际问题的一般步骤： （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案. 课 前 预 习 3 探究点一 一元二次不等式恒成立问题 例1（1） 若对于一切实数，不等式恒成立，则 的取值 范围是____________. [解析] 若，则，满足题意； 若，要使 恒成立，则需 解得.所以 . 课 中 探 究 4 方法一：要使对 恒成立， 需满足对 恒成立. 令， ，则当时，在上随自变量的 增大而增大，所以 ，所以 ； 当时， 恒成立；当时，在上随自变量 的增大而减小， 所以，所以，所以 . 综上所述， . （2）若对任意的，不等式恒成立，求 的取 值范围. 课 中 探 究 5 方法二：当时， 恒成立， 即当时， 恒成立. 因为 ， 所以当时， 恒成立. 易知函数在上的最小值为，所以只需 即可. （2）若对任意的，不等式恒成立，求 的取 值范围. 课 中 探 究 6 变式（1） 当时，关于的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为__________. [解析] 令,易知函数 的图象的对称轴为直线. 当，即时，，解得 ，所以. 当，即时， ，满足题意， 所以. 当，即时，，解得 ，所以. 综上所述， . 课 中 探 究 7 （2）已知二次函数，若对任意，都有 ，则 实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. [解析] 根据题意需满足解得 ， 即实数的取值范围是 .故选D. 课 中 探 究 8 ［素养小结］ （1）对于一元二次不等式在 上恒成立的问题，通常转化为不等式组来求解.一 般地，一元二次不等式在 上恒成立的条件是 一元二次不等式在 上恒成立的条 件是 若所给不等式未指明为一元二次不等式，还应注意对二 次项的系数进行讨论，需验证二次项系数为0时是否满足题意. （2）对于给定区间的恒成立问题，通常转化为最值问题来求解. 课 中 探 究 9 探究点二 一元二次不等式的实际应用 例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按收购金额的 纳税 （又称征税率为10个百分点），计划可收购 万担.当地政府为了鼓励农贸公司 多收购这种农产品，决定将征税率降低 个百分点，并预测收购量 可增加 个百分点. （1）写出降低征税率后税收（万元）与 的函数关系式； 解：降低征税率后的征税率为，农产品的收购量为 万担， 收购总金额为 万元， 依题意得 . 课 中 探 究 10 （2）要使此项税收在征税率调节后不少于原计划税收的，试确定 的取 值范围. 解：原计划税收为 （万元）. 依题意得，化简得 ， 解得 . 因为，所以 ，故的取值范围是 . 课 中 探 究 11 变式 （多选题）[2024·四川合江马街中学高一月考] 某文具店购进一批新型 台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若单价每提高1元，则 日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收 入，则这批台灯的单价 （单位：元）的取值可以是( ) ABC A.18 B.15 C.16 D.20 [解析] 由题意知，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入， 需满足，整理得,解得 . 故选 . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 求解数学应用题，需要过三关. （1）事理关：通过阅读、理解，找出关键词、句，确定条件是什么，要解决什 么问题. （2）文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数 学关系. （3）数理关：构建相应的数学模型，并求解模型，得到问题的答案. 课 中 探 究 13 拓展 为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为 升的桶中盛满纯药液， 第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出8升后用水补满， 若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的，则 的取值范围为__________ ___. [解析] 第一次操作后，桶中剩下的纯药液为 升，第二次操作后，桶中 剩下的纯药液为升. 由题意可知 ， 化简得，解得，因为，所以 . 课 中 探 究 14 1.解一元二次不等式的实际应用问题，首先要用字母表示题中的未知量，再由 题中给出的不等量关系，列出关于未知数的一元二次不等式（或根据需要转换 成一元二次不等式），然后解不等式，最后写出实际问题的解. 2.由实际问题列不等式时，要抓住题中的关键词句，并结合实际意义来写出. 备 课 素 材 例 如图所示，已知边长为 的正方形钢板有一个角被锈 蚀，被锈蚀区域为，其中， .为 了合理利用这块钢板，将在五边形 内截取一个矩形 块，使点在边 上. （1）设，矩形的面积为，试写出 的 取值范围及与 的关系式； 备 用 习 题 16 解：由题意知，.设，作于 （如图所示）， 所以， . 易知，所以，所以 ， 所以 ， 则矩形的面积 ， . 备 用 习 题 17 （2）要使矩形的面积不小于，试求 的取值范围. 解：依题意得，解得 ， 又，所以，故的取值范围为 . 备 用 习 题 18 $$