专题04 一次函数与常见几何模型专项训练（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题04 一次函数与常见几何模型专项训练（8大题型+15道拓展培优） 题型一 一次函数中的面积计算 题型二 一次函数中的动点问题 题型三 一次函数中的最值问题 题型四 一次函数中的存在性问题 题型五 一次函数中的新定义问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度等） 题型八 一次函数中的平移模型 【经典例题一 一次函数中的面积计算】 【例1】（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数的图象与轴，轴的交点分别为，． (1)直接写出点，点的坐标； (2)求的面积； (3)如果点在一次函数的图象上，且的面积为3，求点的坐标． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于x的函数. (1)当______时，该函数是正比例函数； (2)当k满足什么条件时，y随x的增大而减小？ (3)当时，函数图象交y轴于点A，交x轴于点B，求的面积． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，，已知， ，直线与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； 3．（23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点． (1)求的面积． (2)若轴上有一点，且，求直线的表达式． 【经典例题二 一次函数中的动点问题】 【例2】（23-24八年级下·重庆江北·期末）如图，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接． (1)求直线的解析式； (2)若点P为线段上一动点，且，求点P的坐标； 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，动点P沿的路径运动，速度为．记的面积为，S与运动时间的关系如图2所示，请回答下列问题． (1)图1中______； (2)当时，的面积S与运动时间t的关系式是______． (3)当的面积为时，求运动时间t的值． 2．（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．    (1)直接写出点B的坐标；点C的坐标； (2)直接写出的面积为：________． (3)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点D，E，若，求a的值． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B；过点作直线与x轴交于点C，交直线于点E，且点E的横坐标为．    (1)直接写出点A，点B的坐标； (2)求的面积； (3)如图2，若点M是线段上一动点，连接，过点O作交直线于点N，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【经典例题三 一次函数中的最值问题】 【例3】（山东省济南市高新区2024—2025学年上学期八年级期中考试数学卷）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标； (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值． (3)如图2，点坐标为，则的面积是 ． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标． 1．（22-23八年级下·河南新乡·期末）已知一次函数分别与轴、轴交于点，点在直线上，其纵坐标为5．    (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在轴上找一点，连接，使的值最小，并求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求出的面积． 2．（23-24八年级上·甘肃白银·期中）如图，一次函数的图像与坐标轴交于、两点，是线段（不含端点）上一动点，设的面积是．    (1)求点的坐标； (2)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)当时，在轴上是否存在一点，使得最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（22-23八年级下·广西南宁·期末）已知直线为，点在上，且，点的坐标为．    (1)设的面积为，求与的函数关系式，并直接写出的取值范围； (2)当时，求点的坐标； (3)在直线上有一点，使的和最小，求点的坐标． 【经典例题四 一次函数中的存在性问题】 【例4】（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与 x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 1．（22-23七年级下·广西南宁·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B． (1)求三角形的面积； (2)如图②，若过B作交y轴于D，且，分别平分，，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接． (1)求，两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A的坐标； (2)求出的面积； (3)直线上是否存在一点C，使的面积等于的面积？若存在，求出点C(不同于点B)的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题五 一次函数中的新定义问题】 【例5】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横纵坐标的绝对值之和等于点的横纵坐标的绝对值之和，则称两点为“等和点”，如图1中的两点即为“等和点”． 已知点的坐标为， (1)在点，，中，与点为“等和点”的是______（只填字母）； (2)若点在函数的图象上，且两点为“等和点”，求点的坐标． 1．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）【定义】对于点，规定，那么就把叫点的“点和数”． 例如：若，则，那么叫的“点和数”． 【概念理解】（）①在平面直角坐标系中，已知点，则以下个点，，中，与点的“点和数”相等的是______； ②若点在直线上，且与点的“点和数”相等，则点的坐标是______． 【尝试应用】（）点是矩形边上的任意点，点，，，，先在如下的平面直角坐标系中画出矩形，这时如果点是直线上的任意点，若存在两点的“点和数”相同，求的取值范围． 2．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于M、N两点给出如下定义：若点M到x，y轴的距离之和等于点N到x，y轴的距离之和，则称M、N两点为“平等点”，例如：、两点即为“平等点”． (1)已知点A的坐标为， ①在点，，中，为点A的“平等点”的是____．（填字母） ②若点B在y轴上，且A、B两点为“平等点”，则点B的坐标为______． (2)已知直线与x轴、y轴分别交于C、D两点，E为线段上一点，F是直线上的点，若E、F两点为“平等点”，求点F的坐标． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称点P为的和谐点．    (1)在中，的和谐点是_______； (2)若点P为的和谐点，且，求点P的坐标； (3)直线l为过点且与x轴平行的直线，若直线l上存在的二个和谐点，请直接写出m的取值范围． 【经典例题六 一次函数中的翻折模型】 【例6】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点E的坐标； (2)设，写出y关于x的函数表达式，并指出是不是y关于x的一次函数． 1．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图1，直线：与轴交于点、直线上有一动点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点．将沿直线翻折得到，点的对应点为． (1)直线与轴的交点的坐标为______．直线与轴的交点的坐标为______． (2)如图2，当点的对应点落在轴上时， ①求证：； ②求点P的坐标． (3)如图3，直线上有、两点，当点P从点A运动到点B的过程中，点也随之运动，请直接写出点的运动路径长为______． 2．（21-22八年级下·山东济宁·期末）如图1，一次函数y＝x+3的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C，点P是射线CD上的一个动点． (1)求点A，B的坐标； (2)如图2，当点D在第一象限，且AB＝BD时，将ACP沿着AP翻折，当点C的对应点落在直线AB上时，求点P的坐标． 3．（22-23八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点． (1)点A的坐标是 ．点B的坐标是 ． (2)若点是直线上一点，则直线的解析式是 ． (3)在直线上是否存在一点D（不与点B重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (4)点E是y轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点B落在x轴上，请直接写出折痕所在直线的解析式． 【经典例题七 一次函数中的旋转模型】 【例7】（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，已知直线交x轴于点A，交轴y于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求证：； (3)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，求证：点F在某条直线上运动，并求的最小值． 1．（22-23八年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，的顶点与原点重合，，． (1)如图1，过点作轴于，过点作轴于，若点的坐标为，求点的坐标． (2)如图2，将绕点任意旋转．若点的坐标为，求点的坐标． (3)若点的坐标为，点的坐标为，试求，的值． 2．（22-23八年级上·陕西西安·期中）问题提出： 如图，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证： ； 问题探究： 如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角，，求点C的坐标； 问题解决： 古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA-AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式． 3．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）【探索发现】如下图，等腰直角三角形中，，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“K型全等”． 【迁移应用】如下图，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、B． （1）直接写出_________，__________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； （3）如下图，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】如下图，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在直线上，且点C坐标为，点E坐标为，连结，点P为直线上一点，满足，请直接写出点P的坐标：___________． 【经典例题八 一次函数中的平移模型】 【例8】（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）在平面直角坐标系中，点是直线上一点，点向上平移5个单位长度得到点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与线段有公共点，结合函数图象，求的取值范围． 1．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系xOy中，正方形的顶点，，点B在点A的右侧，点C，点D在的下方． (1)直接写出的长度（用含m的式子表示）； (2)若三角形的面积为3． ①求m的值； ②在平面直角坐标系中，二元一次方程的图象都是一条直线，直线上每个点的坐标（x，y）都是这个方程的一个解．记二元一次方程（）的图象为直线l，直线l与正方形的边，分别交于点E，点F，如图所示，且三角形的面积为．现将正方形进行平移，使得直线l与正方形的边分别交于点P，点Q，在平移过程中，是否存在三角形的面积也为的情形？若存在，请探究如何平移；若不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 3．（22-23七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在矩形中；点为坐标原点，点，点、在坐标轴上，点在边上，直线交轴于点.对于坐标平面内的直线，先将该直线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，这种直线运动称为直线的斜平移.现将直线经过2次斜平移，得到直线. (1)求直线与两坐标轴围成的面积； (2)求直线与的交点坐标； (3)在第一象限内，在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由. 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求m的值； (2)求的面积； (3)已知一次函数的图象为，且不能围成三角形，请求出k的值． 2．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，过点C作直线与y轴相交于D点． (1)当k满足什么条件时，函数y的值随x的值的增大而增大； (2)求的面积； (3)若点A和点B在直线的两侧，求k的取值范围． 3．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m．    (1)求点A、B的坐标； (2)求的面积； (3)当时，求的面积； (4)当时，求m的值． 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以的速度沿着B→C→D→A的方向移动到点A，设移动过程中三角形的面积为S（），移动时间为t（s）．    (1)写出S与t之间的函数关系式； (2)①当时，求三角形的面积；②当三角形的面积为时，求t的值． 5．（22-23八年级下·广东珠海·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点A、B两点，点C在线段上，，P为线段上的一点，连接． (1)求的长； (2)当与面积相等时，求P的坐标． 6．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点B和点C，点D是直线与y轴的交点． (1)直接写出点D、B的坐标： (2)设是直线在x轴上方图象上一点，当的面积为5时，点M的坐标为___； (3)P是x轴上的一个动点，若为等腰三角形，点P可能的位置有4个，请按照从左到右的顺序直接写出这四个位置的坐标 7．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数 的图象经过点 ，与x轴以及的图象分别交于点 C，D，且点 D的坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)在平面内直线的右侧是否存在点 P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B．    (1)求直线的解析式和点B的坐标． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 10．（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，已知直线经过点并和x轴交于点A．    (1)求点A的坐标； (2)若直线与y轴交于点D，与直线交于点C，求点C与点D的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 11．（23-24八年级下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点P是直线上的一个动点，且点P在第一象限，当的面积是10时，求点P的坐标； (3)交y轴于点C，D是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点D的坐标． 12．（23-24八年级下·新疆吐鲁番·期末） 如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 13．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．    (1)求出点A的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）对于点，规定：若，那么就把叫a点P的亲密数．例如：若，则，那么4叫点P的亲密数． (1)在平面直角坐标系中，已知点． ①，与点A的亲密数相等的点是___________； ②若点E在直线上，且与点A的亲密数相同，则点E的坐标是___________； ③若点F在直线上,且与点A的亲密数相同，则点F的坐标是___________； (2)如图点P是矩形边上的任意点，且点，，点Q是直线上的任意点，若存在两点P、Q的亲密数相同，请求出b的取值范围． 15．（2024·山西大同·三模）阅读与思考 下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 应用所学知识证明直线对称问题如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法： 设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为． 方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）． 点的纵坐标为． 设点的横坐标为， ．．． 将代入，得． 点在直线上． 直线和直线关于直线对称．        方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点． 点的纵坐标为． 将代入，得． ．． ． 点和点关于直线对称． 直线和直线关于直线对称． 任务： (1)小悦周记中得到，的依据是______； (2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______； A．公理化思想    B．数形结合思想    C．分类讨论思想 (3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数与常见几何模型专项训练（8大题型+15道拓展培优） 题型一 一次函数中的面积计算 题型二 一次函数中的动点问题 题型三 一次函数中的最值问题 题型四 一次函数中的存在性问题 题型五 一次函数中的新定义问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度等） 题型八 一次函数中的平移模型 【经典例题一 一次函数中的面积计算】 【例1】（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数的图象与轴，轴的交点分别为，． (1)直接写出点，点的坐标； (2)求的面积； (3)如果点在一次函数的图象上，且的面积为3，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)9 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）分别求出时，的值和时，的值，由此即可得； （2）先求出的长，再利用直角三角形的面积公式求解即可得； （3）设点的坐标为，则点到轴的距离为，根据三角形的面积公式求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得， 当时，， ∵一次函数的图象与轴，轴的交点分别为，， ∴点的坐标为，点的坐标为． （2）解：由题意，画出图形如下： ∵，， ∴， ∴的面积为． （3）解：由题意，画出图形如下： 设点的坐标为，则点到轴的距离为， ∵的面积为3，， ∴，即， 解得或， 当时，， 当时，， 综上，点的坐标为或． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于x的函数. (1)当______时，该函数是正比例函数； (2)当k满足什么条件时，y随x的增大而减小？ (3)当时，函数图象交y轴于点A，交x轴于点B，求的面积． 【答案】(1) (2)当时，y随x的增大而减小 (3)25 【分析】此题考查了一次函数与几何的应用，正比例函数，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义得到且，求出k的值即可； （2）根据一次函数的性质得到，解不等式即可得到答案； （3）先求出一次函数解析式，再求出点A和点B的坐标，即可求得的面积． 【详解】（1）解：根据题意：且， 解得：； （2）解：∵y随x的增大而减小， ∴，解得， ∴当时，y随x的增大而减小； （3）解：当时，， ∴当时，；当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， . ∴的面积为． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，，已知， ，直线与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，三角形的面积公式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）先求出点、的坐标，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线经过点， ， ， 解得：， 直线的解析式为：； （2）当时，有， 解得：， ， ， ， 联立：， 得：， ， ． 3．（23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点． (1)求的面积． (2)若轴上有一点，且，求直线的表达式． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合： （1）先求出，得到，再根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求结合三角形面积计算公式得到，则或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 设直线的解析式为， 当时，则，解得， ∴直线的解析式为， 同理可得当时，直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或． 【经典例题二 一次函数中的动点问题】 【例2】（23-24八年级下·重庆江北·期末）如图，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接． (1)求直线的解析式； (2)若点P为线段上一动点，且，求点P的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，三角形面积，坐标与图形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）由待定系数法可得出答案； （2）设点，根据三角形面积关系可得出答案． 【详解】（1）直线交轴和轴于点和点， 点，点， 设直线的解析式为， 由题意可得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）点，点，点， ，， ， 设点， ， ， ， 解得， 点 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，动点P沿的路径运动，速度为．记的面积为，S与运动时间的关系如图2所示，请回答下列问题． (1)图1中______； (2)当时，的面积S与运动时间t的关系式是______． (3)当的面积为时，求运动时间t的值． 【答案】(1)12 (2) (3)或 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，一次函数的应用， （1）根据题意得到点P运动的路程为，当时，S达到最大值30，当点P运动到点D时，S最大，进而列式求解即可； （2）根据题意得到，求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论，分别求出两段的表达式，然后将代入求解即可． 【详解】（1）∵动点P沿的路径运动，速度为 ∴点P运动的路程为， 由图象可得，当时，S达到最大值30， ∵当点P运动到点D时，S最大 ∴； （2）∵当点P运动到点D时，S最大 ∴ ∴ ∴ ∴当时，； （3）当时， ∴； 当时，设S与t的表达式为 ∴ 解得 ∴ ∴当的面积为时， ∴ 综上所述，当的面积为时，或． 2．（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．    (1)直接写出点B的坐标；点C的坐标； (2)直接写出的面积为：________． (3)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点D，E，若，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)a的值为或4 【分析】本题为两条直线相交问题，主要考查待函数图象的交点，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． （1）把分别代入和即可求得、的坐标； （2）联立两条直线的解析式即可得出点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得； （3）由点的坐标可得出点，的坐标，再根据，列出方程，求解可得的值． 【详解】（1）把代入得，， 把代入得，， ，； （2）令，解得， ， ， ，， ， ∴的面积为； （3）由题意可知，，， ， 解得或， 的值为或4． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B；过点作直线与x轴交于点C，交直线于点E，且点E的横坐标为．    (1)直接写出点A，点B的坐标； (2)求的面积； (3)如图2，若点M是线段上一动点，连接，过点O作交直线于点N，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）分别求出时，的值；时，的值即可得； （2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式出，从而可得点的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，解得，则， 当时，，则． （2）解：一次函数， 当时，，即， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的函数解析式为， 当时，，解得，即， ， 又点的坐标为， ∴的边上的高为， 则的面积为． （3）解：，理由如下： ， ， 对于一次函数， 当时，，即， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 【经典例题三 一次函数中的最值问题】 【例3】（山东省济南市高新区2024—2025学年上学期八年级期中考试数学卷）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标； (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值． (3)如图2，点坐标为，则的面积是 ． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，点坐标 (2)存在， (3) (4)满足条件的点C的坐标为或 【分析】本题为一次函数与几何综合，其中涉及到了一次函数的图象性质，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形面积的运算，等腰三角形的性质及判定，全等三角形的判定及性质等知识点，利用数形结合思想作出图象是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求出解析式即可，把代入函数式子即可得到点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小，列式运算即可； （3）利用三角形面积公式列式运算即可； （）分类讨论点的位置，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把、代入得到， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，横坐标为， 把代入可得：， ∴点坐标； （2）存在．如图1中，作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小， ∵，，， ∴的最小值； （3）如图2中， ∵点坐标为，， ∴， ． 故答案为18； （4）如图3中， ①当是等腰直角三角形时，作轴于， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴， ②当是等腰直角三角形时，同理可得等， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 1．（22-23八年级下·河南新乡·期末）已知一次函数分别与轴、轴交于点，点在直线上，其纵坐标为5．    (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在轴上找一点，连接，使的值最小，并求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求出的面积． 【答案】(1)， (2)图见解析， (3) 【分析】（1）在一次函数中，令，得即可求得点的坐标，令，求得，即可得出点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，由轴对称的性质可得：，则，即当在一条直线上时最小，用待定系数法求出直线的解析式即可得到答案； （3）由进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点， 当时，， ， 点在直线上，其纵坐标为5， 当时，， 解得：， ， 故答案为：，； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ， 由轴对称的性质可得：， ，即当在一条直线上时最小， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 令，此时， 解得：， （3）解：，，，， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数的应用—几何问题、轴对称的性质、最短路径问题、三角形面积的计算，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（23-24八年级上·甘肃白银·期中）如图，一次函数的图像与坐标轴交于、两点，是线段（不含端点）上一动点，设的面积是．    (1)求点的坐标； (2)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)当时，在轴上是否存在一点，使得最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，． 【分析】（）从图中不难发现，点在轴上，即点的横坐标为，且点在一次函数的图象上，则将代入即可求得值，点坐标即可确定； （）根据点为一次函数的图象与轴的交点，不难确定点的坐标为，再运用三角形的面积计算公式，即可用求得； （）要使得最小，找出点对称点，然后连接且求出解析式，当时即可求出点的坐标． 【详解】（1）由，当，则， ∴点的坐标为， （2）由，令，则， ∴点的坐标为， ∴， ∴， 即， （3）存在，理由：当时，即，解得：， ∴点的坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标是， 如图，    设直线的函数表达式为，把点代入，得：， 将代入得：， ∴， 当时，，解得， ∴在轴上存在一点，使得最小． 【点睛】此题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，最短距离问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（22-23八年级下·广西南宁·期末）已知直线为，点在上，且，点的坐标为．    (1)设的面积为，求与的函数关系式，并直接写出的取值范围； (2)当时，求点的坐标； (3)在直线上有一点，使的和最小，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出直线l的解析式为，再由进行求解即可； （2）根据（1）所求，把代入求解即可； （3）作点O关于直线l的对称点G，连接，设直线l与x轴，y轴分别交于D、C，根据轴对称的性质可推出当三点共线时最小，即此时最小，则点M即为直线与直线l的交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵直线为， ∴直线l的解析式为， ∴当时，； ∵，， ∴， ∴， （2）解：当时，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：作点O关于直线l的对称点G，连接，设直线l与x轴，y轴分别交于D、C， ∴， ∴， ∴， 由对称性可知，， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时最小，即此时最小，则点M即为直线与直线l的交点， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴．    【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 【经典例题四 一次函数中的存在性问题】 【例4】（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与 x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）对于直线，令求出的值，确定出的坐标，把坐标代入中求出的值，再将坐标代入求出的值，进而将坐标代入求出的值即可； （2）过作垂直于轴，如图1所示，四边形面积等于梯形面积减去三角形面积，求出即可； （3）在轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：①；②，分别求出坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，得到，即， 把代入中，得：， 把代入得：，即， 把坐标代入中得：，即； （2）解：过作轴，垂足为，如图1所示， 由（1）可知：一次函数的解析式为， ∴令，则有，解得：， ∴， ， ； （3）解：如图2所示，设， ， ， ， 分两种情况考虑： ①当时，， ， ， ； ②当时，由横坐标为1，得到横坐标为1， 在轴上， 的坐标为， 综上，的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，直角三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 1．（22-23七年级下·广西南宁·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B． (1)求三角形的面积； (2)如图②，若过B作交y轴于D，且，分别平分，，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了非负数的性质，平行线的判定及性质，待定系数法，三角形面积； （1）由几个非负数的和为零得，，再由点的坐标和三角形的面积，即可求解； （2）过E作， 由平行线的性质得，，由角平分线的判定方法得，结合平行线的性质即可求解； （3）由待定系数法可求直线的解析式为，直线的解析式为，过点B作交y轴于点P，此时的面积与的面积相等，可求的坐标，再根据对称性可求另一个坐标； 掌握待定系数法，平行线的性质，会根据三角形的面积相等条件求坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， ，，， 的面积为：． （2）解：过E作，如图所示： 轴，， ，， 轴， ， ， ，分别平分，， ，， ， ， ，， ∴ ； （3）解：，， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 直线与y轴交于点， ， 直线的解析式为， 当时，， 过点B作交y轴于点P，此时三角形和三角形的面积相等， ， 根据对称性可知，当时，三角形和三角形的面积相等， 综上所述，在y轴上存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，P点的坐标为或． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接． (1)求，两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2) (3)或． 【分析】（1）分别求出当时，y的值，当时，x的值即可得到答案； （2）如图所示，过点作轴，先求出，，再根据三角形面积公式进行求解即可； （3）先求出出点坐标为，再分当、 时两种情况，利用一线三垂直模型证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 解得：， ∴点坐标为，点坐标为； （2）解：如图所示，过点作轴， ∵点是线段上的一个动点（不与，重合）， ∴，， ∴的面积， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得：， ∴点坐标为， 当时，过点作轴于，过点作于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，如图所示，过点作轴于M， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，列函数关系式等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A的坐标； (2)求出的面积； (3)直线上是否存在一点C，使的面积等于的面积？若存在，求出点C(不同于点B)的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合： （1）求出当时，x的值即可得到答案； （2）先求出点B的坐标，再求出，据此根据三角形面积公式求解即可； （3）根据三角形面积公式结合（2）所求列出关于点C纵坐标的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解；∵的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴， 当时，（舍去），当时，， ∴点C的坐标为． 【经典例题五 一次函数中的新定义问题】 【例5】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横纵坐标的绝对值之和等于点的横纵坐标的绝对值之和，则称两点为“等和点”，如图1中的两点即为“等和点”． 已知点的坐标为， (1)在点，，中，与点为“等和点”的是______（只填字母）； (2)若点在函数的图象上，且两点为“等和点”，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形，理解“等和点”的定义是解此题的关键． （1）由“等和点”的定义一一验证即可； （2）设，由“等和点”的定义列出方程求出或，即可得出答案． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， 在点，，中，，，， 与点为“等和点”的是， 故答案为：； （2）解：点在函数的图象上，且两点为“等和点”， 设， ， 解得：或， 或． 1．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）【定义】对于点，规定，那么就把叫点的“点和数”． 例如：若，则，那么叫的“点和数”． 【概念理解】（）①在平面直角坐标系中，已知点，则以下个点，，中，与点的“点和数”相等的是______； ②若点在直线上，且与点的“点和数”相等，则点的坐标是______． 【尝试应用】（）点是矩形边上的任意点，点，，，，先在如下的平面直角坐标系中画出矩形，这时如果点是直线上的任意点，若存在两点的“点和数”相同，求的取值范围． 【答案】（） ；；（）． 【分析】本题考查了一次函数的性质 ，理解“和合数”定义并运用数形结合思想解答是解题的关键． （1）①分别求出各点的“和合数”，即可求解；②设点，由“和合数”的定义列出方程即可求解； （2）由“和合数”的定义可得点在直线上，结合图形解答即可求解． 【详解】解：（1）①∵点的“和合数”，点的“和合数”，点的“和合数”，点的“和合数”， ∴与点的“和合数”相等的点为点， 故答案为：； ②设点， 由题意可得，， ∴， ∴点， 故答案为：； （2）如图，设点， ∵的“和合数”相同， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∴点是直线与矩形的交点， 当点在直线上时，， ∴， 当点在直线上时，， ∴， ∴当时，存在两点的“和合数”相同， ∴的取值范围为． 2．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于M、N两点给出如下定义：若点M到x，y轴的距离之和等于点N到x，y轴的距离之和，则称M、N两点为“平等点”，例如：、两点即为“平等点”． (1)已知点A的坐标为， ①在点，，中，为点A的“平等点”的是____．（填字母） ②若点B在y轴上，且A、B两点为“平等点”，则点B的坐标为______． (2)已知直线与x轴、y轴分别交于C、D两点，E为线段上一点，F是直线上的点，若E、F两点为“平等点”，求点F的坐标． 【答案】(1)①J、L；②或 (2)或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，一次函数图象的性质，掌握平面直角坐标系的特点，一次函数图象的性质是解题的关键． （1）①根据材料定义，及“平等点”的计算方法，点与坐标轴距离的计算即可求解；②根据“平等点”的定义及计算方法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质分别求出点的坐标，表示出点的坐标，根据“平等点”的定义和计算即可求解． 【详解】（1）解：①已知点，则点到轴的距离分别为：， ∴距离和为：6， ∵点， ∴点到轴的距离和为：6；点到轴的距离和为：7；点到轴的距离和为：6； ∴为点的“平等点”的是：， 故答案为：； ②设， ∵点到轴的距离分别为：， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故答案为：或； （2）解：直线，令，则；令，则， ∴，， ∵点在线段上， ∴设，且， ∵点在直线， ∴设， ∵两点为“平等点”， ∴ 当时，，解得，， ∴； 当时，，解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称点P为的和谐点．    (1)在中，的和谐点是_______； (2)若点P为的和谐点，且，求点P的坐标； (3)直线l为过点且与x轴平行的直线，若直线l上存在的二个和谐点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)P的坐标为或 (3) 【分析】（1）根据各点的坐标分别求出相应线段的长度，根据定义即可进行判断； （2）由题意得，分类讨论当时和当时，两种情况即可求解； （3）由题意知，的和谐点P，满足或；根据若，则点P在线段的垂直平分线上，若，则点P在线段的垂直平分线上，即y轴上；即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴不是△ABC的和谐点； ∵， ∴，， ∴， ∵在内， ∴是的和谐点； ∵， ∴，， ∴ ∵在内， ∴是的和谐点； 故答案为：， （2）解：①由可知，当P在内部时，， ②当时，过P作轴于H，过A作于G，如图：    ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 设 ∵ ∴ 解得： ∴P ③当时，过A作交延长线于Q，如图：    ∵ ∴B，C关于y轴对称， ∵， ∴P在y轴上， 同②可得Q 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 在中，令得， ∴ 综上所述，P的坐标为或 （3）解：由题意知，的和谐点P，满足或， 若，则点P在线段的垂直平分线上， 若，则点P在线段的垂直平分线上，即y轴上； 设的中点为K，线段的垂直平分线交于T，如图，    设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设 ∵， ∴ 解得， ∴T， ∵线段的中点； 直线l上存在的两个和谐点， ∴直线l与y轴，线段都相交， ∴． 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了坐标与图形，一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质等知识点，正确理解定义是解题关键． 【经典例题六 一次函数中的翻折模型】 【例6】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点E的坐标； (2)设，写出y关于x的函数表达式，并指出是不是y关于x的一次函数． 【答案】(1) (2)，是关于x的一次函数 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理． （1）根据折叠的性质得到，在中利用勾股定理求得，据此即可求得点E的坐标； （2）由折叠得到，有，在中利用勾股定理列式，整理即可解． 【详解】（1）解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，，， 由勾股定理，得， 则， ∴； （2）解：在中，由勾股定理，得， 又∵，，， ∴， 整理得， 是关于x的一次函数． 1．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图1，直线：与轴交于点、直线上有一动点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点．将沿直线翻折得到，点的对应点为． (1)直线与轴的交点的坐标为______．直线与轴的交点的坐标为______． (2)如图2，当点的对应点落在轴上时， ①求证：； ②求点P的坐标． (3)如图3，直线上有、两点，当点P从点A运动到点B的过程中，点也随之运动，请直接写出点的运动路径长为______． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；② (3)6 【分析】（1）分别令和，即可求出点G和点D的坐标； （2）①首先求出点G、的坐标，利用平行线的性质和角平分线的定义得，可得结论；②设点的坐标为，则可得点的坐标为，在中，利用勾股定理得：，解方程即可； （3）分别过点，作轴的平行线，与过点垂直于轴的直线分别交于点，，则点在线段上运动，根据对称性知，点运动路径长度为的长，从而解决问题． 【详解】（1）当时，即 解得 ∴点D的坐标为； 当时， ∴点G的坐标为； （2）①如图， 证明：在中，当时，， ． ， ，， 由对称得：，， 轴， ， ， ， ； ②设点的坐标为，则可得点的坐标为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得， 当时，， ； （3）分别过点，作轴的平行线，与过点垂直于轴的直线分别交于点，， 则点在线段上运动，根据对称性知，点运动路径长度为的长， ，， ， 点的运动路径长为6， 故答案为：6． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图像上点的坐标的特征，翻折的性质，勾股定理等知识，确定点的运动路径长是解题的关键． 2．（21-22八年级下·山东济宁·期末）如图1，一次函数y＝x+3的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C，点P是射线CD上的一个动点． (1)求点A，B的坐标； (2)如图2，当点D在第一象限，且AB＝BD时，将ACP沿着AP翻折，当点C的对应点落在直线AB上时，求点P的坐标． 【答案】(1)A（−4，0）；B（0，3） (2) 【分析】（1）利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论； （2）先求出C（4，0），D（4，6），进而求出AC＝8，CD＝6，AD＝10，由折叠知，，，再用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0，则x＋3＝0， ∴x＝−4， ∴A（−4，0）． （2）解：过点D作轴于点E， ∵CD⊥x轴于点C， ∴， ∴四边形OCDE为矩形， ∴， ∵在△DEB和△AOB中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵A（−4，0）， ∴C（4，0）， ∴D（4，6）， ∴AC＝8， ∴， 由折叠知，， ∴， 设PC＝a， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 3．（22-23八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点． (1)点A的坐标是 ．点B的坐标是 ． (2)若点是直线上一点，则直线的解析式是 ． (3)在直线上是否存在一点D（不与点B重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (4)点E是y轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点B落在x轴上，请直接写出折痕所在直线的解析式． 【答案】(1)； (2) (3)存在， (4) 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）先求出m的值，再利用待定系数法解答，即可求解； （3）先求出，设点D的坐标为，根据的面积等于的面积，列出方程，即可求解； （4）设点B的对称点为F，连接，，根据折叠的性质可得垂直平分，，然后在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：令，， 令，， ∴点A的坐标是．点B的坐标是； 故答案为：； （2）解：∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是， 故答案为：； （3）解：存在， 由（1）得：点A的坐标是．点B的坐标是， ∴， 设点D的坐标为， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点D的坐标为； （4）解：如图，设点B的对称点为F，连接，， 根据题意得：垂直平分，， ∴，， 设点E的坐标为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，勾股定理，图形的折叠，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【经典例题七 一次函数中的旋转模型】 【例7】（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，已知直线交x轴于点A，交轴y于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求证：； (3)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，求证：点F在某条直线上运动，并求的最小值． 【答案】(1)点 (2)见解析 (3)见解析，的最小值为：． 【分析】（1）令，即可求解； （2）由点，得到点，求出,得到，即可求解； （3）证明，得到点F的坐标为：，即可求解． 【详解】（1）令， 解得：， 则点 （2）证明：对于，令，则，则点， ∵点B为线段的中点，则点， 将点E的坐标代入得：， 解得：， 则直线 则点 由点A、C的坐标知，其中点坐标为该点和点E的横坐标相同， 即点E在的中垂线上， ∴； （3）证明：过点F作轴于点T，如图， ∵线段绕点P逆时针方向旋转至， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点F的坐标为：， 则点F在直线上， 则 ∴的最小值为： 【点睛】本题为一次函数综合应用题，涉及到三角形全等、等腰三角形的性质、一次函数的性质，掌握数形结合以及一次函数的性质是关键 . 1．（22-23八年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，的顶点与原点重合，，． (1)如图1，过点作轴于，过点作轴于，若点的坐标为，求点的坐标． (2)如图2，将绕点任意旋转．若点的坐标为，求点的坐标． (3)若点的坐标为，点的坐标为，试求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据点坐标可以得出，，由轴，轴，可得∴，结合，可得，证明即可得出结论． （2）作轴于，作轴于．如图2，若点在第一象限，则，．可证，则，． 则第四象限点为即可得出结论． （3）由（2），可得即可求解． 【详解】（1）∵，∴，． ∵轴，轴，∴． ∵，∴． ∴． ∵，∴． ∴，． ∴点的坐标为． （2）作轴于，作轴于． 如图2，若点在第一象限，则，． 由（1），同理可证．则，． 则第四象限点为． 同理，若点在第二象限，则第一象限点为． 若点在第三象限，则第二象限点为． 若点在第四象限，则第三象限点为． 综上，若点的坐标为，点的坐标为． （3）由（2），可得 由①，解得． 把代入②，得． 解得．检验符合． ∴，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及一次函数的性质及图象特点，熟练掌握全等三角形的判定及一次函数的性质是解决本题的关键． 2．（22-23八年级上·陕西西安·期中）问题提出： 如图，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证： ； 问题探究： 如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角，，求点C的坐标； 问题解决： 古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA-AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式． 【答案】问题提出：见解析；问题探究：；问题解决：直线，直线 【分析】问题提出：利用同角的余角相等和AAS证明即可； 问题探究：先求出的坐标，过点作轴，交轴与点，证明 ，即可得解； 问题解决：求出点坐标和直线的解析式，延长交轴与点，延长至点，使，设，过点分别作轴，得到，表示出的坐标，利用的中点在直线上，求出的坐标，再用待定系数法求解析式即可． 【详解】问题提出： 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴（AAS）； 问题探究： 解：， 当时：； 当时：； ∴，， ∴， 过点作轴，交轴与点， 同上法可证：（AAS）， ∴， ∴， ∴； 问题解决： 解：由题意得：， ∵射线AB与直线平行， 设直线的解析式为：， 则：，解得：； ∴； 延长交轴与点，延长至点，使，设，过点分别作轴， 由问题提出可知：（AAS）， ∴， ∴， ∴的中点坐标为：， 由题意可知在直线AB上， ∴， 解得：， ∴，， 设的解析式为：， 则：， 解得：， ∴； 设的解析式为：， 则：， 解得：， ∴； 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及一次函数与几何的综合应用．根据问题提出，理解并掌握一线三直角的全等模型，然后通过构建全等模型探究和解决问题是解题的关键． 3．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）【探索发现】如下图，等腰直角三角形中，，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“K型全等”． 【迁移应用】如下图，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、B． （1）直接写出_________，__________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； （3）如下图，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】如下图，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在直线上，且点C坐标为，点E坐标为，连结，点P为直线上一点，满足，请直接写出点P的坐标：___________． 【答案】（1）2，1；（2）；（3）；【拓展应用】或 【分析】（1）分别将，代入求解即可； （2）过点作轴交于点，利用“K型全等”模型可得，求出，，进而可得点E的坐标； （3）过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，利用“K型全等”模型可得，求出点坐标，再利用待定系数法即可求解； 拓展应用：分两种情况，在射线或射线上时，分别利用全等三角形的判定与性质求出直线的解析式，然后联立解析式求出点P的坐标即可． 【详解】解：（1）将代入可得，即， 将代入可得，即， 故答案为：2，1； （2）过点作轴于点F，    ∵， ∴由“K型全等”模型可得， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为； （3）过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，    ∵， ∴， 由“K型全等”模型可得， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 拓展应用：当点在射线上时，作交于点，过作x轴的垂线，作，，如图：    则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点C坐标为，点E坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立：， 解得， ∴P， 当在射线上时，作，作，，且，如图：    则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵点C坐标为，点E坐标为， ∴，， 由勾股定理可得：， 解得， 由勾股定理可得：，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立， 解得 ∴， 综上，点P的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，解二元一次方程组等知识，解题的关键是熟练掌握相关基础知识. 【经典例题八 一次函数中的平移模型】 【例8】（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）在平面直角坐标系中，点是直线上一点，点向上平移5个单位长度得到点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与线段有公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键． （1）将点代入，求出，得到点的坐标，再根据平移的法则即可得出、的坐标； （2）分别求出直线过点、时的值，再结合函数图象即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点是直线上一点， ∴． ∴点的坐标为， ∴点向上平移5个单位长度得到点的坐标为； （2）解：当直线过点时，得， 解得． 当直线过点时，得， 解得． 如图，若一次函数与线段有公共点，则的取值范围是且． 1．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系xOy中，正方形的顶点，，点B在点A的右侧，点C，点D在的下方． (1)直接写出的长度（用含m的式子表示）； (2)若三角形的面积为3． ①求m的值； ②在平面直角坐标系中，二元一次方程的图象都是一条直线，直线上每个点的坐标（x，y）都是这个方程的一个解．记二元一次方程（）的图象为直线l，直线l与正方形的边，分别交于点E，点F，如图所示，且三角形的面积为．现将正方形进行平移，使得直线l与正方形的边分别交于点P，点Q，在平移过程中，是否存在三角形的面积也为的情形？若存在，请探究如何平移；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，上下平移距离与左右平移距离之差为定值2 【分析】（1）根据两坐标横坐标作差即可； （2）①根据三角形的面积为3，列式计算即可；②分别表示出的长，代入到面积公式中求出的坐标，表示出，求出，再利用面积公式求出最终结果即可； 本题主要考查一次函数与几何的实际应用，坐标与图形的知识，采用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）①因为 所以，       所以． ②因为正方形中，轴，轴，且E在上，F在上， 所以． 因为E、F在二元一次方程的图象上， 所以将代入方程， 得：， 将代入方程， 得： ， 所以，即， 所以，即 所以， 因为 所以， 因为， 所以 ，       所以 所以 设点C平移后的坐标， 所以， 因为P，Q两点都在二元一次方程的图象上， 所以，， 所以． 因为， 所以 所以     上下平移距离与左右平移距离之差为定值2． 2．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标； （2）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 3．（22-23七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在矩形中；点为坐标原点，点，点、在坐标轴上，点在边上，直线交轴于点.对于坐标平面内的直线，先将该直线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，这种直线运动称为直线的斜平移.现将直线经过2次斜平移，得到直线. (1)求直线与两坐标轴围成的面积； (2)求直线与的交点坐标； (3)在第一象限内，在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)直线L1与两坐标轴围成的面积 (2)直线与的交点坐标 (3)存在，点的坐标：或 【分析】（1）确定直线的解析式，分别求出直线与坐标轴的交点坐标即可求解； （2）左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解； （3）分类讨论、、，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将代入得：， ∴ ∴ 令，则， ∴直线与两坐标轴围成的面积为： （2）解：由题意得：直线的解析式为：， 令，则， ∴直线与的交点坐标为 （3）解：由（2）得：直线的解析式为：， 令，则， 令，则， 时，如图所示： 此时点，点与点重合，故； ，如图所示：     此时点，不在第一象限内，舍去； ，如图所示：     作轴，， 则， ∴ ∵ ∴ ∴ 设点 ∴ 解得： ∴ 综上所述：或 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数的平移、特殊三角形的存在性问题．掌握分类讨论的数学思想是解决第三问的关键． 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求m的值； (2)求的面积； (3)已知一次函数的图象为，且不能围成三角形，请求出k的值． 【答案】(1)2 (2)20 (3)或2或 【分析】本题考查一次函数的图象与性质的理解与综合应用能力．恰当利用待定系数法求出一次函数与坐标轴的交点坐标，巧用图象信息进行分析是解本题的关键． （1）利用待定系数法将点代入的解析式中即可求解； （2）由（1）求出点的坐标值（纵坐标即为三角形的高），将点A代入的解析式中求出具体坐标值（横坐标即为三角形的底），利用三角形的面积公式即可求解； （3）根据为正比例函数图象且过点得出具体解析式，再由的解析式得其恒过点，后根据图象移动变化可知当与，平行或经过点时符合题意，最后得出结论． 【详解】（1）解：把点代入得， ， ． （2）由（1）已知交点，作于点， ． 点在解析式上， 时，，解得． 点，． ． （3）如图，由题意得， 的解析式为，与相交于点，为正比例函数图象， 设的解析式为． ，解得． 的解析式为． 的解析式为，当时，， 恒过点． 、、不能围成三角形， 当与平行时，、、不能围成三角形，； 当与平行时，、、不能围成三角形，； 当经过点时，、、不能围成三角形，． 当，2或时，、、不能围成三角形． 2．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，过点C作直线与y轴相交于D点． (1)当k满足什么条件时，函数y的值随x的值的增大而增大； (2)求的面积； (3)若点A和点B在直线的两侧，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与几何综合，坐标与图形： （1）根据一次函数的性质可得，当一次项系数大于0时，，函数y的值随x的值的增大而增大，据此求解即可； （2）先求出的长，再求出点C到的距离，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）分别求出直线恰好经过点A和点B时k的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，函数y的值随x的值的增大而增大， ∴， 解得，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴C点到所在直线的距离为， ∴的面积； （3）解：当直线经过点时，， 解之得，； 当直线经过点时，， 解得，， ∴点A和点B在直线的两侧时，k的取值范围为． 3．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m．    (1)求点A、B的坐标； (2)求的面积； (3)当时，求的面积； (4)当时，求m的值． 【答案】(1)， (2)6 (3) (4)m的值是2或6 【分析】（1）令，求出点坐标，令，求出点坐标； （2）三角形的面积公式进行计算即可； （3）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可； （4）根据，求出点的纵坐标，进一步求出m的值． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，； ∴，； （2） （3）当时，， ∴． （4）设点C的纵坐标为， ∵， ∴， ∴，． 当时，，； 当时，，． 综上满足条件的m的值是2或6． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出一次函数与坐标轴的交点坐标，是解题的关键． 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以的速度沿着B→C→D→A的方向移动到点A，设移动过程中三角形的面积为S（），移动时间为t（s）．    (1)写出S与t之间的函数关系式； (2)①当时，求三角形的面积；②当三角形的面积为时，求t的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据题意可分当点P在上，当点P在上，当点P在上，然后分别求出函数解析式即可； （2）①由（1）可进行求解；②根据（1）中函数解析式，然后把三角形的面积为代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：①当点P在上，即， ∴； ②当点P在上，即，此时三角形的面积为长方形面积的一半，即为； ③当点P在上，即，此时， ∴； 综上所述：S与t之间的函数关系式为； （2）解：①当时，则， ∴； ②由（1）可知：当三角形的面积为时，则有： 或， ∴或． 【点睛】本题主要是考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 5．（22-23八年级下·广东珠海·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点A、B两点，点C在线段上，，P为线段上的一点，连接． (1)求的长； (2)当与面积相等时，求P的坐标． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先求出点A的坐标，进而得到，再由，可得； （2）设，先求出点B的坐标，进而得到，根据三角形面积公式得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵点C在线段上，， ∴； （2）解：设， 在中，当时，， ∴， ∴ ∵与面积相等， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 6．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点B和点C，点D是直线与y轴的交点． (1)直接写出点D、B的坐标： (2)设是直线在x轴上方图象上一点，当的面积为5时，点M的坐标为___； (3)P是x轴上的一个动点，若为等腰三角形，点P可能的位置有4个，请按照从左到右的顺序直接写出这四个位置的坐标 【答案】(1) (2) (3)；；； 【分析】（1）对于直，令，对于，令，即可求解； （2）先求出点C的坐标，可得，再根据三角形面积公式，求出x的值，即可求解； （3）分三种情况：若；若；若，即可求解． 【详解】（1）解：对于直，令，则， ∴点B的坐标为； 对于，令，则， ∴点D的坐标为； （2）解：∵是直线在x轴上方图象上一点， ∴， 对于，令，则， ∴点C的坐标为， ∵点B的坐标为， ∴， ∵的面积为5， ∴，即， 解得：， ∴点M的坐标为； 故答案为： （3）解：设点P的坐标为， ∵点C的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， 若， ∴， 解得：或9， 此时点P的坐标为或； 若，此时点P和点C关于y轴对称， ∴点P的坐标为； 若，如图， 此时，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为；；；． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 7．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数 的图象经过点 ，与x轴以及的图象分别交于点 C，D，且点 D的坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)在平面内直线的右侧是否存在点 P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入，求出点，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可求解； （2）连接，根据，即可求解； （3）分两种情况：当时；当时，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得： ， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 由（1）得：， 对于，当时，， ∴点， 对于，当时，， ∴点， ∴， ∴    ； （3）解：如图，当时，过点D作轴，，垂足分别为， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 如图，当时，过点D作轴，轴，垂足分别为， 同理点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解． 8．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B．    (1)求直线的解析式和点B的坐标． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点的坐标； （2）根据，，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）设直线的函数表达式为． 图象经过点，， ， 解得， 直线的函数表达式为． 联立， 解得：， 点的坐标为； （2），， ； （3）点在轴上， ， 当是直角三角形时，需分和两种情况． ①当时，点在图中的位置： 点和点均在轴上， 轴． ， ；    ②当时，点在图中的位置： 设， ，，， ，，，， ． 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ． 综上可知，在轴上存在点，使得是直角三角形，点的坐标为或． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）先求出点，可得点，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）当点D在y轴上时，根据题意可得垂直平分，从而得到点D与点B关于x轴对称，可求出点D的坐标；当时，过点D作轴于点H，设，则，根据勾股定理求出s的值，即可求出点D的坐标； （3）先求出点M的坐标为，可设直线的解析式为，从而得到点，，继而得到，设（其中A为定值），，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，，当时，， ∴点， ∵直线关于轴对称的直线与轴交于点． ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在， 如图， 当点D在y轴上时， ∵，， ∴垂直平分， ∴点D与点B关于x轴对称， ∴点D的坐标为， 此时均为等腰三角形，符合题意； 当时，过点D作轴于点H，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：对于直线， 当时，， ∴点M的坐标为， 可设直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴点，， ∴，， ∴， 设（其中A为定值）， ∴， 即， ∴且， 解得：． 【点睛】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到新定义、一次函数的性质、待定系数法求函数表达式，数据处理是本题的难点． 10．（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，已知直线经过点并和x轴交于点A．    (1)求点A的坐标； (2)若直线与y轴交于点D，与直线交于点C，求点C与点D的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)A点坐标 (2)C点坐标； (3)9 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，关键是掌握以上知识点． （1）在中，令，即可求解；； （2）联立两个函数解析式，即可求得的坐标，根据直线与轴交于点，当时，，即可得出点的坐标； （3）设直线交轴于点，过点作于，求得直线、直线与轴的交点坐标，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A， 当时，， A点坐标； （2）解：联立和， 解得：，代入，得， C点坐标； ∵直线与y轴交于点D， 当时，， ． （3）解：设直线交y轴于点E，过点C作于F，如图，    在中，令，则， ， ∵点，，． ，，， ． 11．（23-24八年级下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点P是直线上的一个动点，且点P在第一象限，当的面积是10时，求点P的坐标； (3)交y轴于点C，D是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】题目主要考查一次函数的图象及面积问题，分类讨论及勾股定理解三角形，理解题意，根据题意分情况分析是解题关键． （1）直接根据一次函数的性质求解即可； （2）根据题意得出，然后设，结合图形得，即可求解； （3）设点，根据勾股定理确定，分两种情况分析：当时，当时，分别利用一次函数的性质及全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴当时，；当时，， ∴； （2）∵直线，当时，；当时，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）设点， ， ， 解得：， ∴， 当时，如图所示： ∴直线的解析式为， 设点， ∵， ∴， 解得：, ， ∴或； 当时，过点A作轴，过点D作，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D纵坐标为：， ∴； 综上可得：或或． 12．（23-24八年级下·新疆吐鲁番·期末） 如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为 (2) 或 【分析】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质． （1）利用待定系数法确定函数关系式即可求解； （2）根据点的横坐标为，得，根据轴，得，求出，得出，再分当与当分别进行求解即可. 【详解】（1）解∶ 将点代入 中， 得∶， 解得∶， 直线为， 将点代入中， 得∶， 解得：， 直线为； （2）横坐标为， 则， 轴， 点在直线上， ， 直线 与轴交于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时， 或 ． 13．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．    (1)求出点A的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）根据，解方程组得，得； （2）根据得到，根据点D是直线上一点，设，根据，确定点D坐标，设解析式解答即可； （3）分是正方形的一边和一条对角线两种情形，结合正方形的性质解答即可． 【详解】（1）根据题意，得， 解方程组，得， 故点； （2）∵， ∴， ∵点D是直线上一点， 设， 根据题意，得， 解得或， ∵点D在线段上， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． （3）∵，，设， ∵四边形是正方形， 当是正方形的一边时， ∵， ∴且． ∴点一定位于x轴上， ∴． 解得， ∴， 根据正方形的性质，得；    当是正方形的对角线时， ∵， ∴其中点坐标为． ∴点一定位于直线， ∴． 解得， ∴， 根据正方形的对称性质，得； 综上所述，符合题意的点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正方形的性质，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法，正方形的性质是解题的关键． 14．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）对于点，规定：若，那么就把叫a点P的亲密数．例如：若，则，那么4叫点P的亲密数． (1)在平面直角坐标系中，已知点． ①，与点A的亲密数相等的点是___________； ②若点E在直线上，且与点A的亲密数相同，则点E的坐标是___________； ③若点F在直线上,且与点A的亲密数相同，则点F的坐标是___________； (2)如图点P是矩形边上的任意点，且点，，点Q是直线上的任意点，若存在两点P、Q的亲密数相同，请求出b的取值范围． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】（1）根据点，得到点A的亲密数是． ①根据定义的亲密数是，的亲密数是．的亲密数是，解答即可； ②根据点E在直线上，设其坐标为，结合与点A的亲密数相同，得到，解得m值，代入计算即可； ③根据点F在直线上，设其坐标为，结合与点A的亲密数相同，得到，解得m值，代入计算即可； （2）根据矩形，且点，，根据矩形的轴对称性质，得，，根据亲密数相等，转化为直线与矩形有交点的范围问题解答即可． 本题考查了一次函数的新定义，熟练掌握新定义的定义是解题的关键． 【详解】（1）（1）根据点，得到点A的亲密数是． ①根据定义得的亲密数是，的亲密数是．的亲密数是， 故答案为：，； ②根据点E在直线上，设其坐标为， ∵与点A的亲密数相同， ∴， 解得值， 故， 故答案为：； ③根据点F在直线上，设其坐标为， ∵与点A的亲密数相同， ∴， 解得值， 故， 故答案为：； （2）∵矩形，且点，， 根据矩形的轴对称性质， ∴，， ∵存在两点P、Q的亲密数相同， ∴直线与矩形一定有交点， 当经过点时，此时，解得； 当经过点时，此时，解得； 故b的取值范围是． 15．（2024·山西大同·三模）阅读与思考 下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 应用所学知识证明直线对称问题如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法： 设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为． 方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）． 点的纵坐标为． 设点的横坐标为， ．．． 将代入，得． 点在直线上． 直线和直线关于直线对称．        方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点． 点的纵坐标为． 将代入，得． ．． ． 点和点关于直线对称． 直线和直线关于直线对称． 任务： (1)小悦周记中得到，的依据是______； (2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______； A．公理化思想    B．数形结合思想    C．分类讨论思想 (3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称． 【答案】(1)轴对称的性质 (2)B (3)见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称的性质等等： （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据题意可知用了数形结合思想； （3）方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D，则点的横坐标为c，设点的纵坐标为，则，据此求出，在中，当时，，据此可证明结论；方法二：在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于，则点的横坐标为，求出，再证明，即可得到直线和直线关于直线对称． 【详解】（1）解：由题意得，小悦周记中得到，的依据是轴对称的性质， 故答案为：轴对称的性质； （2）解：由题意得，小悦所用方法主要运用的数学思想是数形结合思想， 故选：B． （3）解：方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D， ∴由轴对称的性质可得，点的横坐标为c， 设点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴在直线上， ∴直线和直线关于直线对称； 方法二：如图所示，在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于， ∴点的横坐标为， 把代入中得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴直线和直线关于直线对称． 学科网（北京）股份有限公司 $$