3.2 指数幂的运算性质课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.2 指数幂的运算性质 1 【学习目标】 1.掌握实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算，能够熟练、准确 地进行指数式、根式等的相互转化，能够熟练地利用性质进行数式的化简、求 值等综合运算. 2.通过实数指数幂的综合运算，提高数学运算的核心素养. 2 知识点 实数指数幂的运算性质 对于任意正数,和实数 ， ，实数指数幂满足下面的运算性质： （1） ______； （2） ； （3） . 课 前 预 习 3 【诊断分析】 1.有理数指数幂的运算性质是否适用于底数或 的情况? 解：因为0的负数指数幂无意义，所以.若，如取,则 没有意义.故有理数指数幂的运算性质不适用于底数或 的情况. 2.，，， ，这个等式对吗？ 解：不对，例如不成立，其中 无意义. 课 前 预 习 4 探究点一 指数幂的综合运算 例1 化简与计算（式中的字母均为正实数） （1） ； 解： . （2） ； 解： . 课 中 探 究 5 （3） . 解： . 课 中 探 究 6 变式（1） 计算： . 解：原式 . （2）已知，，求 的值. 解：原式，因为， ，所以原 式 . 课 中 探 究 7 ［素养小结］ 利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧: （1）有括号，则先化简或计算括号里的式子； （2）无括号，则先进行指数运算； （3）负指数幂化为正指数幂的倒数； （4）底数是小数，先要化为分数，底数是带分数，先要化为假分数，然后要尽 可能用幂的形式表示，利用指数运算性质求解. 课 中 探 究 8 探究点二 条件求值 例2 已知，求 的值. 解：因为 ， 所以 . 课 中 探 究 9 变式 若将例2中的条件改为 ，则结论如何？ 解：因为 ， 所以 . 课 中 探 究 10 ［素养小结］ 对于“条件求值”问题，要根据式子的特点，弄清已知条件与待求式的联系，然 后用整体代换的思想求解.要注意恰当地变形，如分解因式等，还要注意开方时 正负值的选取. 课 中 探 究 11 拓展 [2024·皖豫名校联盟高一期中] 已知,，求 的值. 解：因为,，所以 . 课 中 探 究 12 指数式的化简求值 （1）一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、 化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为 简的目的. （2）对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或 “求值后代换”两种方法求值. （3）分式化简的方法与技巧： ①将分子、分母分解因式，可约分的先约分； ②利用公式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母； ③把其中适当的几个分式先化简，重点突破； ④可考虑整体思想，用换元法使分式简化. 备 课 素 材 13 “凑公式”法 在本节的试题中，有些式子直接计算比较麻烦，此时我们要善于观察所求式子 的结构特征，“凑”出乘法公式或因式分解公式的形式，再充分利用这些公式进 行幂的综合运算. 例 化简：且 . 解：原式 . 备 用 习 题 14 $$