4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较、4.5 信息技术支持的函数研究课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 4.5 信息技术支持的函数研究 1 【学习目标】 1.通过作图,借助数学软件体会并了解指数函数、幂函数、对数函数的增长 特性，提升数据分析、直观想象素养. 2.掌握幂函数与对数函数、指数函数的增长差异，并能解决相关问题. 3.能正确选择函数模型解决实际问题，提升数学建模素养. 2 知识点 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 给定常数,,,可知函数， 和 都是增函数，但它们的函数值增长速度不同，而且不在同一个“级别”上.随着自 变量的增大， 的函数值增长速度越来越快，会超过并远远大于 的函数值增长速度，而 的函数值增长速度则会 越来越慢. 课 前 预 习 3 【诊断分析】 1.当，时，对任意的，是否总有 成立？ 解：不是，但总存在，使得当，，时， 成 立. 2.判断某个增函数增长快慢的依据是什么？ 解：依据自变量增加相同的量，函数值增长量的大小判断.增长量越大，增长速 度越快. 课 前 预 习 4 探究点一 函数模型的增长差异 例1（1） [2024·湖北崇阳二中高一月考]下列函数中，随着 的增大，增长速度 最快的是( ) D A. B. C. D. [解析] 选项A，B，C，D分别为一次函数，常数函数，对数函数，指数函数， 且对数函数与指数函数的底数都大于1，则随着 的增大，增长最快的是指数函数. 故选D. 课 中 探 究 5 （2）四个变量，，，随变量 变化的数据如下表： 1 5 10 15 20 25 30 2 26 101 226 401 626 901 2 32 1024 32 768 2 10 20 30 40 50 60 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于 呈指数函数变化的变量最可能是___. [解析] 以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量 ，，，均是从2开始变化的，变量，，， 都是越来越大的，但 是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，可知变量最可能关于 呈指数 函数变化. 课 中 探 究 6 变式（1） 若函数，， ，则由表中数据确定 ，， 依次对应( ) 1 2 0.2 0.2 5 50 25 3.2 10 200 200 102.4 D A.，， B.，， C.，， D.，， [解析] 因为,，所以 ； 因为,，所以； 因为 ,，所以 ，故选D. 课 中 探 究 7 （2）如图是某市相关部门根据 统计数据绘制的该市7岁以下女童 身高的中位数的散点图，给出 下列函数模型，其中可近似刻画 身高（单位： ）随年龄 （单位：岁）变化规律的是( ) B A. B. C. D. [解析] 由散点图知，随着的增长， 的增长速度越来越慢，排除A，C； 当 时，函数有意义，排除D，只有B符合题意.故选B. 课 中 探 究 8 ［素养小结］ 三种函数（指数函数、幂函数、对数函数）都是增函数时，当自变量充分大时， 指数函数的函数值最大，但必须满足自变量的值大到一定程度，因此判断一个增 函数是否为指数型函数时，一般比较当自变量增加到一定程度时，自变量增加相 同的量，函数值的增长量是否为最大，若是，则这个函数就可能是指数型函数. 课 中 探 究 9 探究点二 指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较 例2 函数和 的图象如图所示.设两函数的图象交于点 ，，且 . （1）请指出图中曲线， 分别对应的函数； 解：对应的函数为， 对应的函数为 . 课 中 探 究 10 （2）结合函数图象，判断，，， 的大小关系. 解：因为，，， ， 所以，，所以 . 从图象可以看出， 当时， ，所以 ； 当时，，所以 . 又因为 ， 所以 . 课 中 探 究 11 变式 函数 ， 的图象如图所示. （1）指出曲线， 分别对应哪 一个函数； 解：由题图知，对应的函数为，对应的函数为 . （2）比较两函数的大小（以两图象交点的横坐标,为分界，对， 的 大小进行比较）. 解：当时， ； 当时， ； 当时， . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 根据图象判断函数是指数函数、对数函数或幂函数时，通常是观察函数图象上 升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数型函数，图象趋于 平缓的函数是对数型函数. 课 中 探 究 13 探究点三 实际应用题 例3 [2024·浙江湖州高一期末] 随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车 的普及率越来越高．某型号电动汽车进行耗电量测试，限速 （不含），经多次测试得到该汽车每小时的耗电量（单位： ）与 速度（单位： ）之间的一组数据如下表所示． 0 10 30 70 M 0 1325 3375 9275 为了描述该汽车每小时的耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，， ． 课 中 探 究 14 （1）当 时，请选出一种你认为最符合表格中所列数据的函数模型， 并求出相应的函数解析式. 解：对于，当 时，它无意义，所以不符合题意； 对于 ，显然该函数是减函数，所以不符合题意， 故应选 ． 根据提供的数据，可得解得 所以当时， ． 课 中 探 究 15 （2）在本次测试中，该电动汽车的最长续航里程为 ．若测试过程为匀 速行驶，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车的总耗电量 （单位： ）最小？并计算出该最小值． 解：设车速为，则所用时间为 ， 总耗电量 ， 所以当测试时的车速为 时， 该电动汽车的总耗电量最小，最小值为 ． 课 中 探 究 16 变式 某公司为了实现年销售利润1000万元的目标，准备制订一个激励销售人 员的奖励方案（该方案针对的销售利润范围为10万元万元 ） 按销售利 润进行奖励，且奖金数额（单位:万元）随销售利润 （单位:万元）的增加而增 加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的 .现有三个 奖励模型:，， .问其中是否有模型能完全符 合公司的要求？请说明理由. （参考数据:，， ,参考结论： 在 上单调递减） 课 中 探 究 17 解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足当 时， ①函数单调递增；； . （1）对于，易知满足①，但当时， ，故不满足公司的要求. （2）对于，易知满足①，但当时， ，故不满足公司的要求. （3）对于 ，易知满足①. 当时， ， 因为，所以 ，满足②. 课 中 探 究 18 下面证明 ，即， . 设， ， 则由题意知在 上单调递减， 所以 ， 所以 ，满足③. 综上，奖励模型 能完全符合公司的要求. 课 中 探 究 19 ［素养小结］ 函数模型的选取主要取决于实际问题中变量的变化规律:（1）指数函数模型适 合于描述增长速度急剧的变化规律;（2）对数函数模型适合于描述增长速度平 缓的变化规律;（3）幂函数模型适合于描述增长速度一般的变化规律. 课 中 探 究 20 （1）对于指数型函数，，为常数，，且 ， 当时，增长特点是随着自变量 的增大，函数值增长的速度越来越快，常 称之为“指数爆炸”；当时，随着自变量 的增大，函数值由快到慢地 减少.生活中经常接触的储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数函数模型，指 数型函数增长随底数的不同而不同. 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起作为本金，再 计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄. 备 课 素 材 21 （2）对于对数型函数，，为常数，， 且 ，当时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着 的值逐渐增 大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当 时，随着 的值逐渐增大，相应函数值逐渐减少，变化得越来越慢. （3）对于幂函数模型，， 为常数，， ， ，其增长情况由和 的取值确定. 备 课 素 材 22 函数模型的选择 例 18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离 太阳的平均距离（天文单位）如下表： 行星 1 （金星） 2 （地球） 3 （火星） 4 （ ） 5 （木星） 6 （土星） 7 （ ） 距离 0.7 1.0 1.6 （ ） 5.2 10.0 （ ） 他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然 发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你 推测谷神星的位置.在土星外面是什么星？它离太阳的平均距离大约是多少？ 备 用 习 题 23 解：作出散点图如图所示，根据散点图 知，宜选用指数型函数. 设,且 ， 将表中前三个数据， ， 分别代入，解得 ， ， ，所以，把和 分别代入检验， 得，，符合题意.故， . 谷神星在离太阳的平均距离为2.8天文单位的位置.实际上，后来在离太阳的平均距 离约为19.2天文单位处发现了天王星，与19.6非常接近,提丢斯创造了一个天文史上 的神话. 备 用 习 题 24 $$