专题训练：手拉手旋转相似＋射影定理相似模型专训-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

专题训练：手拉手旋转相似＋射影定理相似模型专训 1．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（　　） A．4 B．2 C． D．4 2．（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（　　） A．4 B．4 C．4 D． 3．（2024•沙坪坝区校级开学）如图，在正方形ABCD中，AB＝2a，点E是边AB上的一点，且，连接DE，AM⊥DE于点M，CN⊥DE于点N，连接CM，则CM的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2022•金华模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，点P是直线CD上（不与点C重合）的动点，连结BP，过点B作BP的垂线分别交直线AD、直线CD于点E、F，连结PE． （1）如图，当AD＝4，点P是CD的中点时，求tan∠EBA的值； （2）当AD＝2时， ①若△DPE与△BPE相似，求DP的长． ②若△PEF是等腰三角形，求DE的长． 5．（2021秋•滨江区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于∠DAC，且DG⊥PG，即∠DPG＝∠DAC．连接CG，则CG最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•海曙区校级月考）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D． 7．（2024•宁明县三模）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　 　． 8．（2023•桐庐县一模）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC边上，∠BAD＝∠CAE，边DE与AC相交于点F． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）如果AE∥BC，DA＝DC，连结CE． 求证：四边形ADCE是菱形． 9．（2022秋•开化县期中）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若AC：DC＝2：3，BC＝6，求EC的长． 10．（2022秋•余姚市校级期中）定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为”相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”． （1）如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕着点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等，并说明理由． （2）如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DE和AE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由． （3）如图4，在等边△ABC中，D是三角形内部一点，且AD＝，BD＝2，DC＝，求△ABC的面积． 11．（2023秋•兰溪市校级月考）【问题呈现】 △CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系． （1）如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：　 　． （2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当，，DE＝2时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长． 12．（2024秋•锦江区校级月考）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，＝，点M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．然后将△BMN绕点B顺时制转α°（0°＜α°＜360°），连接CN，AM，直线CN与直线AM交于点K． （1）如图1，在△BMN旋转过程中，的值是否发生变化？若不变，求出的值； （2）如图2，当点K在直线BC的上方时，连接BK，当BK＝8时，求的值； （3）若CB＝4，在△BMN旋转过程中，当C，B，N三点构成的三角形为直角三角形时，请直接写出CK的长． 13．（2023秋•衡阳期末）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，，求的值． 14．（2024秋•嘉定区校级月考）如图（图1），△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点P是AC边上的一点．取结PB交CD于点F，过点P作PB的垂线交AB边于点E． （1）求证：△PAE∽△BCF； （2）当P是AC边的中点，时，如图2，求的值； （3）当P是AC边的中点．，请直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练：手拉手旋转相似＋射影定理相似模型专训 1．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（　　） A．4 B．2 C． D．4 【分析】根据矩形的性质可得∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，从而求出AE，CE的长，然后根据射影定理证明△ADE∽△DCE，从而可得DE2＝AE•CE，即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2， ∵AE＝3CE， ∴AE＝AC＝，CE＝AC＝， ∵∠ADC＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝∠CED＝90°， ∴∠ADE+∠DAC＝90°， ∴∠ADE＝∠ACD， ∴△ADE∽△DCE， ∴＝， ∴DE2＝AE•CE＝×＝， 故选：C． 2．（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（　　） A．4 B．4 C．4 D． 【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠B＝90°， ∴∠A＝∠DCB， ∵∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴△ADC∽△CDB， ∴＝，即＝， 解得：CD＝4， 故选：A． 3．（2024•沙坪坝区校级开学）如图，在正方形ABCD中，AB＝2a，点E是边AB上的一点，且，连接DE，AM⊥DE于点M，CN⊥DE于点N，连接CM，则CM的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由正方形的性质可得：∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝2a，由勾股定理可得DE＝a，再由△DAM∽△DEA，可得＝＝，即＝＝，求得AM＝a，DM＝a，再由△ADM≌△DCN（AAS），可得DN＝AM＝a，CN＝DM＝a，MN＝DM﹣DN＝a﹣a＝a，运用勾股定理即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2a， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝2a， ∵BE＝AE，AE+BE＝AB， ∴AE＝AB＝a， 在Rt△ADE中，DE＝＝＝a， ∵AM⊥DE，CN⊥DE， ∴∠AMD＝∠DNC＝∠CNM＝90°， ∵∠ADM＝∠EDA， ∴△DAM∽△DEA， ∴＝＝，即＝＝， ∴AM＝a，DM＝a， ∵∠ADM+∠CDN＝∠DCN+∠CDN＝90°， ∴∠ADM＝∠DCN， 在△ADM和△DCN中， ， ∴△ADM≌△DCN（AAS）， ∴DN＝AM＝a，CN＝DM＝a， ∴MN＝DM﹣DN＝a﹣a＝a， 在Rt△CMN中，CM＝＝＝a； 故选：D． 4．（2022•金华模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，点P是直线CD上（不与点C重合）的动点，连结BP，过点B作BP的垂线分别交直线AD、直线CD于点E、F，连结PE． （1）如图，当AD＝4，点P是CD的中点时，求tan∠EBA的值； （2）当AD＝2时， ①若△DPE与△BPE相似，求DP的长． ②若△PEF是等腰三角形，求DE的长． 【分析】（1）根据矩形的性质及同角的余角相等可得∠ABE＝∠PBC，再运用三角函数定义即可求得答案； （2）①根据△DPE与△BPE相似，∠PDE＝∠PBE＝90°，可得△DPE∽△BPE或△DPE∽△BEP，分两种情况讨论即可； ③由△PEF是等腰三角形，可得PE＝PF或PE＝EF或PF＝EF，分三种情况进行讨论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝4，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵点P是CD的中点， ∴CP＝CD＝2， ∵BP⊥EF， ∴∠ABE+∠ABP＝90°， ∴∠ABE＝∠PBC， ∴tan∠EBA＝tan∠PBC＝＝＝． （2）①∵△DPE与△BPE相似，∠PDE＝∠PBE＝90°， ∴△DPE∽△BPE或△DPE∽△BEP， 当△DPE∽△BPE时， ∴＝＝， ∴PD＝PB，BE＝DE， 设PD＝x，则PB＝x，PC＝4﹣x， 在Rt△BPC中，BC2+PC2＝PB2， ∴22+（4﹣x）2＝x2， 解得：x＝， ∴PD＝． 当△DPE∽△BEP时，如图2， ∴＝＝， ∴DP＝BE，DE＝BP， ∵DP＝BE＞AB， ∴点P在DC的延长线上， 在△DEF和△BPF中， ， ∴△DEF≌△BPF（AAS）， ∴DF＝BF， 设DF＝BF＝m，则CF＝4﹣m， 在Rt△BFC中，BC2+CF2＝FB2， ∴22+（4﹣m）2＝m2， 解得：m＝， ∴DF＝BF＝，CF＝， ∵∠FBC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠BPC＝90°， ∴∠FBC＝∠BPC， ∵∠BCF＝∠BCP， ∴△FBC∽△BPC， ∴＝，即＝， ∴CP＝， ∴DP＝DC+CP＝4+＝， 综上所述，PD＝或． ②∵△PEF是等腰三角形， ∴PE＝PF或PE＝EF或PF＝EF， 当PE＝PF时，如图3， ∵BP⊥EF， ∴EB＝BF， ∴EF＝2FB， ∵BC∥AD， ∴△FBC∽△FED， ∴＝＝， ∴DE＝2BC＝2×2＝4； 当PE＝EF，点P在CD的延长线上时，如图4， 设CF＝m，则DF＝m+4， ∵PE＝EF，ED⊥PF， ∴DP＝DF＝m+4， ∴CP＝DP+DC＝m+8， ∵∠PBF＝∠PCB＝∠BCF＝90°， ∴∠PBC+∠BPC＝90°，∠PBC+∠FBC＝90°， ∴∠BPC＝∠FBC， ∴△PBC∽△BFC， ∴＝，即＝， ∵m＞0， ∴m＝2﹣4， ∴CF＝2﹣4，DF＝2， ∵BC∥AD， ∴△FBC∽△FED， ∴＝，即＝， ∴DE＝＝10+4； 当PE＝EF，点P在DC的延长线上时，如图5， 设CP＝t，则DP＝t+4， ∵PE＝EF，ED⊥PF， ∴DP＝DF＝t+4， ∴CF＝DF+DC＝t+8， ∵∠PBF＝∠PCB＝∠BCF＝90°， ∴∠PBC+∠BPC＝90°，∠PBC+∠FBC＝90°， ∴∠BPC＝∠FBC， ∴△PBC∽△BFC， ∴＝，即＝， ∵t＞0， ∴t＝2﹣4， ∴CP＝2﹣4，DF＝2，CF＝2+4， ∵BC∥AD， ∴△FBC∽△FED， ∴＝，即＝， ∴DE＝＝10﹣4； 当PF＝EF时，如图5， ∵PF＝EF， ∴∠BEP＝∠DPE， ∵∠EBP＝∠PDE＝90°， ∴△BEP≌△DPE（AAS）， ∴BP＝DE， 设CP＝n，则DP＝4+n， ∴DE2＝BP2＝BC2+CP2＝4+n2， ∵∠FBP＝∠BCF＝∠BCP＝90°， ∴∠BFC+∠FBC＝90°，∠FBC+∠PBC＝90°， ∴∠BFC＝∠PBC， ∴△BFC∽△PBC， ∴＝，即＝， ∴CF＝， ∴DF＝4﹣，EF＝PF＝n+， ∵DE2+DF2＝EF2， ∴4+n2+（4﹣）2＝（n+）2， 解得：n＝， ∴DE＝＝＝； 综上所述，DE的长为4或10+4或10﹣4或． 5．（2021秋•滨江区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于∠DAC，且DG⊥PG，即∠DPG＝∠DAC．连接CG，则CG最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于H，证明△ADH∽△PDG，得∠DHG＝∠DAP＝定值，则点G在射线HF上运动，故当CG⊥HF时，CG的值最小，再证FH＝FC＝DF＝1，可知HE＝CG，利用等积法求出HE的长即可． 【解答】解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E， ∵DG⊥PG，DH⊥AC， ∴∠DGP＝∠DHA， ∵∠DPG＝∠DAH， ∴△ADH∽△PDG， ∴，∠ADH＝∠PDG， ∴∠ADP＝∠HDG， ∴△ADP∽△DHG， ∴∠DHG＝∠DAP＝定值， ∴点G在射线HF上运动， ∴当CG⊥HF时，CG的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADH+∠HDF＝90°， ∵∠DAH+∠ADH＝90°， ∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF， ∴FD＝FH， ∵∠FCH+∠CDH＝90°， ∠FHC+∠FHD＝90°， ∴∠FHC＝∠FCH， ∴FH＝FC＝DF＝1， 在Rt△ADC中， ∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝2， 由勾股定理得AC＝2， DH＝， ∴CH＝＝， ∴EH＝， ∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF， ∴△CGF≌△HEF（AAS）， ∴CG＝HE＝， ∴CG的最小值为， 故选：C． 6．（2024秋•海曙区校级月考）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D． 【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠DAE＝∠BAC， A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意； B、添加∠B＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意； C、添加＝，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意； D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意； 故选：D． 7．（2024•宁明县三模）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　2　． 【分析】根据相似三角形的判定与性质，证明∠DCE＝90°，推出CP＝DE，求出DE的最小值，可得结论． 【解答】解：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，， ∴△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∵DP＝PE， ∴CP＝DE， ∵△ABC∽△ADE， ∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小， ∵AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°， ∴BC＝＝＝5， 根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，根据三角形面积得，此时AD＝＝＝， ∵＝， ∴＝， ∴DE＝AD＝4， ∴CP的最小值为×4＝2， 故答案为：2． 8．（2023•桐庐县一模）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC边上，∠BAD＝∠CAE，边DE与AC相交于点F． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）如果AE∥BC，DA＝DC，连结CE． 求证：四边形ADCE是菱形． 【分析】（1）由等角加同角相等可得∠BAC＝∠DAE，由△ABC和△ADE的顶角相等，且都是等腰三角形，以此即可证明△ABC∽△ADE； （2）根据平行线的性质得∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，进而得到∠ADF＝∠CDF，由等腰三角形三线合一的性质可得AF＝CF，再通过AAS证明△AEF≌△CDF，得到AE＝CD，由对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCE为平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ADCE是菱形． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+CAD，即∠BAC＝∠DAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠ACB＝，∠ADE＝∠E＝， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠E， ∴△ABC∽△ADE； （2）证明：如图， ∵AE∥BC， ∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF， 由（1）可知，∠DCF＝∠ADF＝∠AEF， ∴∠ADF＝∠CDF， ∵DA＝DC， ∴AF＝CF， 在△AEF和△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CD， ∵AE∥CD，AE＝CD， ∴四边形ADCE为平行四边形， ∵DA＝DC， ∴平行四边形ADCE为菱形． 9．（2022秋•开化县期中）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若AC：DC＝2：3，BC＝6，求EC的长． 【分析】（1）由∠BCE＝∠ACD，可得出∠BCA＝∠ECD，结合∠A＝∠D，可证出△ABC∽△DEC； （2）由△ABC∽△DEC，利用相似三角形的性质可得出AC：DC＝BC：CE，结合已知条件，可求出EC的长． 【解答】（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE+∠ECA＝∠ACD+∠ACE， 即∠BCA＝∠ECD． 又∵∠A＝∠D， ∴△ABC∽△DEC． （2）解：∵△ABC∽△DEC，AC：DC＝2：3， ∴AC：DC＝BC：CE＝2：3， 而BC＝6， ∴EC＝9， ∴EC的长为9． 10．（2022秋•余姚市校级期中）定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为”相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”． （1）如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕着点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等，并说明理由． （2）如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DE和AE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由． （3）如图4，在等边△ABC中，D是三角形内部一点，且AD＝，BD＝2，DC＝，求△ABC的面积． 【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE，得∠BAD＝∠CAE，利用SAS可证结论； （2）由（1）同理可证△ABE≌△ACD（SAS），得DC＝BE，∠ABE＝∠ACD，从而得BE⊥CD； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，可证DE2+CE2＝CD2，则∠CED＝90°，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于F，得CF＝CE＝1，EF＝，在Rt△ACF中，运用勾股定理求出AC的长，从而求出等边△ABC的面积． 【解答】解：（1）全等，理由如下： ∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAE＝∠EAD﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， （2）DC⊥BE，DC＝BE，理由如下： ∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°， ∵∠BAE＝∠BAC+∠EAC，∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴DC＝BE，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠EBC+∠ACB＝90°， ∴∠EAC+∠DCB＝90°， ∴DC⊥BE； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°，CE＝BD＝2， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝，∠AED＝60°， ∵DE2+CE2＝3+4＝7，CD2＝7， ∴DE2+CE2＝CD2， ∴∠CED＝90°， ∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝150°， 过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于F， ∴CF＝CE＝1，EF＝， 在Rt△ACF中，AC＝＝， ∴S△ABC＝AC2＝． 11．（2023秋•兰溪市校级月考）【问题呈现】 △CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系． （1）如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：　BE⊥AD　． （2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当，，DE＝2时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长． 【分析】（1）当m＝1时，CB＝CA，CE＝CD，延长BE交AC于G，交AD于H，由∠ACB＝∠DCE＝90°，可得∠BCE＝∠ACD，即可证明△BCE≌△ACD（SAS），有∠CBE＝∠CAD，而∠CGB＝∠HGA，得∠GCB＝∠AHG＝90°，故BE⊥AD； （2）延长BE交AC于M，交AD于N，由CB＝mCA，CE＝mCD，∠ACB＝∠DCE＝90°，证明△BCE∽△ACD，有∠CBE＝∠CAD，即可得∠MCB＝∠ANM＝90°，故BE⊥AD； （3）分两种情况：当D在线段AE上时，同（2）知△BCE∽△ACD，BE⊥AD，故＝＝m＝，得AE＝2+，根据勾股定理得（2+）2+BE2＝（2）2，解得BE＝2；当E在线段AD上时，（﹣2）2+BE2＝（2）2，解得BE＝3． 【解答】解：（1）当m＝1时，CB＝CA，CE＝CD，延长BE交AC于G，交AD于H，如图： ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，即∠BCE＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴∠CBE＝∠CAD， ∵∠CGB＝∠HGA， ∴180°﹣∠CBE﹣∠CGB＝180°﹣∠CAD﹣∠HGA，即∠GCB＝∠AHG， ∵∠GCB＝90°， ∴∠AHG＝90°， ∴BE⊥AD； 故答案为：BE⊥AD； （2）当m≠1时，（1）中的结论还成立，理由如下： 延长BE交AC于M，交AD于N，如图： ∵CB＝mCA，CE＝mCD， ∴＝m＝， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，即∠BCE＝∠ACD， ∴△BCE∽△ACD， ∴∠CBE＝∠CAD， ∵∠CMB＝∠NMA， ∴180°﹣∠CBE﹣∠CMB＝180°﹣∠CAD﹣∠NMA，即∠MCB＝∠ANM， ∵∠MCB＝90°， ∴∠ANM＝90°， ∴BE⊥AD； （3）当D在线段AE上时，如图： 同（2）可得△BCE∽△ACD，BE⊥AD， ∴＝＝m＝， ∴AD＝， ∵DE＝2， ∴AE＝2+， 在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2， ∴（2+）2+BE2＝（2）2， 解得BE＝2（负值已舍去）； 当E在线段AD上时，如图： 同理可得（﹣2）2+BE2＝（2）2， 解得BE＝3（负值已舍去）； 综上所述，BE的长为2或3． 12．（2024秋•锦江区校级月考）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，＝，点M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．然后将△BMN绕点B顺时制转α°（0°＜α°＜360°），连接CN，AM，直线CN与直线AM交于点K． （1）如图1，在△BMN旋转过程中，的值是否发生变化？若不变，求出的值； （2）如图2，当点K在直线BC的上方时，连接BK，当BK＝8时，求的值； （3）若CB＝4，在△BMN旋转过程中，当C，B，N三点构成的三角形为直角三角形时，请直接写出CK的长． 【分析】（1）由点M，N分别是AB，BC的中点，可得＝＝，进而证得△ABM∽△CBN，即可求得答案； （2）由（1）可知△ABM∽△CBN，可得∠BAM＝∠BCN，过点B作BG⊥BK交CK于点G，证得△ABK∽△CBG，利用相似三角形性质和勾股定理即可求得答案； （3）分∠CBN＝90°，∠CNB＝90°，∠BCN＝90°三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）的值不变，理由如下： 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，＝， ∵点M，N分别是AB，BC的中点， ∴＝＝，∠MBN＝∠ABC＝90°， 如图1，由旋转得∠ABM+∠ABN＝∠CBN+∠ABN＝90°， ∴∠ABM＝∠CBN， ∴△ABM∽△CBN， ∴＝＝， ∴的值不变，＝； （2）如图2，过点B作BG⊥BK交CK于点G， 则∠ABK+∠ABG＝∠ABG+∠CBG＝90°， ∴∠ABK＝∠CBG， 由（1）知△ABM∽△CBN， ∴∠BAM＝∠BCN， ∴△ABK∽△CBG， ∴＝＝，即＝＝， ∴CG＝AK，BG＝， ∴CK﹣AK＝CK﹣CG＝GK， 在Rt△BGK中，GK＝＝＝， ∴CK﹣AK的值为； （3）∵CB＝4， ∴AB＝3，BN＝2，BM＝， 由（1）可知，△ABM∽△CBN， ∴∠BAM＝∠BCN， ∴∠BAM+∠CAB+∠ACK＝∠BCN+∠CAB+∠ACK＝90°， ∴∠AKC＝90°， 由题意知，C，B，N三点构成的三角形为直角三角形时，分∠CBN＝90°，∠CNB＝90°，∠BCN＝90°三种情况； 当∠CBN＝90°时，如图3， ∴AN＝1， 由勾股定理得，CN＝＝＝2， ∵∠CNB＝∠ANK，∠CBN＝∠AKN， ∴△CNB∽△ANK， ∴＝，即＝， ∴NK＝， ∴CK＝CN+NK＝2+＝， 如图4， ∴CM＝， 由勾股定理得，AM＝＝＝， 同理，△CMK∽△AMB， ∴＝，即＝， ∴CK＝； ∴CK的值为或； 当∠CNB＝90°时，如图5， 由勾股定理得，CN＝＝＝2， ∵NBM＝90°＝∠BNK＝∠NKM， ∴四边形BMKN是矩形， ∴NK＝BM＝， ∴CK＝CN+NK＝2+； 如图6， 同理，CK＝CN﹣NK＝2﹣， ∴CK的长为2+或2﹣； 当∠BCN＝90°时，由题意知，此时不成立， 综上所述，CK的长为或或2+或2﹣． 13．（2023秋•衡阳期末）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，，求的值． 【分析】问题背景 由题意得出，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝∠CAE，可证得结论； 尝试应用 连接EC，证明△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，可证明△ADF∽△ECF，得出＝3，则可求出答案． 【解答】问题背景 证明：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，， ∴△ABD∽△ACE； 尝试应用 解：如图1，连接EC， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°， ∴△ABC∽△ADE， 由（1）知△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE， 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， ∴， ∴＝3． ∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC， ∴△ADF∽△ECF， ∴＝3． 14．（2024秋•嘉定区校级月考）如图（图1），△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点P是AC边上的一点．取结PB交CD于点F，过点P作PB的垂线交AB边于点E． （1）求证：△PAE∽△BCF； （2）当P是AC边的中点，时，如图2，求的值； （3）当P是AC边的中点．，请直接写出的值． 【分析】（1）先根据已知条件证明∠CBF＝∠APE和∠BCF＝∠A，再根据相似三角形的判定证明△PAE∽△BCF即可； （2）过点P作PO⊥AC交AB于点O，再利用相似三角形的判定定理证明△EOP∽△FCP，从而证明，然后根据中位线定理求出，从而求出答案即可； （3）按照（2）中的方法进行解答即可． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠PCF+∠BCF＝90°，∠CPF+∠CBP＝90°， ∵BP⊥PE， ∴∠BPE＝90°， ∴∠CPF+∠APE＝90°， ∴∠CBF＝∠APE， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠PCF+∠A＝90°， ∴∠BCF＝∠A， ∴△PAE∽△BCF； （2）如图所示：过点P作PO⊥AC交AB于点O， ∴∠APO＝∠ACB＝90°， 由（1）可知：∠CBF＝∠APE，∠BCF＝∠A， ∴∠AEP＝∠BFC，∠OEP＝∠PFC， ∵∠EOP+∠A＝∠PCF+∠A＝90°， ∴∠EOP＝∠PCF， ∴△EOP∽△FCP， ∴， ∵P为AC中点，OP∥BC， ∴OP是△ABC的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）由（2）可知，当，理由如下： 过点P作PO⊥AC交AB于点O，如（2）中的图， ∴∠APO＝∠ACB＝90°， 由（1）可知：∠CBF＝∠APE，∠BCF＝∠A， ∴∠AEP＝∠BFC，∠OEP＝∠PFC， ∵∠EOP+∠A＝∠PCF+∠A＝90°， ∴∠EOP＝∠PCF， ∴△EOP∽△FCP， ∴， ∵P为AC中点，OP∥BC， ∴OP是△ABC的中位线， ∴， ∵， ∴＝， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$