专题训练：一元一次方程应用题-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（浙教版2024）

一元一次方程应用题专训 1．（2024•浙江模拟）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　） A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C． D． 2．（2023秋•德清县期末）某县对城区主干道进行绿化，计划把某段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺19棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗多5棵．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（　　） A．5（x+19﹣1）＝6（x﹣5﹣1） B．5（x+19）＝6（x﹣5﹣1） C．5（x+19﹣1）＝6（x﹣5） D．5（x+19）＝6（x﹣5） 3．（2023秋•莲都区期末）2023年杭州亚运会上，我国获得奖牌383枚，其中银牌111枚，金牌数是铜牌数的3倍少12枚．若设金牌数是x，则可列出方程为（　　） A．（3x﹣12）+x＝383﹣111 B．3（x+12）+x＝383﹣111 C． D． 4．（2024•台州模拟）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（　　） A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 5．（2023秋•玉环市期末）一项任务，由甲单独做需16天完成，由乙单独做需24天完成，现在乙先做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为x天，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•湖州一模）甲煤场有煤390吨，乙煤场有煤96吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？若设从甲煤场运x吨煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是（　　） A．390﹣x＝2（96+x） B．390+x＝2（96﹣x） C．390﹣x＝2×96 D．390﹣2x＝96 7．（2024•浙江模拟）从某个月的月历表中取一个2×2方块．已知这个方块所围成的4个方格的日期之和为44，求这4个方格中的日期．若设左上角的日期为x，则下列方程正确的是（　　） A．x+（x+1）+（x+7）+（x+14）＝44 B．x+（x+1）+（x+6）+（x+12）＝44 C．x+（x+1）+（x+7）+（x+8）＝44 D．x+（x+1）+（x+6）+（x+7）＝44 8．（2023•鄞州区校级开学）商店卖出两件物品，售价都是600元，第一件是正品，赚了20%，第二件是处理品，亏了20%．商店卖出这两件物品，（　　） A．赚了 B．亏了 C．不赚也不亏 D．无法确定 9．（2023秋•衢江区期末）如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左右侧及后方种植宽度均为3m的草坪．若草坪总面积为90m2，设雕塑的底面边长为x m，则有（　　） A．2×3x+3（x+3）＝90 B．2×3（x+3）+3x＝90 C．3×3（x+3）＝90 D． 10．（2024秋•金华月考）如图，甲乙两只蚂蚁分别从数轴上的A，B两点处同时出发，相向而行．甲蚂蚁的速度为每分钟6个单位长度，乙蚂蚁的速度为每分钟4个单位长度．一只蝴蝶精灵与甲同时从A地出发，当蝴蝶精灵碰到乙后，马上返回遇上甲，再返回遇上乙，依次反复，直至甲和乙两只蚂蚁相遇为止．已知蝴蝶精灵的速度为每分钟20个单位长度，那么，在这一过程中，蝴蝶精灵一共飞行了（　　）个单位长度． A．2020 B．4420 C．5400 D．缺少条件，无法计算 11．（2024•镇海区校级一模）《算学启蒙》中记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则列出方程为 　 　． 12．（2023秋•南浔区期末）元旦期间南浔某商场进行促销活动，把一件进价为600元的羽绒衣，按照标价的八折出售后仍可获得20%的利润，则这件羽绒衣的标价是 　 　元． 13．（2023秋•慈溪市期末）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为3：2，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为100cm，宽为26cm，装裱后的周长与装裱前的周长比为3：2．则天头长为 　 　cm． 14．（2024秋•乐清市期中）底面积为48cm2，高为10cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为h1，现将一个边长为4cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为a cm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为h2，若，则a＝ 　 　cm． 15．（2024秋•金华月考）如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、90（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． （1）直尺的长为 　 　个单位长度． （2）如图2，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺AB沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间为t1、t2，若t1﹣t2＝4（秒），求直尺放入篷内，A点对应的数为 　 　． 16．（2024秋•杭州期中）某购物平台双11期间搞促销活动，一次购物不超过200元时不予优惠；超过200元而不超过500元时按总价的90%优惠；超过500元时，其中500元部分按9折优惠，超过500元部分按8折优惠．问： （1）若要购买总价为350元的货物，则实际付款 　 　元； （2）若方方购买一批总价为a（a＞500）元的货物，则方方需付款 　 　元（用含a的代数式表示）； （3）圆圆两次购物分别付款189元和466元．若圆圆将这两次购物合成一次购买，则可以优惠多少元？ 17．（2023秋•玉环市期末）某班级组织去游乐园开展研学活动，已知成人门票每张280元，学生门票每张220元． （1）若参加的家长和学生总人数为50人，需收取门票费用11300元，问家长和学生各几人？ （2）游乐园推出活动，若学生人数50人及以上，优惠方案为：成人门票每张240元，学生门票每张150元，在（1）的基础上，又有几位同学报名参加，最终门票费用比原价购买情况下优惠了30%，那么新增了几名同学？ 18．（2023秋•临海市期末）科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长25m的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为4s，运动过程如下： 第1次从起点出发以vm/s的速度运动到记录点P1；第2次从P1出发以2vm/s的速度运动到记录点P2；第3次从P2出发以3vm/s的速度运动到记录点P3；第4次从P3出发以4vm/s的速度运动到记录点P4，到达P4后停止． （1）当v＝1时，P2到起点的距离为 　 　m； （2）若机器人的运动速度不超过8m/s． ①v的最大值为：　 　． ②当点P3到起点的距离为8m时，求v的值； ③记录点能恰好为终点吗？若能，请求出v的值；若不能，请说明理由． 19．（2023秋•越城区校级期末）一家电信公司推出如下两种移动电话计费方式： 类别 计费方式 计费方式A 每月收月租费58元，通话时间不超过150分钟的部分免费，超过150分钟部分按每分钟0.25元加收通话费． 计费方式B 每月收月租费88元，通话时间不超过350分钟的部分免费，超过350分钟部分按每分钟0.20元加收通话费． （1）若一个月通话时间为250分钟，则A，B两种计费方式相差多少元？ （2）小敏爸爸选用计费方式A，小聪爸爸选用计费方式B，他们一个月里通话时间正好相同，但他俩的通话费用却相差25元．试求出他俩一个月的实际通话时间． 20．（2023秋•仙居县期末）台州西站到永康南站现有一条设计时速为160km的单轨普速铁路．客车以150km/h的平均速度行驶，从“铁路12306”可查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表： 到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南 到达时间 11：03 11：25 11：53 12：04 12：23 驶出时间 11：05 11：27 11：55 12：07 （1）求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁路公里数，并标注在下面相应的铁路示意图上．例如永康南与壶镇两站的公里数为40km，标记40．（只要求写数字，单位为km）． （2）一列货运列车以120km/h的速度匀速行驶开往永康南站，在10：55通过临海南站． ①若货运列车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海南站多少千米时会追尾． ②为了确保列车运行安全，货运列车需要在客运列车追上前进入火车站，停靠在货车等待轨道等待客运列车通过（如图2）．请问：该货运列车应该停靠在哪个火车站等待客运列车通过才能使等待的时间最少？并求出停靠等待的时间（精确到1分钟）． 21．（2023秋•北仑区期末）定义：在同一直线上有A，B，C三点，若点C到A，B两点的距离呈2倍关系，即AC＝2BC或BC＝2AC，则称点C是线段AB的“倍距点”． （1）线段AB的中点 　 　该线段的“倍距点”．（填“是”或者“不是”） （2）已知AB＝9，点C是线段AB的“倍距点”，直接写出AC＝　 　． （3）如图1，在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点． ①现有一动点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，点P为AC的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段MN（如图2，点M起始位置在原点），从原点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点N为MC的“倍距点”时，请直接写出t的值． 22．（2024秋•余姚市期中）【阅读】如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN＝n﹣m． 【应用】请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣12，点B表示的数为8．点P以1个单位/秒的速度从A点出发向数轴正方向运动，点Q以3个单位/秒的速度同时从B点出发向数轴负方向运动．设运动时间为t． （1）求A、B两点之间的距离． （2）当t为何值时，点P与点Q相遇，并求出相遇点在数轴上所对应的数． （3）点P与点Q在相遇后立即以原速度向相反方向运动，在整个过程中，请问当t为何值时，OP＝2OQ？ 23．（2024秋•丽水期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费＝自来水费+污水处理费） （1）从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为 　 　元/吨，每月用水20～30吨（含30吨）为 　 　元/吨，30吨及以上为 　 　元/吨． （2）随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ （3）为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 丽水市xx县自来水公司水费专用发票联 计费日期：2023﹣07﹣01至2023﹣08﹣11 付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.3 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）柒拾柒元伍角整77.50元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元一次方程应用题专训 1．（2024•浙江模拟）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　） A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C． D． 【分析】根据所设未知数，分别表示出两种情况下的人数，据此建立方程即可． 【解答】解：由题知， 因为每3人乘一车，最终剩余2辆车， 所以总人数可表示为：3（x﹣2）． 因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘， 所以总人数可表示为：2x+9， 则可建立方程：3（x﹣2）＝2x+9． 故选：B． 2．（2023秋•德清县期末）某县对城区主干道进行绿化，计划把某段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺19棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗多5棵．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（　　） A．5（x+19﹣1）＝6（x﹣5﹣1） B．5（x+19）＝6（x﹣5﹣1） C．5（x+19﹣1）＝6（x﹣5） D．5（x+19）＝6（x﹣5） 【分析】抓住等量关系两种不同栽法总长度一样，总长度＝（棵数﹣1）×每两棵之间的距离即可． 【解答】解：设原有树苗x棵， 每隔5米栽1棵，则树苗缺19棵；则总长度为5（x+19﹣1）， 每隔6米栽1棵，则树苗多5棵．则总长度为6（x﹣5﹣1）， 由题意得：5（x+19﹣1）＝6（x﹣5﹣1）． 故选：A． 3．（2023秋•莲都区期末）2023年杭州亚运会上，我国获得奖牌383枚，其中银牌111枚，金牌数是铜牌数的3倍少12枚．若设金牌数是x，则可列出方程为（　　） A．（3x﹣12）+x＝383﹣111 B．3（x+12）+x＝383﹣111 C． D． 【分析】根据获得金牌及铜牌数量间的关系，可得出获得枚铜牌，结合获得的奖牌总数，可列出关于x的一元一次方程，变形后即可得出结论． 【解答】解：∵金牌数是铜牌数的3倍少12枚．且金牌数是x， ∴获得枚铜牌． 根据题意得：x+111+＝383， 即+x＝383﹣111． 故选：C． 4．（2024•台州模拟）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（　　） A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 【分析】乙先做一天，很容易可以求出第一天乙做了总工作量的，剩下了由甲乙共同完成，可设甲乙两人还需y天完成剩余的，则可以列出一元一次方程，进而求出y的值，然后按工作量比例分配报酬． 【解答】解：设乙做1天后，两人一起还要y天能完成剩余工作量， 由题意，得y+y＝1﹣， 解得y＝2， 所以乙共完成总工作量的×（2+1）＝，报酬为×900＝450（元）， 甲完成总工作量的×2＝，报酬为×900＝450（元）， 故选：B． 5．（2023秋•玉环市期末）一项任务，由甲单独做需16天完成，由乙单独做需24天完成，现在乙先做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为x天，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意得甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲一共工作了（x﹣9）天，乙一共工作了x天，据此即可求解． 【解答】解：由题意得：甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲一共工作了（x﹣9）天，乙一共工作了x天， 故可列方程， 故选：B． 6．（2024•湖州一模）甲煤场有煤390吨，乙煤场有煤96吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？若设从甲煤场运x吨煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是（　　） A．390﹣x＝2（96+x） B．390+x＝2（96﹣x） C．390﹣x＝2×96 D．390﹣2x＝96 【分析】根据“从甲煤场运x吨煤到乙煤场”，“甲煤场存煤数是乙煤场的2倍”即可列出一元一次方程． 【解答】解：根据题意得：390﹣x＝2（96+x）， 故选：A． 7．（2024•浙江模拟）从某个月的月历表中取一个2×2方块．已知这个方块所围成的4个方格的日期之和为44，求这4个方格中的日期．若设左上角的日期为x，则下列方程正确的是（　　） A．x+（x+1）+（x+7）+（x+14）＝44 B．x+（x+1）+（x+6）+（x+12）＝44 C．x+（x+1）+（x+7）+（x+8）＝44 D．x+（x+1）+（x+6）+（x+7）＝44 【分析】根据题意和图形，可以列出关于x的方程． 【解答】解：由图可得， x+（x+1）+（x+7）+（x+8）＝44， 故选：C． 8．（2023•鄞州区校级开学）商店卖出两件物品，售价都是600元，第一件是正品，赚了20%，第二件是处理品，亏了20%．商店卖出这两件物品，（　　） A．赚了 B．亏了 C．不赚也不亏 D．无法确定 【分析】设两件物品的进价分别为x、y元，根据进价×（1+利润率）＝售价，列方程求出两件物品的进价，用总售价减去总进价即可得出答案． 【解答】解：设第一件正品的进价是x元，根据题意得， （1+20%）x＝600， 解得，x＝500， 故第一件正品的进价是500元； 设第二件处理的进价是y元，根据题意得， （1﹣20%）y＝600， 解得，y＝750， 故第二件处理品的进价是750元． 600+600﹣750﹣500＝﹣50（元）， 答：商店卖出这两件物品亏了． 故选：B． 9．（2023秋•衢江区期末）如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左右侧及后方种植宽度均为3m的草坪．若草坪总面积为90m2，设雕塑的底面边长为x m，则有（　　） A．2×3x+3（x+3）＝90 B．2×3（x+3）+3x＝90 C．3×3（x+3）＝90 D． 【分析】根据图形可知左右侧草坪面积都为3（x+3），后面剩下的草坪面积为3x，再根据草坪总面积为90m2，即可得到方程2×3（x+3）+3x＝90． 【解答】解：由图可得， 2×3（x+3）+3x＝90， 故选：B． 10．（2024秋•金华月考）如图，甲乙两只蚂蚁分别从数轴上的A，B两点处同时出发，相向而行．甲蚂蚁的速度为每分钟6个单位长度，乙蚂蚁的速度为每分钟4个单位长度．一只蝴蝶精灵与甲同时从A地出发，当蝴蝶精灵碰到乙后，马上返回遇上甲，再返回遇上乙，依次反复，直至甲和乙两只蚂蚁相遇为止．已知蝴蝶精灵的速度为每分钟20个单位长度，那么，在这一过程中，蝴蝶精灵一共飞行了（　　）个单位长度． A．2020 B．4420 C．5400 D．缺少条件，无法计算 【分析】设甲乙两只蚂蚁经过x分钟相遇，然后列方程求解即可． 【解答】解：设甲乙两只蚂蚁经过x分钟相遇，则蝴蝶精灵一共飞行了20x个单位， 根据题意可得， （6+4）x＝2023﹣（﹣187）， 解得x＝221， ∴20x＝20×221＝4420． ∴蝴蝶精灵一共飞行了4420个单位长度． 故选：B． 11．（2024•镇海区校级一模）《算学启蒙》中记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则列出方程为 　240x＝150x+10×150　． 【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可． 【解答】解：据题题意：240x＝150x+10×150， 故答案为：240x＝150x+10×150． 12．（2023秋•南浔区期末）元旦期间南浔某商场进行促销活动，把一件进价为600元的羽绒衣，按照标价的八折出售后仍可获得20%的利润，则这件羽绒衣的标价是 　900　元． 【分析】设这件衬衫的标价是x元，利用利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出这件衬衫的标价． 【解答】解：设这件衬衫的标价是x元， 依题意得：80%x﹣600＝600×20%， 解得：x＝900． 故答案为：900． 13．（2023秋•慈溪市期末）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为3：2，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为100cm，宽为26cm，装裱后的周长与装裱前的周长比为3：2．则天头长为 　31.5　cm． 【分析】设天头长为3x cm，则地头长为2x cm，边宽为＝cm，根据装裱后的周长与装裱前的周长比为3：2列出方程即可解得x的值，从而可得答案． 【解答】解：设天头长为3x cm，则地头长为2x cm，边宽为＝cm， ∵装裱后的周长与装裱前的周长比为3：2， ∴＝， 解得x＝10.5， ∴3x＝3×10.5＝31.5， ∴天头长为31.5cm； 故答案为：31.5． 14．（2024秋•乐清市期中）底面积为48cm2，高为10cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为h1，现将一个边长为4cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为a cm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为h2，若，则a＝ 　2　cm． 【分析】利用边长为4cm的立方体铁块的体积+×边长为a cm的立方体铁块的体积＝圆柱形容器的底面积×水面上升的高度，可列出关于a的一元三次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：43+a3＝48（h2﹣h1）， 即43+a3＝48×， 解得：a＝2． 故答案为：2． 15．（2024秋•金华月考）如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、90（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． （1）直尺的长为 　30　个单位长度． （2）如图2，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺AB沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间为t1、t2，若t1﹣t2＝4（秒），求直尺放入篷内，A点对应的数为 　40　． 【分析】（1）首先根据题意得到OA＝AB＝BC，然后结合OC＝90求解即可； （2）设A点对应的数为a（a＞0），向左移动所用的时间，向右移动所用的时间，根据t1﹣t2＝4列式计算即可． 【解答】解：（1）由题意得：OA＝AB＝BC， ∵OC＝90， ∴， ∴直尺的长为30个单位长度； 故答案为：30； （2）设A点对应的数为a（a＞0）， 则， 解得a＝40， 答：A点对应的数为40． 故答案为：40． 16．（2024秋•杭州期中）某购物平台双11期间搞促销活动，一次购物不超过200元时不予优惠；超过200元而不超过500元时按总价的90%优惠；超过500元时，其中500元部分按9折优惠，超过500元部分按8折优惠．问： （1）若要购买总价为350元的货物，则实际付款 　315　元； （2）若方方购买一批总价为a（a＞500）元的货物，则方方需付款 　（0.8a+50）　元（用含a的代数式表示）； （3）圆圆两次购物分别付款189元和466元．若圆圆将这两次购物合成一次购买，则可以优惠多少元？ 【分析】（1）取350，乘以90%，计算即可； （2）付款总额＝500×9折+超过500元的部分×8折，把相关数值代入计算即可； （3）分别求得圆圆第一次购物可能的价格和第二次购物的价格，进而求得两次购物可能的总价格，进而算出合并付款后的价钱，让圆圆两次购物的付款总额减去合并后付款的金额，即为比两次购物付款优惠的价格． 【解答】解：（1）350×90%＝315（元）． 故答案为：315； （2）500×+（a﹣500）＝450+0.8a﹣400＝（0.8a+50）元， 故答案为：（0.8a+50）； （3）设圆圆第一次购物的原价为x元． ①x＜200，不予优惠， ∴x＝189； ②200＜x≤500． 90%x＝189， 解得：x＝210， 设圆圆第二次购物的原价为y元． ∵付款466元， ∴原价超过500元． ∴0.8y+50＝466， 解得：y＝520， ∴两次购物的总价为：189+520＝709（元）或210+520＝730（元）， ∴若圆圆将这两次购物合成一次购买，需要付款：0.8×709+50＝617.2（元）或 0.8×730+50＝634（元）． ∴优惠的价格为：189+466﹣617.2＝37.8（元）或 189+466﹣634＝21（元） 答：若圆圆将这两次购物合成一次购买，则可以优惠37.8或21元． 17．（2023秋•玉环市期末）某班级组织去游乐园开展研学活动，已知成人门票每张280元，学生门票每张220元． （1）若参加的家长和学生总人数为50人，需收取门票费用11300元，问家长和学生各几人？ （2）游乐园推出活动，若学生人数50人及以上，优惠方案为：成人门票每张240元，学生门票每张150元，在（1）的基础上，又有几位同学报名参加，最终门票费用比原价购买情况下优惠了30%，那么新增了几名同学？ 【分析】（1）设学生有x人，则家长有（50﹣x）人，根据家长和学生总人数为50人，需收取门票费用11300元，列出方程，解方程即可； （2）设新增了y名同学，根据最终门票费用比原价购买情况下优惠了30%，列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设学生有x人，则家长有（50﹣x）人，根据题意得： 220x+280（50﹣x）＝11300， 解得：x＝45， 50﹣45＝5（人）， 答：学生有45人，则家长有5人． （2）设新增了y名同学，根据题意得： 150（45+y）+240×5＝[（45+y）×220+280×5]×（1﹣30%）， 解得：y＝10， 答：新增了10名同学． 18．（2023秋•临海市期末）科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长25m的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为4s，运动过程如下： 第1次从起点出发以vm/s的速度运动到记录点P1；第2次从P1出发以2vm/s的速度运动到记录点P2；第3次从P2出发以3vm/s的速度运动到记录点P3；第4次从P3出发以4vm/s的速度运动到记录点P4，到达P4后停止． （1）当v＝1时，P2到起点的距离为 　12　m； （2）若机器人的运动速度不超过8m/s． ①v的最大值为：　2　． ②当点P3到起点的距离为8m时，求v的值； ③记录点能恰好为终点吗？若能，请求出v的值；若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据v＝1，分别求出起点至P1的距离以及P1到P2的距离，相加即可； （2）①根据题意速度不超过8m/s即可得出答案；②分两种情况当P3未到终点时以及当P3到终点并返回时两种情况计算即可；③分别当四个记录点恰好为终点进行计算即可． 【解答】解：（1）当v＝1时， 第1次从起点出发运动到记录点P1的距离为1×4＝4（m）， 第2次从P1出发运动到记录点P2的距离为2×4＝8（m）， ∴P2到起点的距离为4+8＝12（m）， 故答案为：12； （2）①∵第4次从P3出发以4vm/s的速度运动到记录点P4，机器人的运动速度不超过8m/s， ∴v的最大值为：2， 故答案为：2； ②当机器人到达P3未到终点时，有4v+8v+12v＝8， 解得：， 当机器人到终点并返回到P3时，有4v+8v+12v＝25×2﹣8， 解得：， 或； ③若P1恰好为终点，4v＝25， 解得，舍去， 若P2恰好为终点，4v+8v＝25， 解得，舍去， 若P3恰好为终点，4v+8v+12v＝25， 解得， 或4v+8v+12v＝25×3， 解得，舍去， 若P4恰好为终点，4v+8v+12v+16v＝25， 解得， 或4v+8v+12v+16v＝25×3， 解得， 或4v+8v+12v+16v＝25×5， 解得，舍去， 综上所述，记录点恰好为终点时，v的值为或或． 19．（2023秋•越城区校级期末）一家电信公司推出如下两种移动电话计费方式： 类别 计费方式 计费方式A 每月收月租费58元，通话时间不超过150分钟的部分免费，超过150分钟部分按每分钟0.25元加收通话费． 计费方式B 每月收月租费88元，通话时间不超过350分钟的部分免费，超过350分钟部分按每分钟0.20元加收通话费． （1）若一个月通话时间为250分钟，则A，B两种计费方式相差多少元？ （2）小敏爸爸选用计费方式A，小聪爸爸选用计费方式B，他们一个月里通话时间正好相同，但他俩的通话费用却相差25元．试求出他俩一个月的实际通话时间． 【分析】（1）用计费方法A的话费为58+0.25×（250﹣150）＝83（元）；用计费方法B的话费为88元，即可求解； （2）设小敏爸爸和小聪爸爸通话时间x分钟，根据题意得：分①当150＜x＜350时；②x＞350时，两种情况，列出方程解方程即可． 【解答】解：（1）用计费方法A的话费为58+0.25×（250﹣150）＝83（元）； 用计费方法B的话费为88元， 选用A，B两种计费方式，用计费方法B的花费多，多的费用为88﹣83＝5（元）， 答：选用A，B两种计费方式相差5元； （2）设小敏爸爸和小聪爸爸通话时间x分钟， 根据题意得：①当150＜x＜350时， 58+0.25（x﹣150）﹣88＝25或88﹣58﹣0.25（x﹣150）＝25， 解方程得：x＝370（与150＜x＜350矛盾，舍去），或x＝170； ②x＞350时， 58+0.25（x﹣150）﹣[88+0.2（x﹣350）]＝25或88+0.2（x﹣350）﹣[58+0.25（x﹣150）]＝25， 解方程：x＝450，或x＝﹣550（不符合实际，舍去） 答：他俩一个月的实际通话时间为450分钟或170分钟． 20．（2023秋•仙居县期末）台州西站到永康南站现有一条设计时速为160km的单轨普速铁路．客车以150km/h的平均速度行驶，从“铁路12306”可查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表： 到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南 到达时间 11：03 11：25 11：53 12：04 12：23 驶出时间 11：05 11：27 11：55 12：07 （1）求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁路公里数，并标注在下面相应的铁路示意图上．例如永康南与壶镇两站的公里数为40km，标记40．（只要求写数字，单位为km）． （2）一列货运列车以120km/h的速度匀速行驶开往永康南站，在10：55通过临海南站． ①若货运列车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海南站多少千米时会追尾． ②为了确保列车运行安全，货运列车需要在客运列车追上前进入火车站，停靠在货车等待轨道等待客运列车通过（如图2）．请问：该货运列车应该停靠在哪个火车站等待客运列车通过才能使等待的时间最少？并求出停靠等待的时间（精确到1分钟）． 【分析】（1）根据路程＝速度×时间求出各段距离即可； （2）①分别求出货车和客车到终点永康南站前的时间，然后比较即可判断客运列车是否与货运列车发生追尾事故；假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为t分钟，根据客车和货车行驶的路程方程列方程求解即可； ②分别计算停仙居南站、停磐安南站、停壶镇站等待的时间，然后比较即可求解． 【解答】解：（1）客运列车的行驶速度150km/h＝2.5km/min； 临海南到仙居南铁路公里数：20×2.5＝50km； 仙居南到磐安南铁路公里数：26×2.5＝65km； 磐安南到壶镇铁路公里数：9×2.5＝22.5km； 标注在示意图中 （2）货运列车速度120km/h＝2km/min．客运列车的行驶速度150km/h＝2.5km/min． ①首先判断到终点永康南站前，客运列车是否与货运列车发生追尾事故． 由题意可得，以临海南站为起点，客运列车比货运列车晚10分钟出发． 临海南至永康南：铁路总里程为40+22.5+65+50＝177.5km． 货运列车用时为177.5÷2＝88.75min， 客运列车行驶时间为177.5÷2.5＝71min．三站停车总时长2+2+3＝7min． 78+10＜88.75，客运列车总用时比货运列车少，但很接近，所以猜测两车在壶镇至永康段追尾． 验证追尾：假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为t分钟． 根据题意可知：2t＝2.5（t﹣10﹣2﹣2﹣3）， 解得：t＝85， 追尾点与临海南站的距离为85×2＝170km； ②临海南至永康南铁路总行程为177.5km．因170＜177.5， 所以，若货车不等待客车先通过，两车在壶镇至永康南段将会追尾．为避免两车追尾，因此货运列车可以停靠在仙居南站、磐安南站或壶镇站等待客运列车先通过． 停仙居南站：货车用时为50÷2＝25分钟，客车用时为50÷2.5+2＝22分钟，货车等待时间：22+10﹣25＝7分钟，所以货车停仙居站等待客车通过要7分钟． 停磐安南站：115÷2＝57.5分钟，50+10﹣57.5＝2.5分钟，所以货车停磐安南站等待客车通过要3分钟． 停壶镇站：137.5÷120×60＝78.75分钟，62+10﹣68.75＝3.25分钟（客车在站点停3分钟），所以货车停壶镇站要4分钟． 综上所述，货运列车停靠在磐安南站用时最少，最少为3分钟． 21．（2023秋•北仑区期末）定义：在同一直线上有A，B，C三点，若点C到A，B两点的距离呈2倍关系，即AC＝2BC或BC＝2AC，则称点C是线段AB的“倍距点”． （1）线段AB的中点 　不是　该线段的“倍距点”．（填“是”或者“不是”） （2）已知AB＝9，点C是线段AB的“倍距点”，直接写出AC＝　3或6或9或18　． （3）如图1，在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点． ①现有一动点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，点P为AC的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段MN（如图2，点M起始位置在原点），从原点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点N为MC的“倍距点”时，请直接写出t的值． 【分析】（1）设线段AB的中点为P，看PA和PB是否呈2倍关系即可判断线段AB的中点是不是该线段的“倍距点”； （2）根据点C是线段AB的“倍距点”，可得CA＝2CB或CB＝2CA，根据点C在线段AB上和直线AB上即可求得AC的值； （3）①算出点C表示的数，用t表示出点P，进而表示出PA和PC的长，根据PA＝2PC或PC＝2PA列式即可求得t的值；②用t分别表示出点M和点N，进而表示出MN和NC的长，根据NM＝2NC或NC＝2NM列式求值即可求得t的值． 【解答】解：（1）设线段AB的中点为P， ∴PA＝PB． ∴点P到A，B两点的距离不呈2倍关系． ∴线段的中点不是线段AB的“倍距点”． 故答案为：不是． （2）∵点C是线段AB的“倍距点”， ∴CA＝2CB或CB＝2CA． ①点C在线段AB上，CA＝2CB． ∵AB＝9， ∴AC＝AB＝6； ②点C在线段AB上，CB＝2CA． ∴AC＝AB＝3． ③点C在点A的左边，CB＝2CA． ∴AC＝AB＝9； ④点C在点B的右边，CA＝2CB． ∴CA＝2AB＝18． 故答案为：3或6或9或18． （3）∵点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点， ∴点C表示的数为：＝11． 由题意得：点P表示的数为2t． ∴PA＝|2t﹣2|，PC＝|2t﹣11|． ∵点P为AC的“倍距点”， ∴PA＝2PC或PC＝2PA． ①PA＝2PC． |2t﹣2|＝2|2t﹣11|， 2t﹣2＝2（2t﹣11）或2t﹣2＝2（11﹣2t）． 解得：t＝10或t＝4． ②PC＝2PA． |2t﹣11|＝2|2t﹣2|， 2t﹣11＝2（2t﹣2）或2t﹣11＝2（2﹣2t）． 解得：t＝﹣3.5（不合题意，舍去）或t＝2.5． 综上：t为4或10或2.5． 答：当t为4或10或2.5时，点P为AC的“倍距点”； （3）由题意得：点M表示的数为：t，点N表示的数为：2+t． ∴NM＝2，NC＝|2+t﹣11|＝|t﹣9|． ∵点N为MC的“倍距点”， ∴NM＝2NC，NC＝2NM． ①NM＝2NC． 2＝2|t﹣9|． 2＝2（t﹣9）或2＝2（9﹣t）， 解得：t＝10或t＝8； ②NC＝2NM． |t﹣9|＝2×2． t﹣9＝4或9﹣t＝4． 解得：t＝13或t＝5． 综上：t的值为5或8或10或13． 22．（2024秋•余姚市期中）【阅读】如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN＝n﹣m． 【应用】请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣12，点B表示的数为8．点P以1个单位/秒的速度从A点出发向数轴正方向运动，点Q以3个单位/秒的速度同时从B点出发向数轴负方向运动．设运动时间为t． （1）求A、B两点之间的距离． （2）当t为何值时，点P与点Q相遇，并求出相遇点在数轴上所对应的数． （3）点P与点Q在相遇后立即以原速度向相反方向运动，在整个过程中，请问当t为何值时，OP＝2OQ？ 【分析】（1）利用A、B两点之间的距离＝点B表示的数﹣点A表示的数，即可求出结论； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣12+t，点Q表示的数为8﹣3t，根据点P与点Q相遇（相遇时两点表示的数相同），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入（﹣12+t）中，即可求出结论； （3）当0≤t≤5时，点P表示的数为﹣12+t，点Q表示的数为8﹣3t，根据OP＝2OQ，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出t的值；当t＞5时，点P表示的数为﹣2﹣t，点Q表示的数为3t﹣22，根据OP＝2OQ，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出t的值． 【解答】解：（1）根据题意得：AB＝8﹣（﹣12）＝20． 答：A、B两点之间的距离为20； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣12+t，点Q表示的数为8﹣3t， 根据题意得：﹣12+t＝8﹣3t， 解得：t＝5， ∴﹣12+t＝﹣12+5＝﹣7． 答：当t为5秒时，点P与点Q相遇，相遇点在数轴上所对应的数为﹣7； （3）当0≤t≤5时，点P表示的数为﹣12+t，点Q表示的数为8﹣3t， 根据题意得：0﹣（﹣12+t）＝2|8﹣3t﹣0|， 即12﹣t＝2（8﹣3t）或12﹣t＝2（3t﹣8）， 解得：t＝或t＝4； 当t＞5时，点P表示的数为﹣7﹣（t﹣5）＝（﹣2﹣t），点Q表示的数为﹣7+3（t﹣5）＝（3t﹣22）， 根据题意得：0﹣（﹣2﹣t）＝2|0﹣（3t﹣22）|， 即2+t＝2（22﹣3t）或2+t＝2（3t﹣22）， 解得：t＝6或t＝． 答：当t为或4或6或秒时，OP＝2OQ． 23．（2024秋•丽水期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费＝自来水费+污水处理费） （1）从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为 　1.8　元/吨，每月用水20～30吨（含30吨）为 　2.4　元/吨，30吨及以上为 　3.5　元/吨． （2）随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ （3）为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 丽水市xx县自来水公司水费专用发票联 计费日期：2023﹣07﹣01至2023﹣08﹣11 付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.3 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）柒拾柒元伍角整77.50元 【分析】（1）利用单价＝自来水费的单价+污水处理费的单价，即可求出结论； （2）设小青家该月份的用水量为x吨，由36＜55.2＜60，可得出20＜x＜30，利用2024年2月份小青家所缴的水费＝36+2.4×用水量超过20吨的部分，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设小青家该月份的用水量为y吨，分水费为48元及水费为74元两种情况，求出y的值，再结合“小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元”，即可确定结论． 【解答】解：（1）根据题意得：每月用水20吨及以内为1.3+0.5＝1.8（元/吨）； 每月用水20～30吨（含30吨）为19÷10+0.5＝2.4（元/吨）； 30吨及以上为15÷5+0.5＝3.5（元/吨）． 故答案为：1.8，2.4，3.5； （2）设小青家该月份的用水量为x吨， ∵26+10＝36（元），36+19+5＝60（元），36＜55.2＜60， ∴20＜x＜30． 根据题意得：36+2.4（x﹣20）＝55.2， 解得：x＝28． 答：小青家该月份的用水量为28吨； （3）设小青家该月份的用水量为y吨， 当水费为48元时，36+2.4（y﹣20）＝48， 解得：y＝25； 当水费为74元时，60+3.5（y﹣30）＝74， 解得：y＝34， ∴用水量应该控制在不少于25吨，不超过34吨． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$