精品解析：重庆市为明学校2024—2025学年上学期八年级期中数学试题

重庆市为明学校2024-2025学年（上）期中考试 八年级数学试卷 （全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟） （亲爱的同学，这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题，预祝你取得好成绩！） 一、选择题．（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各组线段能组成三角形的是（　） A. 3，2，3 B. 5，5，11 C. 6，6，12 D. 6，7，13 4. 在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 若乘积中不含项和项，则、的值为（　　） A. B. C. D. 7. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（ ） A. 12 B. 6 C. —14 D. —15 9. 如图，电子蚂蚁P从点O出发，第一次跳到，第二次跳到，第三次跳到，第四次跳到，第五次跳回，第六次跳到，第七次跳到……以此往复，那么第2025次跳到了（ ）． A. B. C. D. 10. 关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ） ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题．（每小题4分，共32分） 11. ___________：___________． 12. 若，则的取值范围为______． 13. 若点与点关于轴对称，则的值为______． 14. 等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的底角为______． 15. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CH⊥AB于H，若AH＝3，则BH＝___． 16. 如图，在中，，平分，点是线段延长线上一点，连接，点在的垂直平分线上，若，则的周长是________． 17. 如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 18. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论中正确的结论有___________． ①； ②； ③点到各边的距离相等； ④设，则． 三、解答题． 19. 计算： （1）整式的乘法：． （2）因式分解： （3）解方程组： （4）解不等式组： 20. 化简求值：，其中，． 21. 如图，在钝角△ABC中，∠BAC＞90． （1）尺规作图：作AC的垂直平分线，与边BC、AC分别交于点D、E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，过点B作BH⊥AC交CA的延长线于点H，连接AD，求证∠ADE＝∠HBC． 请补完图形，并完成下列证明过程： 证明： ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝　 　，AE＝CE， 在△ADE与△CDE中, ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴BH⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BHC＝∠DEC＝90°， ∴DE//BH（ 　 　）（填写文字依据） ∴　 　． ∴∠ADE＝∠HBC． 22. 广州市某中学开展主题为“我爱阅读”的专题调查活动，了解学校1200名学生一年内阅读书籍的数量，随机抽取部分学生进行统计，绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图．请根据图表，解答下面的问题： 分组 频数 频率 4 14 16 a b c 10 合计 d （1） ， ， ， ． （2）补全频数分布直方图． （3）根据该样本，估计该校学生阅读书籍数量在15本或以上的人数． （4）如果阅读书籍数量在10本或以上的人数占总人数的以上，那么该校能评为“书香校园”，请根据上述数据分析该校是否能获得此荣誉，并说明理由． 23. 如图，在和中，，，与相交于点．求证： （1）； （2）． 24. “文房四宝”是中国独有的书法给画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵元，买套甲种和套乙种共用元． （1）求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的倍．该校共有哪几种购买方案？（写出所有购买方案） 25. 1261年，我国宋代数学家杨辉写了一本书——《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，如图1，这个数字三角形原名“开方作法本源图”，是1050～1100年间北宋人贾宪做的．后来，我们就把这种数字三角形叫做贾宪三角或杨辉三角，杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表，如图2所示． （1）写出杨辉三角中的你所发现的规律（1条即可）； （2）写出（a+b）7展开式中的各项系数； （3）已知（x﹣1）6＝ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+1，求a+b+c+d+e+f的值． 26. 在中，，垂足为，点是线段上一动点． （1）如图1，点是延长线上一点，，连接，若，求的长； （2）如图2，在（1）的条件下，点是外一点，，连接并延长交于点，且点是线段的中点，求证：． （3）如图3，平分平分、分别为、上的动点，当时，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市为明学校2024-2025学年（上）期中考试 八年级数学试卷 （全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟） （亲爱的同学，这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题，预祝你取得好成绩！） 一、选择题．（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有选项B的图形能够找到一条直线，使图形沿着直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形； 故选B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选D． 3. 下列各组线段能组成三角形的是（　） A. 3，2，3 B. 5，5，11 C. 6，6，12 D. 6，7，13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：A、，长度是3，2，3的线段能组成三角形，故A符合题意； B、，长度是5、5、11的线段不能组成三角形，故B不符合题意； C、，长度是5、6、12的线段不能组成三角形，故C不符合题意； D、，长度是6、7、13的线段不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：A． 4. 在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式是解题关键． 先分别求出图甲和图乙中阴影部分的面积，再根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可求解． 【详解】解：图甲中的阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即， 图乙中阴影部分面积为一个长为，宽为的矩形的面积，即， 两个图形中阴影部分的面积相等， ． 故选：C． 5. 如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质与作法得出，再利用等腰三角形的性质以及直角三角形的性质得出的长． 【详解】解：分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线交于点， 垂直平分， ， ， ， ，， ， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了基本作图，三角形的外角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 6. 若乘积中不含项和项，则、的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，问题的关键是注意各项符号的处理． 把式子展开，找到所有和项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可． 【详解】解：， ， ， 展开式中不含项和项， ， ， 故选：A． 7. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，仔细审题，根据题意找出等量关系，然后列出方程组求解即可． 【详解】解：由题可列方程组为：， 故选：C． 8. 若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（ ） A. 12 B. 6 C. —14 D. —15 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 9. 如图，电子蚂蚁P从点O出发，第一次跳到，第二次跳到，第三次跳到，第四次跳到，第五次跳回，第六次跳到，第七次跳到……以此往复，那么第2025次跳到了（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，观察图象得出规律，第次跳到，第次跳到，第跳到（为正整数），结合，即可得出答案，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察图象可得： 第一次跳到， 第二次跳到， 第三次跳到， 第四次跳到， 第五次跳到， 第六次跳到， 第七次跳到， 第八次跳到， 第九次跳到， ……， 可以发现规律，第次跳到，第次跳到，第跳到（为正整数）， ∵， ∴第2025次跳到了， 故选：B． 10. 关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ） ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将代入代数式求出的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，求出的值，确定②，计算多项式乘多项式后，项的系数为，求出的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，；故①正确； ∵，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常数， ∴， ∴；故②正确； ∵ ， 又多项式M与N的乘积中不含项， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的个数为4个； 故选D． 二、填空题．（每小题4分，共32分） 11. ___________：___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数的幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：， 12. 若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂的意义，熟练掌握零次幂的意义是解答本题的关键，非零数的零次幂等于1，零的零次幂没有意义． 根据底数不为0列式求解即可． 【详解】∵， ∴， 即． 故答案为：． 13. 若点与点关于轴对称，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据点与点关于轴对称，可知，代入直接求值即可得到答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及平面直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变、纵坐标互为相反数，掌握点关于坐标轴对称点的坐标特征是解决问题的关键． 14. 等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的底角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】题考查等腰三角形的性质，分情况讨论这个的角是顶角还是底角．解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的底角为； 若的角是底角，则这个等腰三角形的底角为， 综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或． 故答案是：或． 15. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CH⊥AB于H，若AH＝3，则BH＝___． 【答案】9 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长，同理可得的长，即可求得的长． 【详解】∠ACB＝90°，∠B＝30°， CH⊥AB 在中， ∠ACB＝90°∠B＝30°， 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 16. 如图，在中，，平分，点是线段延长线上一点，连接，点在的垂直平分线上，若，则的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质．首先根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知，所以可得，根据等腰三角形的三线合一定理可得的周长为． 【详解】解：如下图所示， 点在的垂直平分线上， ， ， ，平分， ， ， 的周长为：． 故答案为：． 17. 如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 18. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论中正确的结论有___________． ①； ②； ③点到各边的距离相等； ④设，则． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得错误；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得设，则，故正确． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ， ， ；故错误； 在中，和的平分线相交于点， ， ， ， ， ， ，故正确； 过点作于，作于， 在中，和的平分线相交于点， ， ；故正确； 在中，和的平分线相交于点， 点到各边的距离相等，故正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，此题难度适中，解题的关键是添加适当的辅助线，注意数形结合思想的应用． 三、解答题． 19. 计算： （1）整式的乘法：． （2）因式分解： （3）解方程组： （4）解不等式组： 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，因式分解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组： （1）先进行完全平方公式和单项式乘以多项式的计算，再合并同类项即可； （2）先提公因式法，再利用完全平方公式进行计算即可； （3）加减消元法解方程组即可； （4）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式； 【小问3详解】 解：，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：； 【小问4详解】 解：由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 20. 化简求值：，其中，． 【答案】；-14 【解析】 【分析】根据多项式除以单项式运算法则化简原式，代值求解即可； 【详解】解：原式= 当， 原式= 【点睛】本题主要考查整式的化简及求值，掌握相关的运算法则是解题的关键． 21. 如图，在钝角△ABC中，∠BAC＞90． （1）尺规作图：作AC的垂直平分线，与边BC、AC分别交于点D、E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，过点B作BH⊥AC交CA的延长线于点H，连接AD，求证∠ADE＝∠HBC． 请补完图形，并完成下列证明过程： 证明： ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝　 　，AE＝CE， 在△ADE与△CDE中, ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴BH⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BHC＝∠DEC＝90°， ∴DE//BH（ 　 　）（填写文字依据） ∴　 　． ∴∠ADE＝∠HBC． 【答案】（1） 如图，DE为所作； （2）DC；同位角相等，两直线平行；∠CDE＝∠HBC 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，作AC的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝CE，再证明△ADE≌△CDE得到∠ADE＝∠CDE，接着证明DE∥BH得到∠CDE＝∠HBC，然后利用等量代换得到∠ADE＝∠HBC． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质． 22. 广州市某中学开展主题为“我爱阅读”的专题调查活动，了解学校1200名学生一年内阅读书籍的数量，随机抽取部分学生进行统计，绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图．请根据图表，解答下面的问题： 分组 频数 频率 4 14 16 a b c 10 合计 d （1） ， ， ， ． （2）补全频数分布直方图． （3）根据该样本，估计该校学生阅读书籍数量在15本或以上的人数． （4）如果阅读书籍数量在10本或以上的人数占总人数的以上，那么该校能评为“书香校园”，请根据上述数据分析该校是否能获得此荣誉，并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）384 （4）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表和频数分布直方图，熟练掌握频数分布表和频数分布直方图的互补性，补全频数分布直方图，用样本估计总体，是解决问题的关键 （1）根据直方图中的数据可以得到b，根据组中的数据可以分别求得a、c、d的值； （2）根据（1）中的答案和表格中的数据可以将直方图补充完整； （3）根据组和组中的频率和，可以计算出该校学生阅读书籍数量在15本或以上的人数； （4）先判断，再计算组、组和组中的频率和，即可解答本题． 【小问1详解】 根据题意可得， ， 根据频数分布直方图可得，， ， ， 故答案为：0.32，6，0.12，50； 【小问2详解】 补全的频数分布直方图，如右图所示； 【小问3详解】 由题意可得，该校学生阅读书籍数量在15本或以上的有： （人）， 答：该校学生阅读书籍数量在15本或以上的有264人； 【小问4详解】 该校不能获得“书香校园”此荣誉，理由： ∵， ∴该校不能获得“书香校园”此荣誉． 23. 如图，在和中，，，与相交于点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：在和中，， ， ； （2） 证明：由（1）知， ，， ， 即． 【解析】 【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是对直角三角形全等的判定和全等三角形的性质的理解和掌握． （1）利用即可证得结论； （2）根据全等三角形性质可得：，，再利用角的关系即可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. “文房四宝”是中国独有的书法给画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵元，买套甲种和套乙种共用元． （1）求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的倍．该校共有哪几种购买方案？（写出所有购买方案） 【答案】（1）每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元 （2）共有种购买方案：方案一：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”；方案二：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”；方案三：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”． 【解析】 【分析】（）设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元， 根据题意列出方程组即可求解； （）设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”，根据题意列出不等式组，求出的取值范围即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出方程组和不等式组是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元， 根据题意得，， 解得， 答：每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元； 【小问2详解】 解：设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”， 根据题意得，， 解得， ∵为正整数， ∴可以为， ∴共有种购买方案： 方案一：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”； 方案二：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”； 方案三：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”． 25. 1261年，我国宋代数学家杨辉写了一本书——《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，如图1，这个数字三角形原名“开方作法本源图”，是1050～1100年间北宋人贾宪做的．后来，我们就把这种数字三角形叫做贾宪三角或杨辉三角，杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表，如图2所示． （1）写出杨辉三角中的你所发现的规律（1条即可）； （2）写出（a+b）7展开式中的各项系数； （3）已知（x﹣1）6＝ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+1，求a+b+c+d+e+f的值． 【答案】（1）第m行有m个数字（答案不唯一）；（2）1，7，21，35，35，21，7，1；（3）﹣1． 【解析】 【分析】（1）观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和，第m行有m个数字； （2）由题意可求得当n＝0，1，2，3，4，…时，多项式(a+b)n的展开式是一个n次（n+1）项式，并由（1）中的规律即可求得答案； （3）利用特殊值x=1代入可得结论． 【详解】解：（1）由图表可得：第m行有m个数字（答案不唯一）； （2）(a+b)7展开式中的各项系数为：1，7，21，35，35，21，7，1； （3）当x=1时，(1﹣1)6=a+b+c+d+e+f+1=0， ∴a+b+c+d+e+f=﹣1； 【点睛】本题主要考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键． 26. 在中，，垂足为，点是线段上一动点． （1）如图1，点是延长线上一点，，连接，若，求的长； （2）如图2，在（1）的条件下，点是外一点，，连接并延长交于点，且点是线段的中点，求证：． （3）如图3，平分平分、分别为、上的动点，当时，直接写出的最小值． 【答案】（1）17 （2） 延长至点，使，连接， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，由（1）知：， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，等量代换得到，得到，即可得出结论； （3）在上截取，连接，过点作，证明，得到，进而得到，根据，得到当与点重合，点与点重合，时，的值最小为的长，根据角平分线的性质，求出，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上截取，连接，过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∵、分别为、上的动点，， ∴当与点重合，点与点重合，时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊图形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $