精品解析：广东省广州市真光中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

广州市真光中学2024学年第一学期期中考试 高二数学试卷 命题人：黄林盛 审题人：钟三明 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项符合题目要求 1. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】理解空间的基底是由不共面的三个向量构成，逐一判断选项即得. 【详解】对于A，因，即共面，故A不合题意； 对于B,因，，其中任何一个向量都不能用另外两个向量表示，故，，不共面，即B符合题意； 对于C，因，即，，共面，故C不合题意； 对于D，因，即，，共面，故D不合题意. 故选：B. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，点， 若点与点关于平面对称，可得， 则向量，所以. 故选：A. 3. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由，，即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D. 【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下： ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36个. 则事件包括，，，，，，共6个，， 事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，， 事件包括，，，，，共5个，， 事件包括，，，，，，共6个，. 对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误； 对于B，事件且包括，则，又，， 所以，即与不相互独立，故B错误； 对于C，事件且包括，，，则，又，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误. 故选：C. 4. 如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量运算，ABC项利用向量数量积的坐标运算可得，D项分别求两平面的法向量坐标，再利用数量积可得. 【详解】由已知AD为等腰直角的斜边BC上的高，即， 则为的中点 ， 又平面平面，平面平面， ，平面， ∴平面，又平面， ∴，又， 以D为坐标原点，分别以DB、DC、DA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 设斜边，则， 所以， 可得， A项，，故A正确； B项，，则，故B正确； C项，，则，故C正确； D项，因为平面ADC的一个法向量为， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不垂直，故D错误． 故选：D. 5. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置.直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线l的方程为，平移后的方程为，根据截距相同，求得k. 【详解】由题知直线斜率存在，故设直线l的方程为， 则根据平移过程知，平移后的方程为， 该直线与原直线相同，则. 则. 故选：D 6. 点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出，由椭圆的定义可求出，然后利用等面积法可求出P点的纵坐标. 【详解】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 7. 已知曲线，则下列说法错误的是（ ） A. 曲线围成图形面积为 B. 曲线的长度为 C. 曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D. 曲线上任意两点间最大距离 【答案】C 【解析】 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，结合图形逐项分析判断即可. 【详解】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：C 8. 已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由圆关于直线对称，则圆心在直线上，从而得到，即确定在直线上，再利用倍角公式，用表示，即，再利用几何意义，即可求出的最小值. 【详解】 由圆：，即可得圆心，半径， 由圆：关于直线对称， 可得圆心在直线上， 所以，即，所以在直线， 又过点作圆的两条切线，切点分别为， 则， 又在直线， 则可表示到直线上点的距离的平方， 所以的最小值为， 所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 本题的关键点是将求的最小值转化为求直线上的动点到圆：的最小值问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，，，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5 C. 已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是全班数学成绩的第20百分位数 D. 甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的方差是3 【答案】AB 【解析】 【分析】根据数据的平均数、中位数、百分位数、分层抽样的方差的计算方法逐一分析选项即可. 【详解】对A，由古典概型计算公式可得每个个体被抽到的概率是，故正确； 对B，已知一组数据1，2，，，8，9的平均数为5， 则，即，解得， 则数据的中位数为，故正确； 对C，已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名， 将数学成绩从小到大排列，小明成绩为第36名， 又由，则小明成绩的百分位数是80，故错误； 对D，由题意得甲班和乙班这60人的数学成绩的平均数为， 甲班和乙班这60人的数学成绩的方差为， 故错误. 故选：. 10. 已知直线与圆，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 直线与圆C相交 C. 圆C上到直线的距离为1的点共有2个 D. 圆C上到直线的距离为1的点共有3个 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系可判断. 【详解】由圆，可知其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误. 故选：BD 11. 在长方体中，，，点P满足：，其中、、，下列结论正确的是（ ） A. 当，时，P到的距离为 B. 当时，点到平面的距离的最大值为1 C. 当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 当，时，四棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性关系确定所在的位置或区域，结合长方体的结构求点线、点面距离，根据线面角的定义求直线与平面所成角的最大正切值，求棱锥外接球的半径，进而求外接球的表面积. 【详解】A：，则，即，故在上运动， 所以到的距离为，即棱与的距离，正确； B：，则，故在面上运动， 所以，当在上时，到平面的距离最大， 而，面，面，则面， 所以，由长方体结构特征，最大值问题化为到的距离，，则，错； C：，则，故在上运动， 根据长方体的结构易知：当与重合时，直线与面所成角正切值的最大值为，正确； D：，则，故为中点， 如图，，，    所以的底面为矩形，顶点在的投影为底面中心，即的交点， 故外接球的球心一定在直线上，令球体半径为R， 所以，，且， 可得，则外接球的表面积为，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从1，2，3，4，5这5个数中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是________. 【答案】##0.3 【解析】 【分析】首先列举出所有可能的基本事件,再找到满足取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件,最后利用概率公式计算即可． 【详解】从中任取3个不同的数的基本事件有： ,,,,,,,,,共个, 取出的3个数可作为三角形的三边边长,根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有： ,,共3个, 故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率． 故答案为：． 13. 如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，，，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】构建以为原点， 为轴的正方向的空间直角坐标系，写出、、的坐标，进而求面ABC的法向量，根据直线方向向量与平面法向量夹角与线面角的关系，结合空间向量夹角的坐标表示即可求直线OB与平面ABC所成角的正弦值． 【详解】构建以为原点，为轴的正方向的空间直角坐标系，如下图示， ∴，，，则，，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 令，则， ∴，故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为. 故答案为： 14. 已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之差为________. 【答案】16 【解析】 【分析】设，利用两点间的距离公式得到，再由点P在圆上运动，化简为求解. 【详解】设，因为，，三点， 所以 ， ， 因为点P在圆上运动， 则，解得， 所以， 当时，取的最大值88， 当时，取的最小值72. 所以取的最大值与最小值之差为. 故答案为：16 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点是． （1）求BC边上的中线所在直线的方程； （2）求的面积； （3）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】（1）； （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）求出线段中点，由两点得直线方程； （2）求出到直线的距离，线段的长，再由面积公式计算； （3）点A，B到直线的距离相等，则直线过线段的中点或与直线平行，分类求解即可． 【小问1详解】 由已知边的中点坐标为， 所以直线的方程为，化简得； 【小问2详解】 直线的方程为，即， 点到直线的距离为，又， 所以的面积为； 【小问3详解】 点A，B到直线的距离相等，则直线过线段的中点或与直线平行， 若直线过线段的中点， 由已知线段的中点为，直线方程为，化简得， 直线与直线平行，则方程为，化简得， 所以直线的方程为或． 16. 如图所示，已知平行六面体中，，，，为的中点. （1）求长度； （2）求异面直线与所成的角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得的长； （2）根据向量线性运算和数量积运算可求得，由此可得结果. 【小问1详解】 ； ，，， ， ，即的长为. 【小问2详解】 ， ，即与所成角为. 17. 在校运动会上，有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，甲、丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求丙连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大?请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）乙最终获胜的概率最大，理由如下： 记事件为甲输，事件为丙输， 记事件：甲赢，记事件：乙赢， 则甲赢的基本事件包括：， 甲赢的概率为， 由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等， 即丙最终获胜的概率也是， 所以乙赢的概率为， 又，所以三人中乙最终获胜的概率最大． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由独立事件的概率公式，代入计算即可得到结果； （2）根据题意，分别求出甲、丙连胜四场与乙上场后连胜三场获胜的概率，即可得到结果； （3）根据题意，列出基本事件个数，求出甲、乙、丙获胜的概率，即可得到结果. 【小问1详解】 丙连胜四场的情况为：“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜甲负，丙胜乙负”， 所以丙连胜四场的概率：； 【小问2详解】 根据赛制，至少需要进行四场比赛， 而甲、丙连胜四场的概率为， 乙上场后连胜三场获胜的概率为， 需要进行第五场比赛的概率； 【小问3详解】 三人中乙最终获胜的概率最大.理由略. 18. 在平面直角坐标系中，已知，，，且，点P的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）求证：当，是x正半轴上的两个不同点，且时，为定值. 【答案】（1） （2）证明：当，是x正半轴上的两个不同点， 则，且，所以，， ，， 所以， 又，所以， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）由两点间的距离公式，建立等量关系化简即可得C的方程； （2）由两点间的距离公式，及，化简证明即可. 【小问1详解】 因为已知，，， 所以，， 因为，所以， 化简得：， 所以C的方程为：. 【小问2详解】 略 19. 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）若直线与都在平面内，求平面的方程； （2）在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标； （3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3）体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）求出直线、的方向向量，进而可求得平面的法向量，结合题意可得出平面的方程； （2）根据题意，设点，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标； （3）求出多面体与各坐标轴的交点坐标，利用锥体的体积公式可求出多面体的体积，化简多面体两个相邻平面的方程，可得出这两个平面的法向量，利用空间向量可求得多面体相邻两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 解：由题意可知，直线的一个方向向量为， 直线的一个方向向量为， 设平面的法向量为，则， 解得，取，则， 易知直线过点，所以，平面的方程为. 即. 【小问2详解】 解：根据题意，设点，则， 因为平面以为法向量，则，① 又因为点在平面内，则，② 联立①②可得，，故点的坐标为. 【小问3详解】 解：如下图所示： 易知多面体交各坐标轴于点、、、、 、， 正方形的边长为， 所以，正方形的面积为， 而正四棱锥的高为，则， 所以，多面体的体积为. 易知平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 所以，，， 因此，多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市真光中学2024学年第一学期期中考试 高二数学试卷 命题人：黄林盛 审题人：钟三明 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项符合题目要求 1. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 4. 如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 5. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置.直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知曲线，则下列说法错误的是（ ） A. 曲线围成图形面积为 B. 曲线的长度为 C. 曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D. 曲线上任意两点间最大距离 8. 已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，，，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5 C. 已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是全班数学成绩的第20百分位数 D. 甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的方差是3 10. 已知直线与圆，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 直线与圆C相交 C. 圆C上到直线的距离为1的点共有2个 D. 圆C上到直线的距离为1的点共有3个 11. 在长方体中，，，点P满足：，其中、、，下列结论正确的是（ ） A. 当，时，P到的距离为 B. 当时，点到平面的距离的最大值为1 C. 当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 当，时，四棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从1，2，3，4，5这5个数中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是________. 13. 如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，，，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为__________． 14. 已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之差为________. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点是． （1）求BC边上的中线所在直线的方程； （2）求的面积； （3）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程． 16. 如图所示，已知平行六面体中，，，，为的中点. （1）求长度； （2）求异面直线与所成的角的大小. 17. 在校运动会上，有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，甲、丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求丙连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大?请说明理由. 18. 在平面直角坐标系中，已知，，，且，点P的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）求证：当，是x正半轴上的两个不同点，且时，为定值. 19. 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）若直线与都在平面内，求平面的方程； （2）在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标； （3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $