精品解析：浙江省杭州市采荷中学2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

杭州采荷中学教育集团2024学年第一学期期中学情评价 八年级数学 命题人：王超、王芬芬 审核人：戎文杰、周晓娟 一、选择题（每小题3分，共10小题） 1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是基础，找到对称轴是关键． 2. 如图所示，，则的对应角为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等解答，掌握全等三角形的对应边相等、 全等三角形的对应角相等是解题的关键 ． 【详解】解：， 的对应角为， 故选：A． 3. 以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是（ ）组． A. 4，7，3 B. 4，7，4 C. 4，7，11 D. 4，7，12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：A、，4，7，3不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、，4，7，4能组成三角形，故本选项符合题意； C、，4，7，11不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、，4，7，12不能够组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理的知识．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，符合题意， ∴当，时，不符合若，不符合题意， 故选：C． 5. 若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理根据外角为可得相邻的内角为，然后分当是顶角和底角两种情况分析，结合三角形的内角和定理即可求得结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵等腰三角形的一个外角为， ∴相邻的内角为， 当为顶角时，顶角的度数是， 当为底角时，顶角的度数是， 综上可知：顶角的度数是或， 故选：． 6. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；（3）等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 由，若，则可得，故本选项变形错误，不符合题意； B. 由，得，故本选项变形错误，不符合题意； C. 由，若，则可得，故本选项变形错误，不符合题意； D. ，因为，所以可得，故本选项变形正确，符合题意． 故选：D． 7. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 8. 若不等式组无解，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式取值方法，掌握不等式求解集的方法是解题的关键． 根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的方法即可求解． 【详解】解：根据题意得，如图所示， ∴时，原不等式无解， ∴当时，， ∴， 故选 ：B ． 9. 如图，已知的大小为 ，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于6，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了最短路径问题和等边三角形的性质与判定，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决． 设点P关于 的对称点为C，关于 的对称点为D，当点E、F在 上时，的周长为，此时周长最小，根据 可求出 的度数． 【详解】解：如图，作点P关于 的对称点C，关于 的对称点D，连接 ，交 于E， 于F．此时，的周长最小． 连接 ，，， ． ∵点P与点C关于 对称， ∴ 垂直平分 ， ，，， 同理，可得， ，． ，， ． 又的周长为：， ， 是等边三角形， ， ． 故选：A． 10. 如图，在 中，和的平分线相交于点O，过O点作交 于点E，交于点F，过点O作 于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到 各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得；由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出；过点 作于，作于，连接 ，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出，即可． 【详解】解： 在 中，和的平分线相交于点 ， ，， ， ， 结论（2）正确； 在 中，和的平分线相交于点 ， ，， ， ，， ，， ，， ， 结论（1）正确； 如图，过点 作于，作于，连接 ， 在 中，和的平分线相交于点 ， ，， ， 又， ， 结论（4）错误； 在 中，和的平分线相交于点 ， ，， ， 即点 到 各边的距离相等， 结论（3）正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共6小题） 11. 不等式的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，移项，系数化1，进行求解即可． 【详解】解： 移项，得：， 合并，得：， 系数化1，得：； 故答案为：． 12. 如图，，，垂足分别为 ， ，要根据“”直接证明，应添加的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“”是解题的关键． 根据“”判定方法求解即可． 【详解】解：应添加的条件是，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即应添加的条件是， 故答案为：． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为8，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当腰长为3时，不能构成三角形，不符合题意； ②当腰长为8时，，符合题意，此时周长为； 故答案为：19． 14. 如图，折叠长方形 一边，使 落在边上的点处，已知，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，勾股定理求出 的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠长方形 ， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为： 15. 如图，在 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为 ， 故答案为： ． 16. 如图，在 中， ，点P、A分别位于直线异侧，连接 ，，，当，时，则 的长为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】过点A作，交的延长线于点F，证明，得出，，，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，据此求解即可． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点F，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，，， ∵ ，， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 三、解答题（共8小题） 17. 解不等式（组）． （1）； （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解不等式，解不等式组，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键： （1）去分母，移项，合并同类项，系数化1，进行求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，找到它们的公共部分即可． 【小问1详解】 解：去分母，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：． 【小问2详解】 解：由，得：； 由，得：； ∴不等式组无解． 18. 如图，在 中，平分． （1）则 ； （2）求的度数． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义及直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是熟练运用这些几何性质，以已知角为基础逐步推导未知角的度数． （1）先根据三角形内角和定理（三角形内角和为 )，结合已知、，求出的度数；再依据角平分线的定义（角平分线将角分成两个相等的角），计算出的度数． （2）先由得出 为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余（直角三角形两锐角和为)，结合求出的度数；再利用（1）中已求得的的度数，通过与的差值求出的度数． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵平分， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 ∵， ， ∴， ∴． 19. 已知在 中，a，b，c分别为 的三边． （1）若，，求a的取值范围． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值： （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【小问1详解】 解：∵a，b，c分别为 的三边，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 20. 如图，在 中，，点 在的延长线上，且．过点 作，与 的垂线交于点 ． （1）求证：； （2）若，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． （1）先根据三角形的内角和定理和同角的余角相等证得，进而利用“”可证得结论； （2）根据全等三角形的对应边相等证得，进而得到． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在 和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，又 ， ∴． 21. 请你在方格纸上按照要求设计直角三角形： （1）使它的三边中有一边边长为无理数； （2）使它的三边中有两边边长是无理数； （3）使它的三边边长都是无理数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查作图能力，掌握知识点：无理数的定义，画无理数线段，直角三角形的定义，正确掌握无理数的确定方法是解题的关键． （1）可使直角边长分别为2和3，斜边长即不是有理数； （2）可使一条直角边长为边长1与1的长方形的对角线，另一条直角边长为边长为1和1的长方形的对角线，由此得到图形； （3）可使两条直角边长均为边长为1和2的长方形的对角线，连接即可得到图形． 【小问1详解】 解：如图 在中， （ 为有理数）， （为有理数）， （ 为无理数）， ∵， ∴是直角三角形， 故为所求三角形． 【小问2详解】 解：如图 在中， （ 为有理数）， （为无理数）， （ 为无理数）， ， ∴是直角三角形， 故为所求三角形． 【小问3详解】 解：如图 在 中， （ 为无理数）， （为无理数）， （ 为无理数）， ， 是直角三角形． 故为所求三角形． 22. 如图， 和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒． （1）点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒； （2）当t取何值时， 也是等边三角形？请说明理由； （3）当时，判断与 的位置关系． 【答案】（1）４； （2），理由见解析； （3）与 互相垂直． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知图形得出对应线段关系是解题的关键． ( )根据相遇问题，由路程速度 时间，建立等式求出的值即可； ()根据若 是等边三角形，此时点在上，点 在 上，且，进而得出，求出即可； ( )根据， 运动速度得出，是等边三角形，得求出即可； 【小问1详解】 解：设点从出发到相遇所用时间是， 根据题意得： ， 解得， 故答案为： ； 【小问2详解】 如图 ，若 是等边三角形，此时点在上， 点 在 上，， 和都是边长为4厘米的等边三角形， ， ， 则，即， 解得， ∴当时， 也是等边三角形； 【小问3详解】 与 互相垂直，理由如下： 如图，根据题意得：，取 的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即当时，与 互相垂直． 23. 数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】（1）； （2）直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； （3）共有 种运输方案， 设用扶手电梯运输 次，直立电梯运输次， 由（）得：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车， ∴ ， 解得：， ∴ 为正整数， ∴ ， ，， ∴共有 种运输方案： 扶手电梯运 次，直立电梯运次； 扶手电梯运 次，直立电梯运 次； 扶手电梯运次． 【解析】 【分析】（ ）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式； （）把代入解析式，求出 的值即可； （ ）设用扶手电梯运输 次，直立电梯运输次，根据题意得 ，求出 的取值范围即可； 本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式组． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴车身总长 与购物车辆数 的表达式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，（辆）， 答：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； 【小问3详解】 略 24. 在四边形 中，，点E为 中点． （1）如图①，点F为 中点．求证：； （2）在（1）的条件下，若，，则的面积为________； （3）如图②，若，延长交 于点F，且，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质，求得，利用等腰三角形的性质即可得到； （2）利用四边形内角和定理求得，利用等边对等角结合三角形的外角性质求得，利用三角形的面积公式求解即可； （3）先证明，可得，，可证得 ，设的度数为，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，从而得到，然后根据，可得，从而得到，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，E是 的中点， ∴， ∵点F为 中点， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形 中，， ∴， ∵，E是 的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为， 故答案为：； 【小问3详解】 解： 在 和 中，， ∵， ， ，， 又， ， 设的度数为， ∵在 中， ，E是AC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，解得． ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州采荷中学教育集团2024学年第一学期期中学情评价 八年级数学 命题人：王超、王芬芬 审核人：戎文杰、周晓娟 一、选择题（每小题3分，共10小题） 1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，，则的对应角为（　　　） A. B. C. D. 3. 以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是（ ）组． A. 4，7，3 B. 4，7，4 C. 4，7，11 D. 4，7，12 4. 对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 或 6. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 7. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 8. 若不等式组无解，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知的大小为 ，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于6，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在 中，和的平分线相交于点O，过O点作交 于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到 各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共6小题） 11. 不等式的解为__________． 12. 如图，，，垂足分别为 ， ，要根据“”直接证明，应添加的条件是________． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为______． 14. 如图，折叠长方形 一边 ，使 落在 边上的点 处，已知，，则 的长为______． 15. 如图，在 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 16. 如图，在 中，，点P、A分别位于直线 异侧，连接 ，，，当，时，则 的长为_________． 三、解答题（共8小题） 17. 解不等式（组）． （1）； （2） 18. 如图，在 中，平分． （1）则 ； （2）求的度数． 19. 已知在 中，a，b，c分别为 的三边． （1）若，，求a的取值范围． （2）化简：． 20. 如图，在 中，，点 在 的延长线上，且．过点 作，与的垂线 交于点 ． （1）求证：； （2）若，求 的长． 21. 请你在方格纸上按照要求设计直角三角形： （1）使它的三边中有一边边长为无理数； （2）使它的三边中有两边边长是无理数； （3）使它的三边边长都是无理数． 22. 如图， 和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒． （1）点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒； （2）当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由； （3）当时，判断与 的位置关系． 23. 数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 24. 在四边形 中，，点E为 中点． （1）如图①，点F为中点．求证：； （2）在（1）的条件下，若，，则的面积为________； （3）如图②，若，延长 交 于点F，且，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $