专题29.1 投影 （7个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题29.1 投影 （7个考点） 【考点1 平行投影】 【考点2 中心投影】 【考点3 中心投影与相似】 【考点4 正投影投影】 【考点5视点、视角和盲区】 【考点1 平行投影】 1．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（ ） A． B． C． D． 2．下列现象中，物体的投影是（    ） A．掉在地上的一片树叶 B．午后树的影子 C．小明画的一幅日出图 D．雪地上的脚印 3．下面四幅图是两物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（    ） A．①②③④ B．①④②③ C．③④①② D．③④②① 4．小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的照片是 （填“甲”或“乙”）． 5．如图，小明利用自己的身高测量路灯的高度，已知小明身高为，在路灯下的影长为，小明到路灯底部的距离为．则路灯的高度为 ． 6．某人身高为，某一时刻他在太阳光下的影长为，此时一塔影长为，则该塔高为 ． 7．某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且． (1)请在图中画出统一时刻乙数的影子； (2)此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？ 【考点2 中心投影】 8．如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（ ） A．一直都在变短 B．先变短后变长 C．一直都在变长 D．先变长后变短 9．路灯下，小强对小华说：“我可以踩到你的影子．”从而可以断定他们在路灯的（　　） A．同侧 B．异侧 C．同侧或异侧 D．以上答案都不正确 10．下列现象属于中心投影的有（　　） （1）小孔成像；    （2）皮影戏；      （3）手影；    （4）放电影． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．在下列光源的光线照射下，所形成的投影不能称为中心投影的是（    ） A．探照灯 B．台灯 C．路灯 D．太阳 12．下列哪种影子不是中心投影（　　） A．月光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影 C．都市霓虹灯形成的影子 D．皮影戏中的影子 13．如图，球在灯泡的照射下形成了影子，当球竖直向下运动时，球的影子的大小变化是（　　）    A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定 14．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，，，是三个标杆，，分别为标杆，在路灯下的影子． (1)请画出路灯O的位置； (2)画出标杆在路灯下的影子． 【考点3 中心投影与相似】 15．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 16．如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m． 17．如图是两棵小树在同一个路灯下的影子． (1)请画出光线及路灯灯泡的位置； (2)在适当位置画出路灯杆； (3)若左边树的高度是3米，影长是4米，树的底部B离路灯杆的距离是2米，求路灯杆的高度． 18．如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是． (1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置（用点P表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线； (2)在图中画出表示大树高的线段； (3)若小明的身高是，他的影长．大树的高度为，它的影长．且大树与小明之间的距离，求路灯的高度． 19．如图，王琳同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王琳身高米，路灯高米） (1)标出王琳站在处在路灯下的影子； (2)计算王琳站在处在路灯下的影长； (3)计算路灯的高度． 20．如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯O看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点B处．图2为示意图，其中于点A，于点B，点O，C，D在一条直线上，已知．    (1)求女孩的影子的长． (2)若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（取3.14） 【考点4 正投影投影】 21．如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（  ）    A．  B．   C．   D．   22．把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 23．一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 【考点5视点、视角和盲区】 24．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 25．当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的路段是(　　) A．AB B．BC C．CD D．DE 26．如图所示，夜晚路灯下同样高的旗杆，离路灯越近，它的影子(　　) A．越长 B．越短 C．一样长 D．无法确定 27．有一圆柱形的水池，已知水池的底面直径为4米，水面离池口2米，水池内有一小青蛙，它每天晚上都会浮在水面上赏月，则它能观察到的最大视角为（   ） A．45° B．60° C．90° D．135° 28．图（1）表示一个正五棱柱形状的高大建筑物，图（2）是它的俯视图．小健站在地面观察该建筑物，当他在图（2）中的阴影部分所表示的区域活动时，能同时看到建筑物的三个侧面，图中∠MPN的度数为（　　） A．30° B．36° C．45° D．72° 29．如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在处有一颗大树，它的影子是． 试判断是路灯还是太阳光，如果是路灯确定路灯的位置（用点表示）．如果是太阳光请画出光线． 在图中画出表示大树高的线段． 若小明的眼睛近似地看成是点，试画图分析小明能否看见大树． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题29.1 投影 （7个考点） 【考点1 平行投影】 【考点2 中心投影】 【考点3 中心投影与相似】 【考点4 正投影投影】 【考点5视点、视角和盲区】 【考点1 平行投影】 1．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行投影的意义， 掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提． 根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项B中的图形符合题意， 故选：B． 2．下列现象中，物体的投影是（    ） A．掉在地上的一片树叶 B．午后树的影子 C．小明画的一幅日出图 D．雪地上的脚印 【答案】B 【分析】本题主要考查投影的概念，熟练掌握投影的概念是解题的关键．根据投影的概念得出结论即可． 【详解】解：A选项，掉在地上的一片树叶不是投影，不符合题意； B选项，午后树的影子是投影，符合题意； C选项，小明画的一幅日出图不是投影，不符合题意； D选项，雪地上的脚印不是投影，不符合题意； 故选：B． 3．下面四幅图是两物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（    ） A．①②③④ B．①④②③ C．③④①② D．③④②① 【答案】C 【分析】此题考查了平行投影的特点和规律，根据平行投影的特点和规律进行解打即可． 【详解】根据平行投影的特点和规律可知，③④是上午，①②是下午， 根据影子的长度可知先后为． 故选：C． 4．小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的照片是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．在不同时刻，同一物体在太阳光下形成的影子的大小和方向不同，依此进行分析． 【详解】解：∵太阳光线是平行光线， ∴下午的影子随时间的变化，由短变长， ∴她参加400米比赛的照片是甲． 故答案为：甲． 5．如图，小明利用自己的身高测量路灯的高度，已知小明身高为，在路灯下的影长为，小明到路灯底部的距离为．则路灯的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行投影和相似三角形的知识；设路灯高为，根据平行投影的特点：不同物体在同一时刻的物高和影长成正比，可得关于的方程，即，接下来解上述方程，即可得出正确答案， 【详解】解：设路灯高为．在同一时刻，物高与影长成比例， 据此可得 解得， 所以路灯高为． 故答案为：． 6．某人身高为，某一时刻他在太阳光下的影长为，此时一塔影长为，则该塔高为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了平行投影，同一时刻下，由于太阳光是平行光，那么物高与影长的比是定值，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设塔高为， 由题意得：， 解得， ∴塔高为， 故答案为：45． 7．某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且． (1)请在图中画出统一时刻乙数的影子； (2)此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？ 【答案】(1)画图见解析； (2)小华的影长是米． 【分析】（）根据相似三角形画出图形； （）根据相似三角形的性质求出小华的影长； 本题考查了平行投影，相似三角形的应用，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）如图，连接，过作，交于点， ∴即为所求； （2）设小华的影长是米， 由题意得：， 解得：， 答：小华的影长是米． 【考点2 中心投影】 8．如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（ ） A．一直都在变短 B．先变短后变长 C．一直都在变长 D．先变长后变短 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮从处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再走到处时，他在地上的影子逐渐变长， ∴小亮在地上的影子先变短后边长， 故选：B． 9．路灯下，小强对小华说：“我可以踩到你的影子．”从而可以断定他们在路灯的（　　） A．同侧 B．异侧 C．同侧或异侧 D．以上答案都不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查中心投影，根据中心投影的性质可得结论 【详解】解：路灯下，小强对小华说：“我可以踩到你的影子．” 从而可以断定他们在路灯的同侧， 故选：A 10．下列现象属于中心投影的有（　　） （1）小孔成像；    （2）皮影戏；      （3）手影；    （4）放电影． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查中心投影的定义，中心投影：把关由一点向外散射形成的投影，根据中心投影定义，结合日常生活中的场景即可得到小孔成像；皮影戏；手影；放电影均为中心投影，熟记中心投影的定义及生活中常见的中心投影场景是解决问题的关键． 【详解】解：由中心投影定义可知，（1）小孔成像；（2）皮影戏；（3）手影；（4）放电影均为中心投影， 故选：D． 11．在下列光源的光线照射下，所形成的投影不能称为中心投影的是（    ） A．探照灯 B．台灯 C．路灯 D．太阳 【答案】D 【分析】本题主要考查了中兴投影，解题的关键是掌握中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，据此逐个判断即可． 【详解】解：在探照灯，台灯，路灯的光线照射下，所形成的投影是中心投影，故A、B、C不符合题意； 在太阳光线照射下，所形成的投影是平行投影，故D符合题意； 故选：D． 12．下列哪种影子不是中心投影（　　） A．月光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影 C．都市霓虹灯形成的影子 D．皮影戏中的影子 【答案】A 【分析】本题考查中心投影，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，由此即可判断．关键是掌握中心投影定义． 【详解】解：晚上在房间内墙上的手影，都市冤虹灯形成的影子，皮影戏中的影子，是中心投影， 月光下房屋的影子是平行投影，不是中心投影． 故选：A． 13．如图，球在灯泡的照射下形成了影子，当球竖直向下运动时，球的影子的大小变化是（　　）    A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据中心投影的性质求解． 【详解】解：根据中心投影的性质，当球竖直向下运动时，球的影子会越来越小， 故选：A． 【点睛】本题考查了中心投影，掌握中心投影的性质是解题的关键． 14．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，，，是三个标杆，，分别为标杆，在路灯下的影子． (1)请画出路灯O的位置； (2)画出标杆在路灯下的影子． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了中心投影，解题的关键是掌握相关概念． （1）根据中心投影的定义，延长和，它们的交点即为投影中心，即路灯O的位置； （2）连接并延长交马路的一侧于H，则即为在路灯下的影子． 【详解】（1）路灯O的位置如图所示． （2）如图，即为标杆在路灯下的影子． 【考点3 中心投影与相似】 15．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，利用中心投影，过作轴于，交于，证明，，然后利用相似比可求出结果．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：过作轴于，交于，如图，    ∵，A，B． ∴，，，轴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 16．如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴路灯的高度是, 故答案为：． 17．如图是两棵小树在同一个路灯下的影子． (1)请画出光线及路灯灯泡的位置； (2)在适当位置画出路灯杆； (3)若左边树的高度是3米，影长是4米，树的底部B离路灯杆的距离是2米，求路灯杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4.5米 【分析】本题考查了中心投影的作图，是基础知识要熟练掌握． （1）连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源； （2）分别作过两树的顶端和相应的影子的顶端的直线得到的交点就是点光源所在处，过点光源向地面作垂线即可， （3）由，求得电线杆的高度． 【详解】（1）解：如图，为光线，路灯灯泡为点O， （2）解：为路灯杆； （3）解：设路灯杆高x米， ， ， ，，， ， 路灯杆的高度为4.5米． 18．如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是． (1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置（用点P表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线； (2)在图中画出表示大树高的线段； (3)若小明的身高是，他的影长．大树的高度为，它的影长．且大树与小明之间的距离，求路灯的高度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)路灯的高度为． 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握中心投影的性质是解题的关键． （1）延长和交于点点P，即为路灯的位置，再确定是什么光线； （2）根据中心投影的性质作图； （2）根据直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：影子是路灯照射形成的，点P的位置如图所示； ； （2）解：即为树高如图所示； （3）解：过P点作，垂足为G，则的长即为路灯的高度 由题意知：，， 所以，，即为等腰直角三角形， 所以 即路灯的高度为． 19．如图，王琳同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王琳身高米，路灯高米） (1)标出王琳站在处在路灯下的影子； (2)计算王琳站在处在路灯下的影长； (3)计算路灯的高度． 【答案】(1)线段 (2)米 (3)米 【分析】本题考查相似三角形的应用， （1）影子为光线与物高相交得到的阴影部分； （2）证明，利用对应边成比例可得长； （3）证明，利用对应边成比例可得长，也就是路灯的高度； 解题的关键是掌握：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 【详解】（1）解：线段为王琳在站在处路灯下的影子； （2）根据题意知：，，，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：王琳站在处在路灯下的影长为米； （3）由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：路灯的高度为米． 20．如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯O看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点B处．图2为示意图，其中于点A，于点B，点O，C，D在一条直线上，已知．    (1)求女孩的影子的长． (2)若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（取3.14） 【答案】(1)女孩的影子的长为1米 (2)平方米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理得到的长，即可得出答案． （2）根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， 答：女孩的影子的长为1米； （2）解：∵女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点）， ∴人影扫过的图形的面积平方米． 【考点4 正投影投影】 21．如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（  ）    A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据正投影特点以及图中正五棱柱的摆放位置即可求解． 【详解】光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致． 故选C． 【点睛】本题考查了正投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定． 22．把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行投影特点以及图中正三棱柱的摆放位置即可求解． 【详解】解：把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是正三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定． 23．一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可． 【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是 故选：B． 【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同． 【考点5视点、视角和盲区】 24．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 25．当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的路段是(　　) A．AB B．BC C．CD D．DE 【答案】B 【分析】若不能看到建筑物PD，则PD位于此线段的盲区内，可据此进行判断． 【详解】由图知：当乘车在BC段行驶时，建筑物PD位于自己的盲区内，因此看不到建筑物PD的路段是BC段. 故选B． 【点睛】理解视点、视角和盲区的定义是解答此类题目的关键． 26．如图所示，夜晚路灯下同样高的旗杆，离路灯越近，它的影子(　　) A．越长 B．越短 C．一样长 D．无法确定 【答案】B 【详解】连接路灯和旗杆的顶端并延长交平面于一点,这点到旗杆的底端的距离就是旗杆的影长,画出相应的图形,由图可知离路灯越近,影子越短,故选B. 点睛:本题主要考查投影性质,影长是点光源与物高的连线形成在地面的阴影部分的长度,解决本题的关键是能够画出图形进行解答. 27．有一圆柱形的水池，已知水池的底面直径为4米，水面离池口2米，水池内有一小青蛙，它每天晚上都会浮在水面上赏月，则它能观察到的最大视角为（   ） A．45° B．60° C．90° D．135° 【答案】C 【分析】利用已知条件可以推出△OBC，△OAD均为等腰直角三角形，此时再利用已知条件就很容易求得所求的角的度数． 【详解】解：如图： ∵AB=4，O为圆心， ∴AO=BO=2， ∵BC=2，BC⊥AB， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠COB=45°， 同理∠AOD=45°， ∴∠COD=90°． 故选：C． 【点睛】本题考查视点、视角和盲区，直角三角形的相关知识在实际生活中的应用，注意对相关知识的灵活运用． 28．图（1）表示一个正五棱柱形状的高大建筑物，图（2）是它的俯视图．小健站在地面观察该建筑物，当他在图（2）中的阴影部分所表示的区域活动时，能同时看到建筑物的三个侧面，图中∠MPN的度数为（　　） A．30° B．36° C．45° D．72° 【答案】B 【分析】根据正五边形的内角为108°，观察图形，利用三角形内角和为180°，和对顶角相等，可求出∠MPN的度数． 【详解】解：由题意我们可以得出，正五棱柱的俯视图中， 正五边形的内角为=108°， 那么∠MPN=180°﹣（180°﹣108°）×2=36°． 故选B． 29．如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在处有一颗大树，它的影子是． 试判断是路灯还是太阳光，如果是路灯确定路灯的位置（用点表示）．如果是太阳光请画出光线． 在图中画出表示大树高的线段． 若小明的眼睛近似地看成是点，试画图分析小明能否看见大树． 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析. 【分析】（1）根据光线相交于一点得出确定路灯的位置；（2）利用AB，DE，确定大树的高，（3）运用视角连接AD，即可得出能否看见大树． 【详解】解：根据光线相交于一点，即可得出路灯确定路灯的位置；如图所示：如图所示，小明的眼睛近似地看成是点，小明不能看见大树． 【点睛】本题考查平行投影，视点、视角和盲区. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$