精品解析：福建省福州市鼓山中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

福州市鼓山中学2024-2025学年上学期第一次月考 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分150分 命题人：高二数学集备组 审核人：高二数学集备组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在下列条件中，使与一定共面的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则（ ） A. 若不经过第二象限，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则的一个方向向量为 10. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 11. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 直线，，若，则或2 D. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为_____. 13. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为_____. 14. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 菱形的顶点，的坐标分别为，，边所在直线过点. （1）求，边所在直线的方程； （2）求对角线所在直线的方程. 16. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设. （1）试用表示向量； （2）若，求的长. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 18. 已知直线． （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州市鼓山中学2024-2025学年上学期第一次月考 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分150分 命题人：高二数学集备组 审核人：高二数学集备组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于坐标平面的对称点的坐标的特征，即可求解. 【详解】点关于平面的对称点的坐标的特征是不变，变为相反数， 所以点关于平面的对称点的坐标是. 故选：D 2. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的取值范围计算可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，又， 所以或， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解. 【详解】向量，则， 因，于是得，解得， 所以. 故选：B. 4. 已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点斜式方程求解即可. 【详解】直线在轴上的截距为，点在直线上， 又直线的斜率为,根据点斜式方程得即. 故选：B. 5. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方体的棱长为2，建系标点，利用空间向量求线线夹角. 【详解】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 可得， 则， 所以直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 6. 在下列条件中，使与一定共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【详解】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 7. 已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果. 【详解】设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选：A. 8. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解. 【详解】将直线变形得， 由，解得，因此直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大值为，又直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则（ ） A. 若不经过第二象限，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则的一个方向向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，将直线化为斜截式.根据题意用斜率和截距构造不等式组即可. 对于选项B，运用平行的判定构造方程即可. 对于选项C，直接运用直线垂直结论计算即可. 对于选项D，运用直线方向向量为，变形判断即可. 【详解】对于选项A，将直线化为斜截式. 若不经过第二象限，则斜率且截距. 由得，所以选项A正确. 对于选项B，若，则有. 展开. 解得或. 当时，，，两直线平行. 当时，，，两直线重合，不符合平行条件， 所以，选项B错误. 对于选项C若，则. 展开得.解得，选项C错误. 对于选项D，当时，. 其斜率，设方向向量为，根据直线方向向量与斜率关系，令， 则，所以是的一个方向向量，选项D正确. 故选：AD 10. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，因为，，所以，， ，设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选:BCD． 11. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 直线，，若，则或2 D. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 【答案】BD 【解析】 【分析】令求，即可判断A，由三条直线交于一点，求交点坐标，即可求，判断B，代入平行线的系数公式，即可判断C，利用点到直线的距离，判断D. 【详解】A.当，得，所以直线在轴上的截距是，故A错误； B.联立，得，即,代入直线，得，故B正确； C.若直线，则，解得：，故C错误； D.的最小值是原点到直线的距离，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标与基底表示向量的关系，即可求解. 【详解】向量以为基底时的坐标为，所以， 设， 即，解得：， 即， 所以以为基底时的坐标为. 故答案为： 13. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据线线，线面的垂直关系，转化为数量积公式求，再代入向量公式，求点到平面的距离. 【详解】，设平面的一个法向量为， 则，得，即， 所以点到平面的距离. 故答案为： 14. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点关于的对称点为，再利用对称性，转化长度和，即可求解. 【详解】设点关于的对称点为， 则，解得：，，即， 由对称性可知，， 则，如图饮马点为与的交点， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 菱形的顶点，的坐标分别为，，边所在直线过点. （1）求，边所在直线的方程； （2）求对角线所在直线的方程. 【答案】（1）直线的方程，直线的方程 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线两点坐标，先求直线的斜率，再代入点斜式直线方程求，根据，可求直线的斜率，再代入点斜式直线方程； （2）首先求直线的斜率，根据对角线垂直求直线的斜率，再根据对角线互相平分，结合中点坐标，即可求解直线方程. 【小问1详解】 ， 所以直线的方程为，即； 因为，所以， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 ，因为，所以， 即， 的中点坐标为，对角线过点， 所以对角线所在直线的方程为，即. 16. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设. （1）试用表示向量； （2）若，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加减法及向量数乘的几何意义，基底法表示； （2）利用向量的数量积运算求解向量的模. 【小问1详解】 ， 又，，， ∴． 【小问2详解】 因为，． ，．， ， ， ． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）平面平面，且两平面交于，又， 平面. 在中，，，. 且，是等腰直角三角形， ，. ，， 又，为等腰直角三角形，. ，， 又，所以，平面,平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形边角关系可证明相似，即可得,即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系. 可得，，， 即，. 设平面的法向量为，则， 解得. 平面的法向量为. 设二面角为，所以， 则. 18. 已知直线． （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）证明：直线，化为，当时，对任意实数，恒有， 所以直线过定点. （2），. 【解析】 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线经过一个定点. （2）先求得的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线的方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点， 而点分别在轴的正半轴上，即，于是， 则的面积为， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，，直线的方程的方程为. 19. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以. 又，，平面， 所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值； （3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量， 则有 令，得，，所以是平面的一个法向量. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 假设存在，使二面角的正弦值为， 即使二面角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为， 故二面角的余弦值为， 则有， 即，解得，. 又因为，所以. 故存在，使二面角的正弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $