精品解析：浙江省宁波市三锋教研联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

2024学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考 科高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 1或3 D. 3 2. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. ，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下面不等式成立的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 6. 已知函数的图象关于点对称，且，，，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数，，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，”，的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 不等式的解集为 D. 若，，则 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数在上单调增 B. 函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 不等式的解集为 D. 函数关于点中心对称 11. 已知函数，若，恒成立，则（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数是增函数 C. ，是真命题 D. m可以为0 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为______. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则_____. 14. 实数，满足，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数的定义域为集合，，. （1）求，. （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求a，b的值 （2）若方程仅有一个实数解，求的最小值. 17. 文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t（天）的函数，其中，.每件汉服的日综合成本为20元. （1）写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系； （2）求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本） 18. 已知函数. （1）用定义进行证明函数在的单调性. （2）已知函数，若对任意的，，使得，求实数m的取值范围. 19. 已知双曲函数，. （1）证明： （2）判断函数的单调性（不用证明），并解关于x的不等式. （3）若，不等式成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考 科高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 1或3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合相等求解. 【详解】解：因为集合，，且， 所以，解得， 故选：D 2. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A． 考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质． 点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称． 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义、幂函数的性质以及指数函数的性质判断即可. 【详解】由可得，所以，故充分性成立； 由可得，取，则不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. ，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质比较大小即得. 【详解】，， 所以. 故选：D 5. 下面不等式成立的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】AC选项，举出反例；B选项，由不等式性质得到；D选项，先得到，结合得到，. 【详解】对于A，取，，，，满足，，而，A错误； 对于B，由，，故，即，B正确； 对于C，取，，满足，而，C错误； 对于D，由，得，则，而， 于是，，错误． 故选：B 6. 已知函数的图象关于点对称，且，，，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合函数的图象变换确定函数的对称性，再借助单调性判断即得. 【详解】函数的图象向右平移1个单位得函数的图象， 由函数的图象关于点对称，得函数的图象关于原点对称，排除AB； 由，，，得函数在上单调递增，排除D，C符合. 故选：C 7. 已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数，分别确定每段的最小值，再根据给定最小值建立不等式，求解即可. 【详解】当时，的最小值为， 当时，， 若时，为增函数，所以， 所以需满足，解得，与矛盾，故不合题意； 当时，由对勾函数性质，在上单调递增， 又的最小值为，则，解得， 综上，实数a的取值范围是. 故选：B 8. 已知正实数，，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，由，得到再利用不等式和一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为，所以， 即， 因为，则， 解得，当且仅当， 即或时，等号成立，所以的取值范围为． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，”，的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 不等式的解集为 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据存在命题的否定判断A，根据定义域不同判断B，根据特殊值判断C，根据不等式性质判断D. 【详解】由存在量词命题的否定知，，，的否定是，，故A正确； 由知的定义域为，由或知定义域为，所以函数不是同一个函数，故B错误； 因为时，分母为0，故不等式的解集不是，故C错误； 由不等式的性质，，又， 所以，故D正确. 故选：AD 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数在上单调增 B. 函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 不等式的解集为 D. 函数关于点中心对称 【答案】BD 【解析】 【分析】由复合函数的单调性可判断A；由函数的定义域的定义求解可判断B；对讨论，分，，三种情况求解可判断C；由函数的图象平移变换求解可判断D . 【详解】对于A，令在上单调递增，又在上单调递减， 所以由复合函数的单调性可得函数在上单调递减，故A错误： 对于B，函数的定义域是，可得，解得， 所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，不等式， 当时，，所以不等式的解集为； 当时，，所以不等式的解集为； 当时，，所以不等式的解集为，故C错误； 对于D，的图象可由向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 所以可得关于点中心对称，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，若，恒成立，则（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数是增函数 C. ，是真命题 D. m可以为0 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合奇函数的定义、复合函数的单调性，逐项分析判断即可. 【详解】函数的定义域为R， 对于A，，， 函数是奇函数，A正确； 对于B，函数在R上单调递增，则函数在R上单调递减，而在R上单调递增， 因此函数在R上单调递增，函数是增函数，B正确； 对于C，， ，因此， ，是真命题，C正确； 对于D，由选项C知，，解得，D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”求解. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为______. 【答案】(或也正确) 【解析】 【分析】根据函数解析式直接得出单调区间. 【详解】, 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：(或也正确) 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数求出，再利用奇函数的定义求出. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，得， 而当时，，则， 所以. 故答案为： 14. 实数，满足，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】由条件分离出，代入转化为关于的式子，利用对数运算后由基本不等式求最值. 【详解】由可得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于怎样建立已知条件与待求式之间的联系，通过类似消元的思想，利用对数运算与性质得出，再由均值不等式得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数的定义域为集合，，. （1）求，. （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数定义域化简集合，解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解即得. （2）由（1）的信息，利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 由，得，解得，则， ，由，得，则， 所以，. 【小问2详解】 由，得，而， 则，解得， 所以实数m的取值范围是. 16. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求a，b的值 （2）若方程仅有一个实数解，求的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数列方程求解； （2）由题意判别式为0，得出，再由“1”的技巧及基本不等式得解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 所以由根与系数的关系可得， 解得或. 【小问2详解】 因为方程仅有一个实数解， 所以，即， 所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 17. 文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t（天）的函数，其中，.每件汉服的日综合成本为20元. （1）写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系； （2）求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照“租赁利润＝租赁收入－租赁成本”可以写出利润Y与时间t之间的函数关系； （2）应用二次函数性质与对勾函数性质分段求出最大值，再比较两值大小即可得到利润Y的最大值. 【小问1详解】 解：依题意可知，， 即 【小问2详解】 解：因为， 所以当时，， 所以当时； 当时， ， 当且仅当,， 即时等号成立，而， 由对勾函数性质可知在单调递减， 所以当，即时，， 又因为， 所以当时，该店日租赁利润Y的最大值为. 18. 已知函数. （1）用定义进行证明函数在的单调性. （2）已知函数，若对任意的，，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1）证明：设任意的，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以，函数在的单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性的定义证明即可； （2）由题意，转化为，对二次函数分类讨论求最小值，建立不等式得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，， 由（1）知，在上单调递增，所以， 由，知对称轴方程为， ①当时，， 解得，又，故无解； ②当时，， 解得，又， 所以； ③当时，， 解得，又， 所以. 综上，实数m的取值范围. 19. 已知双曲函数，. （1）证明： （2）判断函数的单调性（不用证明），并解关于x的不等式. （3）若，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 双曲函数，, 则. （2）单调递增，； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算计算即得. （2）利用指数函数单调性，结合复合函数的单调性判断单调性，再利用单调性解不等式. （3）根据给定条件，分离参数，换元并借助对勾函数的单调性求出最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 不等式， 则，即，解得， 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 不等式， 当时，，则， 依题意，，恒成立，令，， ，函数在上单调递增， 则当时，，因此，即当时，取得最大值，则， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则； ②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则； ④若，使得成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $