第24章圆（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

第24章 圆（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 知识点二、垂直于弦的直径 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 知识点三、弧、弦、圆心角 1．弧、弦、圆心角相关概念 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．圆心到弦的距离叫做弦心距. ②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 表示：劣弧 优弧或 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． ③圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． ④在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． ⑤顶点在圆心的角叫做圆心角. 一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数. 2．弧、弦、圆心角之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 结论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也都分别相等. 知识点四、圆周角 1．圆心角和圆周角 顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 2．圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 3．圆周角定理推论 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即 4．弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． 1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． 2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． 3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 知识点五、直线与圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系 点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外⇔d > r； 点在圆上⇔d = r； 点在圆内⇔ d < r； 2．确定圆的条件 ①确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． ②外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 3．直线和圆的关系有三种 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与相交 直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线． 直线l与相切 直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点． 直线l与相离 直线与圆没有交点． 4．切线的性质和判定 ①切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. ②切线的判定： 定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线． 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直. 5．切线长定理 ①切线长定理： 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． ②三角形的内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点． 注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部． （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径． （3）常见结论：如图，，，，，． 知识点六、正多边形与圆 1．正多边形的有关概念： （1）正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心； （2）正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径； （3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； （4）正多边形中心到一边的距离叫做正多边形的边心距. 2．正多边形的性质： （1）正多边形的一个内角等于 （2）中心角： （3）正多边形的中心角等于外角的度数. 知识点七、弧长和扇形面积 1．弧长和扇形面积： ①弧长公式：如果弧长为l，圆心角度数为n°，圆的半径为R，则= 对于公式中出现的三个量l，n，R，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量. ②由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. ③扇形面积公式：如果设圆心角度数为n°的扇形面积为S，圆的半径为R，那么扇形的面积S== 用弧长和半径R表示扇形面积：S=lR 注意： ①在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位. ②若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长. ③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一. 2．圆锥的侧面积 母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线； 圆锥的高：连接底面圆的圆心与圆锥的顶点的线段叫做圆锥的高； ①设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S侧=πrl. S全=πrl+πr2. ②圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式：r2+h2=l2 ③圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，由此设圆锥底面圆的半径为r，其侧面展开扇形的半径为R，圆心角度数为n°，则可推得r= 考点1：圆的基本概念 【例题1】（24-25九年级上·江苏南京·期中）战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是（    ） A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆 【答案】D 【分析】本题考查了文学常识，战国时期墨家所著的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也．”据此解答即可． 【详解】解：战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是圆， 故选： 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）有下面4个命题： ①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理及圆的认识的知识，解题的关键是了解等圆、等弧、弦的定义，难度不大，属于基础题．利用等圆、等弧、弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径相等的两个圆是等圆，正确，是真命题； ②长度相等的弧是等弧，错误，是假命题； ③圆中最长的弦是通过圆心的弦，正确，是真命题； ④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不一定是等弧，错误，是假命题， 真命题有两个． 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）下列说法中，不正确的是（   ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆的每一条直径都是它的对称轴 C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的对称性，掌握圆的轴对称和旋转不变性是解题的关键． 【详解】解：A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，说法正确； B. 圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误； C. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合，说法正确； D. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，说法正确； 故选：B 【变式3】（多选）（24-25九年级上·全国·假期作业）下列说法正确的是（    ） A．圆有无数条直径 B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦 C．过圆心的线段是直径 D．能够重合的圆叫做等圆 【答案】ABD 【分析】此题考查了圆的认识，属于基础概念的考查，根据：连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的弦，逐一判断即可． 【详解】解：、圆有无数条直径，故本选项说法正确，符合题意； B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确，符合题意； C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误，不符合题意； D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确，符合题意； 故选：ABD 考点2：垂径定理及应用 【例题2】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，是的直径，是弦，于点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵是的直径，是弦，于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选B 【变式1】（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，，于点E，若的半径为3，则的长为    【答案】 【分析】根据垂径定理可以得到，再根据全等三角形的判定与性质，可以得到，从而可以得到，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接，，作于点N，作于点M， ∴，， 又， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 【变式3】（23-24九年级上·吉林·期中）如图，水管内原有积水的水面宽，水深．因几天连续下雨水面上升（即），求此时水面的宽是多少？    【答案】此时水面的宽是． 【分析】本题综合考查了勾股定理和垂径定理的应用，勾股定理，构造直角三角形是解题的关键． 连接、．设的半径是，则，．根据垂径定理，得cm．在直角中，根据勾股定理求得的值，再进一步在直角中，根据勾股定理求得的长，从而再根据垂径定理即可求得的长． 【详解】解：如图所示，连接、．    设的半径是，则，． ， cm． 在直角中，根据勾股定理，得 ， 解得，． 在直角中，根据勾股定理，得 （cm）． 根据垂径定理，得（cm）． 故此时水面的宽是cm． 故答案为： 考点3：弧、弦、圆心角 【例题3】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，弧与圆心角之间的关系，根据，则可得到． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：C 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点，从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的逆定理，弧，弦，圆心角之间的关系，解题的关键是掌握垂径定理的逆定理．“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”．根据垂径定理的逆定理结合弧，弦，圆心角之间的关系逐一分析各选项，即可得到答案． 【详解】解：A．∵，是的直径，是非直径的弦， ∴，故A不符合题意； B．根据无法判断，故B符合题意； C．如图，连接，， ∵， ∴， ∵是的直径，是非直径的弦， ∴，故C不符合题意； D．∵，是的直径，是非直径的弦， ∴，故D不符合题意． 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了矩形的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定；连接，交于点，进而得出四边形是矩形，结合已知条件证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点，      ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴，即弧的度数为 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质． （1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得； （2）由得到，推出，再得到，则． 【详解】（1）解：，理由如下， 证明：过点作直径，如图， ，，是的半径，， ， 点D，E分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴ 考点4：圆周角定理及其推论 【例题4】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点，，均在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，由，根据圆周角定理可求得的度数，又由等边对等角，即可求得答案． 【详解】解：， ． ， ， 故选：B 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、直径的性质等知识，连接，利用直径的性质，可知，根据角的和差求出，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，点C在上（不与A，B重合）．若，则的度数为 °． 【答案】或 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识． 分两种情况：点C落在优弧上和点C落在劣弧上，画出图形，根据圆周角定理和圆内接四边形对角互补进行解答即可． 【详解】解：如图， 当点C落在优弧上时，如点时，； 当点C落在劣弧上时，如点时，， ∴， ∴的度数为或， 故答案为：或 【变式3】（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，四边形的顶点都在上，边为直径，延长、交于E且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，根据等边对等角和圆内接四边形的性质等可得出，根据等角对等边得出，根据圆周角定理可得出，最后根据等腰三角形三线合一即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵四边形的顶点都在上， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，即， ∴ 考点5：点与圆的位置关系 【例题5】（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知的直径为，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外，本题据此可得答案． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， 根据点P到圆心的距离大于圆的半径，则点P在圆外． 故选：A 【变式1】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．当点C在圆内，则，当经过点A时，则，，要使得点A在圆外，则，即可求解． 【详解】解：当点C在圆内， ∴， 当经过点A时，则， ∵， ∴此时， ∴要使得点A在圆外，则， ∴满足题意时，， 故选：A 【变式2】（2024九年级上·江苏·专题练习）平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了圆的基础知识，根据距离最长可得点是在圆的直径上的点，由此作图分析即可求解． 【详解】解：根据直径是圆中最长线段，作图如下， ∴， ∴圆的半径为， 故答案为：7 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 【答案】(1)点在圆A上，点在圆A内，在圆A外 (2) 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与圆的位置关系是解题的关键； （1）先利用勾股定理计算出，再利用等面积法求出，然后根据点与圆的位置关系进行判断即可； （2）使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据，，可知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 半径， ， ，， 点在圆A上，点在圆A内，在圆A外； （2）解：使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，，，， ，即， 圆A的半径的取值范围为 考点6：直线与圆的位置关系 【例题6】（21-22九年级上·江苏扬州·期中）已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键． 直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于2． 此时和半径2的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能． 故选：D 【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆相离的判定，根据相离的判定逐项验证即可得到答案，熟记直线与相离，得到圆心到直线的距离大于半径是解决问题关键． 【详解】解：的半径为5，若直线与相离， 由相离定义可知圆心到直线的距离大于半径5， 根据四个选项中的距离可知，只有6符合要求， 故选：A 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据三角形的面积求出斜边上的高，可知当时，所作的圆与斜边相切，进而即可求解，掌握直线和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 过点作，则， 即， 解得， 当时，所作的圆与斜边相切， ∴当时，所作的圆与斜边有两个公共点， 故答案为：． 【变式3】（2022九年级上·全国·专题练习）在中，，，，以O为圆心，4为半径的与直线的位置关系如何？请说明理由 【答案】与直线的位置关系是相切，理由见解析 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是利用等积法求得斜边上的高． 首先利用勾股定理求得斜边的长，然后利用等积法求得斜边上的高，然后与半径4比较即可确定答案． 【详解】解：与直线的位置关系是相切， 理由：如图，作于点， 中，，，， ， ， ， 的半径为4， 与直线的位置关系是相切 考点7：三角形的外接圆与内切圆 【例题7】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）正三角形的内切圆半径为1，则该正三角形的外接圆半径是（    ） A． B． C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】由正三角形外接圆的半径和它的内切圆的数量关系直接得到． 【详解】解：∵正三角形的内切圆与外接圆的圆心重合， 由三角形的重心可知：等边三角形的外接圆半径是它的内切圆半径的2倍， 所以当正三角形内切圆的半径为1时，它的外接圆的半径为2． 故选：C． 【点睛】熟练掌握等边三角形的有关性质．特别记住等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比（） 【变式1】（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数． 【详解】解：过点I分别作，如图 ∵点I是的内心，且结合切线性质 ∴ ∵ ∴， 即 ∴， ∵点O是的外心， ∴． 故选：B 【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，求线段长的最大值，圆周角定理，勾股定理，关键是延长到使，连接构造△的中位线，并应用相关定理，结合题目条件即可求得长的最小值． 连接并延长交于E，连接，则，，得到延长到E，使，作于H，连接，，，根据三角形的中位线定理得到，当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接并延长交于E，连接， 则，， ， ， 即的半径为6， 当时，的长度的最小， D是的中点， 延长到，使，作于H，连接，，， D是的中点， 是△的中位线， ， 当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度的最小值是， 故答案为：6， 【变式3】（21-22九年级上·山东淄博·期末）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E． (1)求证：EB=EI； (2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长． 【答案】(1)见解析 (2)AI=4 【分析】（1）欲证明EB=EI，只要证明∠EBI=∠EIB； （2）连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，证明△AEM≌△AEN和△BME≌△CNE，再利用勾股定理计算即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵I是△ABC的内心， ∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC， ∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI， ∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD， ∵∠CBE=∠CAE， ∴∠BIE=∠EBI， ∴EB=EI； （2）解：连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，则EM=EN， ∵∠BAE=∠CAE， ∴=， ∴BE=EC=4． ∵AE=AE，EM=EN， ∴△AEM≌△AEN， ∴AM=AN． ∵BE=EC，EM=EN， △BME≌△CNE(HL)， ∴BM=CN． 设BM为x，则8-x=6+x，解得x=1，即BM=1， ∴AM=7． 又∵BE=4，由勾股定理得，EM==． ∴AE==8， ∵EI=BE=4， ∴AI=AE−EI=4． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题 考点8：弧长与扇形面积 【例题2】（23-24九年级上·云南红河·期末）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图．连接，则阴影部分面积，依此计算即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，阴影部分面积． 故选：A 【变式1】（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，点B、C、D在上，，A是的中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定义，求弧长，先根据圆周角定理求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接， 则， 又∵A是的中点， ∴， ∴的长是 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算，根据扇形面积公式求得半径，再根据弧长的公式求弧长即可． 【详解】解：令扇形的半径和弧长分别为和， ， ， ． 扇形的弧长为． 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，点D在⊙O的直径的延长线上，与相切于点C．若的半径为1，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积，圆的切线性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，求出和，求出边长，分别求出三角形的面积和扇形的面积，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点C， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积是 一、单选题 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 2．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得出根据勾股定理求出，进一步可求出的长． 【详解】解：∵ ∴点为的中点， ∵ ∴， 由勾股定理得， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键 3．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 【答案】A 【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解． 【详解】连接，    ∵点是的八等分点，即 ∴， ∴ 又∵的周长为， 四边形的周长为， ∴ 在中有 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键． 4．（2023·广西·中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故选B    【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键． 5．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 二、填空题 6．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    【答案】/40度 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 7．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵内接于，是直径， ∴， ∵,， ∴ ∴， 故答案为：． 8．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    【答案】10 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 9．（2022·江苏常州·中考真题）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 【答案】1 【分析】连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键． 三、解答题 10．（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【详解】（1）证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 12．（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，则，故，由，得到，而，则，由，得，因此，故，则是的切线； （2）连接，可得，则，故，由，得，那么长为． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正确添加辅助线是解决本题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系定理是解决问题的关键．根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵点P在半径为r的内，且， ∴， 比较四个选项，只有， 故选：D． 2．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图所示，在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，根据等弧对等弦，得到，等角对等边求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径为，圆心O到直线l的距离d，为， ∴， ∴圆与直线l相交，直线l与圆有两个交点， 故选：C． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，的直径与弦交于点，且，若所对的圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的概念和性质定理等，连接，根据圆心角的度数可知它所对的弧的度数，再根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，再由三角形的内角定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵若所对的圆心角的度数为， ， ∵， ， ， ， ， ， ∴所对的圆心角的度数为， 故选：C． 5．（23-24九年级上·云南红河·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开计算，熟练掌握弧长公式，扇形面积公式是解题的关键． 设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为，根据圆锥侧面积与底面积的关系建立方程求解即可； 【详解】解：设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为， 根据圆锥侧面积与底面积的关系有，其中， ， ， ， 故选：D 6．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，四边形中，，，，，点为的中点，分别以、为圆心为半径作圆得扇形与扇形（、为圆心角），则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，扇形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等腰三角形的性质，得出， ，再结合勾股定理算出，，然后算出，运用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：连接， ∵，，点为的中点， ∴， ， ∴， 则， ∵，，点为的中点， ∴， 则， ∴， 则， ∵分别以、为圆心为半径作圆得扇形与扇形（、为圆心角）， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为． 故选：C． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，与相切于点A．交于点B，点C在上，且．若，，则的长为（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 如图：连接，根据切线的性质可得，然后利用证明，从而可得，再在中，利用勾股定理求出，最后根据，据此计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，，， ， ∵， ∴， ， ，解得：． 故选：B． 8．（24-25九年级上·重庆江北·阶段练习）如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，即，则有，进而可得，然后根据三角形外角的性质是可进行求解． 本题主要考查垂径定理的推论及圆周角定理，熟练掌握垂径定理的推论及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵经过中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，已知是的直径，，，于点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，中位线的性质，先由勾股定理得出，再由垂径定理得到，再由中位线的性质得，进而可得． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴，， ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：B． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知为的外接圆，．过作的垂线交延长线于点，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，连接，根据得到垂直平分，据此逐个判断即可． 【详解】解：连接交于，延长交于，连接， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴当时成立，故A选项不一定成立； ∵过作的垂线交延长线于点， ∴，， ∴，，， ∴，故B选项一定成立； ∵所对圆周角，对圆周角，与大小不确定， ∴与大小不确定，即与大小不确定，故C选项不一定成立， ∵中， ∴， ∵中， ∴，故D选项一定不成立， 综上所述，选项一定成立的是B， 故选：B． 二、填空题 11．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系内，点，点B的坐标为，的半径为5．若点B在内，则a的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，点和圆的位置关系．设交轴于点，连接，利用勾股定理求得，根据点和圆的位置关系即可求解． 【详解】解：如图，设交轴于点，连接， ∵点，的半径为5， ∴，， ∴， 若点在内， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是上三点，．若，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，连接，圆周角定理得到，垂径定理得到，得到，即可． 【详解】解：连接，则：， ∵，为半径， ∴， ∴， 故答案为：25． 13．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，是直径，，，的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了弧与圆心角，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键．根据弧与圆心角的关系可得，由此即可得． 【详解】解：∵是直径，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·北京海淀·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为 m．      【答案】1 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；过点O作，交于点C，交于点H，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点O作，交于点C，交于点H，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 15．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知的最长的弦长为，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键．根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：∵的最长的弦长为， ∴的直径为， ∴的半径为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·北京·期中）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为 °． 【答案】80 【分析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为80． 17．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 连接，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】连接， ∵分别与相切于点C，D， ∴， ∵，， ∴， ∴（）， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 如图：连接，先根据垂径定理可得，，然后在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：． ∴的半径为． 三、解答题 19．（2022九年级上·全国·专题练习）已知圆O的直径，半径，在射线上有一点D，且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则的长为多少？ 【答案】或 【分析】题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了勾股定理． 利用点在上，得到，然后分类讨论：当点在外，，在中，利用勾股定理可计算出；当点在内，，利用勾股定理可计算出，于是可得到的长． 【详解】解：如图， 直径， ， ， ， 点与圆上各点所连接线段最短为1， ， 当点在外，， 在中，； 当点在内，， 在中，， 的长为或． 20．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定与直线的位置关系． (1)6； (2)8； (3)12． 【答案】(1)相离 (2)相切 (3)相交 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直线与圆的位置关系．解题的关键是掌握等腰三角形三线合一，以及直线与圆的位置关系． （1）过点A作于点D，根据等腰三角形的性质得出， 再根据勾股定理求出，最后比较半径和，即可解答； （2）比较半径和，即可解答； （3）比较半径和，即可解答． 【详解】（1）解：过点A作于点D， ∵，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴与直线相离； （2）解：∵， ∴与直线相切； （3）解：∵， ∴与直线相交． 21．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接四边形中，，． 求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，圆内接四边形的性质，先证明四边形是平行四边形，，再由平行四边形的性质推出，根据圆内接四边形对角互补得到，则，据此可证明平行四边形是矩形． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 22．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，四边形的四个顶点都在上，其中，平分，连接，且．若，，求的半径． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理以及垂径定理得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，设与交于， ， 平分，即， 在中，， 设的半径为，在中，， ． 23．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)的度数为； (2) 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）作，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：作，如图，则， 在中，， ∴， ， ， 在中，， ． 24．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点， 、、． (1)在图上标出圆心，圆心的坐标为____； (2)求的半径，并判断点与的位置关系． 【答案】(1)见解析， (2)的半径为，点在上 【分析】本题考查了垂径定理的推论、点与圆的位置关系、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，结合图形即可得出圆心的坐标； （2）求出的半径和的长，即可得解． 【详解】（1）解：如图，圆心即为所作， ， 圆心的坐标为； （2）解：∵， ∴的半径为， ∵， ∴点在上． 25．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，以的一边为直径作交于点，与边的交点恰好为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，弧长公式，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可以得到，然后根据圆内接四边形的的对角互补得到，然后根据等角对等边得到结论； （2）根据三线合一和圆周角定理可以求出，然后利用弧长公式计算解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 26．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可证得，再根据切线的判定定理即可得证； （2）先证得是等边三角形，于是可得，，进而可求得，于是有，在中根据勾股定理可得，根据同旁内角互补两直线平行可证得，则四边形为直角梯形，根据即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， 又， ， ，即， 又是的半径， 是的切线； （2）解：， 又， 是等边三角形， ，， 由（1）可知：， ， 于点， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 四边形为直角梯形， ． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义，切线的判定，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，勾股定理，同旁内角互补两直线平行，求扇形面积等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $$ 第24章 圆（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 知识点二、垂直于弦的直径 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 知识点三、弧、弦、圆心角 1．弧、弦、圆心角相关概念 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．圆心到弦的距离叫做弦心距. ②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 表示：劣弧 优弧或 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． ③圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． ④在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． ⑤顶点在圆心的角叫做圆心角. 一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数. 2．弧、弦、圆心角之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 结论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也都分别相等. 知识点四、圆周角 1．圆心角和圆周角 顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 2．圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 3．圆周角定理推论 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即 4．弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． 1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． 2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． 3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 知识点五、直线与圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系 点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外⇔d > r； 点在圆上⇔d = r； 点在圆内⇔ d < r； 2．确定圆的条件 ①确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． ②外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 3．直线和圆的关系有三种 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与相交 直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线． 直线l与相切 直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点． 直线l与相离 直线与圆没有交点． 4．切线的性质和判定 ①切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. ②切线的判定： 定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线． 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直. 5．切线长定理 ①切线长定理： 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． ②三角形的内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点． 注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部． （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径． （3）常见结论：如图，，，，，． 知识点六、正多边形与圆 1．正多边形的有关概念： （1）正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心； （2）正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径； （3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； （4）正多边形中心到一边的距离叫做正多边形的边心距. 2．正多边形的性质： （1）正多边形的一个内角等于 （2）中心角： （3）正多边形的中心角等于外角的度数. 知识点七、弧长和扇形面积 1．弧长和扇形面积： ①弧长公式：如果弧长为l，圆心角度数为n°，圆的半径为R，则= 对于公式中出现的三个量l，n，R，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量. ②由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. ③扇形面积公式：如果设圆心角度数为n°的扇形面积为S，圆的半径为R，那么扇形的面积S== 用弧长和半径R表示扇形面积：S=lR 注意： ①在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位. ②若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长. ③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一. 2．圆锥的侧面积 母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线； 圆锥的高：连接底面圆的圆心与圆锥的顶点的线段叫做圆锥的高； ①设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S侧=πrl. S全=πrl+πr2. ②圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式：r2+h2=l2 ③圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，由此设圆锥底面圆的半径为r，其侧面展开扇形的半径为R，圆心角度数为n°，则可推得r= 考点1：圆的基本概念 【例题1】（24-25九年级上·江苏南京·期中）战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是（    ） A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）有下面4个命题： ①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）下列说法中，不正确的是（   ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆的每一条直径都是它的对称轴 C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 【变式3】（多选）（24-25九年级上·全国·假期作业）下列说法正确的是（    ） A．圆有无数条直径 B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦 C．过圆心的线段是直径 D．能够重合的圆叫做等圆 考点2：垂径定理及应用 【例题2】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，是的直径，是弦，于点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，，于点E，若的半径为3，则的长为    【变式3】（23-24九年级上·吉林·期中）如图，水管内原有积水的水面宽，水深．因几天连续下雨水面上升（即），求此时水面的宽是多少？    考点3：弧、弦、圆心角 【例题3】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点，从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．    【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 考点4：圆周角定理及其推论 【例题4】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点，，均在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，点C在上（不与A，B重合）．若，则的度数为 °． 【变式3】（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，四边形的顶点都在上，边为直径，延长、交于E且，求证：． 考点5：点与圆的位置关系 【例题5】（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知的直径为，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定 【变式1】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级上·江苏·专题练习）平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 考点6：直线与圆的位置关系 【例题6】（21-22九年级上·江苏扬州·期中）已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是 ． 【变式3】（2022九年级上·全国·专题练习）在中，，，，以O为圆心，4为半径的与直线的位置关系如何？请说明理由 考点7：三角形的外接圆与内切圆 【例题7】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）正三角形的内切圆半径为1，则该正三角形的外接圆半径是（    ） A． B． C．2 D．2.5 【变式1】（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ． 【变式3】（21-22九年级上·山东淄博·期末）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E． (1)求证：EB=EI； (2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长． 考点8：弧长与扇形面积 【例题2】（23-24九年级上·云南红河·期末）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，点B、C、D在上，，A是的中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，点D在⊙O的直径的延长线上，与相切于点C．若的半径为1，求阴影部分的面积． 一、单选题 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 2．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 4．（2023·广西·中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    7．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 8．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    9．（2022·江苏常州·中考真题）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 三、解答题 10．（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 11．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 12．（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求的长． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图所示，在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，的直径与弦交于点，且，若所对的圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·云南红河·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，四边形中，，，，，点为的中点，分别以、为圆心为半径作圆得扇形与扇形（、为圆心角），则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，与相切于点A．交于点B，点C在上，且．若，，则的长为（   ） A．3 B． C． D．4 8．（24-25九年级上·重庆江北·阶段练习）如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为 A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，已知是的直径，，，于点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知为的外接圆，．过作的垂线交延长线于点，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系内，点，点B的坐标为，的半径为5．若点B在内，则a的范围是 ． 12．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是上三点，．若，则 ． 13．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，是直径，，，的度数是 ． 14．（24-25九年级上·北京海淀·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为 m．      15．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知的最长的弦长为，则的半径是 ． 16．（24-25九年级上·北京·期中）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为 °． 17．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留） 18．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为 ． 三、解答题 19．（2022九年级上·全国·专题练习）已知圆O的直径，半径，在射线上有一点D，且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则的长为多少？ 20．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定与直线的位置关系． (1)6； (2)8； (3)12． 21．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接四边形中，，． 求证：四边形是矩形． 22．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，四边形的四个顶点都在上，其中，平分，连接，且．若，，求的半径． 23．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 24．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点， 、、． (1)在图上标出圆心，圆心的坐标为____； (2)求的半径，并判断点与的位置关系． 25．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，以的一边为直径作交于点，与边的交点恰好为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 26．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求出图中阴影部分的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $$