精品解析：广西南宁市第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

南宁三中2024～2025学年度上学期高一段考 数学试题 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可确定选项. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 3. 若，则函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 当且仅当时，即时，取得最小值. 故选：D. 4. 设表示不超过的最大整数，对任意实数，下面式子正确的是（ ） A. = |x| B. ≥ C. > D. > 【答案】D 【解析】 【详解】分析：表示不超过的最大整数，表示向下取整，带特殊值逐一排除． 详解：设，，，，，排除A、B， 设，，，排除C．故选D 点睛：比较大小，采用特殊值法是常见方法之一． 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数定义计算即可. 【详解】. 故选：B. 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得，即，解得或， 令（或），则， 因为的对称轴为， 所以在上递减，在上递增， 因为在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增. 故选：C 7. 函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合一次函数、二次函数单调性列式求解. 【详解】由对且，都有，得函数在R上单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8. 已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性，再结合偶函数的性质求解不等式. 【详解】由函数是上的偶函数，则， 又函数在上单调递增，因此， 解，得或， 解，得，于是， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有以下判断，其中判断正确的是（ ） A. 是幂函数，且在单调递减，则 B. 的定义域为，则 C. 的值域是 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用幂函数的定义与性质可判定A，利用函数的定义及一元二次不等式恒成立计算可判定B，利用换元法求值域可判定C，根据已知函数定义域，求得的定义域，再求定义域即可. 【详解】对于A，由幂函数的定义可知或， 又在单调递减，所以，所以，故A正确； 对于B，恒成立，显然符合题意， 当时，则，综上所述，故B错误； 对于C，令，此时， 显然，故C正确. 对于D：的定义域是，故可得，则的定义域是， 则对，，则，其定义域为，故D正确； 故选：ACD. 10. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 有最小值 C. D. 有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项分析判断即可. 【详解】对于A，，则，于是，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D错误. 故选：BC 11. 下列命题是真命题的是（ ） A. 是定义在上的偶函数，若当时，，则当时， B. 函数的最小值为2 C. 已知，则 D. 若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇偶性求出解析式可判定A；利用基本不等式可排除B；利用奇偶性可判定C；由题意得出和4是方程的两根，且，利用根与系数的关系，得出，，代入，结合二次函数的性质即可判定. 【详解】对于A选项，当时，，，故A正确； 对于B选项，易知，故， 由基本不等式知，等号不成立，故B错误；  对于C选项，易知，令， 易知，即为奇函数， 所以，则，故C正确； 对于D选项，关于x的不等式的解集为或， 所以和4是方程的两根，且， 由根与系数的关系知，， 所以，， 所以关于的不等式可化为， 令，对称轴，， 因为不等式的解集中仅有两个整数， 所以这两个整数是，或，， 当这两个整数是和时，则，解得； 当整数是和时，由于对称轴时，根据对称性可知，此时显然不符合题意， 综上，a的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的定义域为________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，解得且， 所以的定义域为且. 故答案为：且. 13. 函数的值域是，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】该函数的值域为,，从而函数和轴存在公共点，从而判别式，解该不等式即可得出实数的取值范围． 【详解】根据题意知，函数可以取到0； 函数和轴有交点； ； 解得，或； 实数的取值范围为：． 故答案为：． 14. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值． 【详解】任意的正实数，，，满足， 所以 ， 由于，为正实数， 故由基本不等式得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为16． 故答案为：16． 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知且，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①7；② 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 16. 已知集合，． （1）当时，求，，； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合交集、并集和补集的定义进行求解即可； （2）根据集合交集的运算性质，结合子集的性质进行求解即可. 【小问1详解】 当时，可得集合，， 所以，. ，. 【小问2详解】 由，可得， ①当时，可得，解得； ②当时，则满足，解得， 综上实数的取值范围是. 17. （1）已知是正实数，且．求的最小值； （2）函数的最小值为多少? 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式“1”的巧用求最值即可； （2）对已知函数进行分式分离，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）因为是正实数，且，所以， 则， 当且仅当时，即时，的最小值为； （2）因为， 所以， 当且仅当时，即时，函数有最小值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求实数a和b的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）若，求t的取值范围． 【答案】（1）， （2），函数在上单调递增， 证明：任取， 所以， 因为，所以， 则， 所以，即，故函数在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数为上的奇函数得到，求出，再代入，求出，验证后得到答案； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形，判号，下结论； （3）由函数的单调性和奇偶性，结合定义域得到不等式组，求出答案. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 则，又因为，则，解得， 经检验时，是奇函数， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数是定义在上的奇函数，且， 则， 因为函数在上单调递增． 所以，则 解得，所以t的取值范围是． 19. 若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由： （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）是，不是， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据增长函数的定义进行验证即可； （2）将增长函数问题转换为不等式在区间恒成立问题进行解决即可； （3）作出的图象，然后利用函数平移求解． 【小问1详解】 是：因为，，； 不是，反例：当时，． 【小问2详解】 由题意得，对于恒成立， 等价于，即对恒成立， 令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数， 要保证对恒成立，则， 即， 解得， 所以满足题意的最小正整数为9． 【小问3详解】 根据题意， 当时，，当时，， 因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示： 所以， 若是R上的增长函数，则对任意的，都有， 因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】思路点睛：在解决对恒成立的问题时，利用了主参换位法，可以将看成关于单调递增的一次函数，即转化为对恒成立，这样求解方便快捷. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2024～2025学年度上学期高一段考 数学试题 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 设表示不超过的最大整数，对任意实数，下面式子正确的是（ ） A. = |x| B. ≥ C. > D. > 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有以下判断，其中判断正确的是（ ） A. 是幂函数，且在单调递减，则 B. 的定义域为，则 C. 的值域是 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 有最小值 C. D. 有最大值 11. 下列命题是真命题的是（ ） A. 是定义在上的偶函数，若当时，，则当时， B. 函数的最小值为2 C. 已知，则 D. 若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的定义域为________． 13. 函数的值域是，则实数的取值范围是______. 14. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知且，求下列各式的值： ①； ②． 16. 已知集合，． （1）当时，求，，； （2）若，求实数m的取值范围． 17. （1）已知是正实数，且．求的最小值； （2）函数的最小值为多少? 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求实数a和b的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）若，求t的取值范围． 19. 若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由： （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $