精品解析：广东省东莞市东华初级中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期期中质量自查 九年级数学 （满分：120分时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项符合题目要求． 1. 下面的图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误； 故选B． 【点睛】此题考查中心对称图形的知识，解题关键在于掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0时，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣3）2＝1 B. （x﹣3）2＝10 C. （x＋3）2＝1 D. （x＋3）2＝10 【答案】B 【解析】 【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】方程移项得：x2－6x＝1， 配方得：x2－6x＋9＝10，即（x－3）2＝10， 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入关于x的一元二次方程得到关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：将代入关于x的一元二次方程， 得， 解得， 故选B． 4. 下列一元二次方程没有实数根的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，分别计算出每个方程中的判别式的值，从而得出答案． 【详解】解：A．方程中，此方程有两个不相等的实数根； B．方程中，此方程有两个相等的实数根； C．方程中，此方程有两个不相等的实数根； D．方程中，此方程没有实数根； 故选D． 5. 某超市1月份营业额为90万元．1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（增长率），由此可以求出第二个月和第三个月的营业额，而第一季度的总营业额已经知道，所以可以列出一个方程． 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为， 则第二个月的营业额为：， 第三个月的营业额为：， 则由题意列方程为：， 故选：D． 6. 抛物线是由某抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，此抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 故选：B． 7. 点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质；根据二次函数的解析式可得，，对称轴为，二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越小，据此求解即可． 【详解】解：二次函数中，，开口向下，对称轴为直线， 则二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越小， 到对称轴的距离分别为、、 ∵， ∴ 故选：B． 8. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为（ ） A. 44 B. 43 C. 42 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得出，结合可得出为等边三角形，进而可得出的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，再根据三角形的周长公式即可求出与的周长之和． 【详解】解：由旋转得出， ， ， 为等边三角形， ， 在中，，，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形的周长，利用三角形的周长公式结合边与边的关系，找出周长之和与各线段之间的关系是解题的关键． 9. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案． 【详解】解：设=x°. 根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB. ∴∠=∠B. ∵，∴∠C=∠CA=x°. ∴∠=∠C+∠CA=2x°. ∴∠B=2x°. ∵∠C+∠B+∠CAB=180°，， ∴x+2x+108=180. 解得x=24. ∴的度数为24°. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质. 10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a，由抛物线与y轴的交点判断c，根据对称轴的位置判断b及a、b关系，根据抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所有结论进行逐一判断． 【详解】∵抛物线开口向下，则 a＜0． 对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b＞0． 抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线的对称轴是直线 x=1，则=1，b=﹣2a， ∴2a+b=0，故②正确； 由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，在 x=﹣1 时，y＜0，故③错误； 当 x=﹣1 时，有 y=a﹣b+c＜0，故④正确； 由 2a+b=0，得 a=﹣，代入a﹣b+c＜0得﹣+c＜0，两边乘以 2 得 2c﹣3b＜0，故⑤错误． 综上，正确的选项有：①②④． 所以正确结论的个数是3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，明确二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若点关于原点的对称点，那么________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数，可得m、n的值，即可解答． 【详解】∵点关于原点的对称点是 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 13. 已知，是方程的两根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意，得到，代入代数式求值即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 14. 已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝_______． 【答案】1 【解析】 【详解】∵物线 与x轴交点的横坐标为-1， ∴a-1+c=0， ∴a+c=1， 故答案为1. 15. 如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质．过点A作轴于点D，过点C作于点E，过点作延长线于点F，与x轴交于点G，根据旋转的性质可得，即可求解，理解图示和旋转的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点D，过点C作于点E，过点作的延长线于点F，与x轴交于点G， 则， ∵，， ∴，， ∵绕点C旋转得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键熟练掌握配方法，利用配方法解方程即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 开平方，得， 解得，． 17. 如图，正方形ABCD中，M是对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连接CM，将CM绕点C顺时针旋转90°到CN，连接MN，DN，求证：BM=DN． 【答案】 证明：四边形ABCD是正方形， ， 将CM绕点C顺时针旋转到CN， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】由正方形ABCD中可得BC＝CD，根据旋转的性质有CM＝CN，∠BCM＝∠DCN，即可证明△CBM≌△CDN（SAS），从而BM＝DN． 【详解】略 【点睛】本题考查正方形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的旋转，证明△CBM≌△CDN． 18. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，垂足为点，且，若四边形有最大面积，则求出此时的与的长及这个最大的面积． 【答案】，最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设，则，根据，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设，则， ， 当时，最大， ，最大面积为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的方程 （1）求证：方程总有两个实数根 （2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围 【答案】 （1）证明： ∴方程总有两个实数根 （2） 【解析】 【分析】（1）证出根的判别式即可完成； （2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围. 【详解】（1）略 （2） ∴ ∴ ∵方程有一个小于1的正根 ∴ ∴ 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 20. “互联网”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y 条． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为70元时，每月获得最大利润，最大利润为为4500元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据销售单价每降1元，则每月可多销售5条，列出函数关系式即可； （2）该网店每月获得的利润元等于每件的利润乘以销售量，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵，抛物线开口向下， ∴有最大值，即当时，， ∴当销售单价为70元时，每月获得最大利润，最大利润为4500元． 21. 综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，⋯⋯，第n行有n个点，⋯⋯，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第n项相加，上式等号的右边变形为这n个小括号都等于，整个式子等于，于是得到．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【答案】 （1）三角形点阵中前行的点数之和不可能是600． 理由：设三角形点阵中前行的点数之和是600， 根据题意，得， 整理得， ， 解方程，得，， 该方程没有正整数根， 所以三角形点阵中前行的点数之和不可能是600； （2）前行的点数之和为；（3） 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索和一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据规律，令，计算即可； （2）结合题意知，再根据题目中的规律即可求解； （3）根据规律，令，计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）由题意得： ， ∴前行的点数之和为． （3）依题意得：， 整理得：，即， ∴（舍去），， 即：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在中，．将绕点A顺时针旋转得到．与交于点F． （1）求证：． （2）设，直接写出当m、n满足什么条件时，是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ， ∴． （2）当或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两底角相等，注意进行分类讨论． （1）根据旋转性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，，即可证明结论； （2）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时， 则， ∵， ∴， ∴； 当时， 则， ∵， ∴， ∴； 当时，点F在的延长线上，不符合题意； 综上分析可知，当或时，是等腰三角形． 23. 已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）3；（ⅱ） 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解； （2）根据题意得出， ，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ∴的顶点为， ∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1， ∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）得 ∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ， 整理得： （ⅰ）∵， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）将代入， 整理得， ∵， ∴当，即时，h取得最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中质量自查 九年级数学 （满分：120分时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项符合题目要求． 1. 下面的图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0时，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣3）2＝1 B. （x﹣3）2＝10 C. （x＋3）2＝1 D. （x＋3）2＝10 3. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 4. 下列一元二次方程没有实数根的是( ) A. B. C. D. 5. 某超市1月份营业额为90万元．1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线是由某抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，此抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为（ ） A. 44 B. 43 C. 42 D. 41 9. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若点关于原点的对称点，那么________． 12. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 13. 已知，是方程的两根，则代数式的值为______． 14. 已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝_______． 15. 如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 17. 如图，正方形ABCD中，M是对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连接CM，将CM绕点C顺时针旋转90°到CN，连接MN，DN，求证：BM=DN． 18. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，垂足为点，且，若四边形有最大面积，则求出此时的与的长及这个最大的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的方程 （1）求证：方程总有两个实数根 （2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围 20. “互联网”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y 条． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 21. 综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，⋯⋯，第n行有n个点，⋯⋯，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第n项相加，上式等号的右边变形为这n个小括号都等于，整个式子等于，于是得到．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在中，．将绕点A顺时针旋转得到．与交于点F． （1）求证：． （2）设，直接写出当m、n满足什么条件时，是等腰三角形． 23. 已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $