精品解析：广东省揭阳市揭东区第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

广东省揭阳市揭东区第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试 数学试卷 一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在上的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题，本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. (多选)下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. · 10. 已知，，则对于 （ ） A. 取得最值时a＝ B. 最大值是5 C. 取得最值时b＝ D. 最小值是 11. 若函数的定义域为，值域为，则a的值可能为（    ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 第II卷（非选择题） 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是___________． 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 14. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是__________. 四、解答题，本题共5题，共77，分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知指数函数的图象经过点. （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数解集为. （1）求的解析式； （2）当，求的值域. 17. （1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式． 18. 已知函数，且. （1）的解析式，并写出其定义域； （2）用函数单调性的定义证明：在上单调递减. （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元. （1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？ （2）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； （3）当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省揭阳市揭东区第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试 数学试卷 一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，先求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 由，得到，得到，所以，得到， 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】由解得； 由解得； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解ABC，作差即可求解D. 【详解】对于A,由于，故，进而可得，A正确， 对于B，由于，故，B错误， 对于C，当时，，故C错误， 对于D，，由于，故， 但由于的值不确定，无法确定的符号，故D错误， 故选：A 4. 函数在上的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知函数在上单调递减，结合单调性求最值. 【详解】因为在上单调递增，且恒成立， 可知函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上的最小值为. 故选：B. 5. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，定义法得到不为奇函数；B选项，不满足在定义域上单调；C选项，为非奇非偶函数；D选项，满足在定义域上为单调函数，又是奇函数，D正确. 【详解】A选项，定义域为R，且， 故不是奇函数，A错误； B选项，的定义域为，而在上单调递减， 故不在定义域上单调，B错误； C选项，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，C错误； D选项，的定义域为R，且， 故为奇函数，且当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增， 又，故在定义域上单调递增，为单调函数，D正确. 故选：D 6. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用题意结合奇函数的定义判断是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以是奇函数，且，故，解得， 故当时，，由奇函数性质得， 而，故，故A正确. 故选：A 7. 在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的图象和一次函数的图象求出的取值范围，即可进行判断. 【详解】对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误； 故选：A. 8. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数在每一段上的单调性求的取值范围，再根据函数在分段处的函数值确定的取值范围. 【详解】由题意：在上单调递减，所以， 又由. 所以的取值范围是：. 故选：D 二、多选题，本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. (多选)下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. · 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则及运算性质，分选项排除即可． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，成立，故B正确； 对于C，，成立，故C正确； 对于D，由可取且，但此时和无意义，故D错误， 故选：ABC． 10. 已知，，则对于 （ ） A. 取得最值时a＝ B. 最大值是5 C. 取得最值时b＝ D. 最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据条件，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，且， 则， 当且仅当且，即时，等号成立. 故选：AD 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 11. 若函数的定义域为，值域为，则a的值可能为（    ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】BC 【解析】 【分析】通过解方程，结合二次函数的图象进行求解即可. 【详解】令，或， 令， 二次函数的对称轴为， 函数图象如下图所示： 要想函数的定义城为，值域为， 只需，选项BC符合， 故选：BC 第II卷（非选择题） 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据量词命题的否定求解即可. 【详解】根据特称量词命题的否定为全称量词命题得 命题“”的否定为“”. 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】这是由复合函数的定义域求函数的定义域，转化为求内层函数的值域问题即可. 【详解】由函数的定义域为，得， 令，则，所以的定义域为， 故的定义域为. 故答案为：. 14. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴与单调性求解即可. 【详解】由题意，图象的对称轴为， 因为在上是减函数，故，即. 故答案为： 四、解答题，本题共5题，共77，分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知指数函数的图象经过点. （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）设，代入点解得，进而解方程即可； （2）根据指数函数的单调性化简不等式，再解不等式即可. 【小问1详解】 设，且， 代入点，可得， 解得，即， 则，所以. 【小问2详解】 因为指数函数在上单调递增， 所以不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 16. 已知函数解集为. （1）求的解析式； （2）当，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解可得对应方程的根，由根与系数关系求即可得解； （2）根据所给自变量区间，利用单调性和对称性求值域即可. 【小问1详解】 由函数解集为， 可知方程的两根为，且， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由可知，对称轴方程为，且， 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 可知，， 所以函数的值域为. 17. （1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)用换元法或配凑法求函数解析式；（2）用待定系数法求函数解析式. 【详解】(1)， ； (2)设所求二次函数为，，， ， 又，， 即，所以，即， 18. 已知函数，且. （1）的解析式，并写出其定义域； （2）用函数单调性的定义证明：在上单调递减. （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明:任取，，且，则， ∵，，且， ∴，，， ∴，即， ∴在上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）已知代入解方程组可得； （2）根据单调性的定义证明； （3）不等式转化为，利用（2）的结论求得的最小值即可得参数范围． 【小问1详解】 由已知可得，解得，， ∴． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由，不等式可化为， 因为对任意，不等式恒成立，即， 由（1）知，函数在为单调递减函数， 所以，所以，即实数的取值范围. 19. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元. （1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？ （2）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； （3）当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本） 【答案】（1） （2） （3）元 【解析】 【分析】（1）根据实际出厂单价恰好为元列出求解； （2）根据题意求分段函数解析式； （3）根据利润公式及分段函数入代求解即可. 【小问1详解】 解：设每个零件的实际出厂价恰好降为元时，一次订购量为个， 则. 【小问2详解】 当时，； 当时，； 当时，. 【小问3详解】 设工厂获得的利润为元，则， 即销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $