精品解析：贵州省毕节市威宁彝族回族苗族自治县第八中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

威宁八中2024－2025学年度第一学期期中考试试题 高二年级数学学科 2024.11 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：选择性必修第一册（第一章～第三章3.1椭圆）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离是（ ） A. B. C. D. 2. “大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若为椭圆上的一点（不在轴上），则面积的最大值是（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 3 5. 已知空间向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 设，，直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 2 D. 8. 已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，直线与交于，两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则下列结论正确的是 A. 四边形为平行四边形 B. C. 直线的斜率为 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 的最小值为 B. 两圆公切线有两条 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 10. 直线不过第二象限，则a的可取值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 11. 给出下列命题，其中为假命题的是（ ） A. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则 B. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 C. 若两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则 D. 已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为________________. 13. 已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为______. 14. 若A为射线上的动点，B为x轴正半轴上的动点．若直线AB与圆相切，则的最小值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知直线l过定点 （1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程； （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 16. 已知圆经过和两点,且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相切，求的值. 17. 已知椭圆：过点，长轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线与椭圆交于，两点，当为线段中点时，求直线的方程. 18. 在边长为2的菱形中，，点E是边的中点（如图1），将△沿折起到△的位置，连接，得到四棱锥（如图2）． （1）证明：平面； （2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右两个焦点分别是，，在椭圆上运动. （1）若的最大值为120°，求，的关系式； （2）若点是在椭圆上位于第一象限的点，过点作直线的垂线，过作直线的垂线，若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标（用，表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威宁八中2024－2025学年度第一学期期中考试试题 高二年级数学学科 2024.11 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：选择性必修第一册（第一章～第三章3.1椭圆）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离. 故选A． 2. “大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用中点坐标公式，结合两点之间的距离公式，根据圆的标准方程，可得答案. 【详解】由，则线段的中点为，即圆的圆心为， 圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 3. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案. 【详解】若，则或，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：D. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若为椭圆上的一点（不在轴上），则面积的最大值是（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆上的点的纵坐标的取值范围求解即可. 【详解】椭圆, 椭圆左、右焦点分别为，， 故, 为椭圆上的一点，设，则且， . 故选：B. 5. 已知空间向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，在中由余弦定理求解. 【详解】空间向量，，，， 则三向量可能构成三角形的三边. 如图，设，则中，， . 故选：D 6. 已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用几何关系，得，即可求得椭圆的离心率. 【详解】由条件可知，，即. 故选：B 7. 设，，直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆心坐标代入直线方程得，然后用“1”的代换得定值后由基本不等式得最小值． 【详解】圆心为（1，1），所以 于是 当且仅当，即时取等号. 故选：B． 8. 已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，直线与交于，两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则下列结论正确的是 A. 四边形为平行四边形 B. C. 直线的斜率为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】 对A,根据椭圆对称性判断即可. 对B,根据的最值判定即可. 对C,根据倾斜角的正切值判定即可. 对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明即可. 【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,.故四边形为平行四边形. 故 A正确. 对B,根据椭圆的性质有当在上下顶点时,.此时.由题意可知不可能在上下顶点,故.故B正确. 对C, 如图,不妨设在第一象限,则直线的斜率为,故C正确. 对D, 设则. 又由C可知直线的斜率为,故.所以. 故.故D错误. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 的最小值为 B. 两圆公切线有两条 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】由两圆方程可得圆心和半径，由两圆位置关系的判定可得两圆相外切，由此依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】由圆的方程知：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径； ，两圆外切； 对于A，若重合，为两圆的切点，则，A正确； 对于B，两圆外切，则公切线有条，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，两圆相外切，两个圆不存在相交弦，D错误. 故选：AC. 10. 直线不过第二象限，则a的可取值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BCD 【解析】 【分析】对参数的值分类讨论，根据题意，即可求得满足题意的参数范围，再进行选择即可. 【详解】当即时，直线不过第二象限，所以符合题意； 当即时，直线过第二象限，所以不符合题意， 当时，直线，若直线l不过第二象限，所以，解得. 综上所述：. 故选：BCD. 11. 给出下列命题，其中为假命题的是（ ） A. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则 B. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 C. 若两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则 D. 已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系、线面角的定义、向量共面的定理，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：由题意，当时，或，故A错误； 对于B：由图象可得，，则， 所以，根据线面角的定义可得：与所成角为，故B正确； 对于C：因为，所以，故，故C正确； 对于D：只有当空间的三个向量，，不共面时， 对于空间的任意一个向量，才存在实数使得，故D错误. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为________________. 【答案】 【解析】 【分析】把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解． 【详解】解：，0，，点到平面的距离为． 故答案为：. 13. 已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的方程为，运用离心率公式和，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆标准方程； 【详解】解：设椭圆的方程为， 由题意可得，，， 可得，，， 则椭圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 若A为射线上的动点，B为x轴正半轴上的动点．若直线AB与圆相切，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用直线AB与圆相切，结合基本不等式，得到，即可求出|AB|的最小值． 【详解】设， 则直线AB的方程为， 整理得． 因为直线AB与圆相切，所以， 化简得， 利用基本不等式得， 即， 从而得， 当，即时，|AB|的最小值是． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知直线l过定点 （1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程； （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)求出直线的斜率可得l的斜率，再借助直线点斜式方程即可得解. (2)按直线l是否过原点分类讨论计算作答. 【小问1详解】 直线的斜率为，于是得直线l的斜率，则，即， 所以直线l的方程是：. 【小问2详解】 因直线l在两坐标轴上的截距相等，则当直线l过原点时，直线l的方程为：，即， 当直线l不过原点时，设其方程为：，则有，解得，此时，直线l的方程为：， 所以直线l的方程为：或. 16. 已知圆经过和两点,且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相切，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆，依题意得到方程组，解得即可； （2）利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可； 【小问1详解】 解：设圆，由题意得： ，解得：， ∴圆； 【小问2详解】 解：∵直线与圆相切， ∴圆心到直线 的距离为， 解得：. 17. 已知椭圆：过点，长轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线与椭圆交于，两点，当为线段中点时，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）椭圆基本量计算. （2）点差法求斜率即可. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为，所以，得， 又椭圆过点， 所以，得. 所以椭圆的标准方程为:. 【小问2详解】 直线的斜率不存在时，过点，直线的方程为： 此时线段中点为，不合题意. 所以直线的斜率必存在，设其为，，， 因为为的中点，则，所以， 将、坐标代入椭圆的标准方程为得，， 两式相减得：，整理得：， 所以，， 所以. 所以直线的方程为，即. 因为点在椭圆内部，所以直线必与椭圆相交于两点，此直线即为所求. 18. 在边长为2的菱形中，，点E是边的中点（如图1），将△沿折起到△的位置，连接，得到四棱锥（如图2）． （1）证明：平面； （2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由题设，为菱形，E是的中点且， ∴，即，又， ∴面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质有，再应用线面垂直的判定即可证结论. （2）构建空间直角坐标系，确定相关点的坐标，进而求直线的方向向量、平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示，求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，结合（1）可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则， ∴， 若是面的一个法向量，则，令，则， ∴，故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右两个焦点分别是，，在椭圆上运动. （1）若的最大值为120°，求，的关系式； （2）若点是在椭圆上位于第一象限的点，过点作直线的垂线，过作直线的垂线，若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标（用，表示）. 【答案】（1） （2）当时，点P的坐标为或， 当，点P的坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可知，，，利用余弦定理与基本不等式即可求得； （2）设，当时，直线的斜率不存在，易知与重合，不满足题意；当时，求出直线与直线的方程联立，分类讨论求解P的坐标即可. 【小问1详解】 根据椭圆的定义可知，，， 因为， 所以 ， 所以，即. 【小问2详解】 设， 当时，直线的斜率不存在，易知与重合，不满足题意； 当时，则直线的斜率，直线的斜率， 直线的方程为，① 直线的斜率，则直线的斜率. 直线的方程，② 联立①②解得： ，则， 由在椭圆上，的横坐标互为相反数，纵坐标应相等或互为相反数， 则或，∴或， 由，点在第一象限，得为， 由，消去，得为， 当时，，，故， 当时，此时不存在. 综上，当时，点P的坐标为或， 当，点P的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $