专题01 概率初步（七大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020，上海专用）

专题01 概率初步（七大题型+优选提升题） 随机现象与样本空间 1．（23-24高二上·上海徐汇·期末）设是一个随机事件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据概率的基本性质可得结果. 【解析】随机事件的概率， 故答案为：. 2．（23-24高二上·上海·期末）以下论述描述正确的是 .（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的； ②随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的； ③概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小. 【答案】③ 【分析】根据随机现象的性质即可逐一求解. 【解析】对于①，随机现象是可以重复的，比如抛一枚硬币多次，可以重复出现正面朝上，故错误， 对于②, 比如抛一枚骰子，出现1点朝上的可能性显然小于偶数点朝上的可能性，故错误， 对于③, 概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小，正确， 故答案为：③ 3．（23-24高二上·上海·期末）从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是 . 【答案】6 【分析】利用列举法即可直接得出结果. 【解析】设第一次取出的球标号为，第二次取出的球标号为， 记基本事件为，， 则所有的基本事件为，共6个. 所以上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是6. 故答案为：6 4．（23-24高二上·上海黄浦·期末）袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为 ．（只需写出一个） 【答案】（白球）（答案不唯一） 【分析】根据样本点的定义即可求解. 【解析】所有的样本点为（白球），（黑球），（红球）， 故答案为：（白球）（答案不唯一） 5．（21-22高二下·上海浦东新·期末）为了丰富高一学生的课外生活，某校高一年级要组建数学､计算机､辩论三个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，不考虑选报的先后顺序，则该试验的样本点的个数为 . 【答案】3 【分析】用列举法一一列举出该试验包含的样本点，从而得出结论． 【解析】解：该试验包含的样本点的情况有：{数学,计算机}、{数学,辩论}、{计算机,辩论}， 共计3个样本点. 故答案为：3． 古典概率 6．（23-24高二下·上海·期末）同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为 .（结果用分数表示） 【答案】 【分析】利用列表法，结合古典概型分析求解. 【解析】设样本空间为，所得点数之和为5为事件A， 列表可得： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ ╳ ╳ √ ╳ ╳ 2 ╳ ╳ √ ╳ ╳ ╳ 3 ╳ √ ╳ ╳ ╳ ╳ 4 √ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 5 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 6 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 有表格可知：，所以. 故答案为：. 7．（23-24高二下·上海·期末）连续抛掷一颗均匀的正六面体骰子三次，在第一次抛出6点的条件下，三次的点数和不小于10的概率为 【答案】 【分析】根据古典概型结合对立事件的概率求解即可. 【解析】在第一次抛出6点的条件下，三次的点数和不小于10，等价于后两次的点数和不小于4， 设后两次的点数和不小于4为事件A， . |故答案为：. 8．（22-23高二下·上海杨浦·期末）抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，得点数的概率是 . 【答案】 【分析】根据古典概型的公式计算即可. 【解析】由题意，丢一次质地均匀的正方体骰子，有种实验结果，即点数为，根据古典概型的计算公式，投到点数的概率为. 故答案为： 9．（22-23高二上·上海杨浦·期末）某高中已经从高一、高二、高三3个年级中各挑选出4男5女，现从这27人中选出一人评选区三好学生，则此人是男生或是高二年级学生的概率是 . 【答案】 【分析】利用古典概型的概率计算公式，可得答案. 【解析】选出的27人中有12名男生，有9名高二学生，其中此人是男生或高二年级学生的人数为17人， 此人是男生或是高二年级学生的概率是， 故答案为：. 10．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知甲袋中有2个白球、3个红球、5个黑球；乙袋中有4个白球、3个红球、3个黑球，各个球的大小与质地相同．若从两袋中各取一球，则2个球颜色不同的概率为 ． 【答案】/0.68 【分析】找出基本事件总数和满足条件的基本事件数，根据古典概型公式求解即可. 【解析】由题，甲袋中共有10个球，乙袋中共有10个球， 则从两袋中各取一球，基本事件总数为， 取出的2个球颜色不同，可能为：（甲白，乙红），（甲白，乙黑），（甲红，乙白），（甲红，乙黑），（甲黑，乙白），（甲黑，乙红）， 则2个球颜色不同的基本事件数为， 所以， 故答案为： 频率与概率 11．（23-24高二下·上海·期中）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型.小明有放回地取10000次，有6973次取到红球，有3027次取到黄球，那么红球最有可能有 个． 【答案】7 【分析】利用频率近似红球的所占比例可得答案. 【解析】因为红球所占比例为， 所以红球的个数最有可能有. 故答案为:7 12．（23-24高二下·上海·阶段练习）在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】16 【分析】设袋中红球有个，根据概率的概念列式求解即可. 【解析】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有16个. 故答案为：16 13．（21-22高二上·上海崇明·期末）某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示. 胆固醇降低的人数 没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73 则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于 . 【答案】/0.614 【分析】根据经验概率的定义可求出结果. 【解析】依题意使用药物后胆固醇降低的人数为，又试验总次数为， 所以使用药物后胆固醇降低的经验概率等于. 故答案为： 对立事件的概率 114．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知，则， . 【答案】 【分析】由对立事件的概率求解即可. 【解析】因为，所以. 故答案为：. 15．（21-22高二上·上海崇明·期末）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出粒都是黑子的概率是，从中取出粒都是白子的概率是，则从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是 . 【答案】 【分析】任意取出粒棋子，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子种可能，其概率之和为，由此求解即可. 【解析】由题意，任意取出粒棋子，不考虑先后顺序，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子种可能， 设事件：取出粒都是黑子，事件：取出粒都是白子，事件：取出粒恰好是一粒黑子一粒白子，则，，两两互斥， 由已知有，， ∵， ∴， ∴从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是. 故答案为：. 16．（22-23高二下·上海普陀·期末）“东哥”上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上至少遇到2次绿灯的概率为 ． 【答案】 【分析】由独立重复试验的概率公式及对立事件的概率公式求解. 【解析】4次均不是绿灯的概率为， 3次不是绿灯的概率为， ∴至少遇到2次绿灯的概率为． 故答案为：. 17．（21-22高一下·上海浦东新·期末）一名医护人员维护3台独立的呼吸机，一周内这些呼吸机需要维护的概率分别是、、0.6，则一周内至少有一台呼吸机不需要维修的概率为 ． 【答案】 【分析】一周内全部都要维修的概率，利用其对立事件即可求一周内至少有一台呼吸机不需要维修的概率. 【解析】一周内全部都要维修的概率为，故一周内至少有一台呼吸机不需要维修的概率为. 故答案为：. 18．（20-21高二上·上海浦东新·期末）全班人中，至少有人的生日是在同一个月的概率是 .（默认每月的天数相同，结果精确到小数点后三位） 【答案】 【解析】判断出人的生日月份共有种情况，每个人的月份都不同的情况有种，再利用对立事件的概率公式计算. 【解析】根据题意可知，全班人中，至少有人的生日在同一个月的对立事件为没有人生日在同一个月，人的生日月份共有种情况，其中，每个人的月份都不同的情况有种，则至少有人的生日是在同一个月的概率为 故答案为： 19．（22-23高二上·上海杨浦·期末）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 160 80 260 200 740 560 好评率 0.4 0.3 0.2 0.25 0.3 0.15 （好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值）从这六类电影中随机选取一部电影，则估计这部电影没有获得好评的概率为 . 【答案】/0.752 【分析】直接查出总电影数和获奖的电影数，然后根据古典概率计算公式进行求解即可. 【解析】根据已知条件，一共有部电影， 其中获得好评的电影共有. 故选取一部电影没有获得好评的概率为. 故答案为： 20．（21-22高二上·上海浦东新·期末）已知随机事件发生的概率满足，小华猜测事件会发生，小明猜测事件不会发生；则以下判断中正确的是 .（请填写序号） ①小华一定猜错； ②小华和小明猜对的可能性一样大； ③小明猜对的可能性更大； ④无法判断小华和小明谁猜对的可能性更大. 【答案】③ 【分析】由事件与是对立事件，，可求得答案. 【解析】解：事件与是对立事件，， 所以猜测事件会发生的概率为0.1，猜测事件不会发生的概率为0.9， 故小明猜对的可能性更大， 故答案为：③. 独立事件与互斥事件的概率 21．（23-24高二下·上海青浦·期末）如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是 ． 【答案】 【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解． 【解析】从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是， 现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率． 故答案为：． 22．（23-24高二上·上海·期末）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是 . 【答案】 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可. 【解析】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， ， 所以. 故答案为：. 23．（23-24高二上·上海·期末）当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 . 【答案】/ 【分析】先确定出现一次偶数或一次奇数的概率，然后求出两次都是偶数和两次都是奇数的概率，最后相加即可. 【解析】根据题意可得出现偶数的概率为，出现奇数的概率为， 则骰子滚动了两次，两次都是偶数的概率为， 两次都是奇数的概率为， 则两次出现的数字之和为偶数的概率是. 故答案为： 24．（23-24高二上·上海·期末）甲口袋中装有3个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入对方口袋，共进行了2次这样的操作后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为 . 【答案】/0.5625 【分析】 分两种情况考虑，再根据互斥事件的概率加法公式，即可得答案. 【解析】由题意知若第一次操作甲乙交换的是白球，则第二次操作甲袋中必须交换黑球， 此时甲口袋中有2个黑球，概率为； 若第一次操作甲交换的是黑球，则第二次操作甲乙袋中必须交换白球或交换黑球， 此时甲口袋中有2个黑球，概率为； 故甲口袋中恰有2个黑球的概率为， 故答案为： 25．（23-24高二上·上海徐汇·期末）抛掷3枚质地均匀的硬币，最多1枚正面朝上的概率为 . 【答案】/0.5 【分析】求一枚正面朝上的概率与没有正面朝上的概率，利用加法公式，可得结果. 【解析】抛掷3枚质地均匀的硬币，恰好一枚正面朝上的概率为， 没有正面朝上的概率为，两个事件互斥， 所以最多1枚朝上的概率为. 故答案为：. 26．（23-24高三上·上海·期中）A、B、C三位好友进行乒乓球擂台赛，A、B先进行一局决胜负，负者下，由C挑战胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者接受第三人的挑战，依次举行.假设三人水平接近，任意两人的对决胜负都是五五开，已知三人共比赛了3局，则三人各胜一局的概率为 ． 【答案】/0.25 【分析】根据相互独立事件和概率的加法公式进行计算可得答案. 【解析】设A、B比赛A获胜为事件M，A、C比赛C获胜为事件N，C、B比赛B获胜为事件Q， 且M、N、Q相互独立，则， 设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D， 则 . 故答案为：. 27．（23-24高二上·上海松江·期末）四个村庄A、B、C、D之间建有四条路AB、BC、CD、DA.在某个月的30天里，每逢奇数日开放AB、CD，封闭BC、DA；每逢偶数日开放BC、DA，封闭AB、CD. 游客小明起初住在村庄A，在该月第k天，他以的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以的概率留在当前村庄，设小明在30天内的选择相互独立，则第30天结束时，小明在村庄B的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设两种情况的概率，再列出函数，最后根据函数写出小明在村庄B的概率即可. 【解析】对，用表示该游客恰有天通过道路或的概率， 表示该游客恰有天通过道路或的概率. 考虑函数. 据条件知为的次项系数，为的次项系数. 第30天结束时，游客住在村庄当且仅当他通过道路或的总天数为奇数， 且通过道路或的总天数为偶数. 于是，这样的情况发生的概率为： . 注意到， . ，，故. 故选：C. 28．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解. 【解析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为， 则甲最终获胜的概率为 . 故选：D. 【点睛】关键点睛：将甲最终获胜事件拆解为互斥事件的和，利用加法公式、乘法公式进一步得解. 题型06 独立事件、互斥事件的判断及概率公式 29．（22-23高二下·上海杨浦·期末）已知与是独立事件，，给出下列式子：①；②；③；④； 其中正确的式子是 .（填序号） 【答案】①②④ 【分析】由事件间关系的概率公式计算即可判断. 【解析】因为与是独立事件，则与也是独立事件. 又，所以， ，故①正确； ，故②正确； ，故③错误； ，故④正确. 故答案为：①②④ 30．（23-24高二上·上海·期末）设、分别是事件A、B的对立事件，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若A、B是互斥事件，则 C． D．若A、B是独立事件，则 【答案】B 【分析】利用对立概率公式判断选项AC；依据互斥事件概率公式判断选项B；依据独立事件概率公式判断选项D. 【解析】选项A：是事件A的对立事件，则.判断正确； 选项B：若A、B是互斥事件，则， 又，则.判断错误； 选项C：因为与A对立，.判断正确； 选项D：若A、B是独立事件，则.判断正确. 故选：B 31．（22-23高二下·上海浦东新·期末）设，为两个随机事件， ①若，是互斥事件，，则； ②若，是对立事件，则； ③若，是独立事件，，，则； ④若，，且，则，是独立事件. 以上命题正确的序号为 .（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，对立事件的性质以及独立事件的概率乘法公式，可得答案. 【解析】①：由是互斥事件，则，故①错误； ②：由是对立事件，则为必然事件，即，故②正确； ③：由是独立事件，则也是互相独立的， 即，故③正确； ④：由，， 则相互独立，即相互独立，故④正确. 故答案为：②③④. 32．（23-24高二上·上海·期末）设、为两个随机事件，给出以下命题： （1）若、为互斥事件，且，，则； （2）若，，，则、为相互独立事件； （3）若，，，则、为相互独立事件； （4）若，，，则、为互斥事件； 其中正确命题的个数为 . 【答案】3 【分析】根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1，结合相互独立事件，的概率满足，可判断（2）、（3）的正误；根据独立事件与互斥事件的性质，可判断（4）的正误.． 【解析】若，为互斥事件，且，， 则，故（1）错误； 若，，，则， 则由相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故（2）正确； 若，，所以， 又，则， 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故（3）正确； 若，， 又，所以， 则事件，不能同时发生，故事件，为互斥事件，故（4）正确； 综上，正确命题的个数为3 . 故答案为：3. 题型07 解答题 33．（23-24高二上·上海徐汇·期末）甲乙两人进行某项比赛 (1)若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为，甲不输的概率为，求甲乙两人取得平局的概率； (2)若比赛结果只有胜利、失败两种，已知甲获胜的概率为（），对于甲来说，一局定胜负和三局两胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利？说明你的理由. （说明：“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，做多三局结束） 【答案】(1)0.5 (2)一局定胜负对甲更有利 【分析】（1）甲不输是甲获胜与平局互斥的和事件，利用加法公式，求平局的概率； （2）分别计算一局定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小. 【解析】（1）甲乙两人取得平局的概率为. （2）对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为， 三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为，因为， ， 所以，则一局定胜负对甲更有利. 34．（23-24高二下·上海静安·期末）口袋里装有4个大小相同的小球．，其中两个标有数字1，两个标有数字2． (1)第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．当为何值时，其发生的概率最大？说明理由； (2)第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．求大于2的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为放回口袋里后第二次再任意取一球，根据题意利用列表法，结合古典概型分析判断； （2）因为不放回口袋里后第二次再任意取一球，根据题意利用列表法，结合古典概型分析判断. 【解析】（1）记第一次取到小球上的数字为，第二次取到小球上的数字为，样本空间为， 则， 因为放回口袋里后第二次再任意取一球，则有： 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 2 3 3 4 4 2 3 3 4 4 可知：， 所以当时，其发生的概率最大，最大为. （2）记第一次取到小球上的数字为，第二次取到小球上的数字为，样本空间为 则， 因为不再放回口袋里，第二次再任意取一球，则有： 1 1 2 2 1 ╱ 2 3 3 1 2 ╱ 3 3 2 3 3 ╱ 4 2 3 3 4 ╱ 可知：， 所以大于2的概率. 35．（23-24高二上·上海·期末）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： (1)求该公司员工年龄的平均数和第百分位数； (2)从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由. 【答案】(1)年龄的平均数为，第百分位数为； (2)事件、相互独立，理由见解析 【分析】（1）根据平均数公式以及百分位数的定义可求得结果； （2）求出、、的值，利用独立事件的定义判断可得出结论. 【解析】（1）该公司员工年龄（单位：岁）由小到大依次为：、、、、、、、、、、、， 年龄的平均数为； 该公司共有名员工，因为， 故该公司员工年龄的第百分位数为. （2）解：由茎叶图可知，，， 事件为“抽取员工的年龄为岁”，则， 所以，，所以，事件、相互独立. 36．（23-24高二上·上海·期末）一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异． (1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率； (2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？ 【答案】(1)样本空间见解析， (2)相互独立 【分析】（1）首先列举样本空间，再求事件，根据古典概型概率公式，即可求； （2）利用样本空间法，求，，以及，判断是否等于，即可判断是否独立. 【解析】（1）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间 ，其中， 事件，其中 所以. （2）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间 ，其中， 事件 ，其中， ，其中， 事件，, 所以，，, 因为，所以事件与事件相互独立. 37．（23-24高二上·上海松江·期末）甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得分，没进者得分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．在每一轮比赛中，记甲得1分的概率为，乙得1分的概率为，两人都得0分的概率为. (1)求的值； (2)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率． 【答案】(1)，，； (2). 【分析】（1）应用独立事件乘法公式、概率性质求对应概率即可； （2）列举出恰好经过4轮比赛甲获胜的情况，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法公式求概率. 【解析】（1）由题设，甲得1分的概率， 乙得1分的概率， 两人都得0分的概率. （2）由题意，要使恰好经过4轮比赛甲获胜，有如下情况， ①2轮甲进乙没进，2轮甲乙都得0分，且前3轮有1轮甲进乙没进； 此时概率为， ②3轮甲进乙没进，1轮乙进甲没进，且前2轮有1轮乙进甲没进； 此时概率为， 所以，所求概率为. 38．（23-24高二上·上海·期末）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若产品的质量指数在[8，10]内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由频率分布直方图直接求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数即可； （2）先确定甲、乙生产线的样品中抽取的优等品的个数，再利用列举法写出所有情况，利用古典概率模型求解即可． 【解析】（1）解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为： ； 乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为： ． （2）由题意可知，甲生产线的样品中优等品有100×0.1×2＝20件， 乙生产线的样品中优等品有100×0.05×2＝10件． 从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为a，b，c，d； 从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为E，F； 从这6件产品中随机抽取2件的情况有： （a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F）， （b，c），（b，d），（b，E），（b，F）， （c，d），（c，E），（c，F）， （d，E），（d，F）， （E，F），共15种； 其中符合条件的情况有： （a，E），（a，F），（b，E），（b，F）， （c，E），（c，F），（d，E），（d，F），共8种． 故所求概率． 一、填空题 1．（21-22高一下·上海金山·期末）定义：如果三位数满足且，则称这样的三位数为“”型三位数，试求由0，1，2，3，4这5个数字组成的所有三位数中任取一个恰为“”型三位数的概率是 . 【答案】/0.1 【分析】根据分步乘法原理，计算所有三位数的个数，利用列举法，求得符合题意个数，根据古典概型计算公式，可得答案. 【解析】由0，1，2，3，4这5个数字组成三位数，百位不能为零，则有4种情况，十位与个位各自有5种情况，则所组成的所有三位数个数为， 其中“”型三位数的有，，，，，，，，，，共10个， 则概率为. 故答案为：. 2．（23-24高二上·上海黄浦·期末）从正方体的8个顶点中任取4个点组成一个四面体，将形状完全相同的四面体视为同一个四面体，若从这些不同的四面体中任取一个，则取出的四面体存在相邻的两个面互相垂直的概率为 ． 【答案】 【分析】从正方体的8个顶点中任取4个点组成一个四面体，将形状完全相同的四面体视为同一个四面体则不同的四面体有四个.但每个所占比例不同，找到每个四面体在总体中所占比例，然后求解. 【解析】从正方体的8个顶点中任取4个点组成一个四面体，形状不相同的有如图，，，四类，存在相互垂直两个平面的是图一和图二. 在总体中占份，图三类的有份，图四的份. 若从这些不同的四面体中任取一个， 则取出的四面体存在相邻的两个面互相垂直的概率为 故答案为： 二、单选题 3．（21-22高二下·上海宝山·期末）已知甲､乙两袋中分别装有编号为的四个球.从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同.事件：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件：从乙袋中取出的球的编号是奇数；事件：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数.给出下列命题：①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立.那么这三个命题中真命题的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据事件相互独立性的定义进行判断. 【解析】由题意：，，， 因为事件：从甲袋中取出的球的编号是偶数，乙袋中取出的球的编号是奇数，所以 ， 因为事件：甲乙两袋中取出的球的编号都是奇数，所以， 因为事件：甲乙两袋中取出的球的编号都是偶数，， 则，，, 所以相互独立，相互独立，相互独立，所以D正确. 故选：D. 三、解答题 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数据经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题： (1)求频率分布直方图中和的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩； (2)规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率. 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）由茎叶图得到成绩在和的学生人数，求出样本容量；从而求出的值和平均数； （2）分别求出厨霸与厨神的人数，求出所取2人至少中有1人是厨神的对立事件，再结合古典概型计算公式，即可得到结果 【解析】（1）（1）由茎叶图知，成绩在的学生有5人，成绩在的学生有3人， 所以，， 所以， 此次参加厨艺大赛学生的平均成绩为： . （2）由题意得厨霸有人， 厨神有人， 从中任取2人，基本事件总数， “所取2人至少中有1人是厨神”的对立事件是“所取2人都是厨霸”， 其包含的基本事件个数为， 所以“所取2人中至少有1人是厨神”的概率. 5．（17-18高二下·上海·期末）某中学的小乔同学参加上海市举办的禁毒知识测试大赛，本次大赛由十道选择题组成，得分规则为：作对一题得1分，做错一题扣去1分，不做得0分，总得分7分才算及格。小乔的目标是及格，在这次考试中，他确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题作对的概率均为，考试中，小乔思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率，他发现，只做一道反而更容易及格. (1)设小乔从余下的四道题中恰做三题并且及格的概率为，从余下的四道题中全做并且及格的概率为，求及； (2)计算：小乔从余下的四道题中，恰做几道时及格的概率最大？ 【答案】(1)， (2)答案不唯一，具体见解析. 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出及； （2）由且，得；由且，得；由且，无解．由此能求出结果． 【解析】（1）所做的三道全对或二道对，一道错，概率为，所做的四道全对或三道对，一道错，概率为； （2）① 恰做一道并且及格的概率最大：，即，解得； ② 恰做三道并且及格的概率最大：，即，解得； ③ 恰做四道并且及格的概率最大：，，无解； ④时，，恰做一道或三道并且及格的概率最大； 综上，时，恰做一道及格概率最大；时，恰做一道或三道并且及格的概率最大；时，恰做三道及格概率最大. 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中等题. ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 概率初步（七大题型+优选提升题） 随机现象与样本空间 1．（23-24高二上·上海徐汇·期末）设是一个随机事件，则的取值范围是 . 2．（23-24高二上·上海·期末）以下论述描述正确的是 .（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的； ②随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的； ③概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小. 3．（23-24高二上·上海·期末）从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是 . 4．（23-24高二上·上海黄浦·期末）袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为 ．（只需写出一个） 5．（21-22高二下·上海浦东新·期末）为了丰富高一学生的课外生活，某校高一年级要组建数学､计算机､辩论三个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，不考虑选报的先后顺序，则该试验的样本点的个数为 . 古典概率 6．（23-24高二下·上海·期末）同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为 .（结果用分数表示） 7．（23-24高二下·上海·期末）连续抛掷一颗均匀的正六面体骰子三次，在第一次抛出6点的条件下，三次的点数和不小于10的概率为 8．（22-23高二下·上海杨浦·期末）抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，得点数的概率是 . 9．（22-23高二上·上海杨浦·期末）某高中已经从高一、高二、高三3个年级中各挑选出4男5女，现从这27人中选出一人评选区三好学生，则此人是男生或是高二年级学生的概率是 . 10．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知甲袋中有2个白球、3个红球、5个黑球；乙袋中有4个白球、3个红球、3个黑球，各个球的大小与质地相同．若从两袋中各取一球，则2个球颜色不同的概率为 ． 频率与概率 11．（23-24高二下·上海·期中）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型.小明有放回地取10000次，有6973次取到红球，有3027次取到黄球，那么红球最有可能有 个． 12．（23-24高二下·上海·阶段练习）在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 13．（21-22高二上·上海崇明·期末）某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示. 胆固醇降低的人数 没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73 则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于 . 对立事件的概率 14．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知，则， . 15．（21-22高二上·上海崇明·期末）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出粒都是黑子的概率是，从中取出粒都是白子的概率是，则从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是 . 16．（22-23高二下·上海普陀·期末）“东哥”上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上至少遇到2次绿灯的概率为 ． 17．（21-22高一下·上海浦东新·期末）一名医护人员维护3台独立的呼吸机，一周内这些呼吸机需要维护的概率分别是、、0.6，则一周内至少有一台呼吸机不需要维修的概率为 ． 18．（20-21高二上·上海浦东新·期末）全班人中，至少有人的生日是在同一个月的概率是 .（默认每月的天数相同，结果精确到小数点后三位） 19．（22-23高二上·上海杨浦·期末）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 160 80 260 200 740 560 好评率 0.4 0.3 0.2 0.25 0.3 0.15 （好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值）从这六类电影中随机选取一部电影，则估计这部电影没有获得好评的概率为 . 20．（21-22高二上·上海浦东新·期末）已知随机事件发生的概率满足，小华猜测事件会发生，小明猜测事件不会发生；则以下判断中正确的是 .（请填写序号） ①小华一定猜错； ②小华和小明猜对的可能性一样大； ③小明猜对的可能性更大； ④无法判断小华和小明谁猜对的可能性更大. 独立事件与互斥事件的概率 21．（23-24高二下·上海青浦·期末）如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是 ． 22．（23-24高二上·上海·期末）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是 . 23．（23-24高二上·上海·期末）当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 . 24．（23-24高二上·上海·期末）甲口袋中装有3个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入对方口袋，共进行了2次这样的操作后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为 . 25．（23-24高二上·上海徐汇·期末）抛掷3枚质地均匀的硬币，最多1枚正面朝上的概率为 . 26．（23-24高三上·上海·期中）A、B、C三位好友进行乒乓球擂台赛，A、B先进行一局决胜负，负者下，由C挑战胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者接受第三人的挑战，依次举行.假设三人水平接近，任意两人的对决胜负都是五五开，已知三人共比赛了3局，则三人各胜一局的概率为 ． 27．（23-24高二上·上海松江·期末）四个村庄A、B、C、D之间建有四条路AB、BC、CD、DA.在某个月的30天里，每逢奇数日开放AB、CD，封闭BC、DA；每逢偶数日开放BC、DA，封闭AB、CD. 游客小明起初住在村庄A，在该月第k天，他以的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以的概率留在当前村庄，设小明在30天内的选择相互独立，则第30天结束时，小明在村庄B的概率是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 题型06 独立事件、互斥事件的判断及概率公式 29．（22-23高二下·上海杨浦·期末）已知与是独立事件，，给出下列式子：①；②；③；④； 其中正确的式子是 .（填序号） 30．（23-24高二上·上海·期末）设、分别是事件A、B的对立事件，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若A、B是互斥事件，则 C． D．若A、B是独立事件，则 31．（22-23高二下·上海浦东新·期末）设，为两个随机事件， ①若，是互斥事件，，则； ②若，是对立事件，则； ③若，是独立事件，，，则； ④若，，且，则，是独立事件. 以上命题正确的序号为 .（填写序号） 32．（23-24高二上·上海·期末）设、为两个随机事件，给出以下命题： （1）若、为互斥事件，且，，则； （2）若，，，则、为相互独立事件； （3）若，，，则、为相互独立事件； （4）若，，，则、为互斥事件； 其中正确命题的个数为 . 题型07 解答题 33．（23-24高二上·上海徐汇·期末）甲乙两人进行某项比赛 (1)若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为，甲不输的概率为，求甲乙两人取得平局的概率； (2)若比赛结果只有胜利、失败两种，已知甲获胜的概率为（），对于甲来说，一局定胜负和三局两胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利？说明你的理由. （说明：“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，做多三局结束） 34．（23-24高二下·上海静安·期末）口袋里装有4个大小相同的小球．，其中两个标有数字1，两个标有数字2． (1)第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．当为何值时，其发生的概率最大？说明理由； (2)第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．求大于2的概率． 35．（23-24高二上·上海·期末）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： (1)求该公司员工年龄的平均数和第百分位数； (2)从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由. 36．（23-24高二上·上海·期末）一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异． (1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率； (2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？ 37．（23-24高二上·上海松江·期末）甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得分，没进者得分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．在每一轮比赛中，记甲得1分的概率为，乙得1分的概率为，两人都得0分的概率为. (1)求的值； (2)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率． 38．（23-24高二上·上海·期末）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若产品的质量指数在[8，10]内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率． 一、填空题 1．（21-22高一下·上海金山·期末）定义：如果三位数满足且，则称这样的三位数为“”型三位数，试求由0，1，2，3，4这5个数字组成的所有三位数中任取一个恰为“”型三位数的概率是 . 2．（23-24高二上·上海黄浦·期末）从正方体的8个顶点中任取4个点组成一个四面体，将形状完全相同的四面体视为同一个四面体，若从这些不同的四面体中任取一个，则取出的四面体存在相邻的两个面互相垂直的概率为 ． 二、单选题 3．（21-22高二下·上海宝山·期末）已知甲､乙两袋中分别装有编号为的四个球.从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同.事件：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件：从乙袋中取出的球的编号是奇数；事件：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数.给出下列命题：①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立.那么这三个命题中真命题的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、解答题 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数据经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题： (1)求频率分布直方图中和的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩； (2)规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率. 5．（17-18高二下·上海·期末）某中学的小乔同学参加上海市举办的禁毒知识测试大赛，本次大赛由十道选择题组成，得分规则为：作对一题得1分，做错一题扣去1分，不做得0分，总得分7分才算及格。小乔的目标是及格，在这次考试中，他确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题作对的概率均为，考试中，小乔思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率，他发现，只做一道反而更容易及格. (1)设小乔从余下的四道题中恰做三题并且及格的概率为，从余下的四道题中全做并且及格的概率为，求及； (2)计算：小乔从余下的四道题中，恰做几道时及格的概率最大？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$