5.1.1 从算式到方程（第1课时）-【数学一起课件】新教材初中数学七年级上册同步PPT课件（人教版2024）

授课：XXX 第五章 一元一次方程 第 1 课时 从 算 式 到 方 程 学习目标 能根据现实情境理解方程的意义. 初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程. 01 02 新课导入 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发. 甲队从距大本营 1 km 的一号营地出发，每小时行进 1.2 km；乙队从距大本营 3 km 的二号营地出发，每小时行进 0.8 km. 多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 大本营 一号 营地 二号 营地 峰顶 1 km 3 km （甲队） （乙队） 1.2 km/h 0.8 km/h 新课导入 你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗？ 甲、乙两队相距 km， 甲、乙两队的速度差是 km/h， 所以甲队追上乙队需要 h. 大本营 一号 营地 二号 营地 峰顶 1 km 3 km （甲队） （乙队） 1.2 km/h 0.8 km/h Q 新知探究 可以看出用算术方法来解决上述问题比较繁琐，有没有其它新的解法呢？ 甲队：1.2 km/h，乙队：0.8 km/h. 甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？ 相等 Q 新知探究 甲队：1.2 km/h，乙队：0.8 km/h. 设两队行进的时间为 h 甲队的行进路程可以表示为： km 乙队的行进路程可以表示为： km 可以看出用算术方法来解决上述问题比较繁琐，有没有其它新的解法呢？ Q 新知探究 甲队距大本营的路程可以表示为 km， 乙队距大本营的路程可以表示为 km. 甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时 甲队距大本营的路程乙队距大本营的路程， 因此 . 含有未知数 的等式 大本营 一号 营地 二号 营地 峰顶 1 km 3 km （甲队） （乙队） 1.2 km/h 0.8 km/h 追上地点 乙队的行进路程： km 甲队的行进路程： km 新知探究 再来看两个实际问题. 问题 1 用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，大水杯的 单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 如果设大水杯的单价为 元，那么小水杯的单价为元. 你能找出问题中的相等关系吗？ 买 3 个大水杯的钱 买 4 个小水杯的钱 新知探究 再来看两个实际问题. 如何用含有未知数 的等式表示相等关系呢？ 问题 1 用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，大水杯的 单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 如果设大水杯的单价为 元，那么小水杯的单价为元. 新知探究 再来看两个实际问题. 由这个含有未知数 的等式可以求出大水杯的单价， 进而可以求出小水杯的单价. 问题 1 用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，大水杯的 单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 如果设大水杯的单价为 元，那么小水杯的单价为元. 新知探究 再来看两个实际问题. 若将小水杯的单价设为 元，如何用含有未知数 的等式表示相等关系呢？ 如果设小水杯的单价为 元，那么大水杯的单价为元. 根据题意可得 问题 1 用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，大水杯的 单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 新知探究 再来看两个实际问题. 问题 2 如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪 念币，其面积是 4000 mm2，长和宽的比为 8：5（即宽是长的 ）. 这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 如果设这枚纪念币的长为 mm，则 纪念币的宽可以表示为 mm， 面积可以表示为 mm2. 新知探究 再来看两个实际问题. 问题 2 如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪 念币，其面积是 4000 mm2，长和宽的比为 8：5（即宽是长的 ）. 这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 如何用含有未知数 的等式表示相等关系呢？ 已知纪念币的面积为 4000 mm2， 所以 . 新知探究 前面得到的这些式子有什么共同点呢？ Q 含有未知数 是等式 新知探究 方程 先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程. 方程必须满足两个条件： 含有未知数 是等式 方程中的未知数可以是26个英文字母中的任意一个或多个，通常用 等几个来表示. 等式的标志是含有“” （二者缺一不可） 跟踪训练 判断下列式子是否是方程？并说明理由. （1） （2） （3） （4） 是等式，但不含有未知数. 不是方程 含有未知数，但不是等式. 不是方程 含有未知数，并且是等式. 是方程 含有未知数，但不是等式. 不是方程 拓展知识 汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题. 我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”. 19世纪50年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将 equation（指含有未知数的等式）一词译为“方程”. 新知探究 比较列算式和列方程解题时各有什么特点？ Q 用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中含有已知数，不含未知数. 方程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中既含有已知数，也含有用字母表示的未知数，这为解决许多问题带来了方便. 列算式 列方程 例题解析 例1 根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）某校女生占全体学生数的 52%，比男生多 80 人，这所学校有多少名学生？ 分析： 根据题意可得： 女生人数 男生人数 80 解： 设这个学校的学生数为， 那么女生数为 ，男生数为. 根据“女生比男生多 80 人”，列得方程 例题解析 例1 根据下列问题，设未知数并列出方程： （2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m，扩大后的绿地面积是 500 m2，求正方形绿地的边长. 分析： 根据题意可得： 正方形绿地的面积 加宽部分绿地的面积 500 解： 设正方形绿地的边长为 m， 那么扩大后的绿地面积为 m2 . 5m 例题解析 例1 根据下列问题，设未知数并列出方程： （2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m，扩大后的绿地面积是 500 m2，求正方形绿地的边长. 分析： 根据题意可得： 正方形绿地的面积 加宽部分绿地的面积 500 解： 根据“扩大后的绿地面积是 500 m2 ”，列得方程 5m 新知探究 怎样将一个实际问题转化为方程问题？列方程的依据是什么？ Q 实际问题 方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 这个过程可以表示如下： 设未知数 用含有未知数的等式表示相等关系 跟踪训练 根据下列问题，设未知数并列出方程： 1. 甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元. 用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？ 解： 设买甲种铅笔 支， 那么买乙种铅笔 支. 根据题意列得方程 跟踪训练 根据下列问题，设未知数并列出方程： 2. 有两条电线，第一条长 90 m，第二条长 40 m. 要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等. 求截下的那段电线的长度（两条电线接头部分的长度忽略不计）. 解： 设截下的那段电线的长度为 m， 根据题意列得方程 跟踪训练 根据下列问题，设未知数并列出方程： 3. 某圆环形状的工件如图所示，它的面积是 200 cm2，外沿大圆的半径是 10 cm，内沿小圆的半径是多少厘米？ 解： 设内沿小圆的半径为 cm， 根据题意列得方程 课堂小结 实际问题 方程 设未知数 用含有未知数的等式表示相等关系 含有未知数 是等式 随堂练习 1. 下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（ ） ①④ B. ②⑤ C. ④⑤ D. ②④⑤ 【解析】 ① 是方程；②，不含有未知数，故不是方程；③不是等式，故不是方程；④是方程；⑤是方程；⑥ 不是等式，故不是方程. 故方程有：①④⑤. 随堂练习 2. 根据下面的条件，可以列出方程的是（ ） 一个数的 是 6 B. C. D. 【解析】 选项A，设这个数是 ，则 ，是方程； 选项B，由条件，得 ，是整式，不是方程； 选项C，设甲数是 ，乙数是 ，则甲数的2倍是，乙数的 是，它们的和为 ，是整式，不是方程； 选项D，由条件，得 ，是整式，不是方程. 随堂练习 3. 甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求乙队的人数是甲队人数的 ，应从乙队调多少人去甲队？如果设应从乙队调人到甲队，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【解析】 由题意得等量关系为：乙队调动后的人数甲队调动后的人数， 因为从乙队调人到甲队，所以此时甲队有人，乙队有人，故可列方程为 . 随堂练习 4. 甲煤场有煤 390 吨，乙煤场有煤 96 吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的 2 倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？若设从甲煤场运 吨煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【解析】 由从甲煤场运 吨煤到乙煤场， 可知现在甲煤场有煤 吨，乙煤场有煤 吨. 根据“甲煤场存煤数是乙煤场的 2 倍”，可列方程 随堂练习 5. 根据下列条件，设未知数并列出方程： 【解析】 （1）设该数为 ，根据题意， 列方程为 （1）某数的 3 倍减去 3，等于该数的 加 5. （2）某商店将进价为 2500 元的某品牌彩电按标价的 8 折销售，仍可获得 220 元的利润，那么该品牌彩电的标价为多少元？ 随堂练习 5. 根据下列条件，设未知数并列出方程： 【解析】 （2）设该品牌彩电的标价为 元，根据题意， 列方程为 （1）某数的 3 倍减去 3，等于该数的 加 5. （2）某商店将进价为 2500 元的某品牌彩电按标价的 8 折销售，仍可获得 220 元的利润，那么该品牌彩电的标价为多少元？ 授课：XXX 第五章 一元一次方程 谢 谢 观 看 $$ 授课：XXX 第五章 一元一次方程 第 1 课时 从 算 式 到 方 程 学习目标 能根据现实情境理解方程的意义. 初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程. 01 02 新课导入 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发. 甲队从距大本营 1 km 的一号营地出发，每小时行进 1.2 km；乙队从距大本营 3 km 的二号营地出发，每小时行进 0.8 km. 多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 大本营 一号 营地 二号 营地 峰顶 1 km 3 km （甲队） （乙队） 1.2 km/h 0.8 km/h 新课导入 你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗？ 甲、乙两队相距 km， 甲、乙两队的速度差是 km/h， 所以甲队追上乙队需要 h. 大本营 一号 营地 二号 营地 峰顶 1 km 3 km （甲队） （乙队） 1.2 km/h 0.8 km/h Q 新知探究 可以看出用算术方法来解决上述问题比较繁琐，有没有其它新的解法呢？ 甲队：1.2 km/h，乙队：0.8 km/h. 甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？ 相等 Q 新知探究 甲队：1.2 km/h，乙队：0.8 km/h. 设两队行进的时间为 h 甲队的行进路程可以表示为： km 乙队的行进路程可以表示为： km 可以看出用算术方法来解决上述问题比较繁琐，有没有其它新的解法呢？ Q 新知探究 甲队距大本营的路程可以表示为 km， 乙队距大本营的路程可以表示为 km. 甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时 甲队距大本营的路程乙队距大本营的路程， 因此 . 含有未知数 的等式 大本营 一号 营地 二号 营地 峰顶 1 km 3 km （甲队） （乙队） 1.2 km/h 0.8 km/h 追上地点 乙队的行进路程： km 甲队的行进路程： km 新知探究 再来看两个实际问题. 问题 1 用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，大水杯的 单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 如果设大水杯的单价为 元，那么小水杯的单价为元. 你能找出问题中的相等关系吗？ 买 3 个大水杯的钱 买 4 个小水杯的钱 新知探究 再来看两个实际问题. 如何用含有未知数 的等式表示相等关系呢？ 问题 1 用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，大水杯的 单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 如果设大水杯的单价为 元，那么小水杯的单价为元. 新知探究 再来看两个实际问题. 由这个含有未知数 的等式可以求出大水杯的单价， 进而可以求出小水杯的单价. 问题 1 用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，大水杯的 单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 如果设大水杯的单价为 元，那么小水杯的单价为元. 新知探究 再来看两个实际问题. 若将小水杯的单价设为 元，如何用含有未知数 的等式表示相等关系呢？ 如果设小水杯的单价为 元，那么大水杯的单价为元. 根据题意可得 问题 1 用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，大水杯的 单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 新知探究 再来看两个实际问题. 问题 2 如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪 念币，其面积是 4000 mm2，长和宽的比为 8：5（即宽是长的 ）. 这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 如果设这枚纪念币的长为 mm，则 纪念币的宽可以表示为 mm， 面积可以表示为 mm2. 新知探究 再来看两个实际问题. 问题 2 如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪 念币，其面积是 4000 mm2，长和宽的比为 8：5（即宽是长的 ）. 这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 如何用含有未知数 的等式表示相等关系呢？ 已知纪念币的面积为 4000 mm2， 所以 . 新知探究 前面得到的这些式子有什么共同点呢？ Q 含有未知数 是等式 新知探究 方程 先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程. 方程必须满足两个条件： 含有未知数 是等式 方程中的未知数可以是26个英文字母中的任意一个或多个，通常用 等几个来表示. 等式的标志是含有“” （二者缺一不可） 跟踪训练 判断下列式子是否是方程？并说明理由. （1） （2） （3） （4） 是等式，但不含有未知数. 不是方程 含有未知数，但不是等式. 不是方程 含有未知数，并且是等式. 是方程 含有未知数，但不是等式. 不是方程 拓展知识 汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题. 我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”. 19世纪50年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将 equation（指含有未知数的等式）一词译为“方程”. 新知探究 比较列算式和列方程解题时各有什么特点？ Q 用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中含有已知数，不含未知数. 方程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中既含有已知数，也含有用字母表示的未知数，这为解决许多问题带来了方便. 列算式 列方程 例题解析 例1 根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）某校女生占全体学生数的 52%，比男生多 80 人，这所学校有多少名学生？ 分析： 根据题意可得： 女生人数 男生人数 80 解： 设这个学校的学生数为， 那么女生数为 ，男生数为. 根据“女生比男生多 80 人”，列得方程 例题解析 例1 根据下列问题，设未知数并列出方程： （2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m，扩大后的绿地面积是 500 m2，求正方形绿地的边长. 分析： 根据题意可得： 正方形绿地的面积 加宽部分绿地的面积 500 解： 设正方形绿地的边长为 m， 那么扩大后的绿地面积为 m2 . 5m 例题解析 例1 根据下列问题，设未知数并列出方程： （2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m，扩大后的绿地面积是 500 m2，求正方形绿地的边长. 分析： 根据题意可得： 正方形绿地的面积 加宽部分绿地的面积 500 解： 根据“扩大后的绿地面积是 500 m2 ”，列得方程 5m 新知探究 怎样将一个实际问题转化为方程问题？列方程的依据是什么？ Q 实际问题 方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 这个过程可以表示如下： 设未知数 用含有未知数的等式表示相等关系 跟踪训练 根据下列问题，设未知数并列出方程： 1. 甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元. 用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？ 解： 设买甲种铅笔 支， 那么买乙种铅笔 支. 根据题意列得方程 跟踪训练 根据下列问题，设未知数并列出方程： 2. 有两条电线，第一条长 90 m，第二条长 40 m. 要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等. 求截下的那段电线的长度（两条电线接头部分的长度忽略不计）. 解： 设截下的那段电线的长度为 m， 根据题意列得方程 跟踪训练 根据下列问题，设未知数并列出方程： 3. 某圆环形状的工件如图所示，它的面积是 200 cm2，外沿大圆的半径是 10 cm，内沿小圆的半径是多少厘米？ 解： 设内沿小圆的半径为 cm， 根据题意列得方程 课堂小结 实际问题 方程 设未知数 用含有未知数的等式表示相等关系 含有未知数 是等式 随堂练习 1. 下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（ ） ①④ B. ②⑤ C. ④⑤ D. ②④⑤ 【解析】 ① 是方程；②，不含有未知数，故不是方程；③不是等式，故不是方程；④是方程；⑤是方程；⑥ 不是等式，故不是方程. 故方程有：①④⑤. 随堂练习 2. 根据下面的条件，可以列出方程的是（ ） 一个数的 是 6 B. C. D. 【解析】 选项A，设这个数是 ，则 ，是方程； 选项B，由条件，得 ，是整式，不是方程； 选项C，设甲数是 ，乙数是 ，则甲数的2倍是，乙数的 是，它们的和为 ，是整式，不是方程； 选项D，由条件，得 ，是整式，不是方程. 随堂练习 3. 甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求乙队的人数是甲队人数的 ，应从乙队调多少人去甲队？如果设应从乙队调人到甲队，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【解析】 由题意得等量关系为：乙队调动后的人数甲队调动后的人数， 因为从乙队调人到甲队，所以此时甲队有人，乙队有人，故可列方程为 . 随堂练习 4. 甲煤场有煤 390 吨，乙煤场有煤 96 吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的 2 倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？若设从甲煤场运 吨煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【解析】 由从甲煤场运 吨煤到乙煤场， 可知现在甲煤场有煤 吨，乙煤场有煤 吨. 根据“甲煤场存煤数是乙煤场的 2 倍”，可列方程 随堂练习 5. 根据下列条件，设未知数并列出方程： 【解析】 （1）设该数为 ，根据题意， 列方程为 （1）某数的 3 倍减去 3，等于该数的 加 5. （2）某商店将进价为 2500 元的某品牌彩电按标价的 8 折销售，仍可获得 220 元的利润，那么该品牌彩电的标价为多少元？ 随堂练习 5. 根据下列条件，设未知数并列出方程： 【解析】 （2）设该品牌彩电的标价为 元，根据题意， 列方程为 （1）某数的 3 倍减去 3，等于该数的 加 5. （2）某商店将进价为 2500 元的某品牌彩电按标价的 8 折销售，仍可获得 220 元的利润，那么该品牌彩电的标价为多少元？ 授课：XXX 第五章 一元一次方程 谢 谢 观 看 $$