专题01 函数的概念与性质（含指、幂、对函数）（十二大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题01 函数的概念与性质（含指、幂、对函数）（十二大题型+优选提升题） 定义域 1．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域是 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为 . 3．（23-24高一上·上海虹口·期末）函数的定义域为 ． 值域 4．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 . 5．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 单调区间 6．（20-21高一上·上海黄浦·期末）函数的严格增区间是 . 7．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 函数的奇偶性、单调性 8．（23-24高一上·上海杨浦·期末）函数为奇函数，则实数a的值为 ． 9．（23-24高一上·上海·期末）已知在上是关于的减函数，则实数a的取值范围是 . 10．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 函数的图像 11．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的图像关于直线对称，则a的值是 ． 12．（23-24高一上·上海·期末）函数图象的对称中心坐标为 . 题型6 函数求值、函数的解析式 13．（23-24高一上·上海·期末）偶函数在的解析式为，则的值为 . 14．（23-24高一上·上海·期末）定义在上的奇函数满足，当时，，则 . 15．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式 ． 16．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数 是奇函数. 其定义域为，且满足，当 时，，则 . 题型7 根据函数的性质解不等式 17．（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 ． 18．（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 ． 19．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且，则实数m的取值范围是 . 20．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知定义在上的奇函数在区间上是严格减函数．若对于任意的，总有成立，则实数的取值范围是 ． 题型8 分段函数 21．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知记函数的最大值为，则的取值范围是 ． 22．（23-24高一上·上海·期末）已知函数在上的严格减函数，则实数的取值范围是 . 23．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若在区间I上恒负，且是严格减函数，则区间I可以是（    ） A． B． C． D． 题型9 反函数，其他问题 24．（23-24高一上·上海·期末）函数的反函数为 . 25．（23-24高一上·上海·期末）某物理学家用数学方法证明数学对物理是有用的：把物理世界G（现实世界）看作时空点（四元数），找到一个函数，若存在实数，使对任意的均有不等式（是与物理世界G的时空点有关的另一个函数）成立.则称物理世界G与函数在区间上“拟同态”，函数叫物理世界G在区间上的“拟同态函数”，通过研究“拟同态函数”，可以获得物理世界G（现实世界）的相关信息.现在知道某具体物理现象G，在s的区间上的“拟同态函数”：，且，则实数n的取值范围是 . 题型10 函数的概念与性质综合辨析 26．（23-24高一上·上海虹口·期末）下列函数中与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 27．（21-22高一上·上海嘉定·期末）下列关于幂函数的说法正确的是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．以上皆不是 28．（23-24高一上·上海·期末）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一上·上海·期末）存在函数满足：都有（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·上海·期末）以下四个命题： ①函数最小值为； ②方程没有整数解； ③若，则； ④不等式的解集为. 其中真命题的个数为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·上海虹口·期末）对于以下两个结论，说法正确的是（    ） 结论①：设，若任取，且，则必有； 结论②：设，则有对恒成立． A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 32．（23-24高一上·上海·期末）关于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于轴对称； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数. ③方程一定有实数解； 以上结论正确的是 题型11 难点分析 33．（23-24高一上·上海青浦·期末）函数在区间上的最大值为，最小值为，则 . 34．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 35．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 36．（23-24高一上·上海·期末）已知定义在上的函数，对于给定集合A，若对任意，当时都有，则称是“A封闭”函数．已知给定两个命题： ：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数． ：若是“封闭”函数，则在区间上严格减． 则下列正确的判断为（    ） A．是真命题，是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是假命题 题型12 解答题 37．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 38．（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 39．（23-24高一下·上海闵行·期末）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． (1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式； (2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据， 一、填空题 1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数满足：．则下列三个结论： （1）； （2）； （3）． 其中正确的结论是 ． 2．（21-22高一上·上海普陀·期末）已知常数，函数、的表达式分别为、．若对任意，总存在，使得，则a的最大值为 ． 二、单选题 3．（23-24高二下·上海宝山·期末）若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为R，给出下面两个条件：是严格减函数且恒成立；是严格增函数且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中正确的是（    ）． A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 三、解答题 4．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若函数满足对任意，都有，则称该函数为C函数. (1)若，求证：函数是C函数； (2)若函数是上的严格减函数，判断是否一定为C函数，并说明理由. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 函数的概念与性质（含指、幂、对函数）（十二大题型+优选提升题） 定义域 1．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域是 【答案】 【分析】根据根式定义域结合绝对值不等式求解即可. 【解析】依题意，，即，，即. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】将点代入，求得的值，求得幂函数解析式，再求其定义域. 【解析】幂函数的图象经过点， 则，所以，故， 故的定义域为. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海虹口·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件以及复合对数函数的定义域即可得解. 【解析】由题意函数有意义，当且仅当，解得，即函数的定义域为. 故答案为：. 值域 4．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 . 【答案】 【分析】换元后利用二次函数图像即可得出值域，但注意换元后的定义域. 【解析】令……① 将①式代入可得：…...② 的定义域为， 由二次函数图像可知，开口向下；且. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用分离常数项整理化简函数解析式，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案. 【解析】由题意可知，函数， 由，，或，则或， 即函数值域为. 故答案为： 单调区间 6．（20-21高一上·上海黄浦·期末）函数的严格增区间是 . 【答案】 【解析】根据的解析式，可得为奇函数，当时，，不妨令x>0，设，根据对勾函数的性质，可求得的单调减区间，可得的单调增区间，综合分析，即可得答案. 【解析】因为，定义域为R， 所以，即在R上为奇函数， 根据奇函数的性质可得，在y轴两侧单调性相同， 当x=0时，， 当时，， 不妨令x>0，设， 根据对勾函数的性质可得，当上单调递减，证明如下： 在上任取，且， 则=， 因为， 所以， 所以，即， 所以在上为减函数， 所以在上为增函数， 当时，，，， 又，所以在为增函数 根据奇函数的性质，可得在也为增函数， 所以在 上为严格增函数， 故答案为： 【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的奇偶性、单调性，并灵活应用，结合对勾函数的性质求解，考查分析理解，计算证明的能力，属中档题. 7．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 【答案】 【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解. 【解析】由题意指数函数在定义域内严格单调递减， 若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可， 而二次函数对称轴为，且开口向上， 故它的严格单调递增区间为，即函数的严格递减区间为. 故答案为：. 函数的奇偶性、单调性 8．（23-24高一上·上海杨浦·期末）函数为奇函数，则实数a的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据奇函数满足求解即可. 【解析】因为为奇函数，故， 即，即，解得. 故答案为： 9．（23-24高一上·上海·期末）已知在上是关于的减函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用一次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出a的范围. 【解析】由，得且，因此函数单调递减，而，则， 由在上是关于的减函数，得函数在上单调递增，且， 因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 10．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的性质及区间单调性列不等式求范围即可. 【解析】由题设，显然在上递增， 要使函数在区间上是严格增函数，则，即. 故答案为： 函数的图像 11．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的图像关于直线对称，则a的值是 ． 【答案】 【分析】根据对称的性质可知，和都在函数图象上，即可求解. 【解析】设是函数的图像上任一点，即， 关于直线对称的点也在函数的图像上，即，整理为， 即，即. 故答案为： 12．（23-24高一上·上海·期末）函数图象的对称中心坐标为 . 【答案】 【分析】利用反比例函数的对称性，结合函数图象的平移变换即可求解. 【解析】函数的图象可由函数向左平移1个单位得到， 因为函数的对称中心为， 所以函数的对称中心为. 故答案为：. 题型6 函数求值、函数的解析式 13．（23-24高一上·上海·期末）偶函数在的解析式为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据偶函数得，代入求解即可. 【解析】为偶函数，， . 故答案为：. 14．（23-24高一上·上海·期末）定义在上的奇函数满足，当时，，则 . 【答案】 【分析】由题意可得函数周期性，结合周期性、奇偶性及在时，计算即可得. 【解析】由，且该函数为奇函数， 故，即该函数周期为4， 故，对，令， 则，由该函数为奇函数，故， ，即. 故答案为：. 15．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式 ． 【答案】 【分析】根据奇函数满足求解即可. 【解析】依题意，当时，，故在区间上的解析式. 故答案为： 16．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数 是奇函数. 其定义域为，且满足，当 时，，则 . 【答案】 【分析】由函数的周期性、奇函数的性质以及对数、指数运算即可得解. 【解析】由题意，所以是周期为4的周期函数，又函数 是上的奇函数， 且当 时，， 所以. 故答案为：. 题型7 根据函数的性质解不等式 17．（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】设，根据的单调性和求解即可. 【解析】设，其定义域为， 和在均为增函数， 则在为增函数，且， ，即，， 不等式的解集是. 故答案为：. 18．（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据特殊点函数值和函数单调性得到不等式解集. 【解析】，，在严格单调递增， 故在严格单调递增， 而时，， 所以不等式解集为. 故答案为： 19．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】易得函数为偶函数，判断函数的单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【解析】因为，且函数定义域为R， 所以函数为偶函数， 当时，令， 由双勾函数的性质可得在上是增函数， 而函数在上为增函数， 所以函数在上是增函数， 因为， 所以，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 20．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知定义在上的奇函数在区间上是严格减函数．若对于任意的，总有成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意在上严格单调递减，所以原题转换为了恒成立，当时，有，满足题意，得知，即当且仅当满足题意，由此即可得解. 【解析】由题意定义在上的奇函数在区间上是严格减函数， 所以在上严格单调递减， 所以， 由题意若对于任意的，恒有成立， 则恒成立， 当时，有，满足题意， 当时，恒成立， 此时， 解得，满足题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型8 分段函数 21．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知记函数的最大值为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】同一坐标系中画出和的图象，然后根据图象分，，讨论求解即可. 【解析】设，则，即函数在上为奇函数， 又当时，，当且仅当时等号成立， 由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增，在上单调递减， 故 设，则， 令，解得 同一坐标系中画出和的图象如下：    由图可知，当时，，      当时，，    当时，，    综上的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于分段函数，其中每一段对应的变量范围在没有确定的情况下，需要在一个坐标系中画出每一段的完整图象，对变量的取值变化情况分析，从而得到分类的标准进行讨论. 22．（23-24高一上·上海·期末）已知函数在上的严格减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合二次函数与反比例函数的性质即可得. 【解析】由题意可得时，函数为严格减函数，即，即； 时，函数为严格减函数，即； 且当时，有，即； 综上，，即. 故答案为：. 23．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若在区间I上恒负，且是严格减函数，则区间I可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的解析式得出的解析式，再根据图象得答案. 【解析】函数， 则， 即， 如图所示： 所以在区间I上恒负，且是严格减函数，区间I可以是，. 故选：B. 题型9 反函数，其他问题 24．（23-24高一上·上海·期末）函数的反函数为 . 【答案】 【分析】利用反函数的定义求解即可. 【解析】因为的反函数为， 所以，则. 故答案为：. 25．（23-24高一上·上海·期末）某物理学家用数学方法证明数学对物理是有用的：把物理世界G（现实世界）看作时空点（四元数），找到一个函数，若存在实数，使对任意的均有不等式（是与物理世界G的时空点有关的另一个函数）成立.则称物理世界G与函数在区间上“拟同态”，函数叫物理世界G在区间上的“拟同态函数”，通过研究“拟同态函数”，可以获得物理世界G（现实世界）的相关信息.现在知道某具体物理现象G，在s的区间上的“拟同态函数”：，且，则实数n的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题转化为最值问题，结合二次函数的单调性求解最值，以及利用函数的单调性求解最值，即可求解. 【解析】根据题意可得：存在实数，对任意的均有成立， 所以对任意的，故， 进而可得， 化简得， 因此问题转化为存在使得成立， 故， 由于函数均为单调递增函数，故在单调递增，因此， 所以，即， 故答案为： 题型10 函数的概念与性质综合辨析 26．（23-24高一上·上海虹口·期末）下列函数中与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次判断各个选项中函数的定义域和解析式与是否相同，由此得到结果. 【解析】选项A，，当时，，解析式与不同，A不正确； 选项B，的定义域为，解析式为，定义域和解析式与相同，B正确； 选项C，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，C不正确； 选项D，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，D不正确； 故选：B. 27．（21-22高一上·上海嘉定·期末）下列关于幂函数的说法正确的是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．以上皆不是 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解. 【解析】由函数，可得函数的定义域为，关于原点对称， 又由，所以函数为偶函数. 故选：B. 28．（23-24高一上·上海·期末）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数和函数单调性相关知识逐一判断即可. 【解析】对于A，在和单调递增，在定义域不单调递增，故A错误； 对于B，是非奇非偶函数，故B错误； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，定义域，，故函数为奇函数，由幂函数单调性可知，在单调递增，故D正确. 故选：D 29．（23-24高一上·上海·期末）存在函数满足：都有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用换元法求原函数解析式，结合函数定义：对于任意自变量取值有且仅有唯一对应函数值判断是否正确即可. 【解析】A：令，则，故，显然不满足函数定义； B：令，则，故，显然不满足函数定义； C：令，则，故，显然不满足函数定义； D：令，则，故，满足函数定义. 故选：D 30．（23-24高一上·上海·期末）以下四个命题： ①函数最小值为； ②方程没有整数解； ③若，则； ④不等式的解集为. 其中真命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于①，直接求函数的解析式的范围即可判断，构造函数，根据函数单调性即可判断③，构造函数，利用函数单调性和特殊值，即可判断②④. 【解析】对于①，函数中， 由得，所以，①错； 对于②，由得， 设，因为和是增函数， 所以为递增函数， 又时，， 时，， 所以的解，②正确； 对于③， ， 设，则是增函数， 则，所以，③正确； 对于④，由得， 又时，，时，， 所以时，，④错. 故选：B 31．（23-24高一上·上海虹口·期末）对于以下两个结论，说法正确的是（    ） 结论①：设，若任取，且，则必有； 结论②：设，则有对恒成立． A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】B 【分析】利用增函数的性质即可判断①，举反例即可判断②. 【解析】对于①，因为在上是增函数， 且在上也是增函数， 所以在上是增函数， 则任取，且， 必有，①正确； 对于②，，②错误. 故选：B 32．（23-24高一上·上海·期末）关于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于轴对称； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数. ③方程一定有实数解； 以上结论正确的是 【答案】①③ 【分析】由函数解析式可推出是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，结合图形判断各项的正误. 【解析】对①，令，解得，可知的定义域为， 定义域关于原点对称，且，则为偶函数，即其图象关于轴对称，故①正确； 对③，当时，则， 因为在上单调递增，且恒成立，所以在上单调递减， 当时，则， 因为在上单调递减，且恒成立，所以在上单调递增， 可得的函数图象如下：    方程根的个数即为函数与的交点个数， 由图象可得：当时，函数与函数的图象一定有交点， 由对称性可知，当时，函数与函数的图象也一定有交点，故③正确； 对于②：当时，方程只有1个解，故②错误； 故答案为：①③. 【点睛】关键点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性，进而结合图象判断各项的正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用. 题型11 难点分析 33．（23-24高一上·上海青浦·期末）函数在区间上的最大值为，最小值为，则 . 【答案】2 【分析】变形给定函数，构造函数并探讨其奇偶性，再借助函数性质求解即得. 【解析】函数，令， 当时，，则函数是奇函数， 显然，，而， 所以. 故答案为：2 34．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 【答案】B 【分析】根据题意，对于：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得是的充分条件；对于，利用单调性的定义，据反例可得不是的充分条件；综合可得答案． 【解析】根据题意，对于：任意，，都有， 令，则有， 再令，有，变形可得， 则函数为奇函数； 设，有， 则有， 必有， 故函数是上的严格增函数， 则是的充分条件； 对于，例如，当，满足时，都有；但不是单调递增函数，故不是的充分条件； 故选：B． 35．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用反例说明①④，根据单调性的定义判断②③. 【解析】对于①，令， 满足在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 但是函数在上不单调，故①错误； 对于②：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 即任意的都有，都有， 所以， 设任意的且，若，则， 若，则， 若，，则， 所以函数在上是严格增函数，故②正确； 对于③：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 则在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 结合②可知，函数在上是严格增函数，故③正确； 对于④：令，满足在区间上是严格增函数，且是奇函数， 但是函数在上不单调，故④错误. 故选：B 36．（23-24高一上·上海·期末）已知定义在上的函数，对于给定集合A，若对任意，当时都有，则称是“A封闭”函数．已知给定两个命题： ：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数． ：若是“封闭”函数，则在区间上严格减． 则下列正确的判断为（    ） A．是真命题，是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是假命题 【答案】C 【分析】通过定义进行证明若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数，命题为真命题，再举出反例得到命题为假命题. 【解析】命题：若是“封闭”函数，即对，都有， 对于集合，任意的，使得，则， 而， 所以，故一定是“封闭”函数， 当时，命题正确； 命题：不妨设，，当时， ， 此时是“封闭”函数，但为单调递增区间，命题是假命题. 故选：C 题型12 解答题 37．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得对应的a值，进而可得结论； （2）由减函数可得对任意的，都有，变形可得恒成立，又可得，可得． 【解析】（1）令，则， 若，则；若，则. 所以当时，是偶函数； 当时，是奇函数； 当时，是非奇非偶函数. （2）设，则，， ， 因为函数在上严格减函数，所以恒成立， 所以，即，恒成立， 又因为，，所以，，所以． 38．（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)该函数的定义域为，奇函数 (2)单调递增，证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据对数的性质，结合函数奇偶性的定义进行求解即可； （2）根据对数的单调性，结合函数单调性的定义进行判断说明即可； （3）根据函数单调性的性质，结合任意性的定义进行求解即可. 【解析】（1）由，或， 因此该函数的定义域为，显然关于原点对称， 因为， 所以该函数是奇函数； （2）函数在上单调递增，理由如下： 设，则有， 因为，所以， 因为函数是正实数集上的减函数， 所以有， 因此函数在上单调递增； （3）， 由（2）可知函数当时单调递增， 而函数当时也单调递增， 所以函数当时也单调递增， 显然当时，函数有最小值， 最小值为， 因此要想对于任意，不等式恒成立， 只需，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：利用函数单调性的性质，结合任意性的定义是解题的关键. 39．（23-24高一下·上海闵行·期末）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． (1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式； (2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据， 【答案】(1)，, (2)采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多 【分析】（1）根据已知条件，分别求解1年，2年后，….，进而归纳后的利润，即可求解． （2）分别求出两种方案的净收益，再通过比较，即可求解． 【解析】（1）对于甲方案， 1年后，利润为1（万元）． 2年后，利润为， 3年后，利润为（万元）， …… 故年后，利润为（万元）， 因此， 对于乙方案， 1年后，利润为1（万元）． 2年后，利润为， 3年后，利润为（万元）， …… 故年后，利润为（万元）， 因此， （2）甲方案十年共获利（万元）， 10年后，到期时银行贷款本息为（万元）， 故甲方案的净收益为（万元）， 乙方案十年共获利（万元）， 贷款本息为（万元）， 故乙方案的净收益为（万元）， 由，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多 一、填空题 1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数满足：．则下列三个结论： （1）； （2）； （3）． 其中正确的结论是 ． 【答案】（1）（3） 【分析】构造函数得，进而得，从而可判断（1）；举反例排除断（2）；利用（1）结论，结合基本不等式求范围判断（3）. 【解析】令，则，则， 两式相减，整理得， 所以，故（1）对； 当时，， 满足，但，故（2）错； 由， 当且仅当或2时取等号， 所以， 可得，故（3）对. 故答案为：（1）（3） 【点睛】关键点睛：本题结论（1）的解决关键是通过构造函数得到，进而得到，从而得解. 2．（21-22高一上·上海普陀·期末）已知常数，函数、的表达式分别为、．若对任意，总存在，使得，则a的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出函数在上的最大值，分类探讨函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解判断作答. 【解析】依题意，函数在上单调递增，则当时，， 因对任意，总存在，使得，则存在， 成立， 则当时，成立，而函数是奇函数，当时，，当时，， 因此，在上的最大值只能在上取得 而当时，，在上单调递增，在上单调递减， 当，即时，在上单调递增，， 由解得，于是得， 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，， 而，此时不存在使得成立， 综上得，即， 所以a的最大值为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：函数，，若，，有成立，则. 二、单选题 3．（23-24高二下·上海宝山·期末）若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为R，给出下面两个条件：是严格减函数且恒成立；是严格增函数且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中正确的是（    ）． A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 【答案】C 【分析】若已知，则当，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式的性质，可推出成立，若已知，取，根据增函数的定义和已知条件，结合不等式的性质，也可推出. 【解析】若成立，当，有， 因为单调递减，且恒成立，所以， 所以， 故存在，（且），对任意的，均有恒成立， 所以是函数具有性质的充分条件； 若成立，当时，，， 因为单调递增，所以恒成立， 故存在（，且），对任意的，均有恒成立， 所以也是函数具有性质的充分条件. 故选：C 三、解答题 4．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若函数满足对任意，都有，则称该函数为C函数. (1)若，求证：函数是C函数； (2)若函数是上的严格减函数，判断是否一定为C函数，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)为C函数，证明见解析 【分析】（1）利用对数式的运算，证明即可； （2）由单调性可得，整理变形后有，可得. 【解析】（1）证明： ，， 则有 ， ， 所以函数是C函数. （2）一定为C函数,证明如下： 函数是上的严格减函数，任取，有， 则，即， 变形为， 两式相加得， 由，则，所以为C函数. 【点睛】方法点睛： 函数新定义问题，要紧紧围绕所给定义，由定义中的规则和运算性质对各种结论进行判断. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$