第03讲 垂径定理（四类知识点+七大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪教版）

第03讲 垂径定理（七大题型） 学习目标 1、 了解垂径定理的内容及证明； 2、 掌握从垂径定理的推论及证明； 3、 学会有关垂径定理的作图；会解有关实际应用题． 一、垂径定理 我们得到了圆的一个性质定理： 垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 要点：垂径定理指出了圆的直径与弦及弦所对的弧之间的关联，即由直径“垂直”于弦得到“平分”弦(弧). 二、垂径定理的推理1 由此归纳得到以下结论： 如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧， 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。 在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径，由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上.于是得到： 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧. 三、垂径定理的推理2 问题中的条件有“弧相等”,可知它们“所对的弦相等”,如图27-22,分别联结AD、BD,得AD=BD,则△DAB是等腰三角形，再利用等腰三角形的“三线合一”性质，(1)可由AM=BM,推出 CD⊥AB;(2)可由CDLAB,推出AM=BM.这时还可以进一步看到，CD垂直平分弦AB,因此CD一定经过圆心0. 由此得到以下结论： 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦。 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。 总结上面的讨论，可以概括为： 在圆中，对于某 条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立， 四、垂径定理的有关作图 【即学即练1】如图，是的直径，弦于点，若，．求的半径． 【即学即练2】过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为 cm． 【即学即练3】在⊙中，弦的长为8，它所对应的弦心距为4，那么半径 ． 【即学即练4】如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【即学即练5】如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为 ．（结果保留） 题型1：垂径定理及推论的有关辨析 【典例1】．下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 【典例2】．下列说法正确的是（    ） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧 【典例3】．如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 【典例4】．如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 【典例5】．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 题型2：根据垂径定理求值 【典例6】．如图，在中，于点C，若，，则的半径长为 ．    【典例7】．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 【典例8】．如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 【典例9】．如图，线段是的直径，于点，若，，则的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【典例10】．如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 ． 题型3：利用垂径定理求平行弦问题 【典例11】．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【典例12】．在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【典例13】．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【典例14】．在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 【典例15】．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【典例16】．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 题型4：利用垂径定理求同心圆问题 【典例17】．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【典例18】．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 题型5：垂径定理的推论 【典例19】．如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 【典例20】．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为    【典例21】．如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：． 【典例22】．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积． 题型6：垂径定理的实际应用 【典例23】．某圆弧拱桥的跨度为，拱高，则圆弧的半径是 ． 【典例24】．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ． 【典例25】．如图，一圆形石拱桥的半径为，当水面宽为时，拱顶到水面的距离是 m． 【典例26】．.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图 1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 ． 【典例27】．《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其大意为：今有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其大小．设其横截面为，用锯子去锯这个木材，锯口深为1寸，锯道长为1尺．由此可得这块圆柱形木材横截面的直径是 尺．（注：1尺寸） 【典例28】．某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高度，道路交通学习小组展开了以下研究．如图1，经测量得，，为了确定与弧形拱半径的长度，学习小组找到一根长的笔直杆子，将杆子一端置于点C处，另一端置于上点E处，．如图2，调整杆子位置，直至一端在上的点G处，另一端在圆弧上点F处，，如图3，某一集装箱大货车宽为，则该大货车的最大高度（包括货物） ． 题型7：垂径定理有关的其他问题 【典例29】．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 【典例30】．如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ． 【典例31】．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心13为半径画圆，直线与交于两点，则弦长的最小值为 ． 【典例32】．如图，是的两条弦，若，，垂足分别为与的关系是 （“相等”或“不等”）； 【典例33】．如图，点是上⊙O两点，，点是⊙O上的动点（与不重合），连结，过点分别作于，于，则 ． 【典例34】．如图，AB是圆O的直径，AB＝8，点M在圆O上，∠MOB＝60°，N是的中点，P为AB上一动点，则PM+PN的最小值是 ． 【典例35】．如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 一、单选题 1．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中假命题是（    ） A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心 C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（    ） A．4 B．5 C．6 D．6 4．已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA=3：5，则弦AC的长度（      ）． A． B． C．3 D．或 5．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 6．如图，的半径为5，弦，点M是弦上的动点，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣8，﹣4），则点N的坐标为（    ） A．（－2，﹣4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（－1.5，﹣4） 8．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（    ） A． B．3 C． D． 9．如图，是半圆的直径，，弦，是上的点，连结，．若，，则的长为（    ） A． B．8 C． D． 10．如图，是的弦（非直径），点是弦上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，弦的长为，，则弦的长（  ） A．与，，的值均有关 B．只与，的值有关 C．只与，的值有关 D．只与，的值有关 二、填空题 11．垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧． 符号语言： ∵①CD是直径，②CD⊥AB ∴③AE＝ ，④＝ ，⑤＝ ． 12．如图，在中，于点的长为，则弦的长为 ． 13．小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端，量得弧的中心C到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 ． 14．如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是 cm．    15．如图，是的弦，以为斜边的等腰直角，圆心位于外，如果，，那么的半径是 ． 16．如图， 是的直径， 点是上的一点， 若于点 ， 则的长为 ． 17．如图在圆O中，是直径，弦与交于点，如果，，，点是的中点，连接，并延长与圆交于点，那么 ． 18．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ． 三、解答题 19．如图，在中，是直径，是弦，，垂足为P，若．求的长． 20．如图，已知为直径，是弦，且于点E，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 21．如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别为点、，且．求证： 22．如图， 在中， ， 以点为圆心， 长为半径作圆， 交于点 ， 交于点， 连接． (1)若， 求的度数； (2)若， 求的长． 23．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO=8，BC=12． (1)求线段OD的长； (2)当时，求DE的长． 24．图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆的中点，（即当支架水平放置时直线平行于水平线，支撑杆垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节的高度．当经过圆心O时，它的宽度达到最大值，在支架水平放置的状态下： (1)当滑动杆的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆的高度． (2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（），求该手机的宽度． 25．已知：如图，内接于，，点为弦的中点，的延长线交于点，联结，过点作交于点，联结. （1）求证：； （2）如果的半径为8，且，，求的长. 26．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为的与x轴交于、两点，且点C在x轴的上方． （1）求圆心C的坐标； （2）已知一个二次函数的图像经过点、B、C，求这二次函数的解析式； （3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 垂径定理（七大题型） 学习目标 1、 了解垂径定理的内容及证明； 2、 掌握从垂径定理的推论及证明； 3、 学会有关垂径定理的作图；会解有关实际应用题． 一、垂径定理 我们得到了圆的一个性质定理： 垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 要点：垂径定理指出了圆的直径与弦及弦所对的弧之间的关联，即由直径“垂直”于弦得到“平分”弦(弧). 二、垂径定理的推理1 由此归纳得到以下结论： 如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧， 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。 在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径，由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上.于是得到： 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧. 三、垂径定理的推理2 问题中的条件有“弧相等”,可知它们“所对的弦相等”,如图27-22,分别联结AD、BD,得AD=BD,则△DAB是等腰三角形，再利用等腰三角形的“三线合一”性质，(1)可由AM=BM,推出 CD⊥AB;(2)可由CDLAB,推出AM=BM.这时还可以进一步看到，CD垂直平分弦AB,因此CD一定经过圆心0. 由此得到以下结论： 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦。 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。 总结上面的讨论，可以概括为： 在圆中，对于某 条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立， 四、垂径定理的有关作图 【即学即练1】如图，是的直径，弦于点，若，．求的半径． 【答案】 【分析】连接，由垂径定理可得，根据勾股定理求解即可． 【解析】解：连接，如下图： ∵为直径， ∴ 由勾股定理得： 答：圆的半径为5 【点睛】此题考查了圆的垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 【即学即练2】过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为 cm． 【答案】 【分析】根据题意画出图，可得ED=6cm，AB=4cm，由垂径定理知OA=3cm，AM=2cm，再根据勾股定理即可求得． 【解析】解：由题意知，最长的弦为过点M的直径，最短的弦为过点M且垂直于OM的弦， 如图所示，直径ED⊥AB于点M，则ED=6cm，AB=4cm， 由垂径定理知：点M为AB的中点， 所以AM=2cm， 因为半径OA=3cm， 所以OM2=OA2−AM2=9−4=5， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握垂径定理的性质及勾股定理的应用． 【即学即练3】在⊙中，弦的长为8，它所对应的弦心距为4，那么半径 ． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，进而根据垂径定理及勾股定理解答即可． 【解析】如图， ，， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半径，圆心到弦的距离转换到同一直角三角形中，然后通过勾股定理求解． 【即学即练4】如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【解析】解：，是直径，， ， 在中，（）， （）， 故选：． 【即学即练4】如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为 ．（结果保留） 【答案】400π 【解析】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图， ∵AC=11，BC=21， ∴AB=AC+BC=32， ∵OD⊥AB于D， ∴AD=BD=AB=16， ∴CD=AD-AC=5， 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 OD==12, 在Rt△OBD中，由勾股定理，得 OB==20， ∴这个花坛的面积=202π=400π， 故答案为：400π． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键． 题型1：垂径定理及推论的有关辨析 【典例1】．下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 【答案】D 【分析】根据垂径定理对选项A、C进行判断，根据垂径定理的推论对B、D选项进行判断． 【解析】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误； B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误； C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误； D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理及垂径定理的推论，掌握并理解定理的内容是解答此题的关键 【典例2】．下列说法正确的是（    ） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧 【答案】D 【分析】根据垂径定理及其推论，进行判断即可． 【解析】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，选项错误； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，选项错误； C、垂直于直径的弦被直径平分，选项错误； D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 【典例3】．如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】垂直于弦的的直径平分弦及弦所对的两条弧，根据垂径定理即可进行判断，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 【解析】解：∵是的直径，是弦，，垂足为M， ∴，，， 无法判断， 故选：C 【典例4】．如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 【答案】D 【分析】本题主要查了垂径定理．利用垂径定理一一判断即可． 【解析】解：∵B是弧的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴平分，点A是弧的中点， 故A，B，C正确，D错误， 故选：D． 【典例5】．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【答案】C 【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断． 【解析】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键． 题型2：根据垂径定理求值 【典例6】．如图，在中，于点C，若，，则的半径长为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理与垂径定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与垂径定理． 连接，先根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【解析】解：连接，    ∵于点C，， ∴， 在中： ∴． ∴的半径长为5． 故答案为：5 【典例7】．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧． 根据垂径定理得出，再根据勾股定理，即可解答． 【解析】解：∵圆心到弦的距离为2， ∴， ∵弦的长为4， ∴， ∴， 即圆O的半径长是， 故选：C． 【典例8】．如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．连接半径，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【解析】解：连接，过O点作于C，如图， 于C， ， 在中，，， ， ． 故选：B． 【典例9】．如图，线段是的直径，于点，若，，则的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据垂径定理求出的长是解此题的关键．连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，最后根据线段的和差求解即可． 【解析】解：如图，连接， 线段是的直径，于点， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【典例10】．如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由垂径定理得到E为的中点，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【解析】解：∵是的直径，弦， ∴E为的中点，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故答案为：16． 题型3：利用垂径定理求平行弦问题 【典例11】．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【解析】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 【典例12】．在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【解析】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 【典例13】．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【答案】 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【解析】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【典例14】．在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 【答案】或 【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可； 【解析】解：①如图，AB//CD，过点O作 在中 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵AB//CD ∴AB与CD之间的距离即GH ∴AB与CD之间的距离为 ②如图，作，连接AD 则有四边形PEFD是矩形， ∴EF=PD ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或 【点睛】本题主要圆的的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键． 【典例15】．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可． 【解析】解：∵半径OC垂直于弦AB， ∴AD=DB= AB= 在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2， 解得，OA=4 ∴OD=OC-CD=3， ∵AO=OE,AD=DB, ∴BE=2OD=6 故选B 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键 【典例16】．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长． 【解析】解：∵OD⊥BC， ∴CD＝BD， ∵OA＝OB，AC＝4 ∴OD＝AC＝2． 故选C． 【点睛】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 题型4：利用垂径定理求同心圆问题 【典例17】．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【解析】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 【典例18】．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【解析】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 题型5：垂径定理的推论 【典例19】．如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质以及直角三角形的性质是解本题的关键．根据垂径定理的推理得，再利用三线合一及直角三角形的性质解答即可． 【解析】解：∵半径经过的中点． ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【典例20】．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为    【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是：根据垂径定理的推论得，再根据勾股定理得，即可求出答案． 【解析】解：， ， 在中，， ， ． 故答案为：4． 【典例21】．如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 连接．由垂径定理结合可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【解析】证明：如图：连接． ∵于M，于N． ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【典例22】．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解． 【解析】解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， 在直角中，由勾股定理得， ， 解得， ， ． 题型6：垂径定理的实际应用 【典例23】．某圆弧拱桥的跨度为，拱高，则圆弧的半径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，设点O为所在圆圆心，过点O作分别交于D，于C，设，则，由垂径定理可知，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【解析】解：如图所示，点O为所在圆圆心，过点O作分别交于D，于C， 设， 由题意得，，则， 由垂径定理可知， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴圆弧的半径是， 故答案为：． 【典例24】．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ． 【答案】10或70 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理，易错点是分类讨论水面在直径是下方和上方． 根据半径为，则直径为；又根据水面宽度为，则有两种情况，水面在水面平行的直径下方，过点作于点；水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出． 【解析】连接 ∵ ∴圆的直径为 ∴水面在水面平行的直径下方 ∴过点作于点 ∴且与交于点 ∵， ∴， ∴在直角三角形中， ∴ ∴； 在直角三角形中， ∴ ∴ ∴上升的距离为 水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点 同理可得，上升的距离为：． 故答案为：10或70． 【典例25】．如图，一圆形石拱桥的半径为，当水面宽为时，拱顶到水面的距离是 m． 【答案】8 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，根据垂径定理、勾股定理求出，进而求出即可． 【解析】解：根据题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即石拱桥的桥顶到水面的距离为， 故答案为：8． 【典例26】．.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图 1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 ． 【答案】 【分析】此题考查垂径定理，解题关键在于作辅助线利用勾股定理进行计算．根据题意作于，交于点，再利用勾股定理得出，即可解答． 【解析】解：作于，交于点， 在中，， ， ， 筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为， 故答案为：3． 【典例27】．《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其大意为：今有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其大小．设其横截面为，用锯子去锯这个木材，锯口深为1寸，锯道长为1尺．由此可得这块圆柱形木材横截面的直径是 尺．（注：1尺寸） 【答案】2.6 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键，先根据垂径定理得出的长度，设半径，则，再根据勾股定理求解即可． 【解析】连接， ∵， ∴， 设半径， ∵寸尺， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴直径为尺， 故答案为：2.6． 【典例28】．某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高度，道路交通学习小组展开了以下研究．如图1，经测量得，，为了确定与弧形拱半径的长度，学习小组找到一根长的笔直杆子，将杆子一端置于点C处，另一端置于上点E处，．如图2，调整杆子位置，直至一端在上的点G处，另一端在圆弧上点F处，，如图3，某一集装箱大货车宽为，则该大货车的最大高度（包括货物） ． 【答案】 【分析】如图1所示，过点E作于T，则四边形是矩形，可得，利用勾股定理可得，则；如图2所示，设所在圆的圆心为O，过点作交于点，交于点，过点O作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形，可得，，则，设，则，，由勾股定理可得方程，解得，则，进而可得；如图3所示，构造，且，过点作于点，于E，延长交于L，连接，由垂径定理得到，则，由图2可知，，证明四边形是矩形，得到，，则大货车的最大高度（包括货物）为． 【解析】解：如图1所示，过点E作于T， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 如图2所示， 设所在圆的圆心为O，过点作交于点，交于点，过点O作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图3所示，    构造，且，过点作于点，于E，延长交于L，连接， ∴， ∴， 由图2可知，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴大货车的最大高度（包括货物）为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形和矩形，从而求出所在圆的半径以及线段的长是解题的关键． 题型7：垂径定理有关的其他问题 【典例29】．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，据此即可求解； 【解析】解：由图可知：， 分别作出弦的垂直平分线，如图所示： 根据弦的垂直平分线必过圆心可得：该圆弧所在圆的圆心坐标为， 故答案为： 【典例30】．如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作于点，于点，利用垂径定理得到，，且易得四边形为矩形，进而得到，再利用等量代换即可得到． 【解析】解：作于点，于点， ，，， ， 易得四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． 【典例31】．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心13为半径画圆，直线与交于两点，则弦长的最小值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，易知直线过定点，运用勾股定理可求出，由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．运用过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短这个经验是解决该题的关键． 【解析】解：对于直线， 当时，， 故直线恒经过点，记为点D， 过点D作轴于点H， 则有， ， 由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短， 连接， ， 因此运用垂径定理及勾股定理可得： 的最小值为， 故答案为：24．    【典例32】．如图，是的两条弦，若，，垂足分别为与的关系是 （“相等”或“不等”）； 【答案】相等 【分析】先证明Rt△AEO≌Rt△CFO，可得OE＝OF． 【解析】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴AE＝EB=AB ，CF＝DF=CD， ∵AB＝CD， ∴AE＝CF， ∵OA＝OC，∠AEO＝∠CFO=90°，AE＝CF， ∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL）， ∴OE＝OF． 故答案为：相等． 【点睛】本题主要考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【典例33】．如图，点是上⊙O两点，，点是⊙O上的动点（与不重合），连结，过点分别作于，于，则 ． 【答案】5 【分析】先根据垂径定理得出AE=PE，PF=BF，故可得出EF是△APB的中位线，再根据中位线定理即可得出EF//AB，EF=AB即可． 【解析】解：∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F， ∴AE=PE，PF=BF， ∴EF是△APB的中位线， ∴EF//AB，EF=AB=5； 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是垂径定理和三角形中位线定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键． 【典例34】．如图，AB是圆O的直径，AB＝8，点M在圆O上，∠MOB＝60°，N是的中点，P为AB上一动点，则PM+PN的最小值是 ． 【答案】4． 【分析】作点M关于AB的对称点M'，连接NM'，交AB于点P，此时PM＋PN有最小值，连接ON，OM，利用垂径定理，求出∠M'OB＝∠MOB＝60°，进一步求出∠NOM'＝90°，在等腰直角三角形NOM'中求出NM'的长度即可． 【解析】解：如图，作点M关于AB的对称点M'，连接NM'，交AB于点P，此时PM+PN有最小值， 连接ON，OM， 则OB垂直平分MM'，， ∴∠M'OB＝∠MOB＝60°， ∵N是的中点， ∴， ∴∠MON＝∠BON＝∠MOB＝30°， ∴∠NOM'＝∠NOB+∠M'OB＝90°， ∵AB＝8， ∴ON＝OM'＝4， 在等腰Rt△ONM'中， NM'＝ON＝4， ∵MP＝M'P， ∴MP+NP＝M'N＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，垂径定理，轴对称称的性质，解直角三角形等，解题的关键是灵活运两点之间线段最短这一定理． 【典例35】．如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，详见解析 (3)或8 【分析】本题是圆的综合题，考查了弧、弦、圆心角的关系，垂径定理推论，勾股定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由弧、弦、圆心角的关系和垂径定理推论可得出答案； （2）证明，得出，证出四边形是平行四边形，由（1）得，则可得出结论； （3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案． 【解析】（1）证明：， ， 是直径， ， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）得， 四边形是菱形； （3）解：，， ①如图1，当点在点左侧时， ， ， ， 在中，， ． ②如图2，当点在点右侧时， ， ， ， 在中，， ． 一、单选题 1．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，由垂径定理知垂直平分，则，在中，由勾股定理得求的值，根据求出的值即可． 【解析】解：如图，连接 由垂径定理知垂直平分 ∴ 在中，由勾股定理得 ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于熟练掌握垂径定理． 2．下列命题中假命题是（    ） A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心 C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 【答案】A 【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断． 【解析】A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题； B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题； C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题； D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质． 3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（    ） A．4 B．5 C．6 D．6 【答案】D 【解析】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点， 在中,由勾股定理得： 故选：D. 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握这两个定理的内容. 4．已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA=3：5，则弦AC的长度（      ）． A． B． C．3 D．或 【答案】D 【分析】分两种情形：当点M在线段OA上或点M在线段AO的延长线上时，分别求解即可． 【解析】解：如图1，∵AB=10，弦CD⊥AB于点M．若OM：OA=3：5， ∴OA=OC=5，OM=3，AM=8， ∴CM==4， ∴AC==4； 如图2，∵AB=10cm，弦CD⊥AB于点M．若OM：OA=3：5， ∴OA=OC=5，OM=3，AM=2， ∴CM==4， ∴AC==2， 综上所述：弦AC的长为4或2． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 5．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，根据垂径定理、勾股定理得：OM=ON=4，再根据四边形MONP是正方形，故可求解． 【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD， ∵OB=5，BM= ， ∴OM= ∵AB=CD=8， ∴ON=OM=4， ∵弦AB、CD互相垂直， ∴∠DPB=90°， ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP=∠ONP=90° ∴四边形MONP是矩形， ∵OM=ON， ∴四边形MONP是正方形， ∴OP=3． 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线． 6．如图，的半径为5，弦，点M是弦上的动点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过O作OM '⊥AB于M '，则OM '为OM 变化过程中的最小值，由垂径定理可求得M 'B，再由勾股定理可求得OM '，另可知OM变化过程中的最大值等于圆半径，如此问题可以得解． 【解析】解：如图，过O作OM '⊥AB于M '，则OM '为OM变化过程中的最小值， 由垂径定理可知M 'B=4， ∵OB=5，∴OM '=3， 又有OM变化过程中的最大值等于圆半径5， ∴3≤OM≤5， 故选D． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理、勾股定理及垂线段的性质是解题关键 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣8，﹣4），则点N的坐标为（    ） A．（－2，﹣4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（－1.5，﹣4） 【答案】A 【分析】作AB⊥MN于B，连接AM，如图，设⊙A的半径为r，先根据切线的性质得OA=r，则点A的坐标为（-r，0），再利用垂径定理得BM=BN，利用MN∥x轴，M（-8，-4），得到B点坐标为（-r，-4），然后在Rt△ABM中，根据勾股定理得，解得r=5，则BM=BN=3，易得N点坐标为（-2，-4）． 【解析】解：作AB⊥MN于B，连接AM，如图， 设⊙A的半径为r， ∵⊙A与y轴相切于原点O， ∴OA=r， ∴点A的坐标为（-r，0）， ∵AB⊥MN， ∴BM=BN， ∵MN∥x轴，M（-8，-4）， ∴B点坐标为（-r，-4）， 在Rt△ABM中，AB=4，AM=r，BM=8-r， ∵， ∴，解得r=5， ∴BM=3， ∴BN=3， ∴N点坐标为（-2，-4）， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解． 8．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，根据垂径定理可得AE=BE=3，从而得到CE=1，然后设OE=x，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【解析】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD， ∴， ∵AC＝4，BC＝2， ∴BA=6， ∴AE=BE=3， ∴CE=1， 设OE=x， ∴， ∵CD⊥OC， ∴， ∴或（舍去）． 故选：C 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 9．如图，是半圆的直径，，弦，是上的点，连结，．若，，则的长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】过点O作OM⊥CD，过点E作EN⊥AB，连接OC，设EC=3x，则ED=13x ,先证明四边形MONE是矩形，求出x的值，再根据勾股定理求出OM及OE的值． 【解析】解：过点O作OM⊥CD，过点E作EN⊥AB，连接OC，垂足分别为点M、N， ∵， ∴设EC=3x，则ED=13x , ∴CD=16x， ∵OM⊥CD， ∴CM=DM=8x， ∴ME=CM-CE=8x-3x=5x， ∵OM⊥CD，，EN⊥AB， ∴∠MON=∠OME=∠ONE =90°， ∴四边形MONE是矩形， ∴ON=ME=5x， ∵AB=20， ∴OB=10， ∵，EN⊥AB， ∴ON=BN=5， ∴5x=5，即x=1， ∴CM=8， ∴， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理的性质，灵活运用所学知识解决问题． 10．如图，是的弦（非直径），点是弦上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，弦的长为，，则弦的长（  ） A．与，，的值均有关 B．只与，的值有关 C．只与，的值有关 D．只与，的值有关 【答案】D 【分析】连接AD、BE，先由垂径定理得，再根据得，用和表示出CE的长，即可得到DE的长． 【解析】解：如图，连接AD、BE， ∵DE为的弦，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故DE的长只与和的值有关． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理和相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练运用垂径定理和相似三角形的性质和判定定理． 二、填空题 11．垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧． 符号语言： ∵①CD是直径，②CD⊥AB ∴③AE＝ ，④＝ ，⑤＝ ． 【答案】 平分 平分 BE 【解析】略 12．如图，在中，于点的长为，则弦的长为 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查了垂径定理．根据垂径定理即可求解． 【解析】解：∵于点的长为， ∴． 故答案为：． 13．小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端，量得弧的中心C到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 ． 【答案】10 【分析】利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【解析】解：设圆的半径为， ∵C为弧的中心，， ∴延长必过圆的圆心，设圆心为，连接，如图， ∴， 由勾股定理，得：， 即：， 解得：； ∴圆形瓦片所在圆的半径为：； 故答案为：10． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 14．如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是 cm．    【答案】6 【分析】过点作于，连，根据垂径定理得，在中，，，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到，再利用勾股定理计算出，由得到答案． 【解析】解：过点作于，连，如图    则， 在中，，， 则， 在中，，， 则， 则． 故答案为6． 【点睛】本题考查了垂径定理，含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键． 15．如图，是的弦，以为斜边的等腰直角，圆心位于外，如果，，那么的半径是 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形以及勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．根据题意得出，，进而利用勾股定理得出答案． 【解析】解：连接并延长交于点，连接，， ，， 是的垂直平分线， ，， 是等腰直角形，，， ，，， ． 故答案为：5． 16．如图， 是的直径， 点是上的一点， 若于点 ， 则的长为 ． 【答案】2 【分析】根据题意易得，则根据勾股定理可求解． 【解析】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得：； 故答案为2． 【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 17．如图在圆O中，是直径，弦与交于点，如果，，，点是的中点，连接，并延长与圆交于点，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理、勾股定理是解题的关键． 连接，，根据点是的中点，证，得为直角三角形，根据已知条件求出半径，进而求得，根据，利用勾股定理求出，即可得到。 【解析】 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，，是直径， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ． 【答案】 【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF=CF，进而证得DF=BC，根据三角形中位线定理求得OF=BC=DF，从而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC． 【解析】解：如图，连接OD，交AC于F， ∵D是的中点， ∴OD⊥AC，AF=CF， ∴∠DFE=90°， ∵OA=OB，AF=CF， ∴OF=BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， 在△EFD和△ECB中， ，   ∴△EFD≌△ECB（AAS）， ∴DF=BC， ∴OF=DF， ∵OD=3， ∴OF=1，AB=2OD=6， ∴BC=2， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键． 三、解答题 19．如图，在中，是直径，是弦，，垂足为P，若．求的长． 【答案】8 【分析】连接，求出的长，再根据垂径定理可得，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【解析】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 20．如图，已知为直径，是弦，且于点E，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，等弧的圆周角相等，即可求证． （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径． 【解析】（1）∵为直径，是弦，且于点E， ∴， ∴； （2）连接，如图， 设的半径为R，则， 又， 在中，由勾股定理可得 ，即 ， 解得， ∴ 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 21．如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别为点、，且．求证： 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明，则，利用垂径定理证明，进而证明，则． 【解析】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，证明是解题的关键． 22．如图， 在中， ， 以点为圆心， 长为半径作圆， 交于点 ， 交于点， 连接． (1)若， 求的度数； (2)若， 求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可． （2）如图，过点作，垂足为．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，可得结论． 【解析】（1）解：如图，连接． ，， ． ， ， ， ． 又， ． （2）解：如图，过点作，垂足为． ，，， ． 又， ， ． ，， ． 【点睛】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO=8，BC=12． (1)求线段OD的长； (2)当时，求DE的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，先根据垂径定理得出，，在中，根据勾股定理即可得出结论； （2）在中，设，则，，再根据勾股定理即可得出结论． 【解析】（1）解：连接OB． ∵过圆心，且D是弦中点， ∴， 在中，． ∵． ∴； （2）解：在中，． 设，则， ∴， 解得（舍），． 则． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 24．图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆的中点，（即当支架水平放置时直线平行于水平线，支撑杆垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节的高度．当经过圆心O时，它的宽度达到最大值，在支架水平放置的状态下： (1)当滑动杆的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆的高度． (2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（），求该手机的宽度． 【答案】(1)支撑杆的高度为9cm． (2)手机的宽度为8cm． 【分析】（1）如图，连结OA，由题意可得：的直径为10， 由 先求解 从而可得答案； （2）如图，记圆心为O，连结OA，证明 设则则 再利用勾股定理建立方程求解即可． 【解析】（1）解：如图，连结OA，由题意可得：的直径为10， 即 所以此时支撑杆的高度为9cm． （2）解：如图，记圆心为O，连结OA， 由题意可得： ∴四边形为正方形， 设 则 由勾股定理可得： 解得 经检验不符合题意，舍去，取 （cm）， 即手机的宽度为8cm． 【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，建立方程解题是关键． 25．已知：如图，内接于，，点为弦的中点，的延长线交于点，联结，过点作交于点，联结. （1）求证：； （2）如果的半径为8，且，，求的长. 【答案】(1)证明见解析；（2）CF=12-12. 【分析】由等腰三角形的性质得出，由垂径定理得出，，证出DE是的中位线得出，结合BF⊥DE证出，由角的互余关系即可得出结论； 联结证出是等腰直角三角形，得出再由等腰三角形的性质得出即可得出结论． 【解析】证明：如图1所示： ，， 直线AD经过圆心O， ，， 点E为弦AB的中点， 是的中位线． ， ， ， ， ． ， ， ， 又， ， ； 证明：联结如图所示：    ，， 是等腰直角三角形， ． ， ，且， ． ∴∠BFC= =45°， ， 和△CFG均为等腰直角三角形， AB．CG=FG=FC； ∵AC=AB=BF=12 ∴AG=BG=6，CG=FG=12-6 ∴CF=（12-6）×=12-12 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为的与x轴交于、两点，且点C在x轴的上方． （1）求圆心C的坐标； （2）已知一个二次函数的图像经过点、B、C，求这二次函数的解析式； （3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标. 【答案】解：（1）点C的坐标为．（2）二次函数的解析式为y =－x2+2x＋3．（3）点M的坐标为或或 【分析】（1）根据垂径定理即可求得点C的坐标； （2）利用待定系数法：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A，B，C的坐标代入二次函数的解析式组成方程组，解方程组即可求得； （3）分别从四边形APBM、四边形ABMP、四边形ABPM是平行四边形分析，根据平行四边形的性质，即可求得点M的坐标，注意不要漏解． 【解析】（1）连接AC，过点C作CH⊥AB，垂直为H， 由垂径定理得：AH=AB=2， 则OH=1， 由勾股定理得：CH=4． 又点C在x轴的上方， ∴点C的坐标为（1，4）． （2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c， 由题意，得，解这个方程组，得， ∴这二次函数的解析式为y=-x2+2x+3． （3）①当四边形APBM是平行四边形时，过点M作MK⊥x轴， ∴PA=BM，∠AOP=∠BKM=90°，∠OAP=∠KBM， ∴△AOP≌△BKM，则BK=OA=1，则点M的横坐标为2， ∴y=-4+4+3=3， ∴此时点M的坐标为（2，3）； ②∵当PM∥AB，PM=AB时，四边形APMB是平行四边形， 则设M的坐标为（4，y），则可得y=-16+8+3=-5， 则此时点M的坐标为（4，-5）； ③当四边形ABPM是平行四边形时， 设点M的坐标为（-4，y）， 则可得y=-16-8+3=-21， 则此时点M的坐标为（-4，-21）． ∴点M的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）． 【点睛】此题考查了垂径定理、待定系数法求二次函数的解析式、以及平行四边形的性质等知识．此题综合性很强，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 60 页 学科网（北京）股份有限公司 $$