第05讲 圆与圆的位置关系（二类知识点+五大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪教版）

第05讲 圆与圆的位置关系（五大题型） 学习目标 1、 了解圆与圆的位置关系； 2、 学会判断圆与圆的位置；并会根据圆与圆的位置求长度或距离等问题； 3、掌握两圆连心线的性质，并会解其几何应用． 1、 圆和圆的位置关系 1．圆与圆的五种位置关系的定义 　　两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 　　两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 　　两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含. 　　　　　　　 2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 　　设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则： 　　两圆外离 d＞r1+r2 　　两圆外切 d=r1+r2 　　两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2) 　　两圆内切 d=r1-r2 (r1＞r2) 　　两圆内含 d＜r1-r2 (r1＞r2) 3. 两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距.经过两个圆的圆心的直线叫做连心线。 要点： 　　(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； 　　(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； 　　(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合. 二、两圆连心线的性质 1. 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 我们来证明这个定理. 已知：如图27-39,⊙O1和⊙O2,相交于点A和点B.求证：直线O1O2垂直平分公共弦AB. 证明：分别联结AO1、BO1、AO₂、BO₂ AO1=BO1, ∴点O₁在线段AB的垂直平分线上.同理，点O₂在线段AB的垂直平分线上， 所以，直线O1O2是线段AB的垂直平分线，即直线O1O2垂直平分公共弦AB. 2.定理：相切两圆的连心线经过切点。 【即学即练1】如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆位置关系中的（ ） A．相切，内含 B．外切，内含 C．外离，相交 D．相切，相交 【即学即练2】已知两圆的半径分别为5和4，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【即学即练3】已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是（　　） A．0＜d＜3 B．0＜d＜7 C．3＜d＜7 D．0≤d＜3 【即学即练4】矩形中，，，如果分别以、为圆心的两圆外切，且点在圆内，点在圆外，那么圆的半径的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【即学即练5】如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，延长连心线O1O2交⊙O2于点P，联结PA、PB，若∠APB=60°,AP=6，那么⊙O2的半径等于 ． 题型1：判断圆与圆的位置关系 【典例1】．两圆的半径分别为和，且两圆的圆心距为，则这两圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 【典例2】．已知两圆的半径分别是与，圆心距为，那么这两个圆的位置关系是（  ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【典例3】．已知⊙O1，⊙O2的半径分别是3和5，且线段O1O2=6，那么这两个圆的公共点的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【典例4】．已知圆、圆的半径不相等，圆的半径长为5，若圆上的点满足，则圆与圆的位置关系是（　　） A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含 题型2：根据圆与圆的位置关系求距离 【典例5】．已知两圆相交，它们的圆心距为，一个圆的半径是，那么另一个圆的半径长可以是（    ） A． B． C． D． 【典例6】．如果与内含，，的半径是3，那么的半径可以是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【典例7】．点P到⊙O的最近点的距离为2cm，最远点的距离为7cm，则⊙O的半径是（　　） A．5cm或9cm B．2.5cm C．4.5cm D．2.5cm或4.5cm 【典例8】．相交两圆的公共弦长为，若两圆的半径长分别为和，则这两圆的圆心距为（　　） A． B． C．或 D． 【典例9】．大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为 ． 【典例10】．已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与 ⊙A、⊙B 都内切，且 AB=7，AC=8，BC=9，那么⊙C 的半径长是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【典例11】．若两个半径为2的等圆外离，则圆心距d的取值范围为 ． 【典例12】．已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点D在内，点B在内，那么半径r的取值范围是 ． 【典例13】．如图，和的半径分别为5和1，，点在直线上，与、都内切，那么半径是 ． 题型3：根据综合条件求圆与圆的位置关系 【典例14】．知和，的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外离 【典例15】．中，已知，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（    ） A．圆A与圆C相交 B．圆B与圆C外切 C．圆A与圆B外切 D．圆A与圆B外离． 【典例16】．中，已知，，，以点、、为圆心的圆分别记作圆、圆、圆，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（　　） A．圆与圆相交 B．圆与圆外切 C．圆与圆外切 D．圆与圆外离 【典例17】．如图，，的圆心，都在直线上，且半径分别为，．若⊙以的速度沿直线向右匀速运动（保持静止），则在 时刻与的位置关系是(   ) A．外切 B．相交 C．内含 D．内切 题型4：圆与圆的位置关系综合应用 【典例18】．如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【典例19】．如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例20】．已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例21】．如图，在平面内，，两两外切，其中的半径为8，，的半径都为5．用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（    ） A． B．10 C．13 D．15 【典例22】．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（     ） A．4OB7 B．5OB7 C．4OB9 D．2OB7 【典例23】．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　） A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8 【典例24】．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 题型5：圆与圆的连心线的性质 其他解答题 【典例25】．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B． (1)求证：O1AO2B； (2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长． 【典例26】．如图，等圆和相交于两点，经过的圆心．求的度数． 【典例27】．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝． （1）求AC的长； （2）求⊙A、⊙B、⊙C半径． 【典例28】．如图，等圆⊙O1、⊙O2相交于AB，圆心O1、O2分别在另一个圆上 （1）求∠O1AB的大小； （2）若圆的半径为2cm，求公共弦AB的长． 【典例29】．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB=6． 求： (1)弦AC的长度； (2)四边形ACO1O2的面积． 一、单选题 1．如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（　　） A．内含 B．内切 C．外切 D．相交 2．如果与内含，，的半径是3，那么的半径可以是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与 ⊙A、⊙B 都内切，且 AB=7，AC=8，BC=9，那么⊙C 的半径长是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 4．如图，在一个边长为3的正方形内有两个互相外切的圆，且两圆都与正方形的两邻边相切，两圆心距为（    ） A． B． C． D． 5．已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（　　）． A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交 B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切 C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交 D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切 6．如果⊙O1和⊙O2内含，圆心距O1O2=4，⊙O1的半径长是6，那么⊙O2的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7．已知在等腰梯形ABCD中，对角线AC将这个梯形分成面积之比为的两个三角形，的余弦值为，分别以腰AB、CD为直径作圆，那么这两圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 8．在中，，且两边长分别为4和5，若以点为圆心，3为半径作⊙，以点为圆心，2为半径作⊙，则⊙和⊙位置关系是………（ ） A．只有外切一种情况； B．只有外离一种情况； C．有相交或外切两种情况； D．有外离或外切两种情况． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（） A．外离 B．外切 C．相交 D．不能确定 10．如图，已知中，，．、分别是边、上的点，，且．如果经过点，且与外切，那么与直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 二、填空题 11．两圆的半径分别为3和5，当这两圆相切时，圆心距为 ． 12．已知圆O1与⊙O2外切，它们的圆心距为16cm，⊙O1的半径是12cm，则⊙O2的半径是 cm． 13．两圆的圆心距，两圆的半径长分别是方程的两根．则两圆的位置关系为 ． 14．已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是 ． 15．在Rt中，，，分别以点为圆心画圆，如果点在上，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是 ． 16．如图，Rt中, ，，与相切，若与相交，则半径的取值范围是 ． 17．在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆的圆心为，半径为，那么圆的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ． 18．如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E在正方形内部，且AE⊥BE，cot∠BAE＝2，如果以E为圆心，r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交，那么r的取值范围为 ． 三、解答题 19．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝． （1）求AC的长； （2）求⊙A、⊙B、⊙C半径． 20．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AD＝AB，联结O1E． （1）求证：O1E＝O1C； （2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求AB的长． 21．如图，等圆⊙O1、⊙O2相交于AB，圆心O1、O2分别在另一个圆上 （1）求∠O1AB的大小； （2）若圆的半径为2cm，求公共弦AB的长． 22．如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接． （1）求证：； （2）如果＝10，，求⊙的半径长． 23．设点、点，分别以O、A为圆心，半径为2r、r作圆，两圆在第一象限的交点为P． (1)当时，求点P的坐标； (2)当时，能否找到一定点Q，使为定值？若能找到，请求出Q点的坐标及定值；若不能找到，请说明理由． 24．二次函数的图像的顶点为，与轴交于点，以为边在第二象限内作等边三角形．    （1）求直线的表达式和点的坐标； （2）点在第二象限，且△的面积等于△的面积，求点的坐标； （3）以轴上的点为圆心，1为半径的圆，与以点为圆心，的长为半径的圆相切，直接写出点的坐标． 25．如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E. （1）求CE的长； （2）P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q. ①如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长； ②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 圆与圆的位置关系（五大题型） 学习目标 1、 了解圆与圆的位置关系； 2、 学会判断圆与圆的位置；并会根据圆与圆的位置求长度或距离等问题； 3、掌握两圆连心线的性质，并会解其几何应用． 1、 圆和圆的位置关系 1．圆与圆的五种位置关系的定义 　　两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 　　两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 　　两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含. 　　　　　　　 2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 　　设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则： 　　两圆外离 d＞r1+r2 　　两圆外切 d=r1+r2 　　两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2) 　　两圆内切 d=r1-r2 (r1＞r2) 　　两圆内含 d＜r1-r2 (r1＞r2) 3. 两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距.经过两个圆的圆心的直线叫做连心线。 要点： 　　(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； 　　(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； 　　(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合. 二、两圆连心线的性质 1. 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 我们来证明这个定理. 已知：如图27-39,⊙O1和⊙O2,相交于点A和点B.求证：直线O1O2垂直平分公共弦AB. 证明：分别联结AO1、BO1、AO₂、BO₂ AO1=BO1, ∴点O₁在线段AB的垂直平分线上.同理，点O₂在线段AB的垂直平分线上， 所以，直线O1O2是线段AB的垂直平分线，即直线O1O2垂直平分公共弦AB. 2.定理：相切两圆的连心线经过切点。 【即学即练1】如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆位置关系中的（ ） A．相切，内含 B．外切，内含 C．外离，相交 D．相切，相交 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，掌握圆的五种位置关系成为解题的关键． 根据圆与圆的五种位置关系的定义即可解答． 【解析】解：观察图形即可求得包含了圆与圆位置关系中的外离和相交． 故选C． 【即学即练2】已知两圆的半径分别为5和4，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，确定两圆位置关系．根据两圆的位置关系得到其数量关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R-r＜d＜R+r；内切，则d=R-r；内含，则d＜R-r． 【解析】因为5-4=1，5+4=9，圆心距为8， 所以1＜d＜9， 根据两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间， 所以两圆相交． 故选：B． 【点睛】考查了圆与圆的位置关系，本题利用了两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间求解． 【即学即练3】已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是（　　） A．0＜d＜3 B．0＜d＜7 C．3＜d＜7 D．0≤d＜3 【答案】D 【分析】本题直接告诉了两圆的半径及两圆的位置的关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案． 【解析】解：由题意知， 两圆内含，则0≤d＜5-2（当两圆圆心重合时圆心距为0）， 即如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是0≤d＜3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，①外离，则d＞R+r；②外切，则d=R+r；③相交，则R-r＜d＜R+r；④内切，则d=R-r；⑤内含，则d＜R-r． 【即学即练4】矩形中，，，如果分别以、为圆心的两圆外切，且点在圆内，点在圆外，那么圆的半径的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求得AC=13，然后根据点D在⊙C内，点B在⊙C外，求得⊙C的半径R大于5而小于12，根据两圆外切可得到R+r=13，继而可得出结果． 【解析】解：∵在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC==13， ∵点D在⊙C内，点B在⊙C外，∴⊙C的半径R的取值范围为：5＜R＜12， ∴当⊙A和⊙C外切时，圆心距为13等于两圆半径之和，则R+r=13， 又∵5＜R＜12，则5＜13-r＜12，∴1＜r＜8． 故选：C． 【点睛】此题综合运用了点和圆的位置关系以及两圆的位置关系，同时考查了勾股定理，掌握基本概念和性质是解题的关键． 【即学即练5】如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，延长连心线O1O2交⊙O2于点P，联结PA、PB，若∠APB=60°,AP=6，那么⊙O2的半径等于 ． 【答案】2 【分析】由题意得出△ABP为等边三角形，在Rt△ACO2中，AO2=即可. 【解析】由题意易知：PO1⊥AB，∵∠APB=60°∴△ABP为等边三角形，AC=BC=3 ∴圆心角∠AO2O1=60°  ∴在Rt△ACO2中，AO2==2. 故答案为2. 【点睛】本题考查的知识点是圆的性质，解题的关键是熟练的掌握圆的性质. 题型1：判断圆与圆的位置关系 【典例1】．两圆的半径分别为和，且两圆的圆心距为，则这两圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 【答案】B 【分析】本题利用了两圆外切时，圆心距等于两圆半径的和的性质求解．根据圆心距和圆的半径之间的数量关系，可以判断出两圆的位置关系．设两圆的半径分别为和，且，圆心距为：外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则． 【解析】解：两圆的半径分别为和，且两圆的圆心距为， ， 由于两圆外切时，圆心距等于两圆半径的和， 两圆外切． 故选：B 【典例2】．已知两圆的半径分别是与，圆心距为，那么这两个圆的位置关系是（  ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握两圆的位置关系与圆心距，两圆半径，的数量关系间的联系是解题的关键． 由两圆的半径分别是与，圆心距为，两圆的位置关系与圆心距，两圆半径，的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 【解析】解：两圆的半径分别是与，圆心距为， ，， ， ， 这两个圆的位置关系是相交， 故选：． 【典例3】．已知⊙O1，⊙O2的半径分别是3和5，且线段O1O2=6，那么这两个圆的公共点的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】由⊙O1与⊙O2的半径，根据两圆位置关系与圆心距d的联系即可得出两圆位置关系． 【解析】解：∵O1O2=6cm，， ∴两圆的位置关系是相交． ∴这两个圆的公共点的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d间的联系． 【典例4】．已知圆、圆的半径不相等，圆的半径长为5，若圆上的点满足，则圆与圆的位置关系是（　　） A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论． 【解析】解：如图所示： 当两圆外切时，切点能满足，当两圆相交时，交点能满足， 当两圆内切时，切点能满足，当两圆相离时，圆上的点不能满足， 所以，两圆相交或相切， 故选：A． 【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法． 题型2：根据圆与圆的位置关系求距离 【典例5】．已知两圆相交，它们的圆心距为，一个圆的半径是，那么另一个圆的半径长可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两圆相交，它们的圆心距为，其中一个圆的半径为，根据两圆内切和外切时求得两圆的半径，即可求解． 【解析】∵两圆相交，它们的圆心距为，其中一个圆的半径为， 当两圆外切时，另一个圆的半径为， 当两圆内切时，另一个圆的半径为 ∴当两圆相交时，另一个圆的的半径可以是, 故选：C． 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距，两圆半径，的数量关系间的联系，注意分类讨论思想的应用． 【典例6】．如果与内含，，的半径是3，那么的半径可以是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题意知与内含，则知两圆圆心距，代入数值进行计算即可． 【解析】解：根据题意两圆内含，则知两圆圆心距， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆的位置关系，熟记圆心距与两圆半径差之间的大小与圆的位置的关系是解题的关键． 【典例7】．点P到⊙O的最近点的距离为2cm，最远点的距离为7cm，则⊙O的半径是（　　） A．5cm或9cm B．2.5cm C．4.5cm D．2.5cm或4.5cm 【答案】D 【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论． 【解析】解：①当点在圆外时， ∵圆外一点和圆周的最短距离为2cm，最长距离为7cm， ∴圆的直径为7﹣2＝5（cm）， ∴该圆的半径是2.5cm； ②当点在圆内时， ∵点到圆周的最短距离为2cm，最长距离为7cm， ∴圆的直径＝7+2＝9（cm）， ∴圆的半径为4.5cm， 故选：D． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键． 【典例8】．相交两圆的公共弦长为，若两圆的半径长分别为和，则这两圆的圆心距为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了两圆相交的性质，勾股定理； 如图1，根据是两圆的公共弦可知，然后在中和中，利用勾股定理求出和，进而根据可得答案；如图2，同理可得和的长，进而根据可得答案． 【解析】解：如图1，∵是两圆的公共弦， ∴，， 在中， ， 在中， ， ∴， 如图2， 同理可得， ∴， 故选：C． 【典例9】．大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为 ． 【答案】外离 【分析】本题考查了两圆的位置关系，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握判断两圆位置关系的方法．两圆的位置关系有：相离（外离：，内含：）、相切（外切：或内切：）、相交（）． 根据圆和圆的位置关系，判断圆心距和两圆半径之和之间的大小即可判断． 【解析】解：∵两圆的半径之和为9， ∴，两圆位置关系相外离， 故答案为：外离． 【典例10】．已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与 ⊙A、⊙B 都内切，且 AB=7，AC=8，BC=9，那么⊙C 的半径长是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】设⊙A 的半径为x，⊙B的半径为y，⊙C的半径为z，构建方程组即可解答． 【解析】解：设⊙A 的半径为x，⊙B的半径为y，⊙C的半径为z， 由题意得 ⊙C的半径为12， 故选：A． 【点睛】本题考查两圆的位置关系，构建方程组是解题的关键． 【典例11】．若两个半径为2的等圆外离，则圆心距d的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，重点考察由数量关系及两圆位置关系求圆心距的取值范围的方法．本题直接告诉了两圆的半径及两圆位置关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．表示圆心距，，分别表示两圆的半径）． 【解析】解：根据题意，得 ， 两圆外离， 圆心距， 故答案为 【典例12】．已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点D在内，点B在内，那么半径r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两圆相切的性质以及点和圆的位置关系，求出的半径是本题解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再根据以，为圆心的两圆外切得出的半径，最后根据点和圆的位置关系，求出的取值范围即可． 【解析】解：连接， 四边形为矩形， 由勾股定理得，， 以，为圆心的两圆外切， 的半径为， 点在内， ， ， 在内， ， ， ． 故答案为：． 【典例13】．如图，和的半径分别为5和1，，点在直线上，与、都内切，那么半径是 ． 【答案】1.5或4.5 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解此题的关键是熟练掌握由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为和，且，圆心距为；外离；外切；相交；内切；内含． 根据两圆内切时圆心距两圆半径之差的绝对值，分两种情况求解即可． 【解析】解：设半径是，根据题意， 分两种情况： 如图1，，， ， ， 解得； 如图2，，， ， ， 解得． 故答案为1.5或4.5． 题型3：根据综合条件求圆与圆的位置关系 【典例14】．知和，的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外离 【答案】C 【分析】根据圆心距在两圆半径差和两圆半径和之间，故判断出两圆相交． 【解析】解：的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米， 的半径为15厘米， ， 两圆的位置关系是相交. 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，熟练掌握两圆的圆心距大小和两圆的位置之间的关系是解题的关键． 【典例15】．中，已知，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（    ） A．圆A与圆C相交 B．圆B与圆C外切 C．圆A与圆B外切 D．圆A与圆B外离． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边长确定两圆的圆心距，与两圆的半径的和比较后即可确定正确的选项． 【解析】∵， ∴， ∵三个圆的半径长都等于2， ∴任意两圆的圆心距都是4， ∴圆A与圆C外切，圆B与圆C相交，圆A与圆B外离， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆的两边的长求得第三边的长，然后根据两圆的半径之和和两圆的圆心距的大小关系确定两圆的位置关系，难度不大． 【典例16】．中，已知，，，以点、、为圆心的圆分别记作圆、圆、圆，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（　　） A．圆与圆相交 B．圆与圆外切 C．圆与圆外切 D．圆与圆外离 【答案】D 【分析】本题主要考查圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．根据已知条件画出图形即可得出三个圆的位置关系． 【解析】解：根据题意作图如下： 圆与圆外切，圆与圆外离，圆与圆相交， 故选：． 【典例17】．如图，，的圆心，都在直线上，且半径分别为，．若⊙以的速度沿直线向右匀速运动（保持静止），则在 时刻与的位置关系是(   ) A．外切 B．相交 C．内含 D．内切 【答案】D 【分析】先求出后，两圆的圆心距为1cm，结合两圆的半径差即可得到答案． 【解析】解：∵的半径为，的半径为，．以的速度沿直线向右运动，后停止运动． ∴后，两圆的圆心距为， ∵两圆的半径差为， ∴此时两圆内切， 故选D． 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握，则两圆外切，，则两圆外切，是关键． 题型4：圆与圆的位置关系综合应用 【典例18】．如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【答案】C 【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆的半径等于5，由勾股定理得，由点与圆的位置关系，可得结论．本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置． 【解析】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值， 设圆的半径为， 则：， ，圆半径为1， ，即圆的半径等于5， ，， 由勾股定理可知， ，， 点在圆上，点在圆内， 故选：C． 【典例19】．如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据勾股定理得到，根据圆与圆的位置关系得到， 由点在外，于是得到，即可得到结论． 【解析】解：连接AD， ∵，，， ∴ ∵的半径长为3，与相交， ∴， ∵， ∴， ∵点在外， ∴， ∴的半径长的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当时，点在圆上；当时，点在圆外；当时，点在圆内． 【典例20】．已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据两圆“外相交”的定义，得到圆心距是大于较大圆的半径且小于两个圆的半径之和，进行解答即可. 【解析】解：设圆心距为d，由题意得，圆心距是大于较大圆的半径且小于两个圆的半径之和，即5<d<5+2 ∴ 5<d<7 A．4＜5，故选项错不可以，不符合题意； B,5＝5，故选项不可以，不符合题意； C．5<6<7，故选项可以，符合题意； D．7＝7，故选项不可以，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系两圆“外相交”，得出圆心距d满足5<d<7是解答此题的关键． 【典例21】．如图，在平面内，，两两外切，其中的半径为8，，的半径都为5．用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（    ） A． B．10 C．13 D．15 【答案】A 【分析】当半径为R的圆形纸片与三个圆相切时，R的值最小，根据两圆相切的性质求解即可． 【解析】解：如图，当与三个已知圆相切时，R的值最小， ∵四个圆相切，的半径为8，，的半径都为5，的半径为R． ∴O1O2= O1O3=5+8=13，OO2= OO3=R-5，O1O=R-8，O2O3=5+5=10， ∴O1O⊥O2O3，设垂足为I， ∴IO2=5， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 故选： A． 【点睛】本题考查了相切圆的性质和勾股定理，解题关键是明确两圆相切时，圆心距与半径的关系，根据勾股定理列出方程． 【典例22】．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（     ） A．4OB7 B．5OB7 C．4OB9 D．2OB7 【答案】A 【分析】作⊙A半径AD，根据含30度角直角三角形的性质可得，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，即可得结论． 【解析】解：设⊙A与直线OP相切时的切点为D， ∴， ∵∠POQ=30°，⊙A半径长为2，即， ∴， 当⊙B与⊙A相切时，设切点为C，如下图， ∵， ∴， ∴若⊙B与⊙A内含，则OB的取值范围为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键． 【典例23】．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　） A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8 【答案】D 【分析】由题意得出点O2在点O1的右侧，⊙O2与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，O1O2的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O2在点O1的左侧时的结论． 【解析】解：当点O2在点O1的右侧时， 当⊙O2向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M， 则O2M=4， 又∵∠AO2O1=30°， ∴O1O2=2•O2M=8， 当⊙O2继续向左移动到与⊙O1内切时，如图2所示，此时O1O2=6-4=2， 所以当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8； 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的关键． 【典例24】．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解． 【解析】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作， ∵矩形中，对角线与相交于点，，． ∴，，，， ∴ ∴， 则；    当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，    则 则 ∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键． 题型5：圆与圆的连心线的性质 其他解答题 【典例25】．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B． (1)求证：O1AO2B； (2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1AO2B，只需推知∠A＝∠B； （2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT的值． 【解析】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线， 又∵⊙O1与⊙O2外切于点T， ∴O1O2经过点T． ∵O1A＝O1T，O2B＝O2T． ∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB． ∵∠O1TA＝∠O2TB， ∴∠A＝∠B． ∴O1AO2B； （2）∵O1AO2B， ∴． ∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握圆与圆的位置关系是解题的关键． 【典例26】．如图，等圆和相交于两点，经过的圆心．求的度数． 【答案】∠O1AB＝30°． 【分析】连接O1O2，O1B，BO2，AO2，证明四边形AO1BO2是菱形，然后证明△AO1O2是等边三角形，即可得出∠O1AO2＝60°，进而得出答案． 【解析】连接O1O2，O1B，BO2，AO2， 由题意知O1O2与AB互相垂直且平分， ∴四边形AO1BO2是菱形， ∵O1O2＝O2A＝O1A， ∴△AO1O2是等边三角形， ∴∠O1AO2＝60°， ∴∠O1AB＝∠O1AO2＝30°． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，菱形的判定，等边三角形的性质，垂直平分线的性质等知识点，求出∠O1AO2＝60°是解本题的关键． 【典例27】．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝． （1）求AC的长； （2）求⊙A、⊙B、⊙C半径． 【答案】（1）17；（2）rA＝3，rB＝7，rC＝14 【分析】（1）如图作AH⊥BC于H，分别在，中，解直角三角形即可解决问题； （2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z，则有，解方程组即可解决问题； 【解析】 解：（1）如上图作AH⊥BC于H， 在中，∵AB＝10，＝， ∴AH＝8，BH＝6， ∵BC＝21， ∴CH＝15， 在中，AC＝＝＝17． ∴AC＝17 （2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z， 则有，解得 ∴＝3，＝7，＝14． 【点睛】本题考查了两圆外切的基本性质之一：如果有两圆外切，则两圆的圆心距为两圆的半径之和；直角三角形的勾股定理：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．在一个三角形中作出一条边上的高后就可以得到一个直角三角形，进而通过勾股定理进行求解． 【典例28】．如图，等圆⊙O1、⊙O2相交于AB，圆心O1、O2分别在另一个圆上 （1）求∠O1AB的大小； （2）若圆的半径为2cm，求公共弦AB的长． 【答案】（1）∠O1AB＝30°；（2）AB＝2． 【分析】（1）连接AO2，O1O2，设AB交O1O2于点D，由于两圆为等圆可得出AO1＝AO2＝O1O2，进而可得出△AO1O2为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出∠O1AO2＝60°，利用相交两圆的性质可得出O1O2⊥AB，利用等腰三角形的三线合一可得出BA平分∠O1AO2，进而可求出∠O1AB的大小； （2）在Rt△O1AD中，通过解直角三角形可求出AD的长，由O1O2⊥AB利用垂径定理可得出AB＝2AD＝2，此题得解． 【解析】解：（1）连接AO2，O1O2，设AB交O1O2于点D，如图所示． ∵⊙O1、⊙O2为等圆， ∴AO1＝AO2＝O1O2， ∴△AO1O2为等边三角形， ∴∠O1AO2＝60°． 又∵O1O2⊥AB， ∴BA平分∠O1AO2， ∴∠O1AB＝∠O1AO2＝30°． （2）在Rt△O1AD中，O1A＝2，∠O1AD＝30°， ∴AD＝O1A•cos∠O1AD＝． ∵O1O2⊥AB， ∴AB＝2AD＝2． 【点睛】本题考查了圆的性质、等边三角形的性质与判定以及解直角三角形的相关性质，解答关键是根据题意做到数形结合． 【典例29】．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB=6． 求： (1)弦AC的长度； (2)四边形ACO1O2的面积． 【答案】(1)8 (2)21 【分析】（1）连接，过作于点D，设AB与交于点E，由圆的对称性可得AE的长，由勾股定理可求得，从而可得AD的长，由垂径定理即可得AC的长； （2）由勾股定理可求得，从而可得的长，则可分别求得、的面积，则可求得四边形ACO1O2的面积． 【解析】（1）解：连接，过作于点D，设AB与交于点E，如图 由圆的对称性知：， 在中，由勾股定理得： ∵，AC∥O1O2 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形，且AD=CD ∴， ∴AC=2AD=8 （2）解：在中，由勾股定理得： ∴ ∴， ∴四边形ACO1O2的面积为： 【点睛】本题考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握并正确运用是关键． 一、单选题 1．如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（　　） A．内含 B．内切 C．外切 D．相交 【答案】B 【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且，圆心距为d：外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则． 【解析】解：∵两圆半径之差圆心距， ∴两个圆的位置关系是内切． 故选：B． 【点睛】本题考查了由两圆位置关系的知识点，利用了两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差求解． 2．如果与内含，，的半径是3，那么的半径可以是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题意知与内含，则知两圆圆心距，代入数值进行计算即可． 【解析】解：根据题意两圆内含，则知两圆圆心距， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆的位置关系，熟记圆心距与两圆半径差之间的大小与圆的位置的关系是解题的关键． 3．已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与 ⊙A、⊙B 都内切，且 AB=7，AC=8，BC=9，那么⊙C 的半径长是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】设⊙A 的半径为x，⊙B的半径为y，⊙C的半径为z，构建方程组即可解答． 【解析】解：设⊙A 的半径为x，⊙B的半径为y，⊙C的半径为z， 由题意得 ⊙C的半径为12， 故选：A． 【点睛】本题考查两圆的位置关系，构建方程组是解题的关键． 4．如图，在一个边长为3的正方形内有两个互相外切的圆，且两圆都与正方形的两邻边相切，两圆心距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作OE⊥AB于E，O′F⊥BC于F，如图，设⊙O的半径为R，⊙O′的半径为r，利用切线的性质得到OE=R，O′F=r，再根据正方形的性质得到∠BAC=∠BCA=45°，AC=3，所以OA=R，O′C=r，利用两圆外切性质得到OO′=R+r，从而得到R+R+r+r=3，然后求出R+r即可． 【解析】解：如图，作OE⊥AB于E，O′F⊥BC于F，如图，设⊙O的半径为R，⊙O′的半径为r，则OE=R，O′F=r， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAC=∠BCA=45°，AC=AB=3， ∴OA=R，O′C=r， ∵⊙O与⊙O′外切， ∴OO′=R+r， ∴R+R+r+r=3， ∴R+r==6-3， 即两圆心距为6-3． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆外切⇔d=R+r（其中d为两圆的圆心距，R、r为两圆的半径）．也考查了正方形的性质、勾股定理等知识． 5．已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（　　）． A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交 B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切 C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交 D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切 【答案】A 【分析】结合题意，根据圆与圆位置关系的性质计算，即可得到答案． 【解析】∵⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4， ∴AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4 根据圆与圆之间的位置关系可知：⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆与圆之间位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆之间位置关系的性质，从而完成求解． 6．如果⊙O1和⊙O2内含，圆心距O1O2=4，⊙O1的半径长是6，那么⊙O2的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据⊙O1和⊙O2内含，分两种情况讨论，根据半径差大于圆心距列出不等式，解不等式求解即可 【解析】解：∵⊙O1和⊙O2内含，圆心距O1O2=4，⊙O1的半径长是6，么⊙O2的半径为r 当时，，则 当时，，则 综上所述，或 故选D 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，分类讨论是解题的关键． 7．已知在等腰梯形ABCD中，对角线AC将这个梯形分成面积之比为的两个三角形，的余弦值为，分别以腰AB、CD为直径作圆，那么这两圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【分析】过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，利用三角函数求得AB的长度，利用梯形中位线定理，两圆的位置关系判断即可． 【解析】过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F， ∵AD∥BC， ∴AE=DF， ∵对角线AC将这个梯形分成面积之比为的两个三角形， ∴AD：BC=2：3， 设AD=2k，则BC=3k， ∵cosB=， ∴AB=5BE． ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AB=DC， ∴△ABE≌△DCF(HL) ∴BE=CF． ∵AE⊥BC，DF⊥BC，AE∥DF，AE=DF， ∴四边形AEFD是矩形， ∴AD=EF=2k， ∴BE=， ∴AB=5BE==CD． 设AB的中点为M，CD的中点为N，连接MN， 则MN是等腰梯形ABCD的中位线， ∴BE=， ∵AB=5BE==CD， ∴圆M的半径等于圆N的半径， ∴圆M的半径+圆N的半径==MN， 故两个圆外切， 故选B． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，三角形的全等，矩形的判定和性质，三角函数的应用，两个圆的位置关系，熟练掌握等腰梯形的性质，三角函数是解题的关键． 8．在中，，且两边长分别为4和5，若以点为圆心，3为半径作⊙，以点为圆心，2为半径作⊙，则⊙和⊙位置关系是………（ ） A．只有外切一种情况； B．只有外离一种情况； C．有相交或外切两种情况； D．有外离或外切两种情况． 【答案】D 【分析】本题中给出的两边长分别为4和5，则存在两种情况，一种情况是直角边中的一边长为4cm，斜边长为5cm；另一种情况是两直角边长分别为4cm和5cm. 【解析】（1）在第一种情况下，AB边长为5cm，以点为圆心，3为半径作⊙，以点为圆心，2为半径作⊙，两圆心的距离为5 cm，由d=r1+r2可得，两圆位置关系为外切． （2）在第二种情况下，两直角边分别为4cm和5cm，则AB长为＝, 以点为圆心，3为半径作⊙，以点为圆心，2为半径作⊙，两圆心的距离为cm，由d>r1+r2可得，两圆位置关系为外离. 故选D. 9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（） A．外离 B．外切 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据勾股定理求得的长，根据AD=2CD，求得的长，根据DE∥BC，证明，求得，进而求得的长，勾股定理求得CE的长，进而比较圆心距与半径和，根据圆与圆的位置关系进行判断即可． 【解析】解：连接， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3， ∴， AD=2CD，AC=6， ，． DE∥BC， ， ， ． ， ． 在中，． >． 以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是相交． 故选C． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 10．如图，已知中，，．、分别是边、上的点，，且．如果经过点，且与外切，那么与直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】设圆E交DE于点F，则EF=AE，设CD=x，可得BD=2x，BC=3x，再由．可得AC=4x，AB=5x，然后根据，可得，EF=AE=，从而得到的半径为x，即可求解． 【解析】解：如图，设圆E交DE于点F，则EF=AE， 设CD=x， ∵． ∴BD=2x，BC=3x， ∵． ∴AC=4x， ∴AB=5x， ∵， ∴，． ∴BE=2AE，， ∴EF=AE=， ∴， ∴CD=DE， ∵经过点，且与外切， ∴的半径为x， ∵，即AC⊥BC， ∴与直线相切． 故选：B 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，切线的判定，圆与圆的位置关系等知识，熟练掌握直角三角形的性质，切线的判定，圆与圆的位置关系等知识是解题的关键． 二、填空题 11．两圆的半径分别为3和5，当这两圆相切时，圆心距为 ． 【答案】2或8 【分析】分两圆内切和外切两种情况，两圆内切时，圆心距为两圆半径之差，两圆外切时，圆心距为两圆半径之和，据此可求得结果． 【解析】当两圆内切时，圆心距为，两圆外切时，圆心距为； 故答案为；2或8． 【点睛】本题考查了两圆的位置关系：相切，注意分类讨论． 12．已知圆O1与⊙O2外切，它们的圆心距为16cm，⊙O1的半径是12cm，则⊙O2的半径是 cm． 【答案】4. 【解析】试题分析：根据两圆外切时，圆心距=两圆半径的和求解． 试题解析：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是16-12=4cm． 故答案为4． 考点: 圆与圆的位置关系． 13．两圆的圆心距，两圆的半径长分别是方程的两根．则两圆的位置关系为 ． 【答案】外离 【分析】：本题可将方程的两个根求出来，若d＞R＋r则两圆相离；若d＝R＋r则两圆外切；若d＝R−r则两圆内切；若R−r＜d＜R＋r则两圆相交． 【解析】解：原方程可以变形为（x−3）（x−4）＝0， 解得x1＝3，x2＝4． ∵x1＋x2＝7＜8， ∴两圆外离． 故填：外离. 【点睛】本题主要考查两圆的位置关系与数量之间的联系，解题的关键是熟知两圆之间的关系.． 14．已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】先确定两圆的位置关系再求范围，由两圆没有公共点，可得两圆内含或外离，再列不等式即可． 【解析】解：∵两圆没有公共点， ∴两圆内含或外离． 当两圆内含时，，即， 当两圆外离时，， ∴d的取值范围是：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查两圆的位置关系，掌握各位置关系的条件是求解本题的关键． 15．在Rt中，，，分别以点为圆心画圆，如果点在上，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出斜边，根据点和圆的位置关系求出的半径，再求出的半径的取值范围即可． 【解析】解：在Rt中，，，由勾股定理得：， 点在上， 的半径是6， 设交于，则， ∵与相交， ∴， 点在外，， 的半径小于10， 即的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点与圆以及圆与圆的位置关系，求出斜边的长是解题的关键． 16．如图，Rt中, ，，与相切，若与相交，则半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过点作于点，利用勾股定理计算出的长度，再利用等面积法计算出的长度，再根据切线的性质得到为圆的半径，然后利用两圆相交的性质得到，最后解不等式即可． 【解析】解：过点作于点，如图， ，， ， ， ， 与AB相切， 为的半径，即的半径为2.4， 与相交， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相交圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，若两圆半径为，圆心距为，两圆相交，则． 17．在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆的圆心为，半径为，那么圆的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ． 【答案】/ 【分析】如图，与外切半径相等且连心线与直线平行的两个圆分别为，运用两圆外切的性质和点的坐标特点，数形结合求出图形中的长，进而得到两圆心的坐标． 【解析】解：画出图如图所示： 点的坐标为过点的直线与平行并过点， 过点的直线与平行， 过点的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形， 与外切半径相等且连心线与直线平行的两个圆分别为，， 如图，，都是等腰直角三角形，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了两圆外切的性质，点的坐标特征，等腰直角三角形，熟练的运用数形结合思想是解决本题的关键． 18．如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E在正方形内部，且AE⊥BE，cot∠BAE＝2，如果以E为圆心，r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交，那么r的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设AB的中点为G，连接EG，延长BE交CD于H，根据直角三角形的性质得到EG＝AB＝5，根据三角函数的定义得到CH＝BC＝CD＝5，推出点H是以CD为直径的圆的圆心，设BE＝k，AE＝2k，得到BE＝2，根据勾股定理得到BH＝＝5，求得EH＝BH﹣BE＝3，于是得到结论． 【解析】解：设AB的中点为G， 连接EG，延长BE交CD于H， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∴EG＝AB＝5， ∵在正方形ABCD中，∠C＝∠ABC＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝∠ABE+∠CBH＝90°， ∴∠CBH＝∠BAE， ∴cot∠BAE＝cot∠CBH＝＝2， ∴CH＝BC＝CD＝5， ∴点H是以CD为直径的圆的圆心， 设BE＝k，AE＝2k， ∴AB＝k＝10， ∴k＝2， ∴BE＝2， ∵∠C＝90°，BC＝10，CH＝5， ∴BH＝ ＝5， ∴EH＝BH﹣BE＝3 ， ∵r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交， ∴r的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】此题利用正方形的性质，考查两圆相交，圆心距与半径的关系． 三、解答题 19．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝． （1）求AC的长； （2）求⊙A、⊙B、⊙C半径． 【答案】（1）17；（2）rA＝3，rB＝7，rC＝14 【分析】（1）如图作AH⊥BC于H，分别在，中，解直角三角形即可解决问题； （2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z，则有，解方程组即可解决问题； 【解析】 解：（1）如上图作AH⊥BC于H， 在中，∵AB＝10，＝， ∴AH＝8，BH＝6， ∵BC＝21， ∴CH＝15， 在中，AC＝＝＝17． ∴AC＝17 （2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z， 则有，解得 ∴＝3，＝7，＝14． 【点睛】本题考查了两圆外切的基本性质之一：如果有两圆外切，则两圆的圆心距为两圆的半径之和；直角三角形的勾股定理：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．在一个三角形中作出一条边上的高后就可以得到一个直角三角形，进而通过勾股定理进行求解． 20．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AD＝AB，联结O1E． （1）求证：O1E＝O1C； （2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）6 【分析】（1）联结O1A，根据垂径定理得到AE＝AD，根据相交两圆的性质得到O1C⊥AB，得AC＝AB，进而证明Rt△O1EA≌Rt△O1CA，根据全等三角形的性质证明结论； （2）设⊙O2的半径长为r，根据勾股定理列出方程解答便可得到答案． 【解析】（1）证明：联结O1A， ∵点E为AD的中点， ∴O1E⊥AD，AE＝， ∵⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C， ∴O1C⊥AB， ∴AC＝AB， ∵AB＝AD， ∴AE＝AC， 在Rt△O1EA和Rt△O1CA中， ∴Rt△O1EA≌Rt△O1CA（HL） ∴O1E＝O1C； （2）解：设⊙O2的半径长为r， ∵O1E＝O1C＝6， ∴O2C＝10﹣6＝4， 在Rt△O1EO2中，O2E＝＝8， ∵Rt△O1EA≌Rt△O1CA， ∴AC＝AE＝8﹣r， 在Rt△ACO2中，O2A2＝AC2+O2C2，即r2＝（8﹣r）2+42， 解得，r＝5， ∴AC＝8﹣5＝3， ∴AB＝2AC＝6． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的性质，勾股定理等知识点，利用全等三角形的性质等量代换出边的值，再通过勾股定理建立等式是解题的关键． 21．如图，等圆⊙O1、⊙O2相交于AB，圆心O1、O2分别在另一个圆上 （1）求∠O1AB的大小； （2）若圆的半径为2cm，求公共弦AB的长． 【答案】（1）∠O1AB＝30°；（2）AB＝2． 【分析】（1）连接AO2，O1O2，设AB交O1O2于点D，由于两圆为等圆可得出AO1＝AO2＝O1O2，进而可得出△AO1O2为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出∠O1AO2＝60°，利用相交两圆的性质可得出O1O2⊥AB，利用等腰三角形的三线合一可得出BA平分∠O1AO2，进而可求出∠O1AB的大小； （2）在Rt△O1AD中，通过解直角三角形可求出AD的长，由O1O2⊥AB利用垂径定理可得出AB＝2AD＝2，此题得解． 【解析】解：（1）连接AO2，O1O2，设AB交O1O2于点D，如图所示． ∵⊙O1、⊙O2为等圆， ∴AO1＝AO2＝O1O2， ∴△AO1O2为等边三角形， ∴∠O1AO2＝60°． 又∵O1O2⊥AB， ∴BA平分∠O1AO2， ∴∠O1AB＝∠O1AO2＝30°． （2）在Rt△O1AD中，O1A＝2，∠O1AD＝30°， ∴AD＝O1A•cos∠O1AD＝． ∵O1O2⊥AB， ∴AB＝2AD＝2． 【点睛】本题考查了圆的性质、等边三角形的性质与判定以及解直角三角形的相关性质，解答关键是根据题意做到数形结合． 22．如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接． （1）求证：； （2）如果＝10，，求⊙的半径长． 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【分析】（1）连接，利用垂径定理，连心线与公共弦关系原理，证明△E≌△即可； （2）利用△E∽△CA即可解答． 【解析】（1）⊙和⊙相交于A、B两点， ∴是AB的垂直平分线， ∴∠CA=90°， ∵E为AD的中点， ∴E⊥AD， ∴∠EA=90°， ∴∠CA=∠EA， 如图,连接 ∵AE＝AC，A=A ∴△E≌△C， ∴E＝C. （2）∵E⊥AD， ∴∠E＝90°， 在Rt△E中，∠E＝90°，＝10，E＝6， ∵， ∴， ∴E＝8， ∵∠E＝∠CA＝90°，∠＝∠， ∴△E∽△CA， ∴, ∵＝10，AC＝AE＝E－A＝8－A，E＝6， ， ∴＝5， 即⊙的半径长为5. 故答案为5. 【点睛】本题考查圆，圆与圆的位置关系，三角形的相似，勾股定理，熟记圆垂径定理，连心线与公共弦的关系定理，三角形相似判定定理是解题的关键. 23．设点、点，分别以O、A为圆心，半径为2r、r作圆，两圆在第一象限的交点为P． (1)当时，求点P的坐标； (2)当时，能否找到一定点Q，使为定值？若能找到，请求出Q点的坐标及定值；若不能找到，请说明理由． 【答案】(1)； (2)定点为，定值为 【分析】（1）过P点作x轴的垂线，把分割成两个直角三角形，设，在两个三角形中使用勾股定理，列方程组，解答本题； （2）根据勾股定理，列方程求解． 【解析】（1）设， 由勾股定理，得， 解得（舍去负值） ∴； （2）设， 由题意，得， 化简，得， 即， ∴定点为，定值为． 【点睛】考查了运用勾股定理解二元二次方程组（二元二次方程）、圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握． 24．二次函数的图像的顶点为，与轴交于点，以为边在第二象限内作等边三角形．    （1）求直线的表达式和点的坐标； （2）点在第二象限，且△的面积等于△的面积，求点的坐标； （3）以轴上的点为圆心，1为半径的圆，与以点为圆心，的长为半径的圆相切，直接写出点的坐标． 【答案】（1），（2）（3），，， 【分析】（1）已知抛物线的解析式，其顶点以及函数图象与y轴交点坐标易求得．在求点C的坐标时，要把握住Rt△AOB的特殊性（含30°角），显然，若△ABC是等边三角形，那么AC与x轴垂直，无论通过勾股定理求边长还是根据B点在AC的中垂线上，都能比较容易的求出点C的坐标． （2）“M点在第二象限内”确定了点M的大致范围，若“△ABM的面积等于△ABC的面积”，以AB为底边进行分析，那么点C、点M到直线AB的距离是相同的，即CM∥AB，直线AB的解析式易求，两直线平行则斜率相同，再代入点C的坐标就能通过待定系数法求出直线CM的解析式，然后代入点M的纵坐标即可得出结论． （3）首先求出⊙C的半径，即CM的长．若⊙C与⊙N相切，就要分两种情况来考虑：①外切，CN长等于两圆的半径和；②内切，CN长等于两圆的半径差． 在明确CN长的情况下，在Rt△CAN中，通过勾股定理求出AN的长，进一步即可确定点N的坐标． 【解析】解：（1）二次函数的图像的顶点，与轴的交点， 设直线的表达式为， 可求得，．所以直线的表达式为． 可得，∵， ∴． 在Rt△中，由勾股定理得：． ∴．点． （2）∵点、都在第二象限，且△的面积等于△的面积， ∴∥． 设直线的表达式为，点在直线上， 可得． ∴直线的表达式为． 可得点的坐标：． （3）由、M（-5，1）可得： CM= ①当⊙C与⊙N外切时，CN=CM+1=7； 在Rt△CAN中，AN=； ∴ON=AN+OA=+2 或ON=AN-OA=-2 即：点N的坐标为：（--2，0）（-2，0）． ②当⊙C与⊙N内切时，CN=CM-1=5； 在Rt△CAN中，CN=5，CA=4，则AN=3； ∴ON=AN+OA=3+2 或ON=OA-AN=2-3 即：点N的坐标为：（-3-2，0），（3-2，0）． 综上可知：点的坐标，，，． 25．如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E. （1）求CE的长； （2）P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q. ①如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长； ②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长. 【答案】（1）CE=；（2）①；② 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得：．再由BC=DC，得到BE=AE．设CE=x，则AE=BE=x+2．在Rt△ACE中，由勾股定理即可得出结论． （2）①由△ACQ ∽△CPQ，得到∠ACQ=∠P．再由平行线的性质得到∠ACQ=∠CAE，则∠CAE=∠P，即可证明△ACE ∽△PCA，由相似△的性质即可得到结论． ②设CP=t，则 ．在Rt△ACP中，由勾股定理得： ．再由平行线分线段成比例定理得，可求出．然后分两种情况讨论：①若两圆外切，则，②若两圆内切，则，解方程即可． 【解析】详解：（1）∵AE∥CD， ∴． ∵BC=DC， ∴BE=AE． 设CE=x，则AE=BE=x+2． ∵ ∠ACB=90°， ∴ ， 即， ∴，即． （2）①∵△ACQ ∽△CPQ，∠QAC>∠P， ∴∠ACQ=∠P． 又∵AE∥CD， ∴∠ACQ=∠CAE， ∴∠CAE=∠P， ∴△ACE ∽△PCA， ∴， 即， ∴ ． ②设CP=t，则 ． ∵∠ACB=90°，∴ ． ∵AE∥CD， ∴，即， ∴． 若两圆外切，那么，此时方程无实数解． 若两圆内切，那么， ∴  ， 解得． 又∵， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题．考查了圆与圆的位置关系、平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质．解答（2）②注意要分两种情况讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 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