第04讲 直线与圆的位置（二类知识点+七大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪教版）

第04讲 直线与圆的位置（七大题型） 学习目标 1、 了解直线与圆的三种位置关系； 2、 会判定直线与圆的三种位置关系，并根据位置关系求长度或距离； 3、掌握切线的判定定理；直线与圆的位置关系的综合应用． 一、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： 　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 　　 要点： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 二、切线的判定定理 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 【即学即练1】若的圆心到直线的距离小于半径，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键． 根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【解析】解：的圆心O到直线l的距离d小于半径r， ∴直线l与的位置关系是相交． 故答案为：相交． 【即学即练2】已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，那么圆O与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离；根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答即可； 【解析】A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6， 圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离， 故选：D. 【即学即练3】已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段，线段，那么直线AB与⊙O的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离． 【解析】解：∵⊙O的半径为10cm，线段，线段， ∴点A在以O为圆心，10cm长为半径的圆上，点B在以O圆心，6cm长为半径的⊙O上 当时，如左图所示，由知，直线AB与⊙O相切； 当AB与OB不垂直时，如右图所示，过点O作于点D，则，所以直线AB与⊙O相交； ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与半径的大小，从而可确定位置关系． 【即学即练4】中，已知，，，以点、、为圆心的圆分别记作圆、圆、圆，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（　　） A．圆与圆相交 B．圆与圆外切 C．圆与圆外切 D．圆与圆外离 【答案】D 【分析】本题主要考查圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．根据已知条件画出图形即可得出三个圆的位置关系． 【解析】解：根据题意作图如下： 圆与圆外切，圆与圆外离，圆与圆相交， 故选：． 【即学即练5】在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d、r法则，熟练掌握法则是解题的关键．根据面积公式计算点C到的距离d，比较d与半径的大小判断即可． 【解析】解：如图， ∵在平行四边形中，，， 设点C到的距离为d， ∴点C到的距离， ∴直线与圆C相交，即有2个交点， 故选：B． 题型1：判断直线与圆的位置关系 【典例1】．已知的半径为，若直线与圆心的距离为，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【解析】解：根据题意，得 的半径为，若直线与圆心的距离为， 直线和圆相交； 故选：D． 【典例2】．已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键． 直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【解析】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于2． 此时和半径2的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能． 故选：D． 【典例3】．的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，先由勾股定理逆定理判断出为直角三角形，且，设斜边上的高为，根据等面积法求出，即可得解． 【解析】解：∵， ∴为直角三角形，且， 设斜边上的高为，则， ∴， ∴以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是相切， 故选：C． 【典例4】．已知的半径为3，且上一点到直线的距离为6，关于直线和的位置关系，甲同学认为是相离，乙同学认为是相切．下列判断正确的是（    ） A．甲同学说法完整，就只能是相离 B．乙同学说法完整，不可能相离 C．甲、乙同学说法都不完整，合在一起才完整 D．甲、乙同学说法都不完整，合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．欲求直线l与圆O的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．据此判断即可． 【解析】解：如图， 点在上，已知的半径是3，点到直线的距离是6， 与直线的位置关系可能是相切或相离． 甲、乙同学说法都不完整，合在一起才完整． 故选：C． 【典例5】．已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【解析】解：∵的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和相离， ∴直线l与没有公共点． 故选：A． 题型2：根据直线与圆的位置关系求半径 【典例6】．已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为（   ） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l与相交，则；直线l与相切，则；直线l与相离，则，根据上述方法即可求解． 【解析】直线l与相离， ， 又圆心O到直线l的距离为， ， 故选：A． 【典例7】．已知的半径为1，直线l上有一点P满足，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相切或相离 D．相切或相交 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键； 根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和相交得；②直线l和相切得；③直线l和相离得．分垂直于直线l，不垂直直线l两种情况讨论． 【解析】解：当垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与l相切； 当不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与直线l相交． 所以，直线l与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 【典例8】．直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交． 【解析】解：∵直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5， ∴， ∵， ∴A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 【典例9】．已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交，即可判断． 【解析】的半径为5，直线与相交， 圆心到直线的距离的取值范围是， 故选：A． 【典例10】．已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【解析】解：设圆心到直线的距离为d， 和直线相交， ， ， 只有选项D符合条件， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系：，直线和圆相交；，直线和圆相切；，直线和圆相离． 【典例11】．直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线l和相交，进行判断即可． 【解析】解：∵直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ， ∴． 故选：C． 题型3：根据直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例12】．平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆相离的判定，根据相离的判定逐项验证即可得到答案，熟记直线与相离，得到圆心到直线的距离大于半径是解决问题关键． 【解析】解：的半径为5，若直线与相离， 由相离定义可知圆心到直线的距离大于半径5， 根据四个选项中的距离可知，只有6符合要求， 故选：A． 【典例13】．已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交②直线l和相切，③直线l和相离． 【解析】解：∵直线m与公共点的个数为2个， ∴直线与圆相交， ∴半径3， 故选：A． 【典例14】．已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．熟练掌握直线与圆只有一个交点，则直线与圆相切，圆心到这条直线的距离为半径长是解题的关键． 根据直线与圆只有一个交点，则直线与圆相切，圆心到这条直线的距离为半径长求解作答即可． 【解析】解：由直线与圆的位置关系，可知直线l与相切， ∴圆心O到这条直线的距离为， 故选：B． 【典例15】．已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一般地，直线到圆心的距离为d，圆的半径为r，则当时，直线与圆没有交点；当时，直线与圆有一个交点；当时，直线与圆有两个交点，据此求解即可． 【解析】解：∵直线l与圆有公共点， ∴直线l与圆的圆心的距离小于等于半径， ∵的半径为， ∴， 故选：B． 【典例16】．以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】作轴，连结，根据勾股定理计算出，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的的取值为且． 【解析】作轴，连结，如图， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点， ∴过点或者与轴相切， ∴或． 故答案为或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为：①直线和相交⇔；②直线和相切⇔；③直线和相离⇔．也考查了坐标与图形性质． 【典例17】．如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接，根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是，所以x的取值范围是． 【解析】解：设切点为，连接，则 圆的半径，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数 所以x的取值范围是 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相切的时候的x值，即可分析出x的取值范围． 题型4：直线与圆的位置关系的代数应用 【典例18】．的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 . 【答案】4 【分析】本题主要考查了切线的性质，一元二次方程根的判别式．根据切线的性质可得，再由一元二次方程根的判别式，即可求解． 【解析】解：∵，是方程的两个根，且直线与相切， ∴， ∴方程有两个相等的实根， ∴， 解得，． 故答案为：4． 【典例19】．如图，半径为5个单位的⊙A与x轴、y轴都相切；现将⊙A沿y轴向下平移 个单位后圆与x轴交于点（2，0）． 【答案】1或9 【分析】结合勾股定理和平移的性质进行计算． 【解析】解：设将沿轴向下平移个单位后，根据题意作图， ， 由勾股定理：， ， 解得或9， 应将沿轴向下平移1或9个单位后圆与轴交于点． 故答案为：1或9． 【点睛】考查了直线与圆的位置关系及平移的性质，解题的关键是运用方程的思想解决更简单． 【典例20】．若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】先分析点为圆心、为半径的圆与轴相交，得出横坐标的范围，根据函数对称轴位置确定当取何值时取到最值，得到的最大值、最小值，再根据相交位置关系判断最值是否可取，确定符号即可得出结论． 【解答】解：， ∴二次函数的图像开口向上，顶点，对称轴是直线， 在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交， ∴， ∵抛物线开口向上，， ∴当，时，， 当，时，，且此时圆与轴相切，故不可取到． ． 【点睛】本题考查了二次函数的的增减性和直线与圆的位置关系，解答关键是根据数形结合思想讨论的取值范围． 题型5：切线的判定理 切线的证明 【典例21】．如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再根据切线的判定定理可得当时，，即可求解． 【解析】解：∵，， ∴， ∴当时，， ∴当时，是切线， 故答案为：． 【典例22】．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【解析】解：如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 【典例23】．如图，在中，，点O为上一点，以点O为圆心，长为半径的圆交于点D，．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，连接，根据圆周角定理和已知条件证明，再由三角形内角和定理证明，则，据此可证明结论． 【解析】证明：如图，连接， ，， ， ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． 【典例24】．如图，是的直径，点为外一点，连接交于点，连接并延长交线段于点，．求证：与相切． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查切线的判定．由题意易得，，，进而根据角的等量关系可进行求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切． 【典例25】．如图，在中，，以为直径的分别交、边于点、．过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质证得．得出，由平行线的性质得出，则可得出答案； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，由矩形的性质得出，，设，则，．由勾股定理得出，解方程可得出答案． 【解析】（1）解：证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径． 是的切线． （2）解：过点作于点， ，， ， 四边形为矩形， ，， 设，则， ， 在中，， 即， 解得：， （舍去）， ， 即的半径为； 题型6：直线与圆的位置综合应用（难点，几何应用） 【典例26】．已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【答案】(1)当半径为3时，与直线相切 (2)当半径为2.4时，与直线相切 (3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 【典例27】．已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题注意两种情况：（1）圆与相切时；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．本题考查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点，解此题的关键是画出符合条件的所有情况． 【解析】解：依题意，， 根据勾股定理求得． 当圆与相切时，此时半径最小，即； 当点在圆上，此时半径最大，即， 综上：即． 故选：D． 【典例28】．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，，AB＝14， （1）求：△ABC的面积； （2）若以C为圆心的圆C与直线AB相切，以A为圆心的圆A与圆C相切，试求圆A的半径． 【答案】(1)42;(2) 4或16 【分析】（1）过C作CD⊥AB于D解直角三角形得到CD，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）根据圆C与直线AB相切，得到○C的半径，根据勾股定理得到AC，设○A的半径为r，当圆A与圆C内切时，当圆A与圆C外切时即可得到结论 【解析】 （1）过C作CD⊥AB于D， ∵， ∴， ∵∠ABC＝45°， ∴BD＝CD， ∵AB＝14， ∴， ∴CD＝6， ∴△ABC的面积； （2）∵以C为圆心的圆C与直线AB相切， ∴⊙C的半径＝6， ∵AD＝8， ∴， 设⊙A的半径为r， 当圆A与圆C内切时，r﹣6＝10， ∴r＝16， 当圆A与圆C外切时，r+6＝10， ∴r＝4， 综上所述：以A为圆心的圆A与圆C相切，圆A的半径为：4或16． 【点睛】本题的关键是做辅助线，考虑圆A与圆C内切或外切两种情况 【典例29】．如图，已知Rt△ABC，AC=8，AB=4，以点B为圆心作圆，当⊙B与线段AC只有一个交点时，则⊙B的半径的取值范围是（  ）    A．rB = B．4 < rB ≤ C．rB = 或4 < rB ≤ D．rB为任意实数 【答案】C 【分析】作BD⊥AC于D，如图，利用勾股定理计算出BC＝4，再利用面积法计算出BD＝2，讨论：当⊙B与AC相切时得到r＝2；当直线AC与⊙B相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，BA＜r≤CB． 【解析】解：作CD⊥AB于D，如图，    在Rt△ABC中，BC＝， ∵BD•AC＝AB•BC， ∴CD＝ 当⊙C与AB相切时，r＝2； 当直线AC与⊙B相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，4＜r≤4．， 综上所述，当r＝2或4＜r≤4 故选C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【典例30】．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A′、D′，如果直线A′D′与⊙O相切，那么的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意作图，翻折找出AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B，过O作OH⊥CD，连接OC，OG交BC于E，根据已知条件设出AB＝CD＝CD′＝A′B＝x，则OC＝OG＝x，再由勾股定理求出CE，即可求出BC，代入求比值即可． 【解析】设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E， ∵将矩形ABCD沿着直线BC翻折， ∴AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B， 过O作OH⊥CD， ∴CH＝CD， ∵直线A′D′与⊙O相切， ∴OG⊥A′D′， ∵BC∥A′D′， ∴OG⊥BC， ∴则四边形OECH是矩形，CE＝BE＝BC， ∴CH＝OE， 设AB＝CD＝CD′＝A′B＝x， ∴OE＝x， ∴OC＝OG＝x， ∴CE＝＝， ∴BC＝2CE＝， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查圆的切线的判定和性质，及矩形的性质，需要用到勾股定理求相关量． 【典例31】．我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本主要考查三角形重心以及点与圆的位置关系，根据重心的性质得由勾股定理求出，运用面积法求出，从而得出结论 【解析】解：设点O为的重心， ∵为中线， ∴ 连接则 ∴, 过点作于点E，F， ∴ ∵, ∴ ∴ ∴的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是或 故答案为：或 【典例32】．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【解析】解：如图，连接，作于，于． ， ， ， ，， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当，，共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最大值， 故答案为． 【典例33】．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，则点到的最短距离为，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【解析】解：∵，点是矩形内一动点， ∴点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动， ∵矩形中，，， ∴， 如图所示，取的中点，则    ∴点到的最短距离为， ∴面积的最小值为， 故选：C． 题型7：直线与圆的位置作图题 【典例34】．如图，已知，点是上的一个定点． (1)尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点，同时与相切，切点记为N； (2)在（1）的条件下，若，，则所作的的半径是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定与性质、直角三角形的性质． （1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件； （2）由（1）作图知，利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出的半径． 【解析】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：由（1）作图知，，, 在中，，， ，即， ∴， 故答案为：． 【典例35】．如图，为边上一点．用直尺和圆规分别作出满足下列条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图①中，与的边相切于点，且与边也相切； (2)在图②中，与的边相切于点，与边相交于点，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合切线的性质，即可得出圆心C与点O的连线平分，即作的角平分线，过点P作的垂线，两直线交点即可确定圆心C，即可解答； （2）结合切线的性质可过点P作的垂线，即确定圆心C所在直线．过点P作的垂线，交于点M，结合同角的余角相等，可证．再作线段的垂直平分线，与过点P作的垂线相交于点C，则点C即为圆心C，，即可解答； 【解析】（1）解：如图，即为所作． 由切线的性质可知的圆心C与点O的连线平分， ∴作的角平分线，再过点P作的垂线，与的角平分线的交点即为点C，最后以点C为圆心，长为半径画圆即可； （2）解：如图，即为所作． 根据切线的性质可过点P作的垂线，则圆心C在这条垂线上． 过点P作的垂线，交于点M， ∴． ∵， ∴． 再作线段的垂直平分线，与过点P作的垂线相交于点C，则点C即为圆心C， 最后以点C为圆心，长为半径作圆，与交于点N． 【点睛】本题考查作图—角平分线，作图—线段垂直平分线，作图—作圆，切线的性质，角平分线的判定定理，同角的余角相等，垂径定理等知识．根据切线的性质，结尺规作图的基本方法是解题关键． 一、单选题 1．下列直线是圆的切线的是（  ） A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线 【答案】B 【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案． 【解析】解：A、割线与圆也有公共点但不是切线，故不正确； B、符合切线的判定，故正确； C、应为垂直于圆的半径的且过半径外端点的直线，故不正确； D、应为过圆的直径外端点并与该直径垂直的直线，故不正确； 故选B． 【点睛】本题考查了切线的判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 2．在中，，，，以点C为圆心，2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再利用三角形的面积公式求得点C到AB的距离，进而判定圆与AB的位置关系. 【解析】解：在中，，，， ∴， ∴点C到AB的距离=， 则该圆与AB的位置关系是相离. 故选C. 【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 3．下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 【答案】B 【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，逐项分析即可． 【解析】由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出只有答案B符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，属于基础性题目，难度不大． 4．已知中，，若以2为半径作，则斜边与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 过点C作于D，先利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后根据与半径的大小关系判断斜边与的位置关系即可． 【解析】解：过点C作于D， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴以2为半径作与斜边相离． 故选：B． 5．在平面直角坐标系中有点A(3，4)，以点A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y=－x与⊙A的位置关系是(    ) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】可作出图形，根据勾股定理可得AO=5，联系直角三角形斜边与直角边的大小关系可得到点A到直线的距离与圆的半径的大小关系，从而判断出直线和圆的位置关系. 【解析】如图， ∵A(3,4)，∴AO=5， ∵点A到直线y=−x的距离为AB的长小于圆的半径r，即AB<AO， ∴直线y=−x与A的位置关系是相交. 故选:C. 【点睛】考查本题考查了直线与圆，当圆心到直线的距离d＞圆的半径r，直线与圆相离；当圆心到直线的距离d＜圆的半径r，直线与圆相交；当圆心到直线的距离d=圆的半径r，直线与圆相切； 6．如图，若的直径为2，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键．根据圆心到直线的距离大于半径的长，即可得出判断． 【解析】解：∵的直径为2， ∴的半径为1， ∵点到某条直线的距离为， ∴直线与圆相离； ∴这条直线可能是； 故选：A． 7．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 【答案】A 【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可． 【解析】解：A、，不能判定直线与相切，符合题意； B、由，得到，且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； C、点O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意； D、且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键． 8．如图所示，中，点M在上，点P在外，交于点N，以下条件不能判定是的切线的是（   ） A． B． C． D．点N是OP的中点 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理进行判断即可． 【解析】解：A.∵，且，∴，可知是的切线，故选项A不符合题意； B. ∵，且，∴，可知是的切线，故选项B不符合题意； C.∵，∴是直角三角形，且，可知是的切线，故选项C不符合题意； D. 点N是OP的中点不能得出，即不能判断出是的切线，故选项D符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理的逆定理、正确理解切线的判定定理是解答本题的关键． 9．在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围． 【解析】解：， ∴， ∵原点O在圆A的外部， ∴，即， ∵圆A与x轴相交， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与圆的位置关系是解此题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【解析】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 二、填空题 11．已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【解析】解：∵的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，掌握直线和圆有公共点是解题的关键． 12．已知一条直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是 ． 【答案】r＞2 【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可． 【解析】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d＝2， ∴r＞2． 故答案为：r＞2． 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的三种位置关系的判定方法是解题的关键. 13．已知，的半径为一元二次方程的两根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】运用因式分解来解出的两根，舍去负数，再与比较，即可作答，此题考查了因式分解来解一元二次方程，以及判断圆与直线的关系：记圆心到直线的距离为，圆的半径为，如果，相离；如果，相切；如果，相交． 【解析】解：∵的半径分别为一元二次方程的两根， ∴ 则，（舍）， ∵圆心O到直线l的距离， ∴， ∴直线l与的位置关系是相交． 故答案为：相交 14．已知，P是OA上的一点，cm，以r为半径作⊙P，若cm，则⊙P与的位置关系是 ，若⊙P与相离，则r满足的条件是 ． 【答案】 相离 【分析】过点P作，利用的直角边是斜边的一半，求出，再根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系进行判断即可． 【解析】解：过点P作，垂足为D，则， ∵，cm， ∴． 当cm时，， ∴⊙P与相离， 即⊙P与位置关系是相离． 当⊙P与相离时，， ∴r需满足的条件是：． 故答案为：相离；． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系判断直线与圆的位置关系，是解题的关键． 15．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，本题先求解圆心到直线的距离与圆的半径，再根据可得答案；熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 【解析】解：根据题意，得圆心到直线的距离等于，圆的半径是， ∴圆心到直线的距离小于半径，得直线和圆相交． 故答案为：相交． 16．如图已知的半径为，圆心在抛物线上运行，当与轴相切时，圆心的坐标为 ．    【答案】或 【解析】当与轴相切时可求得点的横坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标． 【解答】解：∵与轴相切，的半径为， ∴到轴的距离等于半径， ∴点的横坐标为或， 当时，代入可得，此时点坐标为； 当时，代入可得，此时点坐标为； 综上可知点坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及二次函数的性质，此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键． 17．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线的解析式为．若直线与半圆有交点，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】此题考查了直线和圆的位置关系，以及用待定系数法求解直线的解析式等方法，若直线与半圆有交点，则直线和半圆相切于点开始到直线过点结束（不包括直线过点），当直线和半圆相切于点时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的的锐角是，从而求得，即可得出点的坐标，进一步得出t的值；当直线过点时，直线根据待定系数法求得的值，进而即可求解． 【解析】若直线与半圆有交点，则    直线和半圆相切于点开始到直线过点结束，当直线和半圆相切于点时，直线与轴所形成的锐角是， ∴， 又∵半圆的半径， ∴， ∴代入解析式，得， 当直线过点时，把代入直线解析式，得， 即当，直线和半圆有交点． 18．如图，直线AB，CD相交于点O，，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 s． 【答案】4或8/8或4 【分析】求得当⊙P位于点O的左边与CD相切时t的值和⊙P位于点O的右边与CD相切时t的值即可． 【解析】解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图1，过P作PE⊥CD于E ∴PE＝1cm， ∵∠AOC＝30° ∴OP＝2PE＝2cm ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切 ∴⊙P移动所用的时间＝＝4（秒）； 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图2，过P作PE⊥CD于E ∴PF＝1cm ∵∠AOC＝∠DOB＝30° ∴OP＝2PF＝2cm ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间＝＝8（秒） ∴当⊙P的运动时间为4或8秒时，⊙P与直线CD相切． 故答案为：4或8． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，含30°的直角三角形，解题的关键在于分点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算． 三、解答题 19．如图,在RT△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D．求证:AC与⊙D相切.    【答案】详见解析 【分析】过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF（半径），即可得出AC是⊙D的切线． 【解析】证明：过点D作DF⊥AC于F，如图所示： ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B=90°， ∴AB⊥BC， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD=DF， ∴AC与⊙D相切．    【点睛】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 20．如图，是上一点，点在直径的延长线上，的半径为，，. 求证：是的切线. 【答案】见解析 【分析】连接，证明得是直角三角形，即，则是的切线． 【解析】证明：如图，连接， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理的逆定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． 21．（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线； （2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，基本作图； （1）先确定直径，进而根据网格的特点作，即可求解； （2）连接，以为直径作圆，交于点，连接，则即为所求的切线． 【解析】（1）如图1所示， 即为圆的切线， （2）如图所示，即为所求的切线 22．如图，在中，是的弦，点A是的中点，过点A作直线．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，平行线的性质，先由垂径定理得到，再由，即可证明，进而可证明是的切线． 【解析】证明：如图，连接， 点A是的中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 23．如图，在中，，，．的平分线交于，经过、两点的交于，且点在上． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，根据等边对等角得到，由角平分线的性质得到，进而证明推出，则，由此即可证明结论； （2）如图所示，过点O作于M，连接，先解得到，，则，设，则，则解，得到，再由平行线的性质得到，再解得到，解得，则，利用勾股定理得到，则由垂径定理可得． 【解析】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，过点O作于M，连接， 在中，，，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，平行线的性质与判定，等边对等角，角平分线的定义等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24．如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交于点，且点是弧的中点．求证：是的切线． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 点是弧的中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 25．如图．的半径为，、是的两条弦，，，如果以为圆心，作一个与直线相切的圆，那么： (1)所作的圆的半径是多少？ (2)所作的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1)2 (2)相离．理由见解析 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，如果圆心到直线的距离为，圆的半径为，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． （1）作于，连接，根据垂径定理和勾股定理求出的长，根据直线与圆的位置关系得到答案； （2）求出的长，根据直线与圆的位置关系进行判定． 【解析】（1）作于，连接， 则， 则， 答：以为圆心，作一个与直线相切的圆，所作的圆的半径是2； （2）作于， 则， ， ， 所作的圆与直线相离． 26．已知:如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，是直线上一动点，⊙的半径为2． （1）判断原点与⊙的位置关系，并说明理由； （2）当⊙与轴相切时，求出切点的坐标．    【答案】（1）外部，理由见解析；（2）或． 【分析】（1）先求出OA，OB，进而根据三角形的面积公式求出到直线的距离，即可得出结论； （2）首先求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，点D的坐标，然后利用对称性可以求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，点D的坐标． 【解析】解（1）令x=0，= ∴， 令y=0，=0，解得x=3 ∴ ∴AO=3，OB= ，∠ABO＝30 过作D⊥AB, 设到直线的距离为， ∴d== ∴原点在的外部    （2）如图，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D， 在PD⊥x轴， ∴PD∥y轴， ∴∠APD＝∠ABO＝30， ∴在Rt△DAP中，AD＝DP•tan∠DPA＝2×tan30＝， ∴OD＝OA−AD＝3-， ∴此时点D的坐标为：（3-，0）； 当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（3+，0）； 综上可得：当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为：或．    【点睛】此题考查了和圆有关的综合题，用到的知识点有一次函数图象上点的坐标的性质、切线的性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线，注意分类讨论思想的应用． 27．如图，关于的二次函数图象的顶点为，图象交轴于、两点，交轴正半轴于点．以为直径作圆，圆心为．定点的坐标为，连接． （1）写出、、三点的坐标； （2）当为何值时点在直线上？判定此时直线与圆的位置关系； （3）当变化时，用表示的面积，并在给出的直角坐标系中画出关于的函数图象的示意图． 【答案】（1），，；（2）当时，点在直线上，直线与相切，理由见解析；（3）当时，，当时，． 【分析】（1）根据轴，轴上点的坐标特征代入即可求出、、三点的坐标； （2）待定系数法先求出直线的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系； （3）分当时，当时两种情况讨论求得关于的函数． 【解析】解：（1）令，则， 解得，； 令，则． 故，，． （2）设直线的解析式为，将，代入得： 解得，，． 直线的解析式为． 将化为顶点式：． 顶点的坐标为．代入得： ， ．所以，当时，点在直线上． 连接，为中点，点坐标为． ，， ，点在圆上 又，， ，， ． 直线与相切． （3）当时， ． 当时，． 即． 关于的函数图象的示意图如右： 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有轴，轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．注意分析题意分情况讨论结果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 6 页 共 47 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 直线与圆的位置（七大题型） 学习目标 1、 了解直线与圆的三种位置关系； 2、 会判定直线与圆的三种位置关系，并根据位置关系求长度或距离； 3、掌握切线的判定定理；直线与圆的位置关系的综合应用． 一、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： 　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 　　 要点： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 二、切线的判定定理 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 【即学即练1】若的圆心到直线的距离小于半径，则直线与的位置关系是 ． 【即学即练2】已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，那么圆O与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 【即学即练3】已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段，线段，那么直线AB与⊙O的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【即学即练4】中，已知，，，以点、、为圆心的圆分别记作圆、圆、圆，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（　　） A．圆与圆相交 B．圆与圆外切 C．圆与圆外切 D．圆与圆外离 【即学即练5】在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个． 题型1：判断直线与圆的位置关系 【典例1】．已知的半径为，若直线与圆心的距离为，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交 【典例2】．已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【典例3】．的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 【典例4】．已知的半径为3，且上一点到直线的距离为6，关于直线和的位置关系，甲同学认为是相离，乙同学认为是相切．下列判断正确的是（    ） A．甲同学说法完整，就只能是相离 B．乙同学说法完整，不可能相离 C．甲、乙同学说法都不完整，合在一起才完整 D．甲、乙同学说法都不完整，合在一起也不完整 【典例5】．已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 题型2：根据直线与圆的位置关系求半径 【典例6】．已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为（   ） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【典例7】．已知的半径为1，直线l上有一点P满足，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相切或相离 D．相切或相交 【典例8】．直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例9】．已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【典例10】．已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【典例11】．直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型3：根据直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例12】．平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【典例13】．已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．2 B．3 C． D．4 【典例14】．已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【典例15】．已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　） A． B． C． D． 【典例16】．以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为 ． 【典例17】．如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4：直线与圆的位置关系的代数应用 【典例18】．的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 . 【典例19】．如图，半径为5个单位的⊙A与x轴、y轴都相切；现将⊙A沿y轴向下平移 个单位后圆与x轴交于点（2，0）． 【典例20】．若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是 ． 题型5：切线的判定理 切线的证明 【典例21】．如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 【典例22】．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【典例23】．如图，在中，，点O为上一点，以点O为圆心，长为半径的圆交于点D，．求证：是的切线． 【典例24】．如图，是的直径，点为外一点，连接交于点，连接并延长交线段于点，．求证：与相切． 【典例25】．如图，在中，，以为直径的分别交、边于点、．过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)，，求的半径． 题型6：直线与圆的位置综合应用（难点，几何应用） 【典例26】．已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【典例27】．已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【典例28】．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，，AB＝14， （1）求：△ABC的面积； （2）若以C为圆心的圆C与直线AB相切，以A为圆心的圆A与圆C相切，试求圆A的半径． 【典例29】．如图，已知Rt△ABC，AC=8，AB=4，以点B为圆心作圆，当⊙B与线段AC只有一个交点时，则⊙B的半径的取值范围是（  ）    A．rB = B．4 < rB ≤ C．rB = 或4 < rB ≤ D．rB为任意实数 【典例30】．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A′、D′，如果直线A′D′与⊙O相切，那么的值为 ． 【典例31】．我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 【典例32】．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 【典例33】．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型7：直线与圆的位置作图题 【典例34】．如图，已知，点是上的一个定点． (1)尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点，同时与相切，切点记为N； (2)在（1）的条件下，若，，则所作的的半径是______． 【典例35】．如图，为边上一点．用直尺和圆规分别作出满足下列条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图①中，与的边相切于点，且与边也相切； (2)在图②中，与的边相切于点，与边相交于点，且． 一、单选题 1．下列直线是圆的切线的是（  ） A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线 2．在中，，，，以点C为圆心，2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 3．下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 4．已知中，，若以2为半径作，则斜边与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 5．在平面直角坐标系中有点A(3，4)，以点A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y=－x与⊙A的位置关系是(    ) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 6．如图，若的直径为2，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 8．如图所示，中，点M在上，点P在外，交于点N，以下条件不能判定是的切线的是（   ） A． B． C． D．点N是OP的中点 9．在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 二、填空题 11．已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 12．已知一条直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是 ． 13．已知，的半径为一元二次方程的两根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是 ． 14．已知，P是OA上的一点，cm，以r为半径作⊙P，若cm，则⊙P与的位置关系是 ，若⊙P与相离，则r满足的条件是 ． 15．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 16．如图已知的半径为，圆心在抛物线上运行，当与轴相切时，圆心的坐标为 ．    17．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线的解析式为．若直线与半圆有交点，则的取值范围是 ．    18．如图，直线AB，CD相交于点O，，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 s． 三、解答题 19．如图,在RT△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D．求证:AC与⊙D相切.    20．如图，是上一点，点在直径的延长线上，的半径为，，. 求证：是的切线. 21．（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线； （2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线． 22．如图，在中，是的弦，点A是的中点，过点A作直线．求证：是的切线． 23．如图，在中，，，．的平分线交于，经过、两点的交于，且点在上． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 24．如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交于点，且点是弧的中点．求证：是的切线． 25．如图．的半径为，、是的两条弦，，，如果以为圆心，作一个与直线相切的圆，那么： (1)所作的圆的半径是多少？ (2)所作的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？ 26．已知:如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，是直线上一动点，⊙的半径为2． （1）判断原点与⊙的位置关系，并说明理由； （2）当⊙与轴相切时，求出切点的坐标．    27．如图，关于的二次函数图象的顶点为，图象交轴于、两点，交轴正半轴于点．以为直径作圆，圆心为．定点的坐标为，连接． （1）写出、、三点的坐标； （2）当为何值时点在直线上？判定此时直线与圆的位置关系； （3）当变化时，用表示的面积，并在给出的直角坐标系中画出关于的函数图象的示意图． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$